Additionssatz: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 7. April 2019, 14:45 Uhr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung • Mengenlehre • Wahrscheinlichkeit • Additionssatz • Bedingte Wahrscheinlichkeit • Multiplikationssatz • Unabhängige Ereignisse • Vierfeldertafel • Satz der totalen Wahrscheinlichkeit • Theorem von Bayes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit • A-priori-Wahrscheinlichkeit • Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Differenz von Ereignissen • Disjunkte Ereignisse • Durchschnitt von Ereignissen • Element • Elementarereignis • Ereignis • Ereignisraum • Gruppe (Mengenlehre) • Klasse (Mengenlehre) • Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Komplementärereignis • Leere Menge • Logische Differenz von Ereignissen • Logische Summe von Ereignissen • Menge • Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit • Operationen von Ereignissen • Randhäufigkeit • Randwahrscheinlichkeit • Relationen von Ereignissen • Sicheres Ereignis • Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Teilmenge • Totale Wahrscheinlichkeit • Unmögliches Ereignis • Venn-Diagramm • Vereinigung von Ereignissen • Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov • Wahrscheinlichkeit nach Laplace • Wahrscheinlichkeit nach von Mises • Wahrscheinlichkeitstabelle • Zerlegung des Ereignisraums • Vollständige Zerlegung des Ereignisraums • Zufallsexperiment

Grundbegriffe

Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sind und zwei beliebige Ereignisse eines Zufallsexperiments, dann gilt

,

was als Additionssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet wird.

Die Erweiterung des Additionssatzes auf drei Ereignisse , und lautet:

Venn5.png

Zusatzinformationen

Herleitung des Additionssatzes

  • Das Ereignis kann in die beiden disjunkten Ereignisse und zerlegt werden, so dass gilt
Das folgende Venn-Diagramm veranschaulicht die zugrunde liegenden Ereignisse.
Venn6.png
Für die Wahrscheinlichkeit erhält man nach Axiom 3
und nach Umformung
  • Das Ereignis kann in die beiden disjunkten Ereignisse und zerlegt werden, so dass gilt

Für die Wahrscheinlichkeit erhält man nach Axiom 3
Setzt man das Ergebnis des ersten Abschnittes für ein, folgt
.
was zu beweisen war.
Venn7.png

Beispiele

Skatspiel

Ein Skatspiel hat 32 Karten. Darin sind vier Damen und acht Herzkarten enthalten.

Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, aus dem unsortierten Kartenstapel zufällig eine Dame oder eine Herzkarte zu ziehen.

Für und ergibt sich nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit

Nach dem Additionssatz ergibt sich:

Die Wahrscheinlichkeit, aus dem unsortierten Kartenstapel zufällig eine Dame oder eine Herzkarte zu ziehen, beträgt .