Stichprobentheorie/Lösungen

Anteil der Studentinnen an allen Studierenden

Aus dem Aufgabentext: $\pi =0,4$ und $n=30$

$Y$: “Anzahl der Studentinnen bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n=30$”

$Y\sim B(n;\pi )=B(30;0,4)$

${\begin{aligned}P(Y<0,3\cdot 30)+P(Y>0,5\cdot 30)&=&P(Y<9)+P(Y>15)\\&=&P(Y\leq 8)+[1-P(Y\leq 15)]\\&=&0,0940+(1-0,9029)\\&=&0,1911\\\end{aligned}}$

$Y$: “Anzahl der Studentinnen bei einer Zufallsstichprobe $n=30$”

$Y\sim B(30;0,4)$; $P[(Y<9)\cup (Y>15)]=0,1911$

Ausschussanteil

• Menge der produzierten Teil $\approx$ unendlich groß e Grundgesamtheit; Binomialverteilung; $n=50$, $\pi =0,02$ $\Rightarrow$ Approximation mittels Poisson-Verteilung

• $X$: “Anzahl defekter Stücke in Zufallsstichprobe $n=50$”

  $x$	0	1	2	3	4	5
  $P(X=x)$	0,3679	0,3679	0,1839	0,0613	0,0153	0,0031

• $P(X\leq k)=0,95$, $k$ ganzzahlig $\Rightarrow k=3$

Betriebsunfälle

$X$: “Anzahl der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”; $X\sim B(60;0,2)$

$np=12>5$; $n(1-\pi )=48>5$ $\Rightarrow$ Approximation durch Normalverteilung

${\hat {\Pi }}$: “Anteil der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”; $X\approx N(0,2;0,0516)$

• $P({\widehat {\pi }}<0,3)=0,97381$
• $P({\widehat {\pi }}>0,2)=0,5$
• $P(0,15\leq {\widehat {\pi }}<0,25)=0,667954$

Drei Personen

• Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit: ${\begin{aligned}\mu &=&{\frac {20+22+24}{3}}=22\\\sigma ^{2}&=&{\frac {(20-22)^{2}+(22-22)^{2}+(24-22)^{2}}{3}}={\frac {4+0+4}{3}}={\frac {8}{3}}\end{aligned}}$

• Anordnung spielt eine Rolle $\Rightarrow$ Variation, Wiederholung möglich $V^{W}(3;2)=3^{2}=9$

• Nr.		1	2	3	4	5	6	7	8	9
  $x_{1}$		20	20	20	22	22	22	24	24	24
  $x_{2}$		20	22	24	20	22	24	20	22	24
  	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{9}}$
  $y$	$20+20=$	40	42	44	42	44	46	44	46	48
  ${\bar {x}}$	${\frac {20+20}{2}}=$	20	21	22	21	22	23	22	23	24
  $s^{2\prime }$	${\frac {(20-20)^{2}+(20-20)^{2}}{1}}=$	0	2	8	2	0	2	8	2	0
  $s^{2}$	${\frac {(20-20)^{2}+(20-20)^{2}}{2}}=$	0	1	4	1	0	1	4	1	0

  • $y$	40	42	44	46	48
    $P(Y=y)$	1/9	2/9	3/9	2/9	1/9

    ${\begin{aligned}E(Y)&={\frac {40}{9}}+{\frac {42\cdot 2}{9}}+{\frac {44\cdot 3}{9}}+{\frac {46\cdot 2}{9}}+{\frac {48\cdot 1}{9}}=44\\Var(Y)&={\frac {(40-44)^{2}}{9}}+{\frac {(42-44)^{2}\cdot 2}{9}}+{\frac {(44-44)^{2}\cdot 3}{9}}\\&+{\frac {(46-44)^{2}\cdot 2}{9}}+{\frac {(48-44)^{2}}{9}}\\&={\frac {16}{9}}+{\frac {8}{9}}+{\frac {0}{9}}+{\frac {8}{9}}+{\frac {16}{9}}={\frac {48}{9}}={\frac {16}{3}}\end{aligned}}$

  • ${\overline {x}}$	20	21	22	23	24
    $P({\bar {X}}={\bar {x}})$	1/9	2/9	3/9	2/9	1/9

