Stichprobentheorie/Aufgaben

Anteil der Studentinnen an allen Studierenden

Lösung

Der Anteil der Studentinnen an allen Studierenden einer Hochschule beträgt 40%. Das Studentenwerk zieht für eine Erhebung eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n = 30. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Stichprobe weniger als 30% oder mehr als 50% Studentinnen sind?

Ausschussanteil

Lösung

In einem Produktionsprozeß wurde in der Vergangenheit ein Ausschussanteil von 2% beobachtet. Die Einhaltung dieser Qualitätsnorm soll durch laufende Stichproben vom Umfang
$n=50$ überwacht werden.

• Welche Verteilung wäre theoretisch exakt zu verwenden und welche Verteilung kann approximativ verwendet werden?
• Bestimmen Sie unter Verwendung der approximativen Verteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, 0, 1, 2, 3, 4 bzw. 5 defekte Stücke in der Stichprobe zu finden.
• Bestimmen Sie eine natürliche Zahl $k$, die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% die obere Grenze für die Anzahl defekter Stücke in der Stichprobe bildet.

Betriebsunfälle

Lösung

Statistiken haben ergeben, dass es bei jedem fünften Betriebsunfall schwerverletzte Personen gibt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 60 Unfällen der Anteil der Unfälle mit Schwerverletzten

• unter 0,3 liegt,
• über 0,2 liegt,
• zwischen 0,15 und 0,25 liegt?

Drei Personen

Lösung

Aus einer Grundgesamtheit von $N=3$ Personen mit den Lebensaltern 20, 22 und 24 werden Zufallsstichproben vom Umfang $n=2$ mit Zurücklegen gezogen.

• Berechnen Sie den Mittelwert $\mu$ und die Varianz $\sigma ^{2}$ dieser Grundgesamtheit!
• Wieviele 2–Tupel enthält der Stichprobenraum?
• Listen Sie alle 2–Tupel, die als Stichprobenergebnisse möglich sind, auf!
• Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen folgender Stichprobenfunktionen:
  • $Y=\sum \limits _{i=1}^{2}X_{i}$
    

Berechnen Sie $E(Y)$ und $Var(Y)$.

• • ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{2}X_{i}$
    

Berechnen Sie $E({\overline {X}})$ und $Var({\overline {X}})$.

• • ${S'}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{2}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$
    

Berechnen Sie $E({S'}^{2})$.

• • $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{2}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$
    

Berechnen Sie $E(S^{2})$.

• Überprüfen Sie anhand der unter d) errechneten Ergebnisse folgende Behauptungen:
  • $E(Y)=n\cdot \mu$ und $Var(Y)=n\cdot \sigma ^{2}$
  • $E({\overline {X}})=\mu$ und $Var({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n$
  • $E({S'}^{2})=\sigma ^{2}\cdot (n-1)/n$
  • $E(S^{2})=\sigma ^{2}$

Erwartungswert und Varianz

Lösung

Geben Sie bei nachfolgenden Verteilungen von $X_{i}$ an, welche Verteilung, welchen Erwartungswert und welche Varianz die Stichprobenfunktion $\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ hat, wobei $n$ der Stichprobenumfang ist. Gehen Sie davon aus, dass die $X_{i}$ unabhängig sind.

a) $X_{i}\sim B(1;p)$
b) $X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$
c) $X_{i}\sim$ Einpunktverteilt($\mu$)

Lift

Lösung

In einem Bürohaus gibt es einen Lift mit der Aufschrift: Zugelassen für max. 36 Personen und max. 2800 kg. Alle Personen, die diesen Lift benutzen, haben ein mittleres Gewicht von 72 kg bei einer Standardabweichung von 24 kg. Es steigen 36 Personen in den Lift. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Lift überlastet ist?

Normal–Verteilung Approximation

Lösung

Sie haben eine Zufallsvariable Y, die sich als Summe von Zufallsvariablen
$X_{i}$ ($i=1,...,n$) darstellen lässt. Über die Verteilung der $X_{i}$ sei nichts bekannt.

• Welche Bedingungen an die einzelnen $X_{i}$ und $n$ müssen gelten, damit Sie $Y$ als approximativ normalverteilt ansehen können?
• Um welchen fundamentalen Satz der Statistik handelt es sich dabei?
• Wenn die unter a) genannten Bedingungen erfüllt sind, wie ist dann $Y$ (approximativ) verteilt?

Spielautomat

Lösung

Bei einem Spielautomaten ist der Gewinn pro Spiel normalverteilt mit
$\mu$ = 0 und $\sigma$ = 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtgewinn eines Abends mit 16 Spielen höher als 16 EUR ist?

