Quelltext der Seite Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

{{Zufallsvariable}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen===

<math>X</math> sei eine [[stetige Zufallsvariable]].

Es existiert eine Funktion <math>f(x)</math>, für die gilt:

#<math>P(a<X\leq b)=\int\nolimits_{a}^{b}f(x)\,dx</math> mit <math> a,b \in \mathbb{R}, \ a \leq b</math>
#<math>f(x)\geq 0</math>
#<math>\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1</math>

Dann heißt die Funktion <math>f(x)</math> ''Wahrscheinlichkeitsdichte'' oder ''Dichtefunktion'' der eindimensionalen [[stetige Zufallsvariable|stetigen Zufallsvariable]] <math>X</math>.

Aus obigen drei Eigenschaften folgt, dass <math>f(x)</math> für sich alleine keine [[Wahrscheinlichkeit]] bedeutet, sondern nur <math>f(x) \, dx</math> einer
[[Wahrscheinlichkeit]] entspricht, nämlich der [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> einen Wert in einem beliebig kleinen
Intervall <math>[x, x + dx]</math> annimmt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass eine [[stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> genau einen bestimmten Wert <math>x</math> annimmt, ist stets Null. 

Das ergibt sich aus der Tatsache, dass die Fläche über einem Punkt <math>x</math> gleich Null ist:

<math>P(X=x)=\int_{x}^{x}f(t)\,dt=F(x)-F(x)=0</math>

Als Konsequenz folgt: 

Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass <math>X</math> einen Wert in dem Intervall <math>[a, b]</math> annimmt, ist die gleiche, ob die Werte <math>a</math> und
<math>b</math> in das Intervall eingeschlossen oder nicht eingeschlossen werden. Also <math>P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b) \mbox{ wegen } P(a)=0 \mbox{ und }P(b)=0</math>

Die folgenden drei Histogramme veranschaulichen, dass eine Vergrößerung der Anzahl der [[Beobachtung]]en sukzessive eine Glättung des [[Histogramm]]s bewirkt. 

Letztendlich kann die [[Häufigkeitsdichte]] durch eine stetige Kurve approximiert werden.

Die von <math>a</math> und <math>b</math> begrenzte Fläche unter der Kurve entspricht der [[Wahrscheinlichkeit]], einen Wert für <math>X</math> aus dem Intervall <math>[a, b]</math> zu erhalten. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] wird dabei formal durch ein Integral beschrieben.

{|
|<R output="display">
pdf(rpdf, height=14,width=14)
par(mfrow=c(2,2))
x <- seq(-4,4,by=.1)

# Funktion zum plotten der [[Histogramm]]

rnormhist = function(n, br){
  h = hist(rnorm(n), breaks = br,  plot = FALSE)
  
  clr <- rep("white", br)
  
  i=1
  while(i<length(h$breaks)){
    if(h$breaks[i]<1.5 && h$breaks[i]>0.5){
      clr[i] = "green"
    }
    i=i+1
  }
  plot(h, col = clr, xlim = c(-4, 4), main = paste("n = ", n), ylab = "Histogram", xlab = "", 
       axes = FALSE, ylim = c(0, (max(h$counts)*1.1)))
  axis(1, at = c (-4, -2, 0, 2, 4), pos = 0)
  axis(2, at = c(0, (max(h$counts)*1.1)), pos = -4, labels = c("", ""), tck = 0)
  axis(3, at = c (-4, -2, 0, 2, 4), pos = max(h$counts)*1.1, labels = rep("", 5), tck = 0)
  axis(4, at = c(0, (max(h$counts)*1.1)), pos = 4, labels = rep("", 2), tck = 0)
}


### n = 50 ###
rnormhist(50, 20)

### n = 500 ###
rnormhist(500, 35)

### n = 5000 ###
rnormhist(5000, 50)

### model ###

plot(x, dnorm(x), type = "l", main = "Model", ylab = "f(x)", xlab = "",
     yaxs = "i", ylim = c(0,0.6), lwd = 3)
cord.x <- c(0.5,seq(0.5,1.5,0.01),1.5) 
cord.y <- c(0,dnorm(seq(0.5,1.5,0.01)),0)
polygon(cord.x, cord.y, col = "green")

</R>
|}

===Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen=== 

<math>X</math> und <math>Y</math> seien zwei [[stetige Zufallsvariable]]n.

Es existiert eine Funktion <math>f(x,y)</math>, für die gilt:

#<math>P(a<X<b,c<Y<d)=\int_a^b\int_c^d f(x,y) \; dx \, dy</math>
#<math>f(x,y)\geq 0</math> 
#<math>\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty}\int\nolimits_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,dx\,dy=1</math>

Dann heißt die Funktion <math>f(x,y)</math> ''Wahrscheinlichkeitsdichte'' oder ''Dichtefunktion'' der zweidimensionalen [[stetige Zufallsvariable|stetigen Zufallsvariablen]] <math>X</math> und <math>Y</math>.

===Wahrscheinlichkeitsverteilung oder (stochastische) Verteilung===

Jede Zufallsvariable ist durch die Angabe der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] ([[diskrete Zufallsvariable]]) bzw. der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ([[stetige Zufallsvariable]]) vollständig beschrieben.