    ${\begin{aligned}E({\bar {X}})&={\frac {20}{9}}+{\frac {21\cdot 2}{9}}+{\frac {22\cdot 3}{9}}+{\frac {23\cdot 2}{9}}+{\frac {24\cdot 1}{9}}=22\\E({\bar {X}})&=E\left({\frac {Y}{2}}\right)={\frac {1}{2}}E(Y)=22{\text{ (alternativ)}}\\Var({\bar {X}})&={\frac {(20-22)^{2}}{9}}+{\frac {(21-22)^{2}\cdot 2}{9}}+{\frac {(22-22)^{2}\cdot 3}{9}}\\&+{\frac {(23-22)^{2}\cdot 2}{9}}+{\frac {(24-22)^{2}}{9}}\\&={\frac {4}{9}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {0}{9}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{9}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}\\Var({\bar {X}})&=Var\left({\frac {Y}{2}}\right)={\frac {1}{4}}Var(Y)={\frac {4}{3}}{\text{ (alternativ)}}\end{aligned}}$

  • $s^{\prime 2}$	0	2	8
    $P(S^{\prime 2}=s^{\prime 2})$	3/9	4/9	2/9

    ${\begin{aligned}E(S^{2})&=&{\frac {0\cdot 3}{9}}+{\frac {2\cdot 4}{9}}+{\frac {8\cdot 2}{9}}={\frac {24}{9}}={\frac {8}{3}}\\\end{aligned}}$

  • $s^{2}$	0	1	4
    $P(S^{\prime 2}=s^{2})$	3/9	4/9	2/9

    ${\begin{aligned}E(S^{2})&=&{\frac {0\cdot 3}{9}}+{\frac {1\cdot 4}{9}}+{\frac {4\cdot 2}{9}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}\\E(S^{\prime 2})&=&E(S^{\prime 2}/2)={\tfrac {1}{2}}E(S^{\prime 2})={\frac {8}{2\cdot 3}}={\frac {4}{3}}{\text{ (alternativ)}}\end{aligned}}$

• • ${\begin{aligned}44=E(Y)&=&n\cdot \mu =2\cdot 22=44\\{\frac {16}{3}}=Var(Y)&=&n\cdot \sigma ^{2}=2\cdot {\frac {8}{3}}={\frac {16}{3}}\\\end{aligned}}$

  • ${\begin{aligned}22=E({\overline {X}})&=&\mu =22\\{\frac {4}{3}}=Var({\overline {X}})&=&\sigma ^{2}/n={\frac {8}{3\cdot 2}}={\frac {4}{3}}\\\end{aligned}}$

  • ${\begin{aligned}{\frac {4}{3}}=E({S'}^{2})&=&\sigma ^{2}\cdot (n-1)/n={\frac {8}{3}}{\frac {1}{2}}={\frac {4}{3}}\\\end{aligned}}$

  • ${\begin{aligned}{\frac {8}{3}}=E(S^{2})&=&\sigma ^{2}={\frac {8}{3}}\end{aligned}}$

• $\mu =22;\sigma ^{2}=8/3$

• $V^{W}(3,2)=9$

• Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
  $x_{1}$	20	20	20	22	22	22	24	24	24
  $x_{2}$	20	22	24	20	22	24	20	22	24

• • $y$	40	42	44	46	48
    $f(y)$	1/9	2/9	3/9	2/9	1/9

    
    $E(Y)=44$, $Var(Y)=16/3$

  • ${\overline {x}}$	20	21	22	23	24
    $f({\overline {x}})$	1/9	2/9	3/9	2/9	1/9

    
    $E({\overline {x}})=22$, $Var({\overline {x}})=4/3$

  • $s'^{2}$	0	1	4
    $f(s'^{2})$	3/9	4/9	2/9

    
    $E(S'^{2})=4/3$

  • $s^{2}$	0	2	8
    $f(s^{2})$	3/9	4/9	2/9

    
    $E(S^{2})=8/3$

• Die unter d) errechneten Ergebnisse stimmen mit den Behauptungen überein.

