Quelltext der Seite Standardnormalverteilung

{{Verteilungsmodelle}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Standardnormalverteilung===

Sei <math>Z</math> eine [[Standardisierung|standardisierte]] [[Zufallsvariable]] mit

<math>Z = \frac{X - \mu}{\sigma}</math>

Die [[Zufallsvariable]] <math>Z</math> gibt die Werte der [[Zufallsvariable]]n <math>X</math> als Abweichungen von ihrem [[Erwartungswert]] in Einheiten der
[[Standardabweichung]] an. 

Wenn <math>X\,</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist, dann ist auch <math>Z\,</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]]. Die [[Normalverteilung]] von <math>Z\,</math> wird dann als ''Standardnormalverteilung'' <math>N(0;1)</math> bezeichnet.

[[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] der Standardnormalverteilung:

<math>\varphi (z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{z^2}{2}}</math>

[[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der Standardnormalverteilung:

<math>\Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{z} e^{-v^{2}/2}\;dv</math>

[[Erwartungswert]] und [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] der Standardnormalverteilung:

<math>E[Z] = 0 \quad Var(Z) = 1</math>

Für die Standardnormalverteilung ist die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] tabelliert.

Die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] bzw. [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] geben die nachfolgenden Grafiken wieder.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_N_0_1_R00480004801536917472001_plot.html" />
<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Verteilungsfunktion_N_0_1_R00480004801536917350068_plot.html" />

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Standardisierte Normalverteilung und Standardnormalverteilung===

Eine Tabellierung der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Normalverteilung]] für alle praktisch relevanten Werte von <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> ist nicht möglich. 

Man kann jede gegebene [[Normalverteilung]] in eine spezielle [[Normalverteilung]] transformieren und diese dann tabellieren. 

Es bietet sich an, als spezielle [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] diejenige [[Normalverteilung]] zu wählen, die den [[Erwartungswert]] <math>E(X) =\mu = 0</math>, und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma = 1</math> besitzt, also die Standardnormalverteilung.

Beziehung zwischen <math>N(\mu,\sigma)</math> Verteilung und [[Standardisierung|standardisierter]] [[Normalverteilung]]:

Aus

<math>x=\mu +z\cdot \sigma</math> bzw. <math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math>

folgt:

<math>F_{NV}(x;\mu,\sigma)=P(X\leq x)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{x - \mu}{\sigma}\right) = P(Z\leq z) = \Phi(z)</math>

Die Bedeutung der [[Standardisierung|standardisierten]] [[Normalverteilung]] liegt darin, dass es zu jeder [[Normalverteilung|normalverteilten]] [[Zufallsvariable]]n <math>X\,</math> eine linear transformierte [[Zufallsvariable]] <math>Z\,</math> gibt, die der Standardnormalverteilung folgt. 

Bei Verwendung der Tabelle der [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] und der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der Standardnormalverteilung ist zu beachten, dass zumeist nur die positiven Werte von <math>Z\,</math> tabelliert sind. 

Die Tabellierung der Standardnormalverteilung für negative <math>Z\,</math>-Werte ist aufgrund der Symmetrie der [[Normalverteilung]] nicht erforderlich, da

<math>\Phi (-z)=P(Z\leq -z)=1-P(Z\leq z)=1-\Phi (z)</math>

gilt.

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Standardisierte Normalverteilung===

Gegeben sei eine [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math>, die <math>N(100;10)</math>-verteilt ist.

====Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) mit x = 125====

<math>z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{125 - 100}{10} = 2,5</math>

{|
|<math>\,P(X\leq 125)</math>
|<math>= F(125)\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(\frac{125-100}{10})</math>
|-
|
|<math>=\Phi(2,5)\,</math>
|-
|
|<math>=0,99379 \,</math>
|}

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 99,38% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte von höchstens 125 an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_max_125_R00480004801536917505215_plot.html" />

====Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ x) mit x = 115,6====

<math>z = \frac{x -  \mu}{\sigma} = \frac{115,6 - 100}{10} = 1,56</math>

{|
|<math>\,P(X\geq115,6)</math>
|<math>=1-P(X\leq115,6)\,</math>
|-
|
|<math>=1-F(115,6)\,</math>
|-
|
|<math>=1-\Phi(\frac{115,6-100}{10})\,</math>
|-
|
|<math>=1-\Phi(1,56) \,</math>
|-
|
|<math>=1-0,94062\,</math>
|-
|
|<math>=0,05938 \,</math>
|}

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 5,94% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte von mindestens 115,6 an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_min_115_R00480004801536917564597_plot.html" />

====Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) mit x = 80====

<math>z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{80 - 100}{10} = -2</math>

{|
|<math>\,P(X\leq80)</math>
|<math>=F(80)\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(\frac{80-100}{10})\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(-2)\,</math>
|-
|
|<math>=1-\Phi(2)\,</math>
|-
|
|<math>=1-0,97725\,</math>
|-
|
|<math>=0,02275 \,</math>
|}

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 2,275% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte von höchstens 80 an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_max_80_R00480004801536917599127_plot.html" />

====Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ x) mit x = 94,8====

<math>z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{94,8 - 100}{10} = - 0,52</math>

