Quelltext der Seite Chi-Quadrat-Anpassungstest

{{Testtheorie}}
{{SubpageToc|Zusatzinformationen|Beispiel: Würfel|Beispiel: Produktnachfrage (1.Version)|Beispiel: Produktnachfrage (2.Version)}}

==Grundbegriffe==


===Anpassungstest, Verteilungstest oder Goodness-of-fit-Test===

Bei diesem [[Statistischer Test|Test]] wird eine [[Hypothese]] über die unbekannte [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung der Zufallsvariablen <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] geprüft, woraus sich der Name ''Anpassungstest, Verteilungstest oder Goodness-of-fit-Test'' ergibt.

Anpassungstests gehören zu den nichtparametrischen [[Statistischer Test|Tests]]. 

Es gibt eine ganze Reihe von Anpassungstests, von denen hier nur der Chi-Quadrat-Anpassungstest behandelt wird.

Die generelle Vorgehensweise bei [[Anpassungstest]]s ist im Prinzip wie bei den [[Parametertest]]s. 

Es wird eine [[Teststatistik]] konstruiert, die die Information über die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] sowie die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] in der [[Zufallsstichprobe]] enthält und auf deren Basis eine Aussage über die [[Nullhypothese]] möglich ist. 

Die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] der [[Teststatistik]] muss unter der [[Nullhypothese]] (zumindest [[Approximation|approximativ]]) bekannt sein.

Auch bei [[Anpassungstest]]s wird stets die [[Nullhypothese]] [[Statistik|statistisch]] geprüft und in Abhängigkeit von der [[Statistischer Test|Test]]entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})=\alpha</math>  bzw. einen [[Fehler 2. Art]] mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})=\beta</math> zu begehen. 

Mit dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> kann die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] niedrig gehalten werden; die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] ist dagegen in der Regel nicht bekannt. 

Man wird deshalb bestrebt sein, die [[Nullhypothese]] abzulehnen, da dann die [[Statistik|statistische]] Sicherheit einer Fehlentscheidung bekannt ist.

Wenn die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] die wahre [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung in der Grundgesamtheit]] ist, dann ist zu erwarten, dass diese [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] im Prinzip auch in der [[Stichprobe]] zu beobachten ist. 

Im Prinzip bedeutet dabei, dass Abweichungen zwischen der beobachteten [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] in der [[Stichprobe]] und der unter der Verteilungsannahme erwarteten [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] in der [[Stichprobe]] in der Regel immer auftreten werden. 

Zu entscheiden ist, ob die Abweichungen noch zufallsbedingt sind oder ob es sich um signifikante Abweichungen handelt. 

Um die erwartete [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] in der [[Stichprobe]] ermitteln zu können, muss unter der [[Nullhypothese]] angenommen werden, dass genau die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] die wahre [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung in der Grundgesamtheit]] ist. 

Damit lautet das [[Hypothese]]npaar stets:

<math>H_{0}:</math> Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] weist die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] auf.

<math>H_{1}:</math> Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] weist eine andere als die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] auf.

Große Abweichungen zwischen der beobachteten [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] und der erwarteten [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] in der [[Stichprobe]] deuten tendenziell auf eine falsche Verteilungsannahme hin, d.h. man wird die [[Nullhypothese]] ablehnen.

===Chi-Quadrat-Anpassungstest===

Der ''Chi-Quadrat-Anpassungstest'' basiert auf einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom vorgegebenen [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math>. Das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> ist vor der [[Statistischer Test|Test]]durchführung festzulegen.

Gegeben ist eine [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] mit der [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung]]  <math>F(x)</math>, wobei an das [[Skalenniveau]] von <math>X\;</math> keine Voraussetzungen gestellt werden. 

Die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung]] <math>F(x)</math> ist unbekannt. Es existiert jedoch eine Annahme, dass <math>X\;</math> die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F_{0}(x)</math> besitzt.

Ist <math>X\;</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]] (darunter werden im weiteren summarisch [[Nominalskala|nominalskalierte]], [[Ordinalskala|ordinalskalierte]] sowie [[diskrete Zufallsvariable]]n mit sehr wenigen [[Ausprägung]]en verstanden), kann sie die Werte <math>x_{1}, \ldots, x_{k}</math> annehmen. 

Es bezeichne:

* <math>h\left( x_{j}\right)=h_{j}</math> die [[Beobachtung|beobachtete]] [[absolute Häufigkeit]] des Wertes <math>x_{j}</math> in der [[Stichprobe]], <math>j=1,\ldots, k</math>,

* <math>P\left(X=x_{j}\right)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> den Wert <math>x_{j}</math> annimmt, <math>j=1,\ldots , k</math>.

Ist <math>X\;</math> eine [[stetige Zufallsvariable]] (darunter werden im weiteren auch die [[diskrete Zufallsvariable|diskreten Zufallsvariable]]n mit sehr vielen bzw. unendlich vielen [[Ausprägung]]en, d.h. die genannten [[Quasi-stetiges Merkmal|quasi-stetig]]en [[Zufallsvariable]]n, gefasst), muss eine Intervallbildung der [[Beobachtung|beobachtete]]n Werte in [[disjunkte Ereignisse|disjunkt]]e, aneinander angrenzende [[Klasse]]n erfolgen. 

Mit <math>k</math> als Anzahl der [[Klasse]]n <math>(k \geq 2)</math> können die [[Klasse]]n allgemein wie folgt geschrieben werden: 

<math>(x_{0}^{*},x_{1}^{*}),\;(x_{1}^*,x_{2}^*),\; \ldots,(x_{k-1}^*,x_{k}^*)\;\mbox{ bzw. }\;( x_{j-1}^*,x_{j}^*)</math>, für <math> j=1,\ldots ,k</math>. 

Es bezeichne im [[stetige Zufallsvariable|stetige]]n Fall:

* <math>h\left(x_{j-1}^* < X\leq x_{j}^*\right)=h_{j}</math> die beobachtete [[absolute Häufigkeit]] der j-ten [[Klasse]] in der [[Stichprobe]], <math>j=1,\ldots , k</math>,

* <math>P\left( x_{j-1}^*<X\leq x_{j}^*\right)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> einen Wert aus der [[Klasse]] <math>\left(x_{j-1}^*, x_{j}^*\right)</math> annimmt <math>j=1,\ldots , k</math>.

Die [[Nullhypothese]] lautet beim [[Anpassungstest]] immer, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] aufweist. Die [[Alternativhypothese]] enthält das logische Pendant. 

Das dem Chi-Quadrat-Anpassungstest zugrundeliegende [[Hypothese]]npaar lautet speziell:

* wenn <math>X\;</math> [[diskrete Zufallsvariable|diskret]] ist

: <math>H_{0}:\; P\left(X=x_{j}\right) = p_{j} \quad \forall j=1, \ldots,k</math>

: <math>H_{1}:\; P\left( X=x_{j}\right) \neq p_{j} \quad</math> für mindestens ein <math>j</math>

* wenn <math>X\;</math> [[stetige Zufallsvariable|stetig]] ist

: <math>H_{0}:\; P\left( x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right) = p_{j} \quad \forall j=1, \ldots, k</math>

: <math>H_{1}:\; P\left(x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}\right) \neq p_{j}\quad</math>  für mindestens ein <math>j</math>

Dabei bezeichnet <math>p_{j}\; (j=1,\ldots ,k)</math> sowohl im [[diskrete Zufallsvariable|diskreten]] als auch im [[stetige Zufallsvariable|stetigen]] Fall die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> den Wert <math>x_{j}</math> annimmt bzw. in die j-te [[Klasse]] <math>\left(x_{j-1}^{*}, x_{j}^{*} \right)</math> fällt, wenn die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F_{0}(x)</math> zugrundegelegt wird, d.h. wenn die [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> gilt:

<math>p_{j}=P\left( X=x_{j}| H_{0}\right) \; \mbox{bzw.} \; p_{j}=P\left( x_{j-1}^{*}<X\leq x_{j}^{*}| H_{0}\right)</math>

Die <math>p_{j}</math> können bestimmt werden durch die Vorgabe

* einer vollständig spezifizierten theoretischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]], d.h. [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]]styp inklusive sämtlicher [[Parameter]].

: Beispiel: Die Annahme besagt, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> eine [[Poisson-Verteilung]] <math>PO(\lambda)</math> mit vorgegebenem [[Parameter]] <math>\lambda</math> besitzt.