Erwartungswert und Varianz

• $\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim B(n;p)$; $E(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=np$; $Var(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=np(1-p)$
• $\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim N(n\mu ;{\sqrt {n\sigma ^{2}}})$; $E(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=n\mu$; $Var(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=n\sigma ^{2}$
• $\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim$ Einpunkt$(n\mu )$; $E(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=n\mu ;$ $Var(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=0$

Lift

$X_{i}$: “Gewicht von Person $i$”

$E(X_{i})=72$; $Var(X_{i})=24^{2}$

$\sum _{i=1}^{36}X_{i}$: “Gesamtgewicht der 36 Personen”

$\sum _{i=1}^{36}X_{i}$ ist approximativ [Z.G.S., $n>30$] $N(n\mu ;{\sqrt {n\sigma ^{2}}})$

$P(\sum _{i=1}^{36}>2800)=0,074934$

Normal–Verteilung Approximation

• ** $n>30$
  • $E(X_{i})\neq \pm \infty$
  • $0<Var(X_{i})<\infty$
  • $X_{i}$ identisch verteilt
  • $X_{i}$ unabhängig
• Zentraler Grenzwertsatz
• ${\begin{aligned}Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}&\approx &N(\bullet ;\bullet ){\mbox{ (ZGWS)}}\\E(Y)&=&E\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}E(X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\mu =n\cdot \mu \\Var(Y)&=&Var\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}=n\cdot \sigma ^{2}\\\end{aligned}}$

• $X_{i}$ unabhängig und identisch verteilt, $n\to \infty$ ($n>30$), $E(X_{i})$ und $Var(X_{i})>$ 0 existieren
• Zentraler Grenzwertsatz
• $Y$ ist approximativ $N(n\cdot \mu ;{\sqrt {n\cdot \sigma ^{2}}})$

Spielautomat

$X_{i}$: “Gewinn beim Spiel $i$”; $X_{i}\sim N(0;1)$

$\sum _{i=1}^{16}X_{i}\sim N(0;4)$

$P(\sum _{i=1}^{n}X_{i}>16)=0,000032$

Tabletten gegen Kopfschmerzen

$X_{i}$: “Wirkstoffmenge in einer Tablette”; $X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$

${\overline {X}}$: “Durchschnittliche Wirkstoffmenge in einer Tablette”; ${\overline {X}}\sim N(\mu ;\sigma /{\sqrt {n}})$

$P({\overline {X}}>\mu +{\frac {1}{2}})=P\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}>{\frac {\sqrt {n}}{2\sigma }}\right)=1-\Phi \left({\frac {\sqrt {n}}{2\sigma }}\right)$

• $P(Z>2)=0,02275$
• $P(Z>4)=0,000032$
• $P(Z>2)=0,02275$

Tabletten gegen Kopfschmerzen, weiter

• $P(S^{*2}>2\sigma ^{2})=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>2n)=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>14)\approx 0,05$
  

(weil $nS^{*2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{n}^{2}$)

• $P(S^{*2}>2\sigma ^{2})=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>2n)=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>32)\approx 0,01$
  

(weil $nS^{*2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{n}^{2}$)

• $P(S^{2}>2\sigma ^{2})=P[(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}>2(n-1)]=P[(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}>30)\approx 0,01$
  

(weil $nS^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}$)

Tennislehrer

$X_{i}$: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	$\sum$
$P(X_{i}=x)$	0	0,3	0,1	0	0	0,2 & 0,3 & 0,1 & 1

${\begin{aligned}E(X_{i})&=&1\cdot 0,3+2\cdot 0,1+5\cdot 0,2+6\cdot 0,3+7\cdot 0,1=4\\Var(X_{i})&=&(1-4)^{2}\cdot 0,3+(2-4)^{2}\cdot 0,1+(5-4)^{2}\cdot 0,2\\&+&(6-4)^{2}\cdot 0,3+(7-4)^{2}\cdot 0,1=5,4\end{aligned}}$

$Y$: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”
1 Monat = 30 Tage mit 8 Trainungsstunden

${\begin{aligned}Y&=&\sum _{i=1}^{8\cdot 30}X_{i}\\Y&\approx &N(\bullet ;\bullet )\quad {\text{ wegen ZGS}}\\E(Y)&=&E\left(\sum _{i=1}^{240}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{240}E(X_{i})=240\cdot 4=960\\Var(Y)&=&Var\left(\sum _{i=1}^{240}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{240}Var(X_{i})=240\cdot 5,4=1296=36^{2}\end{aligned}}$

Die Kovarianzterme $Cov(X_{i},X_{j})$ fallen weg, da $X_{i}$ und $X_{j}$ unabhängig sind.

