Regression/Aufgaben

Alter und Händlerverkaufspreis

Lösung

Für das Alter ($X$) und den Händlerverkaufspreis ($Y$) gebrauchter PKW eines bestimmten Typs liegen folgende Informationen vor: Die Kovarianz zwischen Alter und Verkaufspreis beträgt $-5,4$; die Varianz des Verkaufspreises ist 4. Durch eine lineare Abhängigkeit vom Alter werden 81% der Variation in den Verkaufspreisen erklärt.
Wie groß ist die Standardabweichung des Alters?

Arbeitslosenquoten

Lösung

Die folgende Tabelle gibt die Arbeitslosenquoten für Deutschland in den letzten Jahren an:

Jahr	Zeitpunkt $x_{i}$	Arbeitslosenquote in %
1994	0	10,6
1995	1	10,4
1996	2	11,5
1997	3	12,7

(Quelle: Sachverständigenrat zur Begutachtung der gesamtwirtschaftlichen Entwicklung)

Passen Sie eine lineare Funktion für die Regression von Arbeitslosenquote $Y$ auf den Zeitpunkt $X$ mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate an. Prognostizieren Sie mit Hilfe dieser linearen Regression den Wert für 1998.

Gesamtkosten und Produktionsmenge

Lösung

In einem Unternehmen mit einer Vielzahl von Filialen wurden in einem bestimmten Zeitraum für n = 12 Filialen folgende Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge beobachtet:

Filiale $i$	Produktionsmenge $x_{i}$	Gesamtkosten y$_{i}$
	(in Tsd. Stück)	(in Tsd. EUR)
1	45	205
2	30	128
3	35	165
4	40	175
5	20	104
6	55	240
7	65	275
8	58	250
9	30	142
10	60	265
11	25	112
12	49	214

Schätzen Sie nach der Methode der kleinsten Quadrate die lineare Gesamtkostenfunktion für das Unternehmen.

Gewinn eines Unternehmens

Lösung

Für den Gewinn (Y) eines Unternehmens ergaben sich im Verlauf von 10 Monaten (X) nachstehende Werte:

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	-4	-6	-5	-6	0	5	7	6	3	0

Berechnen Sie die lineare Regressionsfunktion (Trend) für den Gewinn in diesen 10 Monaten.

Hypothekenzinssatz

Lösung

Für 6 verschiedene Monate liegen die Daten über den Hypothekenzinssatz X (in %) vor sowie über den saisonbereinigten Auftragseingang Y im Bauhauptgewerbe (in Tsd. EUR), der auf den privaten Wohnungsbau entfällt:

Monat $i$	1	2	3	4	5	6
$x_{i}$	6	5	7	7	8	9
$y_{i}$	3 000	3 200	2 500	2 300	2 000	2 000

Bestimmen Sie hieraus

• den Korrelationskoeffizienten,
• die lineare Regressionsfunktion,
• das Bestimmtheitsmaß,
• Prognosewerte für den Auftragseingang, der bei einem Hypothekenzinssatz von 4% bzw. von 7.5% zu erwarten ist.

Immobiliensachverständiger

Lösung

Ein Immobiliensachverständiger muss für ein Gutachten den Preis eines Hauses vorhersagen. Er nimmt an, dass das Alter einen Einfluss auf den Preis hat. Er führt unter Verwendung nachstehender Daten eine einfache lineare Regressionsschätzung durch, um diese Abhängigkeit zu ermitteln.

Objekt $i$	Alter in Jahren	Preis in 1000 EUR
1	15	190
2	12	210
3	3	400
4	17	125
5	5	300
6	8	197

Das Ergebnis der Regressionsschätzung verwendet er, um den Preis des Hauses, das 1 Jahr alt ist, zu berechnen.
Wie hoch ist der vorhergesagte Preis des Hauses in 1000 EUR?