Tabletten gegen Kopfschmerzen

Lösung

In Tabletten gegen Kopfschmerzen ist die Menge des enthaltenen Wirkstoffs normalverteilt. Da bei zu geringer Wirkstoffmenge die Tabletten nicht helfen, bei zu hoher Menge aber Nebenwirkungen auftreten, muß die Produktion laufend überwacht werden. Mit Hilfe von einfachen Zufallsstichproben wird geschätzt, wie hoch die durchschnittliche Wirkstoffmenge $\mu$ (in mg) ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Funktion ${\overline {X}}$ Werte annimmt, die mehr als 0,5mg über dem wahren $\mu$ liegen

• bei $\sigma$=1mg und $n=16$,
• bei $\sigma$=1mg und $n=64$,
• bei $\sigma$=2mg und $n=64$?

Tabletten gegen Kopfschmerzen, weiter

Lösung

Ausgehend von der Aufgabenstellung in der Aufgabe davor wird mit Hilfe von Zufallsstichproben geschätzt, wie groß die Varianz $\sigma ^{2}$ der Wirkstoffmenge ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianzfunktion mehr als doppelt so groß ist wie die wahre Varianz

• wenn $\mu$ bekannt ist und $n=7$,
• wenn $\mu$ bekannt ist und $n=16$,
• wenn $\mu$ unbekannt ist und $n=16$?

Tennislehrer

Lösung

Ein Tennislehrer gibt in einem Monat (30 Tage) täglich acht Trainingsstunden. Er hat im Laufe seiner Trainerzeit festgestellt, dass ein Schüler pro Trainingsstunde mit einer Wahrscheinlichkeit von je 0,1 zwei bzw. sieben Bälle und mit je 30% Wahrscheinlichkeit einen bzw. sechs Bälle auf Nimmerwiedersehen über den den Platz begrenzenden Zaun schlägt. Drei, vier, weniger als einen und mehr als sieben Bälle hat jedoch noch keiner seiner Schüler über den Zaun befördert.

• Wie groß ist die approximative Wahrscheinlichkeit, dass in einem Monat zwischen 900 und 1000 Bälle über den Zaun geschlagen werden?
• Wie groß ist die approximative Wahrscheinlichkeit, dass in einem Monat mehr als 1050 Bälle über den Zaun befördert werden?
• Geben Sie zum Erwartungswert symmetrische Grenzen an, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Ballschwund pro Monat innerhalb der Grenzen liegt, 99% beträgt.
• Überprüfen Sie, ob die Voraussetzungen des dabei angewandten Satzes der Statistik in dieser Aufgabe gegeben sind.

Tippfehler

Lösung

Der Schriftsteller J. Kimmel hat gerade das Manuskript zu seinem neuesten Buchknüller “Zusammen sind wir nicht allein” auf seiner Schreibmaschine vollendet. Aus Erfahrung weiß er, dass auf jeder Seite mit Sicherheit mindestens ein Tippfehler steckt, ihm mehr als drei Tippfehler pro Seite jedoch noch nie unterlaufen sind und die Wahrscheinlichkeit für zwei bzw. drei Tippfehler pro Seite mit 20% bzw. 10% anzusetzen sind.

Da sich die Tippfehler völlig unsystematisch und voneinander unabhängig über das ganze Manuskript verteilen, wird der Korrektor, der das Manuskript vor Drucklegung lesen muss, seine liebe Not haben, sich durch den 1100 Seiten starken Wälzer durchzukämpfen.

$Y$ sei die Zufallsgröß e: “Anzahl der Tippfehler im ganzen Manuskript”.

• Nennen Sie Verteilungstyp (approximativ) und Verteilungsparameter $E(Y)$ und $Var(Y)$ der Zufallsvariablen $Y$.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  • mindestens 1600 Tippfehler im Manuskript stecken?
  • zwischen 1500 und 1650 Tippfehler im Manuskript sind?
  • genau 1540 Tippfehler unterlaufen sind?
  • höchsten 1540 Tippfehler unterlaufen sind?

Urne

Lösung

Aus einer Urne mit $N$ Kugeln, unter denen ein Anteil $\pi$ roter Kugeln ist, werden Stichproben vom Umfang $n$ ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Stichprobenanteilswert roter Kugeln zwischen $p_{1}$ und $p_{2}$ liegt, wenn gilt

• $N=5$; $n=3$; $\pi =0,4$; $p_{1}=1/3$; $p_{2}=2/3$;
• $N=1000$; $n=4$; $\pi =0,2$; $p_{1}=0,25$; $p_{2}=0,75$;
• $N=250$; $n=100$; $\pi =0,2$; $p_{1}=0,1$; $p_{2}=0,3$;
• $N=2500$; $n=100$; $\pi =0,2$; $p_{1}=0,14$; $p_{2}=0,3$.