• Standardisierung: $\displaystyle Z={\frac {Y-E(Y)}{\sqrt {Var(Y)}}}\approx N(0;1)\Rightarrow Z={\frac {Y-960}{36}}$ ${\begin{aligned}P(900\leq Y\leq 1000)&=&P\left({\frac {900-960}{36}}\leq {\frac {Y-960}{36}}\leq {\frac {1000-960}{36}}\right)\\&=&P(-1,67\leq Z\leq 1,11)\\&=&\Phi (1,11)-\Phi (-1,67)\\&&{\text{Eigenschaft der Standardnormalverteilung: }}\Phi (-z)=1-\Phi (z)\\&=&\Phi (1,11)-(1-\Phi (1,67))\\&=&0,81904\end{aligned}}$

• ${\begin{aligned}P(Y>1050)&=&P\left({\frac {Y-960}{36}}>{\frac {1050-960}{36}}\right)\\&=&P(Z>2,5)=1-\Phi (2,5)=0,00621\end{aligned}}$

• ${\begin{aligned}0,99&=&P(y_{u}\leq Y\leq y_{o})\\&=&P\left({\frac {y_{u}-960}{36}}\leq Z\leq {\frac {y_{o}-960}{36}}\right)\\&=&\Phi \left({\frac {y_{o}-960}{36}}\right)-\Phi \left({\frac {y_{u}-960}{36}}\right)\end{aligned}}$

  ${\begin{aligned}\Phi \left({\frac {y_{o}-960}{36}}\right)=0,995&\Rightarrow &\Phi \left({\frac {y_{o}-960}{36}}\right)=2,5\\y_{u}&=&960-2,58\cdot 36=867,12\\y_{o}&=&960+2,58\cdot 36=1052,88\end{aligned}}$

• • $n=240>30$

  • $E(X_{i})=4\neq \pm \infty$

  • $0<Var(X_{i})=5,4<\infty$

  • $X_{i}$ identisch verteilt, da nur ein Verteilungsmodell für alle Schüler angesetzt

  • $X_{i}$ unabhängig, da alles unterschiedliche Schüler

  Hinweis: Es handelt sich nur um ein wegen der letzen beiden Bedingungen

$X_{i}$: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”; $E(X_{i})=4$; $Var(X_{i})=5,4$

$Y$: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”; $Y=\Sigma _{i}X_{i}$

$Y$ ist approximativ [Z.G.S.; $n>30$] $N(960;36)$

• $P(900\leq Y\leq 1000)=0,81904$
• $P(Y>1050)=0,00621$
• $P(?\leq Y\leq ?)=0,99$; $y_{u}=867,12$, $y_{o}=1052,88$
• Z.G.S, $X_{i}$ sind iid; $n>30$

Tippfehler

$Y$: “Anzahl der Tippfehler im Manuskript”; $n=1100$

• $Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ ist approximativ (ZGWS.; $n>30$) $N(n\mu ;{\sqrt {n\sigma ^{2}}})$,
  $E(Y)=n\mu =1540$; $Var(Y)=n\sigma ^{2}=484$

• (i) $P(Y\geq 1600)=0,0032$,
  (ii) $P(1500\leq Y\leq 1650)=0,9656$,
  (iii)

  • ohne Stetigkeitskorrektur: $P(Y=1540)=0$,

  • mit Stetigkeitskorrektur (nicht zulässig, da $\sigma ^{2}>9$):
    $P(1539,5\leq Y\leq 1540,5)\approx \Phi (0,02)-\Phi (-0,02)=0,015956$
    bzw. mit $\Phi (0,02272727)-\Phi (-0,02272727)=0,01813218$

  (iv) $P(Y\leq 1540)=0,5$

Urne

${\widehat {\pi }}$: “Anteil roter Kugeln in der Stichprobe”; ${\widehat {\pi }}=X/n$; $X$: “Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe”; $X\sim H(N;M;n)$

• $X\sim H(5;2;3)$; $P(p_{1}\leq {\widehat {\pi }}\leq p_{2})=P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=P(1\leq X\leq 2)=0,9$
• $n/N<0,05$ $\Rightarrow$ Approximation durch $B(4;0,2)$; $P(1\leq X\leq 3)=0,5888$
• $n\pi (1-\pi )=16>9$; $0,1<M/N<0,9$; $n>30$ $\Rightarrow$ Approximation durch N($0,2;0,031)$; bei Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur: $P(0,095\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,305)=0,999276$
• Approximation durch $N(0,2;0,04)$, wegen $n/N<0,05$ kann Korrekturfaktor vernachlässigt werden; $P(0,14\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,3)=0,926983$