Zeitreihen/Lösungen

Abschreibung

Zeitpunkt $t$ (Beginn des Jahres) $t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow$ Zeiträume: 7
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:$x_{5}=1{\mbox{ EUR}}\qquad x_{0}=50000{\mbox{ EUR}}$${\overline {i}}_{G}={\sqrt[{7}]{\frac {x_{n}}{x_{0}}}}={\sqrt[{7}]{\frac {1}{50000}}}={\sqrt[{7}]{0,00002}}=0,213166$mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132
zur Kontrolle:

		Abschreibung (EUR)
$t$		im Jahre $t-1$
0
1	$50000,00$	$\cdot 0,2132=$	$10660,00$	39340,00
2	$10660,00$	$\cdot 0,2132=$	$2272,71$	8387,29
3	$2272,71$	$\cdot 0,2132=$	$484,54$	1788,17
4	$484,54$	$\cdot 0,2132=$	$103,30$	381,24
5	$103,30$	$\cdot 0,2132=$	$22,02$	81,28
6	$22,02$	$\cdot 0,2132=$	$4,70$	17,32
7	$4,70$	$\cdot 0,2132=$	$1,00$	3,70

Anzahl der Beschäftigten

• nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; $t=0$ ${\widehat {=}}$ 1987; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1988
• Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.

Arbeitslosenquoten

Zeitpunkte $t=0,\ldots ,T=3$ $\sum _{t=0}^{3}t=6;\sum _{t=0}^{4}x_{t}=45,2;\sum _{t=0}^{4}tx_{t}=71,5;\sum _{t=0}^{4}t^{2}=14$ ${\begin{aligned}b&=&{\frac {(T+1)\sum tx_{t}-\sum x_{t}\sum t}{(T+1)\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}}\\&=&{\frac {4\cdot 71,5-45,2\cdot 6}{4\cdot 14-6^{2}}}={\frac {286-271,2}{56-36}}={\frac {14,8}{20}}=0,74\\a&=&{\frac {\sum x_{t}}{T+1}}-b{\frac {\sum t}{T+1}}={\frac {45,2}{4}}-0,74\cdot {\frac {6}{4}}=11,3-1,11=10,19\\{\hat {x}}_{4}&=&10,19+0,74\cdot 4=13,15\\\end{aligned}}$

Bauhauptgewerbe

Jahresumsätze:
$x_{1991}=x_{0}=260,\quad x_{1992}=x_{1}=410,\quad x_{1993}=x_{2}=580,\quad x_{1994}=x_{3}=700$
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:$i_{G}={\sqrt[{n}]{\frac {x_{n}}{x_{0}}}};\quad i_{G}={\sqrt[{3}]{\frac {700}{260}}}=1,391$

Benutzer des Dial-In-Service

$t=0,\ldots ,T=3$
$\sum _{t=0}^{3}t=6;\sum _{t=0}^{4}x_{t}=10097;\sum _{t=0}^{4}tx_{t}=17734;\sum _{t=0}^{4}t^{2}=14$
${\begin{aligned}b&=&{\frac {(T+1)\sum tx_{t}-\sum x_{t}\sum t}{(T+1)\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}}={\frac {4\cdot 17734-10097\cdot 6}{4\cdot 14-6^{2}}}=517,7\\a&=&{\frac {\sum x_{t}}{T+1}}-b{\frac {\sum t}{T+1}}=2524,25-517,7\cdot 1,5=1747,7\\{\hat {x}}_{5}&=&1747,7+517,7\cdot 5=4336,2\approx 4337\\\end{aligned}}$

Bruttosozialprodukt von Deutschland

• ${\widehat {x}}_{t}=1444,737+28,413t$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 1980; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1981
• ${\widehat {x}}_{89}$ = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands

Eheschließungen

$t=0,\ldots ,T=4$
$\sum _{t=0}^{4}t=10;\quad \sum _{t=0}^{4}x_{t}=40,7;\quad \sum _{t=0}^{4}tx_{t}=69,2;\quad \sum _{t=0}^{4}t^{2}=30$ ${\begin{aligned}b&=&{\frac {(T+1)\sum tx_{t}-\sum x_{t}\sum t}{(T+1)\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}}={\frac {5\cdot 69,2-40,7\cdot 10}{5\cdot 30-10^{2}}}=-1,22\\a&=&{\frac {\sum x_{t}}{T+1}}-b{\frac {\sum t}{T+1}}=8,14+1,22\cdot 2=10,58\\{\hat {x}}_{5}&=&10,58-1,22\cdot 5=4,48\\\end{aligned}}$

