Trend

Grundbegriffe

Trend einer Zeitreihe

Die Zerlegung einer Zeitreihe beginnt mit der Extraktion der langfristigen Tendenz (Trend) aus den Beobachtungen.

Dazu stehen verschiedene Methoden, die jeweils zu unterschiedlichen Trendlinien für ein und diesselbe Reihe führen, zur Verfügung.

Die Auswahl einer dieser Methoden erfordert generell ein Abwägen zwischen Vor- und Nachteilen.

In diesem Abschnitt werden die Methode der gleitenden Durchschnitte und die Methode der kleinsten Quadrate vorgestellt.

Methode der gleitenden Durchschnitte

Filter

Der geschätzte Trend ist bei diesem Verfahren zu jedem Zeitpunkt ein gewichtetes Mittel aus den Originaldaten mehrerer Perioden:

$T(t)=\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}\cdot x_{t+i}$

mit

$\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1$

Die Gesamtheit der Gewichte $\lambda _{i}$ nennt man Filter.

Die Wahl des Filters hängt von der Art saisonaler Schwankungen und der gewünschten Glättung ab. Meist werden symmetrische Filter, die (ausgehend von Periode $t$) Vergangenheit und Zukunft gleichgewichten, verwendet.

Filter, deren Gewichte $\lambda _{i}$ für alle $i$ gleich sind, bilden sogenannte einfache gleitende Durchschnitte, alle anderen führen zu gewichteten gleitenden Durchschnitten.

Stützbereich

Der Bereich aus den Originaldaten, über den der gewichtete Durchschnitt gebildet wird, heisst Stützbereich.

Aus Prinzip kann die Reihe des geschätzten Trends höchstens so lang sein wie die Originalreihe (Gleichheit, wenn $a=b$).

Je größer man den Stützbereich wählt, umso weniger Trendwerte können berechnet werden und umso glatter wird die resultierende Trendreihe.

Symmetrischer Filter

Symmetrische Filter ($a=b$) werden meist so angegeben, dass die $2a+1$ einzelnen Gewichte nebeneinander in eckigen Klammern stehen.

Die folgenden Filter finden bei der Glättung von saisonalen Zeitreihen Anwendung, weil sie für die Trendberechnung die periodischen Schwankungen aus den Originaldaten "herausfiltern".

• Halbjahresdaten

$\left[{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{4}}\right]\quad (a=1)$

$\left[{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{8}}\right]\quad (a=2)$

• Quartalsdaten

$\left[{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{8}}\right]\quad (a=2)$

$\left[{\frac {1}{16}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{16}}\right]\quad (a=4)$

• Monatsdaten

$\left[{\frac {1}{24}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{12}},\;{\frac {1}{24}}\right]\quad (a=6)$

Methode der kleinsten Quadrate

Eine zweite Möglichkeit den Trend einer Zeitreihe zu ermitteln, bietet die Methode der kleinsten Quadrate, wie sie im Kapitel "Schätzung der Regressionsparameter" vorgestellt wurde.

Man wählt eine Familie von Funktionen, durch die der Trend in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschrieben werden soll und schätzt dann deren Parameter.

Diese Parameterschätzer minimieren die Summe der quadratischen Abweichungen des Trends von den Originaldaten:

$\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}\rightarrow {\mbox{ min.}}$

Exemplarisch werden im folgenden die Schätzer für eine einfache lineare Trendfunktion und für einen Exponentialtrend hergeleitet.

Lineare Trendfunktion

Unterstellt sei eine lineare Abhängigkeit der Variablen $X\;$ von der Zeit $t$ in der Form

${\widehat {x}}_{t}=a+b\cdot t$

Die Summe der Residuenquadrate in Abhängigkeit von den Parametern $a$ und $b$ ist

$S(a,b)=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-a-b\cdot t)^{2}\rightarrow {\mbox{ min.}}$

Die Minimierung ergibt die Parameterschätzer

$a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\cdot t}{T\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

$b={\frac {T\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\cdot t-\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

Exponentialtrend

Unterstellt sei eine exponentielle Abhängigkeit der Variablen $X\;$ von der Zeit $t$ in der Form

${\widehat {x}}_{t}=a\cdot b^{t}$

bzw. in logarithmierter Form

$\log {\widehat {x}}_{t}=(\log a)+t\cdot \log b$

Die Minimierung ergibt die Parameterschätzer

$\log a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}}{T\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

$\log b={\frac {T\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t\cdot \log x_{t}-\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\cdot \sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$

Zusatzinformationen

Informationen zur Ordnung des gleitenden Durchschnitts

Stützbereich: Anzahl $k$ der Werte, die in die Mittelwertberechnung eingehen.

