Zufallsauswahlmodelle

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Zufallsauswahlmodelle

Man unterscheidet das Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen.

Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen

Bei einer Zufallsauswahl mit Zurücklegen hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Nach der Feststellung der Merkmalsausprägung wird das gezogene Element wieder in die Grundgesamtheit zurückgelegt, bevor das nächste Element gezogen wird.

Dadurch kann ein Element der Grundgesamtheit mehrfach in der Stichprobe enthalten sein.

Durch das Zurücklegen wird jedoch garantiert, dass

• die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ unabhängig voneinander sind, denn die Ergebnisse nachfolgender Ziehungen werden nicht durch die Ergebnisse vorhergehender Ziehungen beeinflusst;
• die Verteilung $F(x)$ der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit unverändert bleibt. Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung einen Wert kleiner oder gleich $x$ zu erhalten, ist die gleiche wie bei der 2. Ziehung, bei der 3. Ziehung,... und bei der $n$-ten Ziehung: $P(X_{1}\leq x)=P(X_{2}\leq x)=\ldots =P(X_{n}\leq x)=F(x)$.

Die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ sind somit identisch verteilt.

Ein Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen führt damit zu einer einfachen Zufallsstichprobe.

Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen

Bei einer Zufallsauswahl ohne Zurücklegen hat jedes Element der Grundgesamtheit ebenfalls die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Nach der Feststellung der Merkmalsausprägung wird das gezogene Element jedoch nicht in die Grundgesamtheit zurückgelegt.

Das hat zur Konsequenz, dass sich die Verteilung der Grundgesamtheit von Ziehung zu Ziehung verändert, wodurch die Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ abhängig voneinander sind.

Eine Zufallsauswahl ohne Zurücklegen führt zu einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe, aber nicht zu einer einfachen Zufallsstichprobe.

Diese Unterscheidung in "mit Zurücklegen" und "ohne Zurücklegen" ist jedoch nur für endliche Grundgesamtheiten relevant.

Selbst bei einer endlichen Grundgesamtheit kann man diese Unterscheidung immer mehr vernachlässigen, je umfangreicher die Grundgesamtheit und je kleiner zugleich der Auswahlsatz ${\frac {n}{N}}$ ist.

Bei großem Umfang $N$ der Grundgesamtheit und kleinem Stichprobenumfang $n$ verändert sich nach jeder Ziehung ohne Zurücklegen die Verteilung der Grundgesamtheit nur geringfügig.

Als Faustregel gilt, dass bei einem Auswahlsatz ${\frac {n}{N}}\leq 0,05$ eine Zufallsauswahl ohne Zurücklegen näherungsweise als eine einfache Zufallsstichprobe angesehen werden kann.

Neben den hier genannten Zufallsauswahlmodellen gibt es weitere, z.B. geschichtete Auswahl, Klumpenauswahl, mehrstufige Auswahl.