Quelltext der Seite Test auf Anteilswert/Beispiel: Statistik-Bücher


=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Statistik-Bücher===

Ein Statistik-Professor vermutet, dass es im letzten Jahr deutliche Verschiebungen im Anteil der Neuzugänge an Büchern in der Universitätsbibliothek zuungunsten der Statistik-Literatur gegeben hat. 

In der Vergangenheit betrug der Anteil der Statistik-Literatur an allen Neuzugängen der Bibliothek mehr als 10%. Er beauftragt deshalb seinen Assistenten mit einer Überprüfung. 

Dabei will er im Interesse seiner Studenten das Risiko, keinen Einspruch bei der Universitätsbibliothek einzulegen, obwohl der Anteil geringer geworden ist, klein halten.

Die Überprüfung läuft auf einen Test des Anteilswertes einer [[dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]] hinaus, wobei der hypothetische Wert <math>\pi_{0} = 0,1</math> ist. 

Die [[Grundgesamtheit]] ist in der Hinsicht [[dichotomes Merkmal|dichotom]], da eine weitere fachwissenschaftliche Untergliederung der Neuzugänge im Zusammenhang mit dem Test ohne Bedeutung ist, so dass nur zwei mögliche [[Ereignis]]se gegeben sind: 

der Neuzugang ist ein Statistik-Buch und der Neuzugang ist kein Statistik-Buch. 

Der Test soll auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> und mittels einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> durchgeführt werden.

Da nur Abweichungen vom hypothetischen Wert nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein [[einseitiger Test]] durchgeführt. 

Die Behauptung des Professors, dass der Anteil der Statistik-Lektüre an den Neuzugängen höchstens noch 10% beträgt, wird als [[Nullhypothese]] formuliert mit dem Ziel, sie möglichst abzulehnen.

Daraus ergibt sich ein [[rechtsseitiger Test]]:

<math>H_{0}:\; \pi \leq \pi_{0}=0,1 \quad H_{1}:\; \pi > \pi_{0}=0,1</math>

Über eine Fehlerbetrachtung ist zu prüfen, ob bei dieser [[Hypothese]]nformulierung die Intention des Professors eingehalten wird. 

Der bei der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] mögliche [[Fehler 1. Art]] hat folgenden Inhalt:

<math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}=</math> "Der Anteil der Statistik-Bücher an den Neuzugängen hat sich nicht verändert" | In Wirklichkeit hat er sich verringert.

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)</math>, ist das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>, so dass mit dessen Vorgabe (hier <math>\alpha = 0,05</math>) das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. 

Damit wird die Zielstellung des Professors bei der Durchführung des [[Statistischer Test|Tests]] eingehalten.

Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt, ist der Inhalt des dann möglichen [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]]:

<math>\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}= </math> "Der Anteil der Statistik-Bücher an den Neuzugängen hat sich verringert" | In Wirklichkeit ist alles wie vorher.

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] <math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =\beta</math>
ist unbekannt, da der wahre [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>\pi</math> unter der [[Alternativhypothese]] nicht bekannt ist. 

Diese [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]], d.h. das Risiko für einen unberechtigten Einspruch des Professors
bei der Universitätsbibliothek, kann sehr groß sein. Das muss der Professor jedoch in Kauf nehmen, da er andere Prioritäten für die Überprüfung gesetzt hatte.

====Teststatistik und Entscheidungsbereiche====

Die [[Schätzfunktion]] <math>X\;</math> "Anzahl der Statistik - Bücher in einer [[Zufallsstichprobe]] von [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math>" kann unmittelbar als [[Teststatistik]] <math>V\;</math> verwendet werden. 

<math>V = X\;</math> ist unter <math>H_{0} \sim B( 25;\;0,1)</math>-[[Verteilung (stochastisch)|verteilt]]. 

Eine große Anzahl von Statistik-Büchern in der [[Stichprobe]] spricht dabei gegen die [[Nullhypothese]] und für die [[Alternativhypothese]], d.h. für einen nicht gesunkenen Anteil der Statistik-Bücher an den Neuzugängen. 

Der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>x_{c}</math> ist diejenige [[Realisation]] von <math>X\;</math>, für die <math>F_{B}\left( x\right)</math> den Wert <math>1-\alpha =0,95</math> gerade erreicht oder überschreitet, so dass gilt <math>F_{B}\left( x_{c}-1\right) <1-\alpha=0,95</math> und <math>F_{B}\left(x_{c}\right) \geq 1-\alpha =0,95</math>.

In der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(25;\; 0,1)</math> findet man <math>x_{c} = 5</math>.

Der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist damit gegeben durch

<math>\left\{ v|v>5\right\}=\left\{6,7,\ldots ,25\right\}</math> mit <math>P\left( V>5|0,1\right) =0,0334=\alpha_{exakt}</math>.

Da <math>V = X\;</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]] ist, wird das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> nicht voll ausgeschöpft. Es ist nur <math>\alpha_{exakt}= 0,0334</math>.

Für den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man:

<math>\left\{v|v\leq 5\right\} =\left\{0,1,2,3,4,5\right\}</math> mit <math>P\left(V\leq 5|0,1\right) =0,9666</math>.