Die ''Wahrscheinlichkeitsverteilung'' oder ''(stochastische) Verteilung'' fasst die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion unter einem Begriff zusammen.

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Wartezeiten===

An den Kassen eines Supermarktes wurde über eine lange Periode die Wartezeit (in Minuten) der Kunden erfasst. 

Es ergab sich die folgende relative [[Häufigkeitsverteilung]]:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|Wartezeit in Minuten
|align="center"|relative Häufigkeit
|align="center"|kumulative relative Häufigkeit
|-
|align="center"|8,0 - 8,5
|align="center"|0,002
|align="center"|0,002
|-
|align="center"|8,5 - 9,0
|align="center"|0,004
|align="center"|0,006
|-
|align="center"|9,0 - 9,5
|align="center"|0,009
|align="center"|0,015
|-
|align="center"|9,5 - 10,0
|align="center"|0,013
|align="center"|0,028
|-
|align="center"|10,0 - 10,5
|align="center"|0,020
|align="center"|0,048
|-
|align="center"|10,5 - 11,0
|align="center"|0,043
|align="center"|0,091
|-
|align="center"|11,0 - 11,5
|align="center"|0,094
|align="center"|0,185
|-
|align="center"|11,5 - 12,0
|align="center"|0,135
|align="center"|0,320
|-
|align="center"|12,0 - 12,5
|align="center"|0,169
|align="center"|0,489
|-
|align="center"|12,5 - 13,0
|align="center"|0,158
|align="center"|0,647
|-
|align="center"|13,0 - 13,5
|align="center"|0,139
|align="center"|0,786
|-
|align="center"|13,5 - 14,0
|align="center"|0,078
|align="center"|0,864
|-
|align="center"|14,0 - 14,5
|align="center"|0,065
|align="center"|0,929
|-
|align="center"|14,5 - 15,0
|align="center"|0,030
|align="center"|0,959
|-
|align="center"|15,0 - 15,5
|align="center"|0,010
|align="center"|0,969
|-
|align="center"|15,5 - 16,0
|align="center"|0,014
|align="center"|0,983
|-
|align="center"|16,0 - 16,5
|align="center"|0,006
|align="center"|0,989
|-
|align="center"|16,5 - 17,0
|align="center"|0,004
|align="center"|0,993
|-
|align="center"|16,0 - 17,5
|align="center"|0,003
|align="center"|0,996
|-
|align="center"|17,5 - 18,0
|align="center"|0,004
|align="center"|1,000
|}

Die [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] werden verwendet, um ein [[Histogramm]] (Abb. 1) und ein Polygon (Abb. 2) zu erstellen.

{|  
|<R output="display">
pdf(rpdf,height=7,width=7)

warte   <- readdataSK("Wartezeiten.csv", sep=";")

barplot(warte[,2], names = warte[,1], las = 1, col = "red", ylim = c(0, 0.2), cex.names = 0.7,
        ylab = "f(x)", xlab = "Wartezeit", xaxt = "n", space = 0,sub="Abb. 1: Histogramm der Wartezeit")
axis(1, at = (0.5:19.5), labels = warte[,1], tck = -0.01, )
</R>

|<R output="display">
pdf(rpdf,height=7,width=7)

warte   <- readdataSK("Wartezeiten.csv", sep=";")
plot(warte[,2], type = "l", axes = FALSE, col = "blue", lwd = 3, ylab="f(x)", xlab = "Wartezeit",sub="Abb. 2: Polygon der Wartezeit")
axis(1, at = (1:20), labels = warte[,1], tck = -0.01, pos = 0)
axis(2, at = seq(from = 0, to = 0.2, by = 0.04), tck = -0.01, pos = 0)

</R>
|}

Die [[stetige Zufallsvariable]] <math>X = \mbox{Wartezeit der Kunden}</math> ist hier [[Gruppierung|gruppiert]] mit konstanter [[Klassenbreite]] von 0,5 Minuten angegeben. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]]en werden durch die [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] approximiert ([[Wahrscheinlichkeit nach von Mises|statistische Definition der Wahrscheinlichkeit]]).

Man beachte: In dem [[Histogramm]] der Abb. 1 geben nicht die Flächen der Rechtecke über den einzelnen [[Klasse|Klassen]], sondern die Höhen der Rechtecke die
[[Wahrscheinlichkeit]]en an. 

Das liegt darin begründet, dass in diesem [[Histogramm]] die Basis eines jeden Rechtecks 0,5 ist. 

Somit ergibt sich die Fläche jedes Rechtecks als seine Höhe multipliziert mit 0,5. 

Damit folgt, dass die Gesamtfläche aller Rechtecke gleich 0,5 und nicht 1,0 ist. Somit ist das Polygon der Abb. 2 keine [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]], da die Eigenschaft

<math>\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1</math>

nicht erfüllt ist.

Um die Kurve der [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> zu erhalten, wird zunächst die [[Häufigkeitsdichte]] berechnet, die man als [[relative Häufigkeit]] dividiert durch die [[Klassenbreite]] erhält.