• Ungerade Ordnung $2k+1:$

$X_{t}^{*}={\frac {1}{2k+1}}\cdot \sum _{i=t-k}^{t+k}X_{i}\qquad t=k+1,\ldots ,T-k$

• Gerade Ordnung $2k:$

$X_{t}^{*}={\frac {1}{2k}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot X_{t-k}+{\frac {1}{2}}\cdot X_{t+k}+\sum _{i=t-(k-1)}^{t+(k-1)}X_{i}\right]\qquad t=k+1,\ldots ,T-k$

• Beispiel für ungerade Ordnung:

$\,k$	$\,1$	$\,2$
${\mbox{Ordnung}}$	$2k+1=3$	$2k+1=5$
$\,x_{1}$	$\,x_{1}^{*}$ ---	$\,x_{1}^{*}$ ---
$\,x_{2}$	$\,x_{2}^{*}={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=1}^{3}x_{i}$	$\,x_{2}^{*}$ ---
$\,x_{3}$	$\,x_{3}^{*}={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=2}^{4}x_{i}$	$\,x_{3}^{*}={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=1}^{5}x_{i}$
$\,x_{4}$	$\,x_{4}^{*}={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=3}^{5}x_{i}$	$\,x_{4}^{*}={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=2}^{6}x_{i}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\,x_{T-2}$	$\,x_{T-2}^{*}={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=T-3}^{T-1}x_{i}$	$\,x_{T-2}^{*}={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=T-4}^{T}x_{i}$
$\,x_{T-1}$	$\,x_{T-1}^{*}={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=T-2}^{T}x_{i}$	$\,x_{4}^{*}$ ---
$\,x_{T}$	$\,x_{T}^{*}$ ---	$\,x_{T}^{*}$ ---

• Beispiel für gerade Ordnung:

$\,k$	$\,1$	$\,2$
${\mbox{Ordnung}}$	$\,2k=2$	$\,2k=4$
$\,x_{1}$	$\,x_{1}^{*}$ ---	$\,x_{1}^{*}$ ---
$\,x_{2}$	$\,x_{2}^{*}={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{3}+x_{2}\right]$	$\,x_{2}^{*}$ ---
$\,x_{3}$	$\,x_{3}^{*}={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{4}+x_{3}\right]$	$\,x_{3}^{*}={\frac {1}{4}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{5}+\sum _{i=2}^{4}x_{i}\right]$
$\,x_{4}$	$\,x_{4}^{*}={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{3}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{5}+x_{4}\right]$	$\,x_{3}^{*}={\frac {1}{4}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{6}+\sum _{i=3}^{5}x_{i}\right]$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\,x_{T-2}$	$\,x_{T-2}^{*}={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{T-3}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{T-1}+x_{T-2}\right]$	$\,x_{T-2}^{*}={\frac {1}{4}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{T-4}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{T}+\sum _{i=T-3}^{T-1}x_{i}\right]$
$\,x_{T-1}$	$\,x_{T-1}^{*}={\frac {1}{2}}\cdot \left[{\frac {1}{2}}\cdot x_{T-2}+{\frac {1}{2}}\cdot x_{T}+x_{T-1}\right]$	$\,x_{T-1}^{*}$ ---
$\,x_{T}$	$\,x_{T}^{*}$ ---	$\,x_{T}^{*}$ ---

Beispiele

Preisindex (Lineare Trendfunktion)

Preisindex für fremde Reparaturen und sonstige Dienstleistungen Berlin, 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989

${\widehat {x}}_{t}=99,12+1,701\cdot t\qquad R^{2}=0,9923$

$t=0$ entspricht dem 4. Quartal 1976.