Eheschließungen und Ehescheidungen

• Eheschließungen:
  

${\widehat {x}}_{t}=367,25+1,25t$ mit $t=-1$ ${\widehat {=}}$ 1983; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1984
${\widehat {x}}_{t}=446,25-12,774t$ mit $t=-1$ ${\widehat {=}}$ 1965; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1970
Ehescheidungen:
${\widehat {x}}_{t}=119,5+2,012t$ mit $t=-1$ ${\widehat {=}}$ 1983; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1984
${\widehat {x}}_{t}=81,375+4,3t$ mit $t=-1$ ${\widehat {=}}$ 1965; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1970

• Eheschließungen: $s$ = 4,17, $v$ = 0,01135; $s$ = 26,89, $v$ = 0,06
  

Ehescheidungen: $s$ = 6, $v$ = 0,05; $s$ = 17,98, $v$ = 0,221

• Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284
  

Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075

Gecrashte Festplatte

Zu bestimmen ist ${\hat {y}}_{43}^{ZRM}$ anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:
$b=\displaystyle {\frac {T\sum tx_{t}-\sum x_{t}\sum t}{T\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}}$,$a=\displaystyle {\frac {\sum x_{t}}{T}}-b{\frac {\sum t}{T}}$

$R^{2}=1-\displaystyle {\frac {\sum _{i}(y_{i}-{\hat {y}}_{i}^{ZRM})^{2}}{\sum _{i}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}}}$

${\hat {y}}_{43}=a+b\cdot 43$, bzw. ${\hat {y}}_{43}^{ZRM}={\hat {y}}_{43}+{\overline {s}}_{3}$, bzw. ${\hat {y}}_{43}^{ZRM}={\hat {y}}_{43}\cdot {\overline {s}}_{3}$

$a$	$-2,738462$
$b$	0,530769
	keine	additiv	multiplikativ
$R^{2}$	0,80	0,81	0,48
${\hat {y}}_{43}^{ZRM}$

Haushalte eines Landes

$a=(213\cdot 55-15\cdot 678)/(5\cdot 55-15^{2})=1545/50=30,9$
$b=(5\cdot 678-213\cdot 15)/(5\cdot 55-15^{2})=195/50=3,9$

Hausschlachtungen von Schweinen

${\widehat {x}}_{t,j}^{ZRM}$ = (9,5 - 0,15 $t$) + ${\overline {s}}_{j}$; ${\overline {s}}_{1}$ = 3,58; ${\overline {s}}_{2}$ = -3,27; ${\overline {s}}_{3}$ = -4,45; ${\overline {s}}_{4}$ = 4,03;
mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 4.Quartal 1989; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1.Quartal 1990

Haushalte eines Landes 2

$x_{1993}=50\cdot 1,53=76,5$
$i_{G}=\displaystyle {\sqrt[{9}]{\frac {\displaystyle 76,5}{\displaystyle 34}}}=1,094287\approx 1,094$

Indizes der Aktienkurse

• -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -
  

-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -

• ${\widehat {x}}_{t}=87,3-0,89t$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 0.Monat; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1.Monat

Maschinenzeitfondsauslastungen

• ${\widehat {x}}_{t}$ = 68,1111 + 2,967$t$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 0.Monat; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1.Monat
  

${\widehat {x}}_{t}$ = 68,766$\cdot$1,03722$^{t}$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 0.Monat; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1.Monat

• $R^{2}$(lin. Trend) = 0,9377;
  

$R^{2}$(exp. Trend) = 0,9214

• 103,715 % (!, Interpretation)

Mikroprozessoren

• Zeitreihe
• $i_{G}$ = 1,19
• exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;
  

${\widehat {x}}_{t}$ = 92396,57$\cdot$1,1867$^{t}$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 1985; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1986

• Basis $i_{G}$: ${\widehat {x}}_{92}$ = 311 542 Stück;
  

Basis exp. Trend: ${\widehat {x}}_{92}$ = 306216,26 Stück

Quartalsproduktion

Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;
Jahresproduktion: 10 000 000

Quartalsproduktion 2

Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;
Jahresproduktion: 13 744 066,875

