F-Verteilung

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

F-Verteilung

Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen , die beide Chi-Quadrat-verteilt sind mit Freiheitsgraden.

Dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

F-Verteilung mit den Parametern und oder kurz .

Die Parameter sind die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable des Zählers und die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable des Nenners.

Der Wertebereich ist .

Für eine Zufallsvariable , die F-verteilt mit den Parametern und ist, gilt:

Die Verteilungsfunktion der F-Verteilung liegt für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten und ausgewählte Werte der Parameter und tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der F-Verteilung

Die Dichtefunktion der F-Verteilung ist rechtsschief. Für wachsende Werte von und nimmt die Schiefe jedoch ab.

Für und strebt die Dichte der F-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der F-Verteilung für ausgewählte Freiheitsgrade .

<R output="display">

pdf(rpdf,width=7,height=7)

curve(from=0, to=6, df(x, df1=10, df2=10), ylab="f(x)", col="black", ylim=c(0.0,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(0, 6, 6), yaxp=c(0.0, 1, 5), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=0, to=6, df(x, df1=10, df2=50), ylab="f(x)", col="red", ylim=c(0.0,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(0, 6, 6), yaxp=c(0.0, 1, 5), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=0, to=6, df(x, df1=3, df2=5), ylab="f(x)", col="blue", ylim=c(0.0,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(0, 6, 6), yaxp=c(0.0, 1, 5), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=0, to=6, df(x, df1=5, df2=3), ylab="f(x)", col="green", ylim=c(0.0,1.0), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(0, 6, 6), yaxp=c(0.0, 1, 5), "yaxs"="i")

text(2.8, 0.2, "f1=10, f2=10", col="black", cex=1.2) text(2.3, 0.4, "f1=10, f2=50", col="red", cex=1.2) text(0.85, 0.20, "f1=3, f2=5", col="blue", cex=1.2) text(0.85, 0.1, "f1=5, f2=3", col="green", cex=1.2)

title(main="Dichtefunktion (F-Verteilung)") box(which="outer")


</R>