Quelltext der Seite Kontingenz

{{Bivariate Statistik}}
{{SubpageToc|Video|Interaktives Beispiel: Haar- und Augenfarbe von Statistik-Studenten}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Kontingenz===

Ausgangspunkt für die [[Statistische Untersuchung|Analyse]] von Zusammenhängen zwischen [[Nominalskala|nominalskalierten]] [[Daten]] bildet die [[zweidimensionale Häufigkeitsverteilung|gemeinsame Häufigkeitsverteilung]] zweier [[Merkmal]]e <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> in Form der
[[Kontingenztabelle]] mit den in ihr enthaltenen

[[absolute Häufigkeit (zweidimensional)|absoluten Häufigkeiten]]  <math>h_{ij}=h(x_{i},y_{j})\quad (i=1,\ldots,m;\; j=1,\ldots ,r)</math>

oder

[[relative Häufigkeit (zweidimensional)|relativen Häufigkeiten]]  <math>f_{ij}=f(x_{i},y_{j})=h(x_{i},y_{j})/n\quad (i=1,\ldots ,m; \; j=1,\ldots ,r)</math>

Wie im Abschnitt [[Parameter zweidimensionaler Verteilungen (empirisch)]] bereits ausgeführt, entspricht bei [[Unabhängigkeit (empirisch)|Unabhängigkeit]] der [[Merkmal]]e <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> die [[relative Häufigkeit]] für das gemeinsame Auftreten der [[Ausprägung]]en <math>x_{i}</math> und <math>y_{i}</math> <math>(i=1,\dots ,m;\quad j=1,\dots ,r)</math> dem Produkt der [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der [[Randverteilung (empirisch)|Randverteilung]]en dieser beiden [[Merkmal]]e:

<math>f_{ij}=f_{i\bullet} f_{\bullet j}\quad \mbox{bzw.}\quad h_{ij}=\frac{h_{i\bullet} h_{\bullet j}} {n}=n f_{i\bullet} f_{\bullet j}</math>

===Quadratische Kontingenz oder Chi-Quadrat-Koeffizient===

Ausgehend von diesen Vorbetrachtungen lässt sich im folgenden eine Hilfsgröße - die ''quadratische Kontingenz'' oder ''Chi-Quadrat-Koeffizient'', symbolisiert mit <math>\chi^{2}</math> - berechnen:

<math>\chi^{2}=\sum_{i=1}^{m}\limits\sum_{j=1}^{r}\limits\frac{\left( h_{ij}-\frac{1}{n}\cdot h_{i\bullet }\cdot h_{\bullet j}\right)^{2}}{\frac{1}{n}\cdot h_{i\bullet }\cdot h_{\bullet j}}=n\cdot \sum_{i=1}^{m}\limits\sum_{j=1}^{r}\limits\frac{(f_{ij}-f_{i\bullet}\cdot f_{\bullet j})^{2}}{f_{i\bullet }f_{\bullet j}}</math>

Den Zähler des obigen Summanden bilden die quadratischen Abweichungen der beobachteten [[absolute Häufigkeit|absoluten]] bzw. [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] von den unter [[Unabhängigkeit (empirisch)|Unabhängigkeit]] der [[Merkmal]]e erwarteten [[absolute Häufigkeit|absoluten]]
bzw.  [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]]. 

Durch die zusätzliche Division durch die unter [[Unabhängigkeit (empirisch)|Unabhängigkeit]] erwarteten [[absolute Häufigkeit|absoluten]] bzw. [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] wird eine Standardisierung erreicht.

===Kontingenzkoeffizient===

Unter Verwendung der [[quadratische Kontingenz|quadratischen Kontingenz]] lässt sich der [[Kontingenzkoeffizient]] als Maß für die Stärke der Beziehung zwischen [[Nominalskala|nominalskalierten]] [[Merkmal]]en berechnen:

<math>C=\sqrt{\frac{\chi ^{2}}{n+\chi ^{2}}}</math>

<math>0\leq C\leq \sqrt{\frac{C^{*}-1}{C^{*}}};\quad C^{*}=min(m,r)</math>.

Bei einem [[Kontingenzkoeffizient]]en von <math>0</math> liegt [[Unabhängigkeit (statistisch)|statistische Unabhängigkeit]] vor.

===Korrigierter Kontingenzkoeffizient===

Den Wert <math>1</math> erreicht der [[Kontingenzkoeffizient]] praktisch nie, auch wenn ein vollständiger Zusammenhang zwischen beiden [[Merkmal]]en
besteht, da die Anzahl der [[Beobachtung]]en <math>n</math> immer größer als Null sind und damit auch der Nenner immer größer als der Zähler ist.

