Theorem von Bayes

Grundbegriffe

Theorem von Bayes

Sei $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ eine Zerlegung von $\,S$.

Ferner sei ein zufälliges Ereignis $B$ mit $\,P(B)>0$ und die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(B|A_{1}),P(B|A_{2}),\ldots ,P(B|A_{n})$ gegeben.

Dann gilt:

$P(A_{j}|B)={\frac {P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum _{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}}\quad \forall j=1,\ldots ,n$

Das Theorem von Bayes hat grundlegende Bedeutung für Bayes'sche Verfahren.

a-priori- bzw. a-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Gegeben sei das Theorem von Bayes:

$P(A_{j}|B)={\frac {P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum _{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}}\quad \forall j=1,\ldots ,n$

Man bezeichnet dann $\,P(A_{j})$ a-priori-Wahrscheinlichkeit und $\,P(A_{j}|B)$ als a-posteriori-Wahrscheinlichkeit.

Beispiele

Virus

0.5% der Bevölkerung seien mit einem Virus infiziert, der erst nach langer Zeit zu einer Erkrankung führt. Ein Diagnosetest reagiere bei 99% der Infizierten positiv, aber auch bei 2% der Gesunden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, deren Testergebnis positiv ausfällt, auch tatsächlich mit dem Virus infiziert ist?

Man betrachte die beiden Ereignisse $I$ und $R$:

$I=1$,wenn eine Person infiziert ist

$I=0$, wenn eine Person nicht infiziert ist

$R=1$, wenn der Test positiv ausfällt

$R=0$, wenn Test negativ ausfällt.

Gegebene Wahrscheinlichkeit sind: $P(I=1)=0.005;\;P(R=1|I=1)=0.99$ und $P(R=1|I=0)=0.02$.

Gesucht ist $P(I=1|R=1)$.

Eine Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

$P(I=1|R=1)={\frac {P[(I=1)\cap (R=1)]}{P(R=1)}},\;P(R=1)>0$

ist wegen der unbekannten Wahrscheinlichkeiten nicht möglich.

Man erhält jedoch aus

$P(R=1|I=1)={\frac {P[(I=1)\cap (R=1)]}{P(I=1)}},\;P(I=1)>0$

für den Zähler $P[(I=1)\cap (R=1)]=P(R=1|I=1)P(I=1)$.

Um $P(R=1)$ im Nenner zu erhalten, ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.

Im Ergebnis resultiert somit das Theorem von Bayes, das allgemein lautet:

$P(A_{j}|B)={\frac {P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum _{i}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}},\quad \forall j=1,\cdots ,n$

Für das aktuelle Beispiel lautet der Zähler:

$P\left(R=1|I=1\right)\cdot P(I=1)=0.99\cdot 0.005=0.00495$.

Der Nenner ist die Summe:

$P(R=1|I=1)\cdot P(I=1)+P(R=1|I=0)\cdot P(I=0)=0.99\cdot 0.005+0.02\cdot 0.995=0.00495+0.0199=0.02485$

Man erhält $\,P(I=1|R=1)={\frac {0.00495}{0.02485}}=0.199$.

Die Wahrscheinlichkeit, mit dem Virus infiziert zu sein, wenn der Test positiv war, ist nur etwa 20%!

Bei der Interpretation des Ergebnisses ist folgendes zu bedenken:

Hier wurde angenommen, dass der Anteil der Infizierten unter den Testpersonen dem Anteil der Infizierten in der Gesamtbevölkerung entspricht.

Normalerweise ist dieser Anteil unter den Testpersonen wesentlich größer, z.B. weil diese Menschen glauben, besonderen Risiken ausgesetzt zu sein.