Quelltext der Seite Effizienz

{{Schaetztheorie}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Effizienz===

Gegeben seien zwei [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]]en <math>\hat{\theta}_{n}^{(1)}</math> und <math>\hat{\theta}_{n}^{(2)}</math> mit gleichem
[[Stichprobenumfang]] <math>n</math> zur [[Schätzung]] des unbekannten [[Parameter]]s <math>\vartheta</math>.

Somit gilt:

<math>E\left[\hat{\theta}_{n}^{(1)}\right]=\vartheta</math> und <math>E\left[\hat{\theta}_{n}^{(2)}\right]=\vartheta</math>

====Relative Effizienz====

Die [[Schätzfunktion]] <math>\hat{\theta}_{n}^{(1)}</math> heißt ''relativ effizient'' zu <math>\hat{\theta}_{n}^{(2)}</math>, wenn die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\hat{\theta}_{n}^{(1)}</math> kleiner ist als die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] von <math>\hat{\theta}_{n}^{(2)}</math>, also

<math>Var\left(\hat{\theta}_{n}^{(1)}\right) \leq Var\left(\hat{\theta}_{n}^{(2)}\right)</math>

====Absolute Effizienz====

Die [[Schätzfunktion]] <math>\hat{\theta}_{n}^{(1)}</math> heißt ''absolut effizient'' für <math>\vartheta</math>, wenn sie im Vergleich zu jeder anderen [[erwartungstreue]]n [[Schätzfunktion]] für <math>\vartheta</math> die kleinste [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] aufweist.

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Effizienz wichtiger Schätzfunktionen===

====Stichprobenmittelwert====

* Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> ist eine [[Absolute Effizienz|absolut effiziente]] [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>\mu</math> bei Grundgesamtheiten]], für die beliebige [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]]en mit endlicher [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] zugelassen sind.
* Für eine <math>N(\mu;\sigma^{2})</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] ist der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> als [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> [[Absolute Effizienz|absolut effizient]], da es keine [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]] für <math>\mu</math> mit einer kleineren [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] gibt.
* Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> ist eine [[Absolute Effizienz|absolut effiziente]] [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Parameter]] <math>\lambda</math> einer [[Poisson-Verteilung|Poisson-verteilten]] [[Grundgesamtheit]].
* Für eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Grundgesamtheit]] sind der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> und der [[Stichprobe]]n[[median]] <math>\bar{X_{z}}</math> [[erwartungstreue]] [[Schätzfunktion]]en für den unbekannten [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>\mu</math>]]. 

: Für [[einfache Zufallsstichprobe]]n gilt:

: <math>{\sigma^{2}\left(\bar{X}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}}</math>

: Weiterhin lässt sich zeigen, dass

: <math>\sigma^{2}\left(\bar{X_{z}}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sigma^{2}}{n}=1,571\;\sigma^{2}\cdot\left(\bar{X}\right)</math>

: und damit

: <math>\sigma^{2}(\bar{X})<\sigma^{2}(\bar{X_{z}})</math>

: ist. 

: Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> ist [[Relative Effizienz|relativ effizient]] gegenüber dem [[Stichprobe]]n[[median]] <math>\bar{X_{z}}</math>.

====Stichprobenanteilswert====

Der [[Stichprobenanteilswert]] <math>\widehat{\pi}</math> ist eine [[Absolute Effizienz|absolut effiziente]] [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>\pi</math> einer [[dichotomes Merkmal|dichotomen]] [[Grundgesamtheit]], d.h. für alle [[Bernoulli-Experiment|Bernoulli-Verteilungen]]. 

====Stichprobenvarianz====

Bei bekanntem [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] <math>E[X] = \mu</math> einer [[Normalverteilung|normalverteilten]] [[Grundgesamtheit]] können für die [[Schätzung]] der unbekannten [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz <math>\sigma^{2}</math> der Grundgesamtheit]] die [[Schätzfunktion]]en

<math>S^{*2}=\frac{1}{n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}- \mu)^{2}</math>

<math>S^{2}=\frac{1}{n-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} (X_{i}- \bar{X})^{2}</math>

verwendet werden. Wie bereits gezeigt, sind beide [[Schätzfunktion]]en [[Erwartungstreue|erwartungstreu]]:

<math>\,E\left[ S^{*2}\right]= \sigma^{2}</math> und <math>E\left[S^{2}\right]= \sigma^{2}\;</math>

mit den [[Varianz (stochastisch)|Varianz]]en

<math>\,Var\left( S^{*2}\right)= 2\cdot\frac{\sigma^{4}}{n}</math> bzw. <math>\,Var\left( S^{2}\right)=2\cdot\frac{\sigma^{4}}{n-1}</math>.

<math>\,S^{ *2}</math> ist [[Relative Effizienz|relativ effizient]] gegenüber <math>S^{2}\;</math>.

