Zeitreihenanalyse

Vorlage:Mmstat3:Statistik I&II/Zeitreihen

Grundbegriffe

Zeitreihenanalyse und Zeitreihen

Eine Zeitreihe zeichnet die Ausprägungen eines Merkmals (einer Variablen) $X\;$ im Zeitverlauf auf.

Die Betrachtung der Zeitreihen in den unten stehenden Beispielen lässt erkennen, wie unterschiedlich die zeitliche Entwicklung der Merkmalsausprägungen sein kann.

Diese verschiedenen Eigenschaften im jeweiligen Anwendungsfall zu erfassen, ist das Ziel der deskriptiven Analyse. Deskriptive Zeitreihenmodelle werden so gewählt, dass sie die Charakteristika der Reihe verdeutlichen.

Zeitreihen können auch als Ergebnis eines stochastischen Prozesses interpretiert werden. Vor diesem Hintergrund versucht man stochastische Modelle zu finden, die zu den Beobachtungen geführt haben könnten.

Besonderes Gewicht kommt hierbei der Identifikation von Einflussfaktoren, die häufig ebenfalls Zeitreihen sind, zu.

Ein stochastisches Zeitreihenmodell kann helfen, den Prozess, der zu den Beobachtungen geführt hat, zu verstehen.

Wenn man ferner annimmt, dass das Modell auch in der Zukunft noch gelten wird, ermöglicht es Voraussagen zukünftiger Merkmalsausprägungen.

Im folgenden werden nur deskriptive Zeitreihenmodelle betrachtet.

Komponenten einer Zeitreihe

Um ihre charakteristischen Eigenschaften offenzulegen, zerlegt man Zeitreihen häufig in Bewegungskomponenten:

Trend

Allgemeine Tendenz der Zeitreihe.

Periodische Schwankungen

Kurzfristige Einflüsse, die nach einem starren Muster die langfristige Entwicklung überlagern. Die Periodenlänge beträgt häufig ein Jahr, in diesem Fall spricht man von Saisonschwankungen.

Unregelmäßige Restschwankungen

Der Trend und Saisonschwankung gelten als systematische Komponenten und werden in den folgenden Unterkapiteln weiter diskutiert.

Beispiele

Scatterplots geben einen Eindruck von der Entwicklung der Merkmalsausprägungen im Zeitverlauf.

Auf der Abzisse werden Indikatoren für den jeweiligen Beobachtungszeitpunkt (z.B. Jahreszahlen) abgetragen, die Ordinate gibt die zugehörige Merkmalswerte $x_{t}$ an.

Wie die folgenden Beispiele illustrieren, finden sich Zeitreihen in den verschiedensten Wissensgebieten:

Reparaturen

Preisindex für fremde Reparaturen und sonstige Dienstleistungen Berlin, 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989

Telefone

Anzahl der Telefone in den USA (in 1000) 1900 - 1970

pdf(rpdf, width=10, height=7) S = c(1355900, 1801100, 2371044, 2808900, 3353200, 4126900, 4932800, 6118578, 6483600, 6995700, 7635400, 8348700, 8729592, 9542500, 10046400, 10523500, 11241400, 11716520, 12077600, 12668500, 13411400, 13875200, 14347395, 15369500, 16208900, 16935900, 17746200, 18522767, 19341300, 20233000, 20201600, 19707600, 17424406, 16710900, 16968800, 17424000, 18433000, 19453401, 19953000, 20831000, 21928000, 23521000, 24919000, 26381000, 26859000, 27867000, 31611000, 34867000, 38205000, 40708000, 43003800, 45636400, 48056300, 50373000, 52813000, 56243200, 60190400, 63620900, 66629600, 70819000, 74341100, 77425400, 80971700, 84450300, 88787400, 93658800, 98785600, 103751900, 109255600, 115200700, 120221000); tel = ts(S, start=1900, end=1970, fr=1) par(mar=c(5, 7, 1, 2) + 0.1) par(mgp = c(3, 1, 0)) plot(tel, lwd=3, col="blue", axes=F, xlab="Jahr", ylab="", ylim=c(0, 140000000)) axis(1, tck=-0.02) options(scipen=5) axis(2, at=seq(0, 140000000, by=20000000), label=seq(0, 140000, by=20000), las=2, tck=-0.02) par(mgp = c(5, 1, 0)) title(ylab="Anzahl der Telefone in USA (1000)") </R>

PKW

Zulassungszahl neuer PKW in Berlin 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989

pdf(rpdf, width=10, height=7)

a = c(15222, 17456, 12988, 13833, 15407, 19110, 13479, 13139, 16407, 18738, 11923, 11853, 15869, 16109, 12883, 11712, 14495, 15373, 10341, 11111, 12985, 13397, 9474, 10043, 13431, 15968, 11246, 11261, 14908, 14581, 10498, 10657, 11078, 14858, 11473, 12384, 13801, 17143, 14249, 14712, 12603, 16799, 15611, 15568, 13077, 17098, 14159, 13085, 14093, 16344, 12044, 13762) t = ts(a, start=c(1977,1), end=c(1989,4), fr=4) plot(t, ylim=c(8000,20000), xlab="Zeit", ylab="Zulassungszahl neuer Pkw (Tsd.)", col="red", lwd=3, axes=F) axis(1, at=seq(1977.1, 1989.4, by=1.0), label=seq(77.1, 89.4, by=1.0), tck=-0.02) axis(2, at=seq(8000, 20000, by=2000), label=seq(8, 20, by=2), las=2, tck=-0.02)

</R>

Temperaturen

Tägliche Temperaturen in New York, Mai bis September 1973

pdf(rpdf, width=10, height=7)

data(airquality) attach(airquality) plot(ts(Temp), xlab="Zeit", ylab="Temperatur [Fahrenheit]", axes=F, col="green", lwd=2, ylim=c(50,100)) axis(1, tck=-0.02) axis(2, tck=-0.02, las=2)

</R>

Passagiere

Anzahl der Passagiere der amerikanischen Flug-Gesellschaft Pan Am Januar 1949 - Dezember 1960

pdf(rpdf, width=10, height=7)

data(AirPassengers) AP = AirPassengers par(mar=c(5, 7, 1, 2) + 0.1) par(mgp = c(3, 1, 0)) plot(AP, xlab="Zeit", ylab="Anzahl der Passagiere einer Flug-Gesellschaft (Tsd.)", axes=F, col="brown", lwd=3) axis(1, tck=-0.02, at=seq(1949.083, 1961.083, by=1), label=seq(49.1, 61.1, by=1), cex.axis=0.85) axis(2, tck=-0.02, las=2)

</R>

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