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| =={{Vorlage:Überschrift}}==
| | {{Wahrscheinlichkeitsrechnung}} |
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| ===Theorem von Bayes=== | | {{SubpageToc|Beispiel: Virus|Beispiel: Spam Mail filtering}} |
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| Sei <math> A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} </math> eine [[Zerlegung des Ereignisraums|Zerlegung von <math>\, S </math>]]. | | Sei <math> A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} </math> eine [[Zerlegung des Ereignisraums|Zerlegung von <math>\, S </math>]]. |
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| Man bezeichnet dann <math>\, P( A_{j} )</math> ''a-priori-Wahrscheinlichkeit'' und <math>\, P( A_{j} | B )</math> als ''a-posteriori-Wahrscheinlichkeit''. | | Man bezeichnet dann <math>\, P( A_{j} )</math> ''a-priori-Wahrscheinlichkeit'' und <math>\, P( A_{j} | B )</math> als ''a-posteriori-Wahrscheinlichkeit''. |
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| =={{Vorlage:Beispiele}}==
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| ===Virus===
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| 0.5% der Bevölkerung seien mit einem Virus infiziert, der erst nach langer Zeit zu einer Erkrankung führt. Ein Diagnosetest reagiere bei 99% der Infizierten positiv, aber auch bei 2% der Gesunden.
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| Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person, deren Testergebnis positiv ausfällt, auch tatsächlich mit dem Virus infiziert ist?
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| Man betrachte die beiden Ereignisse <math>I</math> und <math>R</math>:
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| |<math>I=1</math>,wenn eine Person infiziert ist
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| |-
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| |<math>I = 0</math>, wenn eine Person nicht infiziert ist
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| |-
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| |<math> R = 1 </math>, wenn der Test positiv ausfällt
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| |-
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| |<math>R = 0</math>, wenn Test negativ ausfällt.
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| |}
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| Gegebene [[Wahrscheinlichkeit]] sind: <math>P(I=1)=0.005;\; P(R=1|I=1)=0.99</math> und <math>P(R=1|I=0)=0.02</math>.
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| Gesucht ist <math>P(I=1|R=1)</math>.
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| Eine Anwendung der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]]
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| <math>P(I=1|R=1)=\frac{P[(I=1)\cap(R=1)]}{P(R=1)},\; P(R=1)>0 </math>
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| ist wegen der unbekannten [[Wahrscheinlichkeit]]en nicht möglich.
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| Man erhält jedoch aus
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| <math>P(R=1|I=1)=\frac{P[(I=1)\cap(R=1)]}{P(I=1)},\; P(I=1)>0</math>
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| für den Zähler <math>P[(I=1)\cap(R=1)]=P(R=1|I=1)P(I=1)</math>.
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| Um <math>P(R=1)</math> im Nenner zu erhalten, ist der [[Satz der totalen Wahrscheinlichkeit]] anzuwenden.
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| Im Ergebnis resultiert somit das Theorem von Bayes, das allgemein lautet:
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| <math> P(A_{j}|B)=\frac{P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum_{i}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}, \quad \forall j=1,\cdots,n</math>
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| Für das aktuelle Beispiel lautet der Zähler:
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| <math> P\left(R=1|I=1\right)\cdot P(I=1)=0.99 \cdot0.005=0.00495</math>.
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| Der Nenner ist die Summe:
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| <math> P(R=1|I=1)\cdot P(I=1)+ P(R=1|I=0)\cdot P(I=0)=0.99 \cdot 0.005 + 0.02 \cdot 0.995 = 0.00495 +0.0199 = 0.02485</math>
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| Man erhält <math>\,P(I=1|R=1)=\frac{0.00495}{0.02485}=0.199</math>.
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| Die [[Wahrscheinlichkeit]], mit dem Virus infiziert zu sein, wenn der Test positiv war, ist nur etwa 20%!
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| Bei der Interpretation des Ergebnisses ist folgendes zu bedenken:
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| Hier wurde angenommen, dass der Anteil der Infizierten unter den Testpersonen dem Anteil der Infizierten in der Gesamtbevölkerung entspricht.
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| Normalerweise ist dieser Anteil unter den Testpersonen wesentlich größer, z.B. weil diese Menschen glauben, besonderen Risiken ausgesetzt zu sein.
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| [[Kategorie:Statistik I&II]] | | [[Kategorie:Statistik I&II]] |
Theorem von Bayes
Sei 
eine Zerlegung von 
.
Ferner sei ein zufälliges Ereignis 
mit 
und die bedingten Wahrscheinlichkeiten 
gegeben.
Dann gilt:
Das Theorem von Bayes hat grundlegende Bedeutung für Bayes'sche Verfahren.
a-priori- bzw. a-posteriori-Wahrscheinlichkeit
Gegeben sei das Theorem von Bayes:
Man bezeichnet dann 
a-priori-Wahrscheinlichkeit und 
als a-posteriori-Wahrscheinlichkeit.