====Prüfwert und Testentscheidung====

Aus den Neuzugängen an Büchern in der Universitätsbibliothek im letzten Jahr werden 25 Bücher zufällig ausgewählt und festgestellt, ob es sich um ein Statistik-Buch handelt oder nicht. 

Da die [[Grundgesamtheit|Gesamtheit]] aller Neuzugänge an Büchern pro Jahr in der Universitätsbibliothek als genügend groß anzusehen ist, spielt es kaum eine Rolle, ob eine [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahl mit]] oder [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] durchgeführt wird. 

Eine [[einfache Zufallsstichprobe]] kann unterstellt werden.

Es habe sich <math>x = 3</math> als Anzahl der Statistik-Bücher in der [[Zufallsstichprobe]] ergeben, was gleichzeitig der [[Prüfwert]] <math>v</math> ist.

Da <math>v = x = 3</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht bewiesen werden, dass der Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen der Universitätsbibliothek dem bisherigen Anteil von mehr als 10% entspricht. Der Professor wird Einspruch bei der Universitätsbibliothek einlegen.

====Gütefunktion====

Wie groß wäre die [[Wahrscheinlichkeit]], dass bei diesem [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] (mit <math>\pi_{0}=0,1,\; n=25,\; \alpha =0,05</math> und <math>x_{c}=5</math>) die [[Nullhypothese]] nicht verworfen würde, wenn der wahre Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen <math>\pi = 0,2</math> betragen würde? 

Gesucht ist die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] unter der Bedingung, dass <math>\pi = 0,2</math> wahr ist:

<math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right)=P\left( V=X\in \mbox{Nichtablehnungsbereich der } H_{0}|\pi =0,2\right) =P\left( V\leq 5|\pi =0,2\right)</math>

Diese [[Wahrscheinlichkeit]] kann direkt aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(25; 0,2)</math> entnommen werden. Sie beträgt 0,6167. 

Im Fall eines wahren Anteils von <math>\pi = 0,2</math> wird in 61,67% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> die Abweichung vom hypothetischen Wert <math>\pi_{0} = 0,1</math> durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt und ist die [[Wahrscheinlichkeit]] eines unberechtigten Einspruchs des Professors bei der Universitätsbibliothek.

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] kann auch über die [[Gütefunktion]] berechnet werden. 

Die folgende Tabelle enthält für verschiedene zulässige Werte von <math>\pi</math> die [[Gütefunktion]] <math>G( \pi )</math> und <math>1 - G( \pi )</math> für den oben durchgeführten [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]]

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|<math>\pi</math>
|align="center"|Gültigkeit von
|align="center"|<math>G\left( \pi\right)</math>
|align="center"|<math>1-G\left( \pi\right)</math>
|-
|align="center"|<math>0</math>
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0=\alpha</math>
|align="center"|<math>1=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|<math>0,05</math>
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,0012=\alpha</math>
|align="center"|<math>0,9988=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|<math>0,1</math>
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,0334=\alpha_{a}</math>
|align="center"|<math>0,9666=1-\alpha_{a}</math>
|-
|align="center"|<math>0,15</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,1615=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,8385=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,20</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,3833=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,6167=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,25</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,6217=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,3783=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,30</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,8065=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,1935=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,35</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,9174=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0826=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,40</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,9706=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0294=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,45</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,9914=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0086=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,50</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,9980=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0020=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,60</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,9999=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0001=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>0,70</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>1=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0=\beta</math>
|}

Wenn z.B. der wahre Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen <math>\pi = 0</math> ist, kann auf keinen Fall ein [[Statistik]]-Buch in der [[Stichprobe]] enthalten sein, d.h. man wird <math>x = 0</math> erhalten und die [[Nullhypothese]] nicht
ablehnen. 

Die [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]], d.h. <math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}</math>, ist ein [[unmögliches Ereignis]]. 

Für die [[Gütefunktion]], die für <math>\pi = 0</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] beinhaltet, folgt:

<math>G\left(\pi = 0 \right) =P\left( V=X\in \mbox{ Ablehnungsbereich der } H_{0}|\pi =0\right) =P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|0\right) =0</math>

Wenn dagegen der wahre Anteil der [[Statistik]]-Bücher an den Neuzugängen <math>\pi = 0,35</math> wäre, ergibt sich die
[[Gütefunktion]] zu:

<math>G\left(0,35\right)=P\left(V>5|\pi=0,35\right)=1-P\left(V\leq5|\pi=0,35\right)=1-0,0826=0,9174</math>

wobei man <math>P\left( V\leq 5|\pi=0,35\right)</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>B(25; 0,35)</math> für <math>x_{c}=5</math> findet.

<math>G(\pi = 0,35)</math> beinhaltet die [[Wahrscheinlichkeit]] einer berechtigten [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]], d.h. <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right)=1- \beta</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] ist <math>\beta(\pi= 0,35) =1 - G( \pi = 0,35)= 0,0826</math>. Im Fall eines wahren Anteils von <math>\pi =0,35</math> wird in 8,26% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> die Abweichung vom hypothetischen Wert <math>\pi_{0} = 0,1</math> durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt.

Die nachstehende Abbildung zeigt die [[Gütefunktion]] für den [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] mit <math>\pi_{0}= 0,1,\; n = 25,\; \alpha = 0,05</math> und <math>x_{c} = 5</math>.

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