Konsumausgaben

Lösung

Das verfügbare Gesamteinkommen von 8 privaten Haushalten betrug im März 1992
30 880 EUR. Im gleichen Monat tätigten alle 8 Haushalte Konsumausgaben in Höhe von 26 800 EUR. Pro EUR Einkommenserhöhung wurden von diesen Haushalten durchschnittlich 0,813 EUR für den Konsum ausgegeben.

• Geben Sie die (ökonomisch sinnvolle) lineare Regressionsfunktion an.
• Welche Konsumausgaben sind bei einer verfügbaren Einkommenshöhe von 2 800 EUR im Mittel zu erwarten?

Konsumausgaben und verfügbares Einkommen

Lösung

Aus Kenntnis der ökonomischen Theorie vermutet man bei einer bestimmten Gruppe von Haushalten einen linearen Zusammenhang zwischen den Konsumausgaben ($Y$) und dem verfügbaren Einkommen ($X$): $Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i}.$ Bei der Untersuchung von 8 ausgewählten Haushalten ergaben sich folgende Wertepaare (in 100 EUR):

Konsumausgaben	15	19	21	22	23	28	27	29
verfügbares Einkommen	19	21	23	26	27	31	33	36

Schätzen Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate die lineare Regressionsbeziehung und interpretieren Sie die Werte der Regressionskoeffizienten.

Kosten und Output

Lösung

Ein Unternehmen stellt ein Produkt her. Für die Kalkulation soll eine lineare Regressionsfunktion der Kosten in Abhängigkeit vom Output ermittelt werden. Dafür werden in 10 Perioden die Produktionsmenge in Tonnen und die Gesamtkosten in 1000 Euro registriert.

Periode	1	2	3	4	5
Output	9	12	14	12	12
Kosten	1216	1300	1356	1288	1276
Periode	6	7	8	9	10
Output	13	10	11	12	15
Kosten	1292	1260	1244	1288	1360

Die Varianz der Kosten ist 1801,6. Die Kovarianz zwischen Output und Kosten beträgt 67,2. Bestimmen Sie den Parameter der linearen Regressionsfunktion, der die mittlere Abhängigkeit der Kosten vom Output angibt.

Kunstdünger

Lösung

Auf gleichgroßen Flächeneinheiten eines homogenen Bodens wurden unterschiedliche Mengen eines Kunstdüngers eingesetzt. Für die Mengen des eingesetzten Kunstdüngers (X) in Dezitonne (dt) und das Ernteergebnis (Y) in dt wurden folgende Werte beobachtet:

Kunstdüngereinsatz	1	2	3	5	7	9
Ernteergebnis	24	32	32	47	58	63

• Prüfen Sie mittels eines Streuungsdiagramms, ob zwischen den Merkmalen eine Abhängigkeit besteht.
• Berechnen Sie die lineare Regressionsfunktion.
• Mit welchem Ernteergebnis würden Sie bei einem Kunstdüngereinsatz von 11 dt rechnen?
• Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß.

Ökonomische Variablen

Lösung

Als Mitarbeiter der volkswirtschaftlichen Abteilung eines Ministeriums möchten Sie den Zusammenhang zwischen zwei ökonomischen Variablen $X$ und $Y$ untersuchen, d.h. Sie interessieren sich für ein Modell der Gestalt $y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\epsilon _{i}$, wobei $\beta _{0}$ und $\beta _{1}$ unbekannte Parameter und $\epsilon _{i}$ ein Störterm sind.
Folgende Daten, die auf einer Stichprobe vom Umfang $n=10$ basieren, wurden bereits von einem Mitarbeiter des Ministeriums zusammengetragen:$\sum _{i=1}^{10}x_{i}=40\quad \sum _{i=1}^{10}x_{i}^{2}=180\quad \sum _{i=1}^{10}y_{i}=70\quad \sum _{i=1}^{10}y_{i}^{2}=522\quad \sum _{i=1}^{10}x_{i}y_{i}=304$Schätzen Sie auf Basis dieser Angaben die Parameter $\beta _{0}$ und $\beta _{1}$.

