Chi-Quadrat-Verteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die folgende Abbildung zeigt die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]]en der Chi-Quadrat-Verteilung für verschiedene [[Freiheitsgrad]]e <math>f</math>.
 
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Aktuelle Version vom 29. Mai 2018, 13:36 Uhr

Verteilungsmodelle

Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung • Poisson-Verteilung • Stetige Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Standardnormalverteilung • Schwankungsintervall • Zentraler Grenzwertsatz • Chi-Quadrat-Verteilung • t-Verteilung • F-Verteilung • Approximation von Verteilungen • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Approximation • Approximation der Binomialverteilung • Approximation der hypergeometrischen Verteilung • Approximation der Poisson-Verteilung • Bernoulli-Experiment • Endlichkeitskorrektur • Freiheitsgrad • Gauß-Verteilung • Gauß'sche Glockenkurve • Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung • Gleichverteilung (diskret) • Gleichverteilung (stetig) • Poisson-Prozess • Sicherheitswahrscheinlichkeit • Standardnormalverteilung • Stetigkeitskorrektur • Student'sche t-Verteilung • Überschreitungswahrscheinlichkeit • Zentrales Schwankungsintervall

Grundbegriffe

Chi-Quadrat-Verteilung

Gegeben seien voneinander unabhängige und identisch standardnormalverteilte Zufallsvariablen für .

Dabei bezeichnet eine positive ganze Zahl.

Die Verteilung der Zufallsvariablen als Summe der quadrierten Zufallsvariablen

heißt Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Parameter , oder kurz .

Dieser Parameter bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade. Der Wertebereich ist .

Für den Erwartungswert und die Varianz der chi-quadrat-verteilten Zufallsvariable gilt:

und .

Die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Freiheitsgrad

Die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht der Anzahl der unabhängigen Zufallsvariablen, die in die Summenbildung eingehen.

Sind die Zufallsvariablen unabhängig voneinander, können sie ihre Werte völlig frei annehmen.

Die Quadrierung der Zufallsvariablen und die Summenbildung ändert nichts an dieser Tatsache.

In diesem Fall weist die Chi-Quadrat-verteilte Quadratsumme

die Anzahl der Freiheitsgrade auf.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der Chi-Quadrat-Verteilung

Die Form der Dichtefunktion hängt von dem Parameter ab. Für und fällt die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung monoton.

Für kleine Werte von sind die Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung deutlich rechtsschief.

Für wachsende Werte von strebt die Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Normalverteilung.

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade .