Quelltext der Seite Lineares Regressionsmodell

{{Regression}}


=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Einfache lineare Regressionsfunktion oder Regressionsgerade===

Die ''einfache lineare Regressionsfunktion'' oder ''Regressionsgerade'' hat die Form:

<math>\hat{y_{i}}=b_{0}+b_{1}\cdot x_{i}\quad i=1,\ldots ,n</math>

Hierbei sind <math>x_{i}</math> die [[Beobachtung|beobachtete]]n Werte des [[Merkmal]]s <math>X\;</math> (fest vorgegeben) und <math>b_{0}</math> und <math>b_{1}</math> die noch unbekannten [[Regressionsparameter]].

Der jeweilige [[Beobachtungswert]] <math>y_{i}\,(i=1,\ldots ,n)</math> ergibt sich durch die Addition des [[Residuum]]s <math>\hat{u_{i}}</math> zum [[Regresswert]] <math>\hat{y_{i}}</math> (vgl. auch die grafische Darstellung):

<math>y_{i}=\hat{y_{i}}+\hat{u_{i}}=b_{0}+b_{1}\cdot x_{i}+\hat{u_{i}}\quad (i=1,\ldots,n)</math>

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_LinearesRegressionsmodell_Lineares_Regressionsmodell_R00480004800000000000000_plot.html" />
===Regressionsparameter: Regressionskonstante und linearer Regressionskoeffizient===

Die ''Regressionsparameter'' der [[Einfache lineare Regressionsfunktion|einfachen linearen Regressionfunktion]] haben folgende Bedeutung:

* <math>b_{0}</math> - ''Regressionskonstante''

: Sie kennzeichnet den Schnittpunkt der [[Regressionsfunktion]] mit der <math>y</math>-Achse und besitzt die gleiche Maßeinheit wie das [[Merkmal]] <math>Y\;</math>.

* <math>b_{1}</math> - ''linearer Regressionskoeffizient''

: Er kennzeichnet den Anstieg der [[Regressionsfunktion]]. Er gibt an, um wieviel Einheiten sich der Wert des [[Merkmal]]s <math>Y\;</math> durchschnittlich ändert, wenn der Wert des [[Merkmal]]s <math>X\;</math> um eine Einheit geändert wird.

===Multiple lineare Regression===

Werden mehr als eine [[erklärende Variable]] in das lineare Modell eingefügt, so handelt es sich um eine ''multiple lineare Regression''.

Dementsprechend wird eine multiple lineare [[Regressionsfunktion]] mit <math>m</math> [[Exogene Variable|exogenen Variable]]n <math>X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}(m<n)</math> aufgestellt:

<math>\widehat{y_{i}}=b_{0}+b_{1}\cdot x_{1i}+b_{2}\cdot x_{2i}+\cdots +b_{m}\cdot x_{mi}</math>

Die [[Schätzung der Regressionsparameter]] erfolgt wie auch bei der [[Einfache lineare Regressionsfunktion|einfachen linearen Regressionfunktion]] mittels der [[Kleinste-Quadrate-Methode]] (KQ).

Auf eine weitergehende Darstellung wird an dieser Stelle verzichtet, da die multiple Regressionsanalyse ein Thema der Ökonometrie-Lehrveranstaltung ist.