Quelltext der Seite Chi-Quadrat-Anpassungstest/Zusatzinformationen


==Zusatzinformationen==

===Notwendigkeit der Klassierung bei stetigen Zufallsvariablen===

Das dem Chi-Quadrat-Anpassungstest zugrundeliegende [[Hypothese]]npaar enthält die [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{j}\left(j=1,\ldots ,k\right)</math>, die aus der hypothetischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] zu bestimmen sind. 

Ist <math>X\;</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]], erhält man <math>p_{j}=P\left(X=x_{j}|H_{0}\right)</math> aus der vorgegebenen [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]].

Für eine [[stetige Zufallsvariable]] <math>X\,</math> ist die [[Wahrscheinlichkeit]], dass <math>X\;</math> einen bestimmten Wert <math>x</math> annimmt, jedoch stets Null. 

Daraus folgt die Notwendigkeit einer [[Klassierung]] der beobachteten Werte. Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p_{j}=P\left(x_{j-1}^*<X\leq x_{j}^*|H_{0}\right)</math>, dass die [[stetige Zufallsvariable]] <math>X\;</math> einen Wert aus der [[Klasse]] <math>\left(x_{j-1}^*,x_{j}^*\right)</math> annimmt, kann dann mittels der vorgegebenen [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] bestimmt werden.

Es sei jedoch angemerkt, dass auch für eine [[diskrete Zufallsvariable]] eine [[Klassierung]] vorgenommen werden kann, falls es die Problemstellung erfordert.

===Herleitung der Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests===

Die Tatsache, dass die beobachteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>h_{j}</math> [[Zufallsvariable]]n <math>H_{j}</math> sind, lässt sich wie folgt zeigen, wobei es keine Rolle spielt, ob <math>X\;</math> [[diskrete Zufallsvariable|diskret]] oder [[stetige Zufallsvariable|stetig]] ist, so dass nur auf eine [[diskrete Zufallsvariable]] <math>X\;</math> Bezug genommen wird.

Aus der [[Grundgesamtheit]] wird ein [[Statistisches Element|Element]] zufällig gezogen und festgestellt, ob der Wert <math>x_{j}</math> aufgetreten ist, d.h. ob das [[Ereignis]] <math>\{X = x_{j}\}</math> eingetreten ist oder nicht. 

Es gibt somit nur zwei mögliche Ergebnisse des [[Zufallsexperiment]]es. Die [[Wahrscheinlichkeit]] für das Eintreten des [[Ereignis]]ses <math>\{X =x_{j}\}</math> beträgt bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] <math>p_{j}</math> und die [[Wahrscheinlichkeit]] für das Nichteintreten <math>1 - p_{j}</math>. 

Das [[Zufallsexperiment]] wird <math>n</math>-mal wiederholt, wobei die einzelnen Versuche [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] voneinander (da eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vorausgesetzt wird) und die [[Wahrscheinlichkeit]]en konstant sind. Es liegt somit ein [[Bernoulli-Experiment]] vor.

Bei <math>n</math>-maliger Durchführung der Versuche interessiert die Gesamtzahl des Eintretens von <math>{\left\{X=x_{j}\right\}}</math>, d.h. die [[absolute Häufigkeit]] von <math>x_{j}</math> in der [[Stichprobe]]. 

Diese [[absolute Häufigkeit|Häufigkeit]] kann von [[Stichprobe]] zu [[Stichprobe]] unterschiedlich sein, so dass <math>H_{j}: = \{</math>Anzahl des Auftretens von <math>X=x_{j}</math> in einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n \} </math> eine [[diskrete Zufallsvariable]] ist, die die Werte <math>0,\ldots ,n</math> annehmen kann.

Die [[Zufallsvariable]] <math>H_{j}\;</math> ist [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] und zwar bei Gültigkeit von <math>H_{0}</math> mit den [[Parameter]]n <math>n</math> und <math>p_j : H_j \sim B(n;p_j)\;</math>.

Der [[Erwartungswert]] von <math>H_{j}\;</math> ist <math>E\left[H_{j}\right]=n\cdot p_{j}</math> und damit die bei Gültigkeit der <math>H_{0}</math> erwartete [[absolute Häufigkeit]] des Wertes <math>\left\{X=x_{j}\right\}</math> in der [[Stichprobe]]. 

Die [[Variation (Streuung)|Variation]] der [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] für <math>\left\{X=x_{j}\right\}</math> wird durch die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>Var\left( H_{j}\right)=np_{j}\left( 1-p_{j}\right)</math> erfasst.

Für die Konstruktion der [[Teststatistik]] wird die Abweichung der [[Zufallsvariable]]n von ihrem [[Erwartungswert]] gebildet: <math>H_{j}-n\cdot p_{j}</math>. 

Zur Vermeidung, dass sich positive und negative Abweichungen aufheben, erfolgt eine Quadrierung: <math>\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}</math>. 

Mit der Division durch die erwartete Häufigkeit <math>n\cdot p_j</math> wird der Einfluss des [[Stichprobenumfang]]es <math>n</math> und der
[[Wahrscheinlichkeit]] <math>p_{j}</math> berücksichtigt und der unterschiedlichen Bedeutung der Abweichungen Rechnung getragen.

Eine Differenz <math>h_{j}-n\cdot p_{j}=5</math> fällt bei <math>n\cdot p_{j}=10</math> stärker ins Gewicht als bei <math>n\cdot p_{j}=100</math>.

Diese Herleitung gilt für alle <math>j=1,\ldots ,k</math> gleichermaßen

<math>V=\sum_{j=1}^{k}\frac{\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}</math>

Da die <math>H_{j}\;</math> [[Zufallsvariable]]n sind, ist auch <math>V\;</math> eine [[Zufallsvariable]]. Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], hinreichend großem [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> und Einhaltung der [[Approximation]]sbedingungen ist die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> [[Approximation|approximativ]] [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit <math>f = k - m - 1</math> [[Freiheitsgrad]]en. 

Dies gilt unabhängig davon, welche [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] unter <math>H_{0}</math> angenommen wurde. 

Sind die [[Approximation]]sbedingungen nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des [[Statistischer Test|Tests]] benachbarte Werte bzw. [[Klasse]]n zusammengefasst werden, was dann auch im [[diskrete Zufallsvariable|diskreten]] Fall mit einer [[Klassierung]] verbunden ist.

Bei der Ermittlung der [[Freiheitsgrad]]e ist zu berücksichtigen, dass ein [[Freiheitsgrad]] grundsätzlich verloren geht, weil die beobachteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] nicht [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] voneinander sind. 

Für vorgegebenen [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> und aufgrund der Bedingung <math>\sum\nolimits_{j}h_{j}=n</math> folgt, dass jede [[absolute Häufigkeit|Häufigkeit]] <math>h_{j}</math> durch die anderen <math>k - 1</math> [[absolute Häufigkeit|Häufigkeiten]] bestimmt ist. 

Weitere [[Freiheitsgrad]]e gehen verloren, wenn die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F_{0}\left( x\right)</math> nicht mit allen ihren [[Parameter]]n bekannt ist, sondern diese [[Parameter]] aus der [[Stichprobe]] [[Schätzung|geschätzt]] werden müssen. 

Mit <math>m</math> als Anzahl der zu [[Schätzung|schätzen]]den [[Parameter]] ergibt sich die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e zu: <math>f = k - m - 1</math>.