Bivariate Statistik/Lösungen

Verspätungen

$r_{S}$ = - 0,8

Sportveranstaltungen

• $\chi ^{2}$ = 14,4797; $C$ = 0,2146; $C_{korr}$ = 0,3035
• $\chi ^{2}$ = 0
• $\chi ^{2}$ = 0
• Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.

Old Faithful

Variable $X$: Dauer einer Eruption (in Minuten)
Variable $Y$: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus
$\rightarrow$ Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.

${\begin{aligned}\sum _{i}x_{i}&=&26,9\quad \sum _{i}x_{i}^{2}=100,53\\\quad \sum _{i}y_{i}&=&587\quad \sum _{i}y_{i}^{2}=45131\\\quad \sum _{i}&x_{i}y_{i}&=2114,6\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}r_{yx}&=&{\frac {\displaystyle n\sum _{i}^{n}x_{i}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{i}^{n}y_{i}}{\displaystyle {\sqrt {\left(n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(n\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}-\sum _{i=1}^{n}y_{i}\sum _{i=1}^{n}y_{i}\right)}}}}\\&=&0,97727\end{aligned}}$

Alter und Preis eines PKWs

Gegeben: $s_{xy}=-5,4\qquad s_{y}^{2}=4\qquad R_{yx}^{2}=0,81$
Es ist $r_{yx}=s_{yx}/s_{x}s_{y}$. Daraus folgt: $s_{x}=s_{yx}/(r_{yx}s_{y})$
Ferner ist: $r_{yx}=-0,9$ ($r_{yx}$ und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); $s_{y}=2$
$s_{x}=s_{yx}/r_{yx}s_{y}=-5,4/(-0,9\cdot 2)=3$

Koeffizienten Vergleich

1. H) Median
2. F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz $\chi ^{2}$
3. D) Interquartilsabstand
4. B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz

GM

X – Wert der Aktie
$K_{i}$ – Kurs der Aktie$E_{j}$ – Wechselkurs
Dann ist${\bar {X}}=\sum _{j=1}^{5}\sum _{i=1}^{5}E_{j}K_{i}f_{ji}$zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung
$Cov(E,K)=\sum _{j=1}^{5}\sum _{i=1}^{5}e_{j}K_{i}f_{ji}-{\overline {E}}\cdot {\overline {K}},$dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von $E$ und $K$ entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:
Randverteilung von $E$: $0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2$
Randverteilung von $K$: $0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35$
${\overline {e}}=1,97$ EUR/$ ${\overline {k}}=118,0175$ $
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu ${\bar {x}}=232,5$ EUR.

Teesorten

$r_{S}$ = 0,5714

Buttersorten

Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient:
$r_{S}=1-(6\cdot \sum d_{i}^{2})/[n\cdot (n^{2}-1)]$
$r_{S}=1-(6\cdot 8)/(7\cdot 48)=1-48/336=1-0,1429=08571\approx 0,857$

Tarifvereinbarungen

lineare Transformation: $y=a+bx$
${\overline {y}}=1,029{\overline {x}}+50=1,029\cdot 1642,86+50=1740,50294$

Cafeteria

	Frauen	Männer
Mensa	$h_{11}$	$h_{12}$	$h_{1\bullet }$
Cafeteria	$h_{21}$	$h_{22}$	$h_{2\bullet }$
	$h_{\bullet 1}$	$h_{\bullet 2}$	$n$

$n=200,\quad h_{\bullet 1}=0,375\cdot 200=75,\quad h_{21}=45\quad \Rightarrow h_{11}=30$

Unabhängigkeit:
$\displaystyle {\frac {1}{n}}h_{\bullet 1}\cdot h_{1\bullet }=h_{11}$$\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet }=30\cdot 200/75=80$

Relationen der Merkmalsausprägungen

Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale $X$ und $Y$ ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß

i	1	2	3	4	5
$x_{i}$	1	3	5	2	4
$y_{i}$	3	1	4	2	5
$d_{i}$	2	2	1	0	1

$r_{s}=1-{\frac {\displaystyle 6\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{\displaystyle n(n^{2}-1)}}=1-{\frac {\displaystyle 6\cdot 10}{\displaystyle 5\cdot (25-1)}}=0,5$

Stellung im Beruf

•  
  

  Geschlecht		RV
  	Beamte(r)	Angestellte(r)	Arbeiter(in)	Geschlecht
  weiblich	15	20	5	40
  männlich	10	30	20	60
  RV Beruf	25	50	25	n=100

• Bedingte Verteilung $f(y_{j}|x_{1})$
  

  	Beamte	Angestellte	Arbeiter
  w	0,375	0,5	0,125

• Bedingte Verteilung $f(x_{i}|y_{2})$
  

  	Angestellte
  w	0,4
  m	0,6

• Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)

  	Beamte(r)	Angestellte(r)	Arbeiter(in)	RV Geschlecht
  weiblich	0.15	0.2	0.05	0.4
  männlich	0.1	0.3	0.2	0.6
  RV Stellung	0.25	0.5	0.25	1

• Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird

  	Beamte(r)	Angestellte(r)	Arbeiter(in)	RV Geschlecht
  weiblich	0.1	0.2	0.1	0.4
  männlich	0.15	0.3	0.15	0.6
  RV Stellung	0.25	0.5	0.25	1

• Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. $f_{11}\neq f_{1.}\cdot f_{.1}$ ist.

Tekolom und IBBM - Teil II

Tekolom–Aktie $var(X)=16$, IBBM–Aktie $var(Y)=1$, Portfolio $Z=100X+200Y$
${\begin{aligned}corr(X,Y)&=&{\frac {cov(X,Y)}{\sigma _{X}\cdot \sigma _{Y}}}\rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot 4\cdot 1=0,8\\var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot 100\cdot 200cov(X,Y)\\&=&10000\cdot 16+40000\cdot 1+40000\cdot 0,8=232000\\\end{aligned}}$

Mensaessen

Es sei $R_{E}$ die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und $R_{1}$ die von Essen 1.
Fall A: $R_{E}=1$, $R_{1}=4$
$r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}=1-{\frac {6\cdot (0+1+9+9+9+4)}{6\cdot 35}}=1-{\frac {32}{35}}=0,085714>0$
Fall B: $R_{E}=4$, $R_{1}=1$
$r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}=1-{\frac {6\cdot (9+16+9+9+9+4)}{6\cdot 35}}=1-{\frac {56}{35}}=-0,6<0$

Außentemperatur und Dauer eines Weges

${r_{xy}}={\frac {5\cdot (-1000)}{\displaystyle {\sqrt {(5*1000)(5*7225-175^{2})}}}}={\frac {-5000}{5224}}=-0,953$

Körpergröße

• $X$: “Körpergröße in cm”; ${\overline {x}}$ = 128 cm; $s_{x}^{2}$ = 26 cm$^{2}$; $s_{x}$ = 5,1 cm;
  

$v_{x}$ = 0,0398
$Y$:“Körpergröße in Zoll”; ${\overline {y}}$ = 51,2 Zoll; $s_{y}^{2}$ = 4,16 Zoll$^{2}$; $s_{y}$ = 2,04 Zoll; $v_{y}$ = 0,0398

• $x_{i}=a+by_{i}$ mit $a=0$ und $b=2,5$; ${\overline {x}}=a+b{\overline {y}}$
  

$s_{x}=|b|s_{y}$; $v_{x}=s_{x}/{\overline {x}}=(|b|s_{y})/b{\overline {y}}=s_{y}/{\overline {y}}=v_{y}$