Quelltext der Seite Diskrete Gleichverteilung

{{Verteilungsmodelle}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Diskrete Gleichverteilung===

Eine [[diskrete Zufallsvariable]] <math>X</math> mit den endlich vielen [[Realisation]]en <math>x_{i} \, (i = 1,...,n)</math> heißt ''gleichverteilt'', wenn jeder Wert von <math>X</math> die gleiche [[Wahrscheinlichkeit]] der [[Realisation|Realisierung]] hat. 

Die ''diskrete Gleichverteilung'' weist den [[Parameter]] <math>n</math> auf.

Für die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] einer diskreten Gleichverteilung gilt:

<math>f(x_{i})=\begin{cases}\frac{1}{n}\quad & \mbox{, wenn } i=1,\dots ,n \\
0\quad & \mbox{, sonst }\end{cases}</math>

Für die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] einer diskreten Gleichverteilung gilt:

<math> F(x) = \begin{cases}0  & \mbox{, wenn } x < x_1 \\
\frac{i}{n} \quad & \mbox{, wenn } x_i \leq x \leq x_{i+1} ; \quad i= 1, \dots n-1 \\
1 \quad & \mbox{, wenn }\ x_n \leq x \end{cases}</math>

Für den [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] einer diskreten gleichverteilten [[Zufallsvariable]]n erhält man:

<math>E[X] = \mu = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i</math>

<math>Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i -\mu)^2</math>

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Würfel===

Die grafische Darstellung einer diskreten Gleichverteilung ist bei der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional)|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] ein [[Stabdiagramm|Stab-]] oder [[Balkendiagramm]] und bei der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] eine Treppenfunktion.

Ein typisches Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung ist das einmalige Werfen eines idealen Würfels. 

Die [[diskrete Zufallsvariable]] <math> = \{\mbox{Augenzahl}\}</math> kann nur die ganzzahligen Werte im Intervall <math>\,[1;6]</math> annehmen. 

Aufgrund der Voraussetzung eines idealen Würfels hat nach der [[Wahrscheinlichkeit nach Laplace|klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit]] jede [[Realisation]] von <math>X</math> die [[Wahrscheinlichkeit]]

<math>\,f(x_{i})=\frac{1}{6}</math> für <math>i = 1,\dots,6</math>.

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[[Kategorie:Statistik I&II]]