{|
|<math>\,P(X\geq94,8)</math>
|<math>=1-P(X\leq94,8)\,</math>
|-
|
|<math>=1-F(94,8)\,</math>
|-
|
|<math>=1-\Phi(\frac{94,8-100}{10})\,</math>
|-
|
|<math>=1-\Phi(-0,52)\,</math>
|-
|
|<math>=1-(1-\Phi(0,52))\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(0,52) \,</math>
|-
|
|<math>=0,698468 \,</math>
|}

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 69,85% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte von mindestens 94,8 an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_min_94_R00480004801536917642093_plot.html" />

====Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) mit x_u = 88,8 und x_o = 132====

<math>z_u = \frac{x_u - \mu}{\sigma} = \frac{88,8 - 100}{10} = -1,12</math>

<math>z_o = \frac{x_o - \mu}{\sigma} = \frac{132 - 100}{10} = 3,2</math>

{|
|<math>\,P(88,8\leq X\leq132)</math>
|<math>=P(X\leq132)-P(X\leq88,8)\,</math>
|-
|
|<math>=F(132)-F(88,8)\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(3,2)-\Phi(-1,12)\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(3,2)-(1-\Phi(1,12))\,</math>
|-
|
|<math>=0,999313+0,868643-1\,</math>
|-
|
|<math>=0,867956 \,</math>
|}

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 86,8% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte im Intervall <math>\left[88,8; 132\right]</math> an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_Intervall_R00480004801536917670973_plot.html" />

====Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(x_u ≤ X ≤ x_o) mit x_u = 80,4 und x_o = 119,6====

<math>z_u = \frac{x_u - \mu}{\sigma} = \frac{80,4 - 100}{10} = -1,96</math>

<math>z_o = \frac{x_o - \mu}{\sigma} = \frac{119,6 - 100}{10} = 1,96</math>

{|
|<math>\,P(80,4\leq X\leq119,6)</math>
|<math>=P(X\leq119,6)-P(X\leq80,4)\,</math>
|-
|
|<math>=F(119,6)-F(80,4)\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(1,96)-\Phi(-1,96)\,</math>
|-
|
|<math>=\Phi(1,96)-(1-\Phi(1,96))\,</math>
|-
|
|<math>=2\cdot \Phi(1,96)-1\,</math>
|-
|
|<math>=2\cdot 0,975-1 \,</math>
|-
|
|<math>=0,95 \,</math>
|}

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 95% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte im Intervall <math>[80,4; 119,6]</math> an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_Interall_80_119_R00480004801536917722435_plot.html" />

====Gesucht ist der Wert x der Zufallsvariablen X, so dass 76,11% der Realisationen von X höchstens gleich x sind====

{|
|<math>0,7611\,</math>
|<math>=P(X\leq x)</math>
|-
|
|<math>=P(Z\leq \frac{x-100}{10})</math>
|-
|
|<math>=P(Z\leq z)</math>
|-
|
|<math>=\Phi(z)\,</math>
|}

Für die [[Wahrscheinlichkeit]] von 0,7611 findet man aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der Standardnormalverteilung den Wert <math>z = 0,71</math>.

Damit ist <math>x = \mu + z\cdot \sigma= 100 + 0,71 \cdot 10 = 107,1</math> und somit <math>P(X \leq 107,1) = 0,7611</math>.

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 76,11% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte von höchstens 107,1 an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_max_107_R00480004801536917756370_plot.html" />

====Gesucht ist der Wert x der Zufallsvariablen X, so dass 3,6% der Realisationen von X mindestens gleich x sind====

{|
|<math>0,036\,</math>
|<math>=P(X\geq x)</math>
|-
|
|<math>=P(Z\geq \frac{x-100}{10})</math>
|-
|
|<math>=P(Z\geq z)</math>
|-
|
|<math>=1-P(Z\leq z)</math>
|}

Wegen <math>P(Z \leq z) = 0,964</math> findet man für die [[Wahrscheinlichkeit]] von 0,964 aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der Standardnormalverteilung den Wert <math>z = 1,8</math>.

Damit ist <math>x = \mu - z\cdot \sigma = 100 - 1,8 \cdot 10 = 118</math> und somit <math>P(X \geq 118) = 0,036</math>.

Mit einer [[Wahrscheinlichkeit]] von 3,6% nimmt die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> Werte von mindestens 118 an.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Standardnormalverteilung_Dichtefunktion_min_118_R00480004801536917781606_plot.html" />

<!--==Interaktives Beispiel Normalverteilung==




Die Normalverteilung hängt von den beiden Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> ab, die

* ihre Gestalt,
* ihre Lage und
* ihre Streuung

beeinflussen.

Sie haben nunmehr zum einen die Möglichkeit, einen oder beide
Parameter zu variieren, und erhalten als Output die grafische
Darstellung der entsprechenden Dichtefunktion der <math>N(\mu;\;\sigma)</math>.

In diesem Output ist zum Vergleich stets die
[[STAT-Glossar#Normalverteilung|Standardnormalverteilung]] enthalten (schwarz).

Empfehlenswert ist, zunächst nur einen Parameter zu variieren
und den anderen konstant zu halten, um dessen Wirkung auf die
Normalverteilung zu studieren.

Weiterhin können Sie sich die Wahrscheinlichkeiten für
spezielle Bereiche von <math>X</math> berechnen lassen.-->