Um diesem Problem zu begegnen und bei einem vollkommenen Zusammenhang den Wert <math>1</math> zu erreichen, wird in vielen Fällen der ''korrigierte Kontingenzkoeffizient'' verwendet, der sich aus dem "normalen" [[Kontingenzkoeffizient]]en wie folgt berechnen lässt:

<math>C_{korr}=C\cdot \sqrt{\frac{C^{*}}{C^{*}-1}},\quad 0\leq C_{korr}\leq 1</math>

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Lungenkrebs===

Im folgenden soll untersucht werden, ob ein Zusammenhang zwischen Rauchen und dem Auftreten von Lungenkrebs besteht, wobei von nachstehender [[Kontingenztabelle]] ausgegangen wird.

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|
|align="center"|Lungenkrebs
ja <math>(y_{1})</math>
|align="center"|Lungenkrebs
nein <math>(y_{2})</math>
|align="center"|RV <math>X\;</math>
|-
|align="center"|Rauchen ja <math>(x_{1})</math>
|align="center"|10
|align="center"|15
|align="center"|25 <math>(h_{1\bullet })</math>
|-
|align="center"|Rauchen nein <math>(x_{2})</math>
|align="center"|5
|align="center"|70
|align="center"|75 <math>(h_{2\bullet} )</math>
|-
|align="center"|RV <math>Y\;</math>
|align="center"|15 <math>(h_{\bullet 1})</math>
|align="center"|85 <math>(h_{\bullet 2})</math>
|align="center"|100 <math>(n)</math>
|}


<math>\chi^{2}=\frac{\left( 10-\frac{15\cdot 25}{100}\right)^{2}}{\frac{15\cdot 25}{100}}+\frac{\left( 15-\frac{85\cdot 25}{100}\right)^{2}}{\frac{85\cdot 25}{100}}+\frac{\left( 5-\frac{15\cdot 75}{100}\right)^{2}}{\frac{15\cdot 75}{100}}+\frac{\left( 70-\frac{85\cdot
75}{100}\right) ^{2}}{\frac{85\cdot 75}{100}}=16,34</math>

<math>C=\sqrt{\frac{16,34}{100+16,34}}=0,375</math>

<math>C_{korr}=0,375\cdot \sqrt{\frac{2}{2-1}}=0,53</math>

Der [[Korrigierter Kontingenzkoeffizient|korrigierte Kontingenzkoeffizient]] von 0,53 weist auf einen Zusammenhang zwischen Rauchen und dem Auftreten von Lungenkrebs hin.

===Kundenerfassung===

Für den [[Datensatz]] "Kaufhaus" wurden <math>n = 165</math> Kunden eines großen Kaufhauses zufällig ausgewählt und folgende [[Variable]]n mit den angegebenen [[Ausprägung]]en erfasst:

{|
|Variablen
|Ausprägungen
|-
|<math>X\;</math> Geschlecht
|1 - männlich
|-
|
|2 - weiblich
|-
|<math>Y\;</math> Zahlungsart
|1 - Barzahlung
|-
|
|2 - EC-Karte
|-
|
|3 -  Kreditkarte
|-
|<math>Z\;</math> Wohnort
|1 - Berlin
|-
|
|2 - nicht Berlin
|}

Nachfolgend sind die drei möglichen [[Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung|zweidimensionalen Häufigkeitsverteilungen]] aufgeführt, die sich aus den [[Variable]]n dieser Datei bilden lassen, sowie die jeweiligen [[Kontingenzkoeffizient]]en berechnet:

Die [[zweidimensionale Häufigkeitsverteilung]] für die [[Variable]]n "Geschlecht" und "Zahlungsart" ist eine <math>2\times3</math> [[Kontingenztabelle]]:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|
|align="center"|Bar
|align="center"|Karte
|align="center"|Scheck
|align="center"|RV
|-
|align="center"|Frau
|align="center"|30
|align="center"|20
|align="center"|29
|align="center"|79
|-
|align="center"|Mann
|align="center"|31
|align="center"|23
|align="center"|23
|align="center"|86
|-
|align="center"|RV
|align="center"|61
|align="center"|43
|align="center"|61
|align="center"|165
|}

{|
|[[Chi-Quadrat-Koeffizient|<math>\chi^{2}</math>-Koeffizient]]:
|0,08
|-
|[[Kontingenzkoeffizient]]:
|0,02
|-
|[[Korrigierter Kontingenzkoeffizient]]:
|0,03
|}

Der [[Korrigierter Kontingenzkoeffizient|korrigierte Kontingenzkoeffizient]] von 0,03 zeigt, dass ein nur sehr geringer Zusammenhang zwischen Geschlecht und Zahlungsart besteht.

