Anteil der Studentinnen an allen Studierenden
Aus dem Aufgabentext:
und
: “Anzahl der Studentinnen bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
”
: “Anzahl der Studentinnen bei einer Zufallsstichprobe
”
;
Ausschussanteil
Menge der produzierten Teil
unendlich groß e Grundgesamtheit; Binomialverteilung;
,
Approximation mittels Poisson-Verteilung
: “Anzahl defekter Stücke in Zufallsstichprobe
”
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
0,3679
|
0,3679
|
0,1839
|
0,0613
|
0,0153
|
0,0031
|
,
ganzzahlig ![{\displaystyle \Rightarrow k=3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a76d28979f37d618282443bfd759d45b&mode=mathml)
Betriebsunfälle
: “Anzahl der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”;
;
Approximation durch Normalverteilung
: “Anteil der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”;
![{\displaystyle P({\widehat {\pi }}<0,3)=0,97381}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=387b4ba852e3d9d8d133c027112e724a&mode=mathml)
![{\displaystyle P({\widehat {\pi }}>0,2)=0,5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=24d2eede14fd16fea7b78ecefee3e29e&mode=mathml)
![{\displaystyle P(0,15\leq {\widehat {\pi }}<0,25)=0,667954}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5180a8a5d1b9a00b569ae98811b2a412&mode=mathml)
Drei Personen
![{\displaystyle \mu =22;\sigma ^{2}=8/3}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7674795bf51f1679b7b873709f4c4049&mode=mathml)
![{\displaystyle V^{W}(3,2)=9}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=805b3dcb8107470f49973f04fa3708e7&mode=mathml)
-
Nr.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
20
|
20
|
20
|
22
|
22
|
22
|
24
|
24
|
24
|
|
20
|
22
|
24
|
20
|
22
|
24
|
20
|
22
|
24
|
-
Die unter d) errechneten Ergebnisse stimmen mit den Behauptungen überein.
Erwartungswert und Varianz
;
; ![{\displaystyle Var(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=np(1-p)}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=70f6a518b66fb1cf2547801976b68e51&mode=mathml)
;
; ![{\displaystyle Var(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=n\sigma ^{2}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a89bf0db4a1a2c9d902f48824f78ab9a&mode=mathml)
Einpunkt
;
![{\displaystyle Var(\sum _{i=1}^{n}X_{i})=0}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44b38a544e74fbe3691d85f84e6e6724&mode=mathml)
Lift
: “Gewicht von Person
”
;
: “Gesamtgewicht der 36 Personen”
ist approximativ [Z.G.S.,
]
Normal–Verteilung Approximation
- **
![{\displaystyle E(X_{i})\neq \pm \infty }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=83e756de58d40747e07ed8934192acad&mode=mathml)
![{\displaystyle 0<Var(X_{i})<\infty }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3b33e7db3895735d0af921c69e3380e1&mode=mathml)
identisch verteilt
unabhängig
- Zentraler Grenzwertsatz
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}&\approx &N(\bullet ;\bullet ){\mbox{ (ZGWS)}}\\E(Y)&=&E\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}E(X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\mu =n\cdot \mu \\Var(Y)&=&Var\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})=\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}=n\cdot \sigma ^{2}\\\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=81714be2d4784ea844c14f4d71cf6f4a&mode=mathml)
unabhängig und identisch verteilt,
(
),
und
0 existieren
- Zentraler Grenzwertsatz
ist approximativ ![{\displaystyle N(n\cdot \mu ;{\sqrt {n\cdot \sigma ^{2}}})}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5e89b1a88f0ee58dc9fef915b08c7a21&mode=mathml)
Spielautomat
: “Gewinn beim Spiel
”;
![{\displaystyle P(\sum _{i=1}^{n}X_{i}>16)=0,000032}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e471cd4dbcd6abf3fea99f144c11c5f9&mode=mathml)
Tabletten gegen Kopfschmerzen
: “Wirkstoffmenge in einer Tablette”;
: “Durchschnittliche Wirkstoffmenge in einer Tablette”;
![{\displaystyle P(Z>2)=0,02275}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1cecd3d8f018bb0bf08afbe34a9fdec9&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Z>4)=0,000032}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d7eba330274882c5df1e5adc2994aaf4&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Z>2)=0,02275}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=86e2f597659eae0256fa00efec2a2353&mode=mathml)
Tabletten gegen Kopfschmerzen, weiter
![{\displaystyle P(S^{*2}>2\sigma ^{2})=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>2n)=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>14)\approx 0,05}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d097c6d7f0269d913b56a008d7df7424&mode=mathml)
(weil
)
![{\displaystyle P(S^{*2}>2\sigma ^{2})=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>2n)=P(nS^{*2}/\sigma ^{2}>32)\approx 0,01}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1ab20a72ca424171267277f38c18f89e&mode=mathml)
(weil
)
![{\displaystyle P(S^{2}>2\sigma ^{2})=P[(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}>2(n-1)]=P[(n-1)S^{2}/\sigma ^{2}>30)\approx 0,01}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=34a552e09615c5eaace81663b4d4d75a&mode=mathml)
(weil
)
Tennislehrer
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”
1 Monat = 30 Tage mit 8 Trainungsstunden
Die Kovarianzterme
fallen weg, da
und
unabhängig sind.