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|Wartezeit in Minuten
|align="center"|Häufigkeitsdichte
|-
|align="center"|8,0 - 8,5
|align="center"|0,004
|-
|align="center"|8,5 - 9,0
|align="center"|0,008
|-
|align="center"|9,0 - 9,5
|align="center"|0,018
|-
|align="center"|9,5 - 10,0
|align="center"|0,026
|-
|align="center"|10,0 - 10,5
|align="center"|0,040
|-
|align="center"|10,5 - 11,0
|align="center"|0,086
|-
|align="center"|11,0 - 11,5
|align="center"|0,188
|-
|align="center"|11,5 - 12,0
|align="center"|0,270
|-
|align="center"|12,0 - 12,5
|align="center"|0,338
|-
|align="center"|12,5 - 13,0
|align="center"|0,316
|-
|align="center"|13,0 - 13,5
|align="center"|0,278
|-
|align="center"|13,5 - 14,0
|align="center"|0,156
|-
|align="center"|14,0 - 14,5
|align="center"|0,1301
|-
|align="center"|4,5 - 15,0
|align="center"|0,060
|-
|align="center"|15,0 - 15,5
|align="center"|0,020
|-
|align="center"|15,5 - 16,0
|align="center"|0,028
|-
|align="center"|16,0 - 16,5
|align="center"|0,012
|-
|align="center"|16,5 - 17,0
|align="center"|0,008
|-
|align="center"|16,0 - 17,5
|align="center"|0,006
|-
|align="center"|17,5 - 18,0
|align="center"|0,008
|}

Unter Verwendung der [[Häufigkeitsdichte]]n wird erneut ein [[Histogramm]] gezeichnet und ein geglättetes Polygon angepasst.

{| 
|<R output="display">
pdf(rpdf)

warte   <- readdataSK("Wartezeiten.csv", sep=";")

barplot(warte[,4], names = warte[,1], las = 1, col = "red", ylim = c(0, 0.35), cex.names = 0.7,
        ylab = "rel. H\u00E4ufigkeitsdichte", xlab = "Wartezeit", xaxt = "n", space = 0, sub="Abb. 3: Histogramm der Wartezeit mit den H\u00E4ufigkeitsdichten")
axis(1, at = (0.5:19.5), labels = warte[,1], tck = -0.01, )

</R>

|<R output="display">
pdf(rpdf)

warte   <- readdataSK("Wartezeiten.csv", sep=";")
plot(warte[,4], type = "l", axes = FALSE, col = "red", lwd = 3, ylab="rel. H\u00E4ufigkeitsdichte",
     xlab = "Wartezeit", ylim = c(0, 0.35), sub="Abb. 4: Dichtefunktion von X")
axis(1, at = (1:20), labels = warte[,1], tck = -0.01, pos = 0)
axis(2, at = seq(from = 0, to = 0.35, by = 0.05), tck = -0.01, pos = 0)

</R>
|}

<!--
[[Bild:STAT-Dichtewart.gif]]
-->
Im [[Histogramm]] der Abb. 3 entspricht die Fläche und nicht die Höhe des Rechtecks der [[Wahrscheinlichkeit]] der jeweiligen [[Klasse]], so dass die Summe aller Flächen gleich Eins ist. 

Das Polygon in Abb. 4 ist die (approximative) [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] für die [[stetige Zufallsvariable]] <math>X={ \mbox{Wartezeit der Kunden }}</math>.

===Stetige Zufallsvariablen===

Gegeben seien zwei [[stetige Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> mit der [[Dichtefunktion (zweidimensional)|gemeinsamen Dichtefunktion]]

<math>f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x+3y}{2}\quad  & \mbox{, wenn  }0<x<1 \mbox{und }0<y<1 \\
0 & \mbox{, sonst}\end{cases}
</math>

Für diese [[Dichtefunktion (zweidimensional)|Dichtefunktion]] gilt:

{|
|<math>\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\, dx\, dy</math>
|<math> = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x + 3 y}{2} \, dx\, dy = \int_0^1 \left[ \frac{x^2}{4} + \frac{3xy}{2} \right]_0^1\, dy</math>
|-
|
|<math>= \int_0^1 \left( \frac{1}{4} + \frac{3y}{2} \right) \, dy = \left[\frac{y}{4} + \frac{3y^2}{4} \right]_0^1 = 1</math>
|}

Die nachstehende Abbildung zeigt die grafische Darstellung der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (zweidimensional)|zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion]] von <math>X\;</math> und <math>Y\;</math>.

{| 
|<R output="display">
pdf(rpdf, width=7, height=7)
x=seq(0,1,0.05)
y=x
fxy=outer(x,y,function(x,y) (x+3*y)/2)
persp(x,y,fxy,main="f(x,y) = (x+3y)/2", xlab="x", ylab="y", zlab="f(x,y)", xlim=c(0,1), ylim=c(0,1),zlim=c(0,2.2), theta=-40, phi=25, ticktype="detailed", nticks=5, bty="l", col="purple", box=TRUE, axes=TRUE, font.lab=2, font.axis=2, scale=TRUE)

</R>
|}


[[Kategorie:Statistik I&II]]