Quelltext der Seite Gütefunktion des Gauß-Tests/Beispiele


=={{Vorlage:Beispiele}}==


===Mehl===

In einem Unternehmen wird Mehl maschinell in Tüten abgefüllt. Das Sollgewicht beträgt 1000 g, auf das die Maschine justiert wurde. 

Das Ist-Gewicht der Mehltüten weist gewisse Schwankungen auf, die im Produktionsprozess nicht vermieden werden können. 

Damit ist das Ist-Gewicht eine [[Zufallsvariable]]: <math>X =\;</math>"Ist-Gewicht der Mehltüten". 

Der [[Erwartungswert]] des Ist-Gewichts <math>E[X] = \mu</math>, mit dem die Maschine derzeit arbeitet, ist unbekannt. Er soll jedoch dem Sollgewicht entsprechen, d.h. <math>E[X] = \mu_{0} = 1000 \mbox{g}</math>. 

Die Konsequenz ist, dass nach einer gewissen Laufzeit der Maschine überprüft werden muss, ob die ursprüngliche Justierung der Maschine noch eingehalten wird oder ob schon erhebliche Abweichungen auftreten. 

Dazu wird in gewissen Abständen eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aus der Produktion entnommen, für die [[Stichprobe]] das durchschnittliche Ist-Gewicht ermittelt und das Ergebnis mit dem Sollwert verglichen. 

Bei
erheblichen (signifikanten) Abweichungen muss eine neue Justierung der Maschine vorgenommen
werden.

Aus der Sicht des Unternehmers sind Abweichungen nach beiden Seiten vom Sollwert <math>\mu_{0}= 1000\mbox{g}</math> relevant. 

Wird im Mittel zu wenig abgefüllt, würde dieser Umstand über kurz oder lang bei Überprüfungen (z.B. durch Verbraucherorganisationen) bekannt und der Reputation des Unternehmens erheblichen Schaden zufügen. 

Wird im Mittel zu viel abgefüllt, schmälert dies den Gewinn des Unternehmers. Es ist somit ein [[zweiseitiger Test]] durchzuführen:

<math>H_{0}:\mu =1000\quad H_{1}:\mu \neq 1000</math>

Der [[Statistischer Test|Test]] soll auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> durchgeführt werden. 

Es wird eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> gezogen. Aufgrund des großen [[Umfang der Grundgesamtheit|Umfangs der Grundgesamtheit]] (Gesamtproduktion) kann dabei von einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] ausgegangen werden.
</div>

====Teststatistik und Entscheidungsbereiche==== 

Als [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> der Grundgesamtheit]] wird der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> verwendet. 

Es sei aufgrund der langjährigen Nutzung der Maschine bekannt, dass das Ist-Gewicht eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Zufallsvariable]] mit der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma = 10\mbox{g}</math> ist. 

Dann folgt für die [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math>, dass sie ebenfalls [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist und eine [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\sigma\left(\bar{X}\right) = 2\mbox{g}</math> aufweist. 

Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], d.h. wenn die Maschine im Mittel tatsächlich das Sollgewicht von 1000 g einhält, gilt:

<math>\bar{X}\mbox{ ist unter } H_{0}\sim N(1000;\;2)</math>.

Für die [[Teststatistik]]

<math>V=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}</math>

folgt:

<math>V \mbox{ ist unter }H_{0}\sim N(0;\;1)</math>.

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>P(V \leq c_{o})=1-\frac{\alpha}{2} = 0,975</math> den oberen [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c_{o} = z_{0,975}= 1,96</math>. 

Wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] gilt <math>c_{u}=-z_{1-\frac{\alpha}{2}}=-1,96</math>.