Standardisierung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(900\leq Y\leq 1000)&=&P\left({\frac {900-960}{36}}\leq {\frac {Y-960}{36}}\leq {\frac {1000-960}{36}}\right)\\&=&P(-1,67\leq Z\leq 1,11)\\&=&\Phi (1,11)-\Phi (-1,67)\\&&{\text{Eigenschaft der Standardnormalverteilung: }}\Phi (-z)=1-\Phi (z)\\&=&\Phi (1,11)-(1-\Phi (1,67))\\&=&0,81904\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2e40a2e7f1540c7342ded78e4df4459e&mode=mathml)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(Y>1050)&=&P\left({\frac {Y-960}{36}}>{\frac {1050-960}{36}}\right)\\&=&P(Z>2,5)=1-\Phi (2,5)=0,00621\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=50eda2ac1a64981510734a45482e1062&mode=mathml)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0,99&=&P(y_{u}\leq Y\leq y_{o})\\&=&P\left({\frac {y_{u}-960}{36}}\leq Z\leq {\frac {y_{o}-960}{36}}\right)\\&=&\Phi \left({\frac {y_{o}-960}{36}}\right)-\Phi \left({\frac {y_{u}-960}{36}}\right)\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c62b69abb17d3bab106b762765d8a0ff&mode=mathml)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \left({\frac {y_{o}-960}{36}}\right)=0,995&\Rightarrow &\Phi \left({\frac {y_{o}-960}{36}}\right)=2,5\\y_{u}&=&960-2,58\cdot 36=867,12\\y_{o}&=&960+2,58\cdot 36=1052,88\end{aligned}}}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=daff3295b3f243293ad9efb5d5491f39&mode=mathml)
![{\displaystyle n=240>30}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=91069ec175222304d1d2576a9d192d0e&mode=mathml)
![{\displaystyle E(X_{i})=4\neq \pm \infty }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=11b9f9b72d472d60a0c81f464e1673c1&mode=mathml)
![{\displaystyle 0<Var(X_{i})=5,4<\infty }](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2e0e2f214787941fb24c7ccd834c703a&mode=mathml)
identisch verteilt, da nur ein Verteilungsmodell für alle Schüler angesetzt
unabhängig, da alles unterschiedliche Schüler
Hinweis: Es handelt sich nur um ein wegen der letzen beiden Bedingungen
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”;
;
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”;
ist approximativ [Z.G.S.;
]
![{\displaystyle P(900\leq Y\leq 1000)=0,81904}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=497eba37b519ffbb36fd9a8528fa4be3&mode=mathml)
![{\displaystyle P(Y>1050)=0,00621}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=01024ce82646fc019ee5fedcaedb8bdd&mode=mathml)
;
, ![{\displaystyle y_{o}=1052,88}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ab3b074fa99acc0e32036c4e3072aa6d&mode=mathml)
- Z.G.S,
sind iid; ![{\displaystyle n>30}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be6140a4b66e962f08de101ac052dc6a&mode=mathml)
Tippfehler
: “Anzahl der Tippfehler im Manuskript”;
ist approximativ (ZGWS.;
)
,
; ![{\displaystyle Var(Y)=n\sigma ^{2}=484}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bc0353792d75811db83c70fe1989e7f5&mode=mathml)
(i)
,
(ii)
,
(iii)
ohne Stetigkeitskorrektur:
,
mit Stetigkeitskorrektur (nicht zulässig, da
):
![{\displaystyle P(1539,5\leq Y\leq 1540,5)\approx \Phi (0,02)-\Phi (-0,02)=0,015956}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8e1ae2c28de2ea307059c5611c48f3cd&mode=mathml)
bzw. mit ![{\displaystyle \Phi (0,02272727)-\Phi (-0,02272727)=0,01813218}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=761f5e1bb710b6fd2229bb4f3f35cadb&mode=mathml)
(iv) ![{\displaystyle P(Y\leq 1540)=0,5}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1d4bafdbe9c5da458eb0fb6d295ca42f&mode=mathml)
Urne
: “Anteil roter Kugeln in der Stichprobe”;
;
: “Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe”;
; ![{\displaystyle P(p_{1}\leq {\widehat {\pi }}\leq p_{2})=P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=P(1\leq X\leq 2)=0,9}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7615e5400fed15a37514f7831e528ad1&mode=mathml)
Approximation durch
; ![{\displaystyle P(1\leq X\leq 3)=0,5888}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bbe8a258393dda0222494d44587a0a54&mode=mathml)
;
;
Approximation durch N(
; bei Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur: ![{\displaystyle P(0,095\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,305)=0,999276}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a39ced83c53f6328e987d7ac6dae98c0&mode=mathml)
- Approximation durch
, wegen
kann Korrekturfaktor vernachlässigt werden; ![{\displaystyle P(0,14\leq {\widehat {\pi }}\leq 0,3)=0,926983}](/mmstat/w/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ab410da2992e65f54a447443a73a406&mode=mathml)