Quelltext der Seite Verteilung der Grundgesamtheit

{{Stichprobentheorie}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Verteilung der Grundgesamtheit===

Wird ein [[Statistisches Element|Element]] der [[Grundgesamtheit]] mittels einer [[uneingeschränkte Zufallsauswahl|uneingeschränkten Zufallsauswahl]]
ausgewählt und seine [[Ausprägung]] bezüglich eines [[Merkmal]]s <math>X\;</math> festgestellt, dann erhält man eine [[Realisation]] einer
[[Zufallsvariable]]n. 

Diese [[Zufallsvariable]] wird ebenfalls mit <math>X\;</math> bezeichnet. 

Die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] <math>F(x) = P(X \leq x)</math> dieser [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> gibt die [[Wahrscheinlichkeit]] an, dass an einem zufällig ausgewählten [[Statistisches Element|Element]] eine [[Merkmalsausprägung]] beobachtet wird, die höchstens gleich <math>x</math> ist.

Die durch <math>F(x)</math> festgelegte [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] wird daher als ''Verteilung der Zufallsvariablen <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit'' bzw. als ''Verteilung der Grundgesamtheit bezüglich des Merkmals <math>X\;</math>'' oder kurz als ''Verteilung der Grundgesamtheit'' bezeichnet. 

[[Merkmal]] und [[Zufallsvariable]] werden daher synonym verwendet. 

Damit sind die Begriffe, die in der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]] für [[Verteilung (stochastisch)|Verteilungen]] eingeführt wurden, auf [[Grundgesamtheit]]en übertragbar, z.B. der [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] und die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz einer Grundgesamtheit]].

===Parameter der Grundgesamtheit===

Die [[Merkmalsausprägung]]en <math>x_{j}\;(j=1,\ldots,K)</math> des [[Merkmal]]s <math>X\;</math> treten in der [[Grundgesamtheit]] mit bestimmten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeit]]en <math>h(x_{j})</math> bzw. [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] <math>f(x_{j})</math> auf. <math>K</math> ist hierbei die Anzahl der verschiedenartigen [[Merkmalsausprägung]]en. 

Die [[Merkmalsausprägung]]en zusammen mit den Häufigkeiten bilden die Verteilung des Merkmals <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit. 

Für diese Verteilung lassen sich bestimmte [[Parameter]] berechnen, die für [[Grundgesamtheit]]en mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden, z.B.

====Erwartungswert oder Mittelwert der Grundgesamtheit====

<math>E[X]=\mu=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{N} x_i = \frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{K}x_{j}\cdot h(x_{j})=\sum\limits_{j=1}^{K}x_{j}\cdot f(x_{j})</math>

====Varianz der Grundgesamtheit====

<math>Var(X)=\sigma^{2}=\frac{1}{N}\cdot \sum\limits_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}\cdot h(x_{j})=\sum\limits_{j=1}^{N}(x_{j}-\mu)^{2}\cdot f(x_{j})
</math>

====Anteilswert der Grundgesamtheit====

(in einer [[Dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]] mit den [[Merkmalswert]]en <math>x_{j} = 0 </math> bzw. <math>x_{j} = 1 </math>)

<math>\pi=\frac{\sum\limits_{i=1}^{N}x_{i}}{N}</math>

===Varianzhomogenität und Varianzheterogenität===

Gegeben seien zwei [[Grundgesamtheit]]en, in denen die [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind mit 

<math>E\left[X_{1}\right]=\mu_{1}</math> bzw. <math>E\left[X_{2}\right]=\mu_{2}</math> und 

<math>Var(X_{1})=\sigma_{1}^{2}</math> bzw. <math>Var(X_{2})=\sigma _{2}^{2}</math>, d.h. 

<math>X_{1}\sim N\left(\mu_{1};\sigma_{1}^{2}\right)</math> und <math>X_{2}\sim N\left(\mu_{2};\sigma_{2}^{2}\right)</math>.

Sind die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen der beiden Grundgesamtheiten]] gleich, gilt also <math>\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}</math>, dann bezeichnet man dies als ''Varianzhomogenität''.

Gilt Ungleichheit der [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianzen der beiden Grundgesamtheiten]], also <math>\sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}</math>, so bezeichnet man dies als ''Varianzheterogenität''.