Unabhängige Ereignisse/Beispiel: Corona-Risiko

Die Fragen sind, wie

1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von $n$ Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?

2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?

Es sei

• $A_{i}$ das Ereignis, das Person $i$ infiziert ist, $P(A_{i})$ ist die Wahrscheinlichkeit das Person $i$ infiziert ist und
• $I_{k}$ das Ereignis ist das genau $k$ von $n$ Personen infiziert sind und $P(I_{k})$ die Wahrscheinlichkeit dafür.
  
  

Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass gilt

• $P(A_{1})=P(A_{2})=\ldots =P(A_{n})=P(A)$ und
• die Infektionen treten uanabhängig voneinander auf.
  
  

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann $P(I_{1})+\ldots +P(I_{n})=1-P(I_{0})$.

Des Weiteren gilt wegen der Unabhängigkeit: $P(I_{0})=P({\bar {A}}_{1}\cap \ldots \cap {\bar {A}}_{n})=P({\bar {A}}_{1})\cdot \ldots \cdot P({\bar {A}}_{n})$.

Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als $1-(1-P(A))^{n}$.

Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von tausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich

$1-(1-0,001)^{20000}=0,999999998\equiv 99,9999998\%$

also mit 99,9999998% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.

Diese Berechnung hat jedoch eine Haken: die Bestimmung von $P(A)$. Eine Schätzung wäre

${\frac {\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}}={\frac {400}{3.769.000}}\approx {\frac {1}{10.000}}=0,0001$

dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer berücksichtigt.