Souvenirhändler

• –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)
• ${\widehat {x}}_{t}$ = 50$\cdot$2$^{t}$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ Februar 1992; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ März 1992
• ${\widehat {x}}_{Januar}$ = 25; ${\widehat {x}}_{Juli}$ = 1600

Speiseeis

• ${\widehat {x}}_{t}$ = 138,44 + 9,67 $t$ mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 1.1.1989; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1.7.1989
• ${\widehat {x}}_{t,j}^{ZRM}$ = (140 + 10 $t$)${\overline {s}}_{j}$; ${\overline {s}}_{1}$ = 0,9; ${\overline {s}}_{2}$ = 1,1 mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 1.1.1989; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1.7.1989
• ${\widehat {x}}_{t,j}^{ZRM}$ = (60 + 20 $t$)${\overline {s}}_{j}$; ${\overline {s}}_{1}$ = 0,9; ${\overline {s}}_{2}$ = 1,1 mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 1.1.1985; $t=1$ ${\widehat {=}}$ 1.1.1986
• 209 kg

Telefonkosten

${\hat {x}}_{t}=a+bt$; Zeitcodierung: $t=0$ 1990; $t=1$ 1991;…$t=5$ 1995
${\begin{aligned}a&=&{\frac {\sum x\sum t^{2}-\sum t\sum x_{t}t}{T\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}}\\&=&(213\cdot 55-15\cdot 678)/(5\cdot 55-15^{2})\\&=&1545/50\\&=&30,9\end{aligned}}$

${\begin{aligned}b&=&{\frac {T\sum x_{t}t-\sum x_{t}\sum t}{T\sum t^{2}-(\sum t)^{2}}}\\&=&(5\cdot 678-213\cdot 15)/5\cdot 55-15^{2})\\&=&195/50\\&=&3,9\end{aligned}}$

${\hat {x}}_{t}=30,9+3,9t$

Telefonkosten 2

Begründung für Funktionsform:
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:
${\hat {x_{t}}}=a+bt$
Berechnungen:
Gegeben: $T=10$; $\sum x_{t}=28$; $b=0,125$
Entweder:
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade $\rightarrow$ Zeitcodierung:

$t=0\rightarrow$ 1980 $t=1\rightarrow$ 1981 ... $t=10\rightarrow$ 1991

${\begin{aligned}a&=&{\overline {x}}-b{\overline {t}}\\&=&{\frac {\sum x_{t}}{T}}-b{\frac {\sum t}{T}}\\&=&{\frac {28}{10}}-0,125{\frac {55}{10}}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125{\mbox{ Mill. EUR}}\end{aligned}}$
Trendfunktion:
$x_{t}=2,1125+0,125t$ mit $t=0<math>\rightarrow$ 1980 =1980</math>, $t=1=1981$
Oder:
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: $b=0,125/2=0,0625$
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:
$t=-9=1981;\dots ;t=-1=1985;t=1=1986;\dots ;t=9=1990$
$a={\overline {x}}={\frac {\sum x_{t}}{T}}={\frac {28}{10}}=2,8{\mbox{ Mill. EUR}}$
Trendfunktion:
$x_{t}=2,8+0,0625t$ mit $t=-1=1985;t=1=1986$

Transportleistung

• Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:
  

${\widehat {x}}_{t,j}^{ZRM}=(10,6363+0,479t)+{\overline {s}}_{j}$, ${\overline {s}}_{1}$ = 1,637; ${\overline {s}}_{2}$ = -2,507; ${\overline {s}}_{3}$ = -1,65; ${\overline {s}}_{4}$ = 2,54;
mit $t=0$ ${\widehat {=}}$ 4.Quartal 1989; $t=+1$ ${\widehat {=}}$ 1.Quartal 1990

• $s$ = 0,50
• 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10$^{3}$tkm

Trendfunktion

• 2740,047 Mio. Personen

Wachstum des Bruttoinlandsprodukts

Geometrisches Mittel:$i_{G}={\sqrt[{4}]{1,027\cdot 1,018\cdot 1,014\cdot 1,022}}={\sqrt[{4}]{1,083446}}=1,020239=102,0239\%$

Warenausfuhr

• $i_{G}={\sqrt[{5}]{\frac {74,237}{53,892}}}$ = 1,0662
• $x_{92}$ = 84,391 Mrd. EUR
• $T=$4,65; also im Jahre 1995