Die [[zweidimensionale Häufigkeitsverteilung]] für die [[Variable]]n "Geschlecht" und "Wohnort" ist eine <math>2\times2</math> [[Kontingenztabelle]]:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|
|align="center"|Berlin
|align="center"|Sonst
|align="center"|RV
|-
|align="center"|Frau
|align="center"|37
|align="center"|42
|align="center"|79
|-
|align="center"|Mann
|align="center"|50
|align="center"|36
|align="center"|86
|-
|align="center"|RV
|align="center"|87
|align="center"|78
|align="center"|165
|}

{|
|[[Chi-Quadrat-Koeffizient|<math>\chi^{2}</math>-Koeffizient]]:
|2,11
|-
|[[Kontingenzkoeffizient]]:
|0,11
|-
|[[Korrigierter Kontingenzkoeffizient|Korrigierter Kontingenzkoeffizient]]:
|0,16
|}

Der [[Korrigierter Kontingenzkoeffizient|korrigierte Kontingenzkoeffizient]] von 0,16 zeigt eine sehr schwache Assoziation zwischen Geschlecht und Wohnort.

Die [[zweidimensionale Häufigkeitsverteilung]] für die [[Variable]]n "Zahlungsart" und "Wohnort" ist eine <math>2\times2</math> [[Kontingenztabelle]]:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|
|align="center"|Berlin
|align="center"|Sonst
|align="center"|RV
|-
|align="center"|Bar
|align="center"|44
|align="center"|17
|align="center"|61
|-
|align="center"|Karte
|align="center"|21
|align="center"|22
|align="center"|43
|-
|align="center"|Scheck
|align="center"|22
|align="center"|39
|align="center"|61
|-
|align="center"|RV
|align="center"|87
|align="center"|78
|align="center"|165
|}

{|
|[[Chi-Quadrat-Koeffizient|<math>\chi^{2}</math>-Koeffizient]]:
|16,27
|-
|[[Kontingenzkoeffizient]]:
|0,30
|-
|[[Korrigierter Kontingenzkoeffizient]]:
|0,42
|}

Der [[Korrigierter Kontingenzkoeffizient|korrigierte Kontingenzkoeffizient]] von 0,42 zeigt eine mittelstarke Assoziation zwischen Zahlungsart und Wohnort. 

Sie ist deutlich größer, als die Beziehungen der obigen beiden Zusammenhänge.

<!--==Interaktives Beispiel==

Sie haben die Möglichkeit, eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung unter Verwendung der Variablen aus einer der nachfolgenden Dateien zu erstellen.


'''Studium'''

Von 107 Studenten wurden folgende Variablen erfasst: Fachbereich, Geschlecht, Alter,
Anzahl der Semester, Staatsangehörigkeit, soziale Lage (sehr gut/gut, befriedigend,
schlecht), psychische Lage (äußerst labil, labil, stabil, sehr stabil) und Beurteilung
des Studiums (sehr gut/gut, befriedigend, schlecht).

'''Info'''

941 Personen wurden befragt, ob sie eine Zeitschrift abonnieren oder nicht. Von diesen
Personen wurden gleichzeitig erfasst: Berufstätigkeit (berufstätig, nicht berufstätig),
Alter (mit den Altersklassen 18 - 29, 30 - 39, 40 - 49), Schulbildung (Volkshochschule
ohne Lehre, Realschule, Abitur/Universität)

'''Tank'''

Es wurden 700 Tankstellen untersucht. Als Lagemerkmale wurde die Ortsgröße ("klein" für
weniger als 100000 Einwohner, "groß" für 100000 und mehr Einwohner) und die Straßenart
(Autobahn/Bundes- straße, Landstraßen, Hauptdurchgangsstraßen) registriert. Weiterhin
interessierte die Angebotsform (Bedienung, Selbstbedienung) und die Absatzhöhe (niedrig,
mittel, hoch).


Sie erhalten zunächst das Angebot der verfügbaren Dateien, von der Sie eine auswählen.

Anschließend werden für den ausgewählten Datensatz die paarweisen zweidimensionalen
Häufigkeitstabellen für die ausgewählten Variablen sowie die <math>chi^2</math>-Statistik und die Kontingenzkoeffizienten berechnet und im Output-Fenster angezeigt.
-->