Damit ergeben sich die [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu: 

[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]<math>:\;\left\{v|-1,96\leq v\leq 1,96\right\}</math>

[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]<math>:\;\left\{v|v<-1,96 \mbox{ oder }v>1,96\right\}</math>



<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_Verteilung_Teststatistik_R00480004800000000000000_plot.html" />
| Abb. 1: Verteilung der Teststatistik <math>V</math> unter <math>H_0</math> und Entscheidungsbereiche}}


====Prüfwert==== 

Es werden nunmehr die 25 Mehltüten zufällig ausgewählt, ihr Ist-Gewicht festgestellt und das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] dieser Gewichte berechnet, für das sich <math>\bar{x} = 996,4 \mbox{ g}</math>  ergeben habe. 

Als [[Prüfwert]] erhält man

<math>v=\frac{996,4-1000}{2}=-1,8</math>

====Entscheidungssituationen==== 

Da <math>v = - 1,8 </math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] verschieden vom hypothetischen Wert <math>\mu_{0} = 1000\mbox{g}</math> ist, d.h. dass die Maschine den Sollwert von 1000 g nicht einhält.

====Gütefunktion====

====Gütefunktion==== 

Bei dieser Testentscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist. 

Die [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnung der <math>H_{0}</math>]] kann daher nur angemessen beurteilt werden, wenn die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen derartigen Fehler berücksichtigt wird. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist jedoch unbekannt, da der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] unbekannt ist. 

Man kann aber für verschiedene mögliche Alternativwerte <math>\mu</math> die [[Gütefunktion]] und über <math>1 - G(\mu)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] für den [[Fehler 2. Art]] in Abhängigkeit von <math>\mu</math> ermitteln. 

Es sei z.B. angenommen, dass <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> das tatsächliche mittlere Ist-Gewicht ist, mit dem die Maschine arbeitet. 

Da für <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> stimmt, gibt die [[Gütefunktion]] <math>G(\mu = 1002)</math> an dieser Stelle die [[Wahrscheinlichkeit]] einer richtigen Entscheidung für <math>H_{1}</math> an:

<math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right)= 1-\beta</math>

Mit <math>\mu_{0} = 1000,\; \alpha =0,05,\; \sigma =10</math> und <math>n = 25</math> erhält man:
{|
|<math>G\left(\mu = 1002\right)</math>
|<math>=1-\left[P\left( V\leq 1,96-\frac{1002-1000}{2}\right)-P\left(V\leq -1,96-\frac{1002-1000}{2}\right) \right]</math>
|-
|
|<math>=1-\left[P\left(V\leq 0,96\right)-P\left(V\leq -2,96\right)\right]</math>
|-
|
|<math>=1-\left[P\left( V\leq 0,96\right) -\left( 1-P\left( V\leq 2,96\right) \right) \right]</math>
|-
|
|<math> =1-\left[ 0,831472-\left( 1-0,998462\right) \right]</math>
|-
|
|<math>=1-0,829934\;</math>
|-
|
|<math> =0,17=1-\beta\;</math>
|}

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] an der Stelle <math>\mu = 1002</math> ist:

<math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =\beta \left(\mu = 1002\right) =1-G\left(\mu=  1002\right)=0,83</math>

Wenn das tatsächliche durchschnittliche Ist-Gewicht <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> beträgt, wird in rund 83% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> die Abweichung vom Sollgewicht 1000 g durch den Test nicht aufgedeckt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist sehr hoch, da die Differenz <math>\mu -\mu_{0} = 1002 - 1000</math> relativ klein ist.

Wenn dagegen z.B. <math>\mu = 989</math> g der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, dann gibt <math>G(\mu = 989)</math> ebenfalls die [[Wahrscheinlichkeit]] einer richtigen Entscheidung für <math>H_{1}</math> an: 

<math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1} \right)=1-\beta</math>, da in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> stimmt. 

Man erhält durch analoge Berechnungen:

<math>G\left(\mu= 989 \right) = 1-\beta = 0,9998</math> und <math> \beta\left(\mu =989\right)=0,0002</math>

In nur rund 0,02% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> wird in diesem Fall die Abweichung vom Sollgewicht <math>1000\mbox{g}</math> durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist sehr klein, da die Differenz <math>\mu - \mu_{0} = 989 - 1000</math> groß ist.