Anzahl der Telefone (Exponentialtrend)

Anzahl der Telefone in den USA (in 1000) 1900-1970

$\log {\widehat {x}}_{t}=3,553645+0,021448\cdot t$

$R^{2}=0,9923$

$t=0$ entspricht 1899.

${\widehat {x}}_{t}=3578,04\cdot (1,051)^{t}$

<R output="display"> pdf(rpdf, width=10, height=7) S = c(1355900, 1801100, 2371044, 2808900, 3353200, 4126900, 4932800, 6118578, 6483600, 6995700, 7635400, 8348700, 8729592, 9542500, 10046400, 10523500, 11241400, 11716520, 12077600, 12668500, 13411400, 13875200, 14347395, 15369500, 16208900, 16935900, 17746200, 18522767, 19341300, 20233000, 20201600, 19707600, 17424406, 16710900, 16968800, 17424000, 18433000, 19453401, 19953000, 20831000, 21928000, 23521000, 24919000, 26381000, 26859000, 27867000, 31611000, 34867000, 38205000, 40708000, 43003800, 45636400, 48056300, 50373000, 52813000, 56243200, 60190400, 63620900, 66629600, 70819000, 74341100, 77425400, 80971700, 84450300, 88787400, 93658800, 98785600, 103751900, 109255600, 115200700, 120221000); tel = ts(S, start=1900, end=1970, fr=1) par(mar=c(5, 7, 1, 2) + 0.1) par(mgp = c(3, 1, 0)) plot(tel, lwd=3, col="blue", axes=F, xlab="Jahr", ylab="", ylim=c(0, 140000000)) axis(1, tck=-0.02) options(scipen=5) axis(2, at=seq(0, 140000000, by=20000000), label=seq(0, 140000, by=20000), las=2, tck=-0.02) par(mgp = c(5, 1, 0)) title(ylab="Anzahl der Telefone in USA (1000)") t = as.numeric(time(tel)-1900) tel.lm = lm(log(tel)~t) lines(exp(tel.lm$coef[1]+tel.lm$coef[2]*(time(tel)-1900)), col="red", lwd=3) </R>

PKW (Symmetrischer Filter)

Zulassungszahl neuer PKW in Berlin 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989 (Quartalsdaten)

Filter: $\left[{\frac {1}{8}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{8}}\right]$

rot: Originalzeitreihe

schwarz: geglättete Reihe (Trend)

<R output="display"> pdf(rpdf, width=10, height=7) a = c(15222, 17456, 12988, 13833, 15407, 19110, 13479, 13139, 16407, 18738, 11923, 11853, 15869, 16109, 12883, 11712, 14495, 15373, 10341, 11111, 12985, 13397, 9474, 10043, 13431, 15968, 11246, 11261, 14908, 14581, 10498, 10657, 11078, 14858, 11473, 12384, 13801, 17143, 14249, 14712, 12603, 16799, 15611, 15568, 13077, 17098, 14159, 13085, 14093, 16344, 12044, 13762) t = ts(a, start=c(1977,1), end=c(1989,4), fr=4) plot(t, ylim=c(8000,20000), xlab="Zeit", ylab="Zulassungszahl neuer Pkw (Tsd.)", col="red", lwd=3, axes=F) axis(1, at=seq(1977.1, 1989.4, by=1.0), label=seq(77.1, 89.4, by=1.0), tck=-0.02) axis(2, at=seq(8000, 20000, by=2000), label=seq(8, 20, by=2), las=2, tck=-0.02) lines(decompose(t)$trend, lwd=3) </R>

Leistungsbilanzsalden

Die folgende Zeitreihe beschreibt die Entwicklung der Leistungsbilanzsalden (in Mio Mark) der Bundesrepublik Deutschland in den Jahren 1977 - 1995:

Der Trend dieser Zeitreihe soll mit der Methode der gleitenden Durchschnitte geschätzt werden. Hierzu verwendet man die Formel

$T(t)=\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}\cdot x_{t+i},\;{\mbox{ mit }}\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1$

Da ausgehend von einem Zeitpunkt $t$ Vergangenheits- und Zukunftswerte gleichgewichtet in die Trendschätzung eingehen sollen, wird $a=b$ gewählt.

