Quelltext der Seite Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz/Beispiel: Glühlampen

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===Glühlampen===

Ein Unternehmen stellt Glühlampen her. Die Marketing-Abteilung benötigt für Werbungszwecke eine Angabe über die durchschnittliche Brenndauer einer bestimmten Sorte von Glühlampen. 

Aus statistischer Sicht ergeben sich dabei folgende Überlegungen:

* Die Erfassung der [[Grundgesamtheit]], d.h. der Gesamtproduktion dieser Sorte von Glühlampen, ist aus zwei Gründen nicht möglich:
** Da auch in Zukunft diese Glühlampen produziert werden, liegt die [[Grundgesamtheit]] nicht vollständig vor.
** Mit der Feststellung der Brenndauer ist die Zerstörung der Glühlampen verbunden.

* Um systematische Fehler bei der Erfassung des Brenndauer zu vermeiden, wird eine [[Zufallsstichprobe]] gezogen.

* Das Ziehen einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] ([[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahl mit Zurücklegen]]) macht bei dieser Problemstellung wegen der Zerstörung der Glühlampen keinen Sinn. Es wird somit eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] ([[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|Zufallsauswahl ohne Zurücklegen]]) gezogen.

* Da die Gesamtproduktion jedoch sehr groß ist, spielt die Tatsache, dass [[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|ohne Zurücklegen]] gezogen wird, keine Rolle, denn die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung in der Grundgesamtheit]] verändert sich dadurch so gut wie nicht. Die [[Stichprobe]] kann somit als eine [[einfache Zufallsstichprobe]] angesehen werden.

* Neben einer [[Punktschätzung]] für die unbekannte durchschnittliche Brenndauer soll ein [[symmetrisches Konfidenzintervall]] zum [[Konfidenzniveau]] <math>1 - \alpha = 0,95</math> angegeben werden.

* Über die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung der Zufallsvariablen]] <math>X = \;</math> "Brenndauer" und die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz <math>\sigma^{2}</math> in der Grundgesamtheit]] liegen keine Informationen vor.

====Zweiseitiges (approximatives) Konfidenzintervall====

Wenn jedoch der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> genügend groß gewählt wird, kann ein [[Approximation|approximatives]] [[Konfidenzintervall]]

<math>\left[  \bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}};\;\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\right]</math>

zum näherungsweisen [[Konfidenzniveau]]

<math>P\left(  \bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{X}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\right)  \approx1-\alpha</math>

ermittelt werden. 

Zum vorgegebenen [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha=0,95</math> findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]]: <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975}=1,96</math>.

Um einerseits eine ausreichende [[Approximation]] durch die [[Normalverteilung]] zu garantieren, andererseits aber die Kosten der [[Stichprobe]] gering zu halten, soll der [[Stichprobenumfang|Umfang der Stichprobe]] so klein als notwendig gehalten werden. In diesem Sinn wird <math>n = 50</math> gewählt.

Die konkrete [[Stichprobe]] führte zu folgenden [[Punktschätzung]]en:

*mittlere Brenndauer in der [[Stichprobe]] <math>\bar{x}</math>: <math>1600 \; \mbox{Stunden}</math>

*[[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>s^{2}</math> in der [[Stichprobe]]: <math>8100 \; \mbox{Stunden}^{2}</math>

*[[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>s</math> in der [[Stichprobe]]: <math>90 \; \mbox{Stunden}</math>

Damit erhält man das [[Schätzintervall]]:

{|
|<math>\left[  1600-1,96\cdot\frac{90}{\sqrt{50}};\; 1600+1,96\cdot\frac{90}{\sqrt{50}}\right]</math>
|<math>=[1600-24,95;\;1600+24,95]</math>
|-
|
|<math>=[1575,05;\;1624,95]</math>
|}

Da für das [[Schätzverfahren]] eine hohe [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] von 0,95 (d.h. recht nahe bei Eins) gewählt wurde, kann man davon ausgehen, eines der [[Schätzintervall]]e zum [[Stichprobenumfang]] <math>n = 50</math> erhalten zu haben, dass den wahren Wert <math>\mu</math> enthält.

====Einseitiges Konfidenzintervall====

Aus der Sicht des Leiters der Marketing-Abteilung ist dieses Ergebnis insoweit unbefriedigend, dass aus psychologischen Gründen bei der Werbung keine Angabe über die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|obere Grenze]] der mittleren Brenndauer erfolgen sollte. 

Er lässt deshalb ein nach oben offenes [[Konfidenzintervall]], d.h. ein [[einseitiges Konfidenzintervall]], bestimmen. Zum näherungsweisen [[Konfidenzniveau]]

<math>P\left(  \bar{X}-z_{1-\alpha}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\right)  =1-\alpha=0,95</math>

findet man in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]]:

<math>z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,645</math>.

Mit den Ergebnissen der gleichen [[Stichprobe]] ergibt sich für die [[Grenzen des Konfidenzintervalls|untere Grenze]]:

<math>v_{u}=1600-1,645\cdot\frac{90}{\sqrt{50}}=1600-20,94=1579,06\mbox{ Stunden}</math>

und für das einseitige [[Schätzintervall]]

<math>\left[1579,06;\;+\infty\right)</math>

Auch für dieses Ergebnis gilt eine analoge Interpretation: Aufgrund der hohen [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] von 0,95 geht man davon aus, eines der einseitigen [[Schätzintervall]]e zum [[Stichprobenumfang]] <math>n = 50</math> erhalten zu haben, dass den wahren Wert <math>\mu</math> enthält.

<!--==Interaktives Beispiel==


Es steht eine Grundgesamtheit von <math>N = 500</math> Angestellten einer Versicherungsgesellschaft zur Verfügung. An den Angestellten wurden die Variablen

<math>X_1 =\;</math> Jahresprovision in DM,

<math>X_2 =\;</math> Versicherungsabschlüsse pro Monat,

<math>X_3 =\;</math> Krankheitstage pro Kalenderjahr,

<math>X_4 =\;</math> Wochenarbeitszeit in Stunden

beobachtet. Der [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math>, die [[STAT-Glossar#Varianz|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> und die Verteilung der Variablen in der Grundgesamtheit sind unbekannt.

Ermitteln Sie auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe eine
Punkt- und Intervallschätzung für den unbekannten [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]]
<math>\mu</math>.

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Einfluss des
[[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveaus]] und des [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfanges]] auf die Breite des
Konfidenzintervalls zu studieren. Dazu empfiehlt es sich, nur eine
der beiden Größen zu verändern, während die andere konstant
gehalten wird.

Treffen Sie bitte nachfolgend ihre Entscheidungen über

* die zu analysierende Variable,
* den [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]] <math>n</math>,
* das [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> (als Dezimalzahl, z.B. 0,95).


Hinweis:

Berücksichtigen Sie bei diesen Entscheidungen, welche
Informationen Sie über die Grundgesamtheit haben.


'''Ausgabe:'''

Als Ergebnis gibt dieses interaktive Beispiel

# einen ''[[STAT-Glossar#Scatterplot|Scatterplot]]'' der ausgewählten Variable,
# den dazu gehörigen ''[[STAT-Glossar#Boxplot|Boxplot]]'' und
# das -zum gewählte [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] passende- ''Konfidenzintervall''


aus. Wenn man die gleiche Variable anschließend ein weiteres Mal
auswählt, aber ein anderes/n [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]]/[[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfang]]
angibt, so werden im nächsten Ausgabefenster auch die alten
''Konfidenzintervalle'' angezeigt (zum Vergleich).-->