Die Beispiele zeigen, dass der Vergleich von [[Schätzfunktion]]en jeweils für eine Klasse von zugelassenen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilungen]] erfolgt.

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Beste Schätzfunktion===

Eine [[Grundgesamtheit]] habe den [[Mittelwert der Grundgesamtheit|Mittelwert]] <math>\mu</math> und die [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math>. Es sei <math>(X_{1},X_{2},X_{3})</math> eine [[Einfache Zufallsstichprobe|einfache (theoretische) Zufallsstichprobe]] aus dieser [[Grundgesamtheit]]. 

Jede der [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{i}\; (i = 1,2,3)</math> hat <math>E\left[X_{i}\right]=\mu</math> und <math>Var(X_{i})=\sigma^{2}</math>. Folgende drei [[Schätzfunktion]]en sind gegeben:

# <math>\hat{\Theta}_{1}=\frac{1}{3}(X_{1}+X_{2}+X_{3})</math>
# <math>\hat{\Theta}_{2}=\frac{1}{4}(2X_{1}+2X_{3})</math>
# <math>\hat{\Theta}_{3}=\frac{1}{3}(2X_{1}+X_{2})</math>

Welche dieser [[Schätzfunktion]]en sind [[Erwartungstreue|erwartungstreu]]? Welche [[Schätzfunktion]] erhält nach dem [[Gütekriterien einer Schätzfunktion|Kriterium]] der Effizienz den Vorzug?

Alle drei [[Schätzfunktion]]en sind [[Erwartungstreue|erwartungstreu]], wobei <math>E\left[X_{i}\right]=\mu</math> berücksichtigt
wurde:

{|
|<math>E\left[\hat{\Theta}_{1}\right]=E\left[\frac{1}{3}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(E\left[X_{1}\right]+E\left[X_{2}\right]+E\left[X_{3}\right]\right)=\frac{1}{3}(\mu+\mu+\mu)</math>
|<math>\,=\mu</math>
|-
|<math>E\left[\hat{\Theta}_{2}\right]=E\left[\frac{1}{4}\left(2X_{1}+2X_{3}\right)\right]=\frac{1}{4}\left(2E\left[X_{1}\right]+2E\left[X_{3}\right]\right)=\frac{1}{4}(2\mu+2\mu)</math>
|<math>\,=\mu</math>
|-
|<math>E\left[\hat{\Theta}_{3}\right]=E\left[\frac{1}{3}\left(2X_{1}+X_{2}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(2E\left[X_{1}\right]+E\left[X_{2}\right]\right)=\frac{1}{3}\left(2\mu+\mu\right)</math>
|<math>\, =\mu</math>
|}

Betrachtung der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] der [[Schätzfunktion]]en:

{|
|<math>Var\left(\hat{\Theta}_{1}\right)</math>
|<math>=Var\left[\frac{1}{3}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)\right]=\frac{1}{9}Var\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right)=\frac{1}{9}\left[Var\left(X_{1}\right)+Var\left(X_{2}\right)+Var\left(X_{3}\right)\right]=\frac{1}{9}\left(\sigma^{2}+\sigma^{2}+\sigma^{2}\right)=\frac{1}{3}\sigma^{2}</math>
|-
|<math>Var\left(\hat{\Theta}_{2}\right)</math>
|<math>=Var\left[\frac{1}{4}\left(2X_{1}+2X_{3}\right)\right]=\frac{1}{16}Var\left(2X_{1}+2X_{3}\right)=\frac{1}{16}\left[4Var\left(X_{1}\right)+4Var\left(X_{3}\right)\right]=\frac{1}{16}\left(4\sigma^{2}+4\sigma^{2}\right)=\frac{1}{2}\sigma^{2}</math>
|-
|<math>Var\left(\hat{\Theta}_{3}\right)</math>
|<math>=Var\left[\frac{1}{3}\left(2X_{1}+X_{2}\right)\right]=\frac{1}{9}Var\left(2X_{1}+X_{2}\right)=\frac{1}{9}\left[4Var\left(X_{1}\right)+Var\left(X_{2}\right)\right]=\frac{1}{9}\left(4\sigma^{2}+\sigma^{2}\right)=\frac{5}{9}\sigma^{2}</math>
|}

Nach dem [[Gütekriterien einer Schätzfunktion|Kriterium]] der Effizienz erhält die erste [[Schätzfunktion]] den Vorzug, da sie die geringste [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] aufweist. 

Die erste [[Schätzfunktion]] ist [[Relative Effizienz|relativ effizient]] gegenüber der zweiten und dritten [[Schätzfunktion]]. 

Da sie den [[Stichprobenmittelwert]] beinhaltet, ist sie auch [[Absolute Effizienz|absolut effizient]].