Quadratmetermiete

Lösung

In einem Wohnviertel mit Häusern verschiedener Wohnungseigentümer wird die Quadratmetermiete in Abhängigkeit von der Wohnfläche analysiert. Es ergibt sich aus der Auswertung von 10 Mietwohnungen foldgendes Bild:

Wohnfläche (m$^{2}$)
$x_{i}$
40	12	12	15
60	12
80	10	10
90	9	10	10	10

Welche Regressionsgerade passt die Kleinste–Quadrat–Methode an diese Daten an?

Querschnittsanalyse von 11 Unternehmen

Lösung

In einer Querschnittsanalyse werden 11 Unternehmen einer Branche bezüglich der Abhängigkeit des Umsatzes Y (in Mill. EUR) von den Investitionen $X_{1}$ (in 1 000 EUR), den Aufwendungen für Forschung und Entwicklung $X_{2}$ (in 1 000 EUR) und den Werbeaufwendungen $X_{3}$ (in 1 000 EUR) für einen gegebenen Zeitraum untersucht. Die Werte der erklärenden Variablen $X_{1}$, $X_{2}$, $X_{3}$ und der Variablen Y sind in der folgenden Tabelle erfasst.

i	$y_{i}$	$x_{i1}$	$x_{i2}$	$x_{i3}$
1	12,6	117,0	84,5	3,1
2	13,1	126,3	89,7	3,6
3	15,1	134,4	96,2	2,3
4	15,1	137,5	99,1	2,3
5	14,9	141,7	103,2	0,9
6	16,1	149,4	107,5	2,1
7	17,9	158,4	114,1	1,5
8	21,0	166,5	120,4	3,8
9	22,3	177,1	126,8	3,6
10	21,9	179,8	127,2	4,1
11	21,0	183,8	128,7	1,9

• Bestimmen Sie die einfachen linearen Regressionsfunktionen des Umsatzes bezüglich der Investitionen bzw. der Aufwendungen für Forschung und Entwicklung bzw. der Werbeaufwendungen, sowie die zugehörigen Bestimmtheitsmaße.
• Berechnen Sie alle einfachen linearen Korrelationskoeffizienten zwischen diesen Merkmalen.

Umsatz und Werbeetat

Lösung

Für die 6 Filialen eines Unternehmens sind aus dem Jahre 2001 nachstehende Angaben über den Umsatz (1000 EUR) und den Werbeetat (100 EUR) bekannt:

Filiale	1	2	3	4	5	6
Umsatz (1000 EUR)	20	16	18	17	12	13
Werbeetat (100 EUR)	29	25	28	26	20	22

Schätzen Sie bei Zugrundelegung einer linearen Beziehung denjenigen Regressionsparameter, der die Abhängigkeit des Umsatzes vom Werbeetat beinhaltet.

Zusätzliche statistische Einheit

Lösung

Die Merkmale X und Y wurden an 9 statistischen Einheiten beobachtet, jedoch liegen nicht die einzelnen Wertepaare $(x_{i},y_{i})$ vor, sondern die Summen
$\sum _{i=1}^{9}x_{i}=34,\sum _{i=1}^{9}y_{i}=60,\sum _{i=1}^{9}x_{i}^{2}=144,\sum _{i=1}^{9}y_{i}^{2}=422,\sum _{i=1}^{9}x_{i}y_{i}=244.$
Nachträglich stellt sich heraus, dass auch das Wertepaar $(x_{10},y_{10})=(6;10)$ zu berücksichtigen ist.
Welche der folgenden Regressionsgeraden $y=b_{0}+b_{1}x$ nach der Methode der kleinsten Quadrate für die 10 Wertepaare $(x_{i},y_{i}),i=1,2,\cdots ,10$ ist richtig angegeben?

a) $y=0,2+1,7x$	b) $y=0,6+1,6x$	c) $y=1,2+1,5x$	d) $y=1,4+1,4x$
e) $y=1,8+1,3x$	f) $y=2,0+1,8x$	g) $y=2,2+1,2x$	h) $y=2,8+1,0x$