Quelltext der Seite T-Verteilung

{{Verteilungsmodelle}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Student'sche t-Verteilung===

Ist <math>Z\,</math> eine [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilte]] [[Zufallsvariable]], <math>Z\sim N(0,1)\,</math> und <math>Y\,</math> eine von <math>Z\,</math> [[Unabhängigkeit (empirisch)|unabhängig]]e [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilte]] [[Zufallsvariable]] <math>Y\sim\chi^{2}(f)\,</math> mit dem [[Parameter]] <math>f</math>, dann heißt die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] der [[Zufallsvariable]]n

<math>T=\cfrac{Z}{\sqrt{\cfrac{Y}{f}}}</math>

''Student'sche t-Verteilung'' oder ''t-Verteilung'' mit dem [[Parameter]] <math>f</math>, oder kurz <math>t(f)\,</math>. 

Der [[Parameter]] <math>f</math> ist die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e der [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilten]] [[Zufallsvariable]] <math>Y\,</math>.

Die [[Zufallsvariable]] <math>T</math> hat den Wertebereich: <math>-\infty \leq T\leq +\infty</math>.

Für [[Erwartungswert]] und [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] gilt:

<math>E[T]=0\; \mbox{, wenn } f>1</math>

<math>Var(T)=f/(f-2)\; \mbox{, wenn }f>2</math>

Die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der t-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des [[Parameter]]s <math>f</math> und ausgewählte [[Wahrscheinlichkeit]]en tabelliert vor.

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Graphische Darstellung der t-Verteilung===

Die folgende Abbildung zeigt die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]]en der t-Verteilung für verschiedene [[Freiheitsgrad]]e <math>f</math>.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_t-Verteilung_Dichtefunktion_R00480004800000000000000_plot.html" />
===Beziehung zur Standardnormalverteilung===

Die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] der t-Verteilung ist eine symmetrische Glockenkurve zum [[Erwartungswert]] <math>E(T) = 0</math> (wie die [[Standardnormalverteilung]]). 

Jedoch ist die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] der t-Verteilung flacher als die der [[Standardnormalverteilung]]. 

Mit anderen Worten: Die Kurve der t-Verteilung weist eine geringere Höhe und eine größere [[Streuung]] auf. 

Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] der [[Standardnormalverteilung]] ist 1, während die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] der t-Verteilung <math>Var(T) = \frac{f}{f-2}</math> größer als Eins ist (für <math>f\geq 3</math>).

Für <math>f\rightarrow \infty </math> konvergiert die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] der t-Verteilung gegen die
[[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] der [[Standardnormalverteilung]]. 

Ab <math>f\geq 30</math> kann die t-Verteilung in guter Näherung durch die [[Standardnormalverteilung]] [[Approximation|approximiert]] werden.