Zur Glättung von Jahresdaten verwendet man einen einfachen gleitenden Durchschnitt, bei dem die Gewichte $\lambda _{i}$ für alle $i$ identisch sind.

Die Gewichte müssen sich über den gesamten Stützbereich zu 1 aufaddieren. Also gilt:

$\lambda _{i}={\frac {1}{2a+1}}$ für alle $i$

In der folgenden Tabelle wurde der gleitende Durchschnitt $T(t)$ jeweils für $a=1,\;a=2$ und $a=3\;$ berechnet.

Jahr	$t$	Leistungsbilanz	$T(t)$	$T(t)$	$T(t)$
			$a=1$	$a=2$	$a=3$
1977	1	9478
1978	2	18003	5483,3
1979	3	-11031	-7169,3	-4754,2
1980	4	-28480	-17084	-4676,6	-476
1981	5	-11741	-10118,3	-6162,6	2161,4
1982	6	9866	2899,3	1631,6	6493,4
1983	7	10573	16126,3	16993	20325,4
1984	8	27940	28946,7	36499,8	36122,1
1985	9	48327	54020	50946	50418,9
1986	10	85793	72072,3	66498,6	63874,7
1987	11	82097	85408,7	81722	64551,3
1988	12	88336	91496,7	75118,4	56000,4
1989	13	104057	69234	51576,6	44779,3
1990	14	15309	29150	29113	29186
1991	15	-31916	-15609,3	6774,4	12573,9
1992	16	-30221	-28498	-20875,2	-4876,7
1993	17	-23357	-29256,3	-30700,6
1994	18	-34191	-30455,3
1995	19	-33818

Wenn $a=1$ ist, kann man für die Periode $t=1$ keinen Trend schätzen, weil der Wert der Zeitreihe in $t=0$ unbekannt ist.

Für $t=2$ ist der geschätzte Trend dann ${\frac {9478}{3}}+{\frac {18003}{3}}+{\frac {-11031}{3}}=5483,3$

In der folgenden Grafik werden die drei Schätzungen und die Originalreihe miteinander verglichen:

<R output="display"> pdf(rpdf, width=10, height=7) a = c(9478, 18003, -11031, -28480, -11741, 9866, 10573, 27940, 48327, 85793, 82097, 88336, 104057, 15309, -31916, -30221, -23357, -34191, -33818) b = c(5483.3, -7169.3, -17084.0, -10118.3, 2899.3, 16126.3, 28946.7, 54020.0, 72072.3, 85408.7, 91496.7, 69234.0, 29150.0, -15609.3, -28498.0, -29256.3, -30455.3) c = c(-4754.2, -4676.6, -6162.6, 1631.6, 16993.0, 36499.8, 50946.0, 66498.6, 81722.0, 75118.4, 51576.6, 29113.0, 6774.4, -20875.2, -30700.6) d = c(-476.0, 2161.4, 6493.4, 20325.4, 36122.1, 50418.9, 63874.7, 64551.3, 56000.4, 44779.3, 29186.0, 12573.9, -4876.7) t1 = ts(a, start=1977, end=1995) t2 = ts(b, start=1978, end=1994) t3 = ts(c, start=1979, end=1993) t4 = ts(d, start=1980, end=1992) options(scipen=5) plot(t1, xlab="Period", ylab="Million DM", yaxt="n", lwd=2) axis(2, at=c(0, 50000, 100000)) lines(t2, col="green", lwd=2) lines(t3, col="red", lwd=2) lines(t4, col="blue", lwd=2) </R>

Man erkennt zwei wichtige Eigenschaften des Verfahrens:

• Je größer der Stützbereich, über den der Trend geschätzt wurde (also je größer $a$), umso mehr Trendwerte konnten nicht geschätzt werden.

• Der geschätzte Trend wird bei vergrößertem Stützbereich glatter.