Für die gegebenen Werte von <math>\mu_{0},\; \alpha,\; \sigma</math> und <math>n</math> sind in der folgenden Tabelle <math>G(\mu)</math> und <math>1 - G(\mu)</math> für weitere zulässige Werte von <math>\mu</math> enthalten.

{| class="wikitable"
|align="center"|<math>\mu</math>
|align="center"|Gültigkeit von
|align="center"|<math>G\left( \mu \right)</math>
|align="center"|<math>1-G\left( \mu \right)</math>
|-
|align="center"|<math>988,00</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,999973=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,000027=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>990,40</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,997744=1-\beta </math>
|align="center"|<math>0,002256=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>992,80</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,949497=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,050503=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>995,20</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,670038=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,329962=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>997,60</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,224416=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,775584=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>1000,00</math>
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,05=\alpha</math>
|align="center"|<math>0,95=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|<math>1002,40</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,224416=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,775584=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>1004,80</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,670038=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,329962=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>1007,20</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,949497=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,050503=\beta </math>
|-
|align="center"|<math>1009,60</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,997744=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,002256=\beta </math>
|-
|align="center"|<math>1012,00</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,999973=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,000027=\beta</math>
|}

Die grafische Darstellung der [[Gütefunktion]] enthält die Abb. 2.





<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_mu0_1000_R00480004801536916583878_plot.html" />
| Abb. 2: Gütefunktion mit <math>\mu_0=1000</math>, <math>\alpha=0,05</math>, <math>\sigma=10</math> und <math>n=25</math>}}

Eine Möglichkeit, die [[Gütefunktion]] bei festem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha= 0,05</math> zu beeinflussen, ist die Erhöhung des [[Stichprobenumfang]]s <math>n</math>. 

Das soll exemplarisch unter den Annahmen gezeigt werden, dass <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> bzw. <math>\mu = 989\mbox{g}</math> der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, wobei weiterhin <math>\alpha=0,05,\; \mu_{0} = 1000</math> und <math>\sigma = 10</math> gelten.

{| class="wikitable"
|
|align="center"|<math>n=9</math>
|align="center"|<math>n=16</math>
|align="center"|<math>n=25</math>
|align="center"|<math>n=36</math>
|-
|align="center"|<math>G\left(1002\right)=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0921</math>
|align="center"|<math>0,126</math>
|align="center"|<math>0,17</math>
|align="center"|<math>0,224</math>
|-
|align="center"|<math>\beta \left(\mu = 1002\right)</math>
|align="center"|<math>0,9079</math>
|align="center"|<math>0,874</math>
|align="center"|<math>0,83</math>
|align="center"|<math>0,776</math>
|-
|align="center"|<math>G\left(\mu = 989\right) =1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,91</math>
|align="center"|<math>0,993</math>
|align="center"|<math>0,9998</math>
|align="center"|<math>0,999998</math>
|-
|align="center"|<math>\beta \left(\mu =  989\right)</math>
|align="center"|<math>0,09</math>
|align="center"|<math>0,007</math>
|align="center"|<math>0,0002</math>
|align="center"|<math>0,000002</math>
|}

Abb. 3 zeigt die [[Gütefunktion]]en für die 4 verschiedenen [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]].

===BEARBEITUNG=== 
<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_zweiseitig_4SP_R00480004800000000000000_plot.html" />

Wird z.B. vermutet, dass die Maschine nur mit einer geringfügigen Abweichung vom Sollwert <math>\mu_{0}</math> arbeitet, so ist ein größerer [[Stichprobenumfang]] empfehlenswert, um vorhandene Abweichungen zuverlässiger aufzudecken und bei [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnung der <math>H_{0}</math>]] die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] zu verringern, auch wenn dadurch die Kosten für die Überprüfung der Maschine höher werden.