* einer theoretischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] mit unbekannten [[Parameter]]n, d.h. nur der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]]styp ist in der Annahme vorgegeben, die [[Parameter]] müssen aus der [[Stichprobe]] [[Schätzung|geschätzt]] werden.

: Beispiel: Die Annahme besagt, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\,</math> eine [[Normalverteilung]] <math>N(\mu, \sigma)</math> mit unbekanntem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und unbekannter [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> aufweist, so dass diese beiden [[Parameter]] erst aus der [[Stichprobe]] zu [[Schätzung|schätzen]] sind.

* einer [[Häufigkeitsverteilung]]

: Beispiel: Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> habe vier mögliche [[Realisation]]en. Es wird angenommen, dass diese mit den fest vorgegebenen [[Wahrscheinlichkeit]]en bzw. [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] <math>p_{1}=0,2</math>, <math>p_{2}=0,4</math>, <math>p_{3}=0,1</math> und <math>p_{4}=0,3</math> auftreten.

===Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests===

Der Chi-Quadrat-Anpassungstests basiert auf dem Vergleich der in der [[Stichprobe]] beobachteten [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] und der bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] in der [[Stichprobe]] erwarteten [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]]. 

Für die Bestimmung der ''Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests'' wird von den [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] ausgegangen. 

Für die konkrete [[Stichprobe]] wird die Anzahl <math>h_{j}</math> festgestellt, dass das [[Ereignis]] <math>\left\{ X=x_{j}\right\}</math> bzw. <math>\left\{ x_{j-1}^*<X\leq x_{j}^*\right\}</math> eingetreten ist. 

Mit den [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>h_{j}</math> für alle <math>j=1,\ldots ,k</math> ist die in der [[Stichprobe]] beobachtete [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] gegeben. Da die [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>h_{j}</math> Ergebnis eines [[Zufallsexperiment]]es sind, können sie von [[Stichprobe]] zu [[Stichprobe]] unterschiedliche Werte annehmen, d.h. sie sind [[Realisation]]en von [[Zufallsvariable]]n <math>H_{j}\;</math>.

Wenn die [[Nullhypothese]] gilt, sind die in der [[Stichprobe]] erwarteten [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] durch die [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{j}</math> gegeben. 

Für die erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] folgt: <math>n\cdot p_{j}</math>.

Der Vergleich zwischen beobachteter und erwarteter [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] baut auf den Differenzen <math>H_{j}-n\cdot p_{j},\;(j=1,\ldots ,k)</math> auf. Große Differenzen sprechen tendenziell gegen die [[Nullhypothese]] und deuten auf eine falsche [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]]sannahme hin.

Eine summarische Größe, die die Abweichung von der [[Nullhypothese]] bewertet, ist die [[Teststatistik]]

<math>V=\sum_{j=1}^{k}\frac{\left( H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}</math>

Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] ist die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> [[Approximation|approximativ]] [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit <math>f = k - m- 1</math> [[Freiheitsgrad]]en. Dies gilt unabhängig davon, welche [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] unter <math>H_{0}</math> angenommen wurde.

[[Approximation]]svoraussetzungen:

Die [[Approximation]] an die [[Chi-Quadrat-Verteilung]] ist hinreichend, wenn

* <math>n\cdot p_{j}\geq 1</math> für alle <math>j</math> und

* <math>n\cdot p_{j}\geq 5</math> für mindestens 80% der erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]]

gilt. 

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des [[Statistischer Test|Tests]] benachbarte Werte bzw. [[Klasse]]n zusammengefasst werden. 

Da die <math>p_{j}\; (j = 1, \ldots, k)</math> unter <math>H_{0}</math> vorgegeben sind, folgt außerdem aus den [[Approximation]]svoraussetzungen, dass die [[Approximation]] um so besser ist, je größer der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ist.

Bei der Bestimmung der Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e ist zu berücksichtigen, dass:

* <math>k</math> die Anzahl der verbliebenen Werte bzw. [[Klasse]]n nach einer eventuell notwendigen Zusammenfassung ist,

* <math>m</math> die Anzahl der unbekannten und aus der [[Stichprobe]] zu schätzenden [[Parameter]] der hypothetischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] bezeichnet (wenn unter <math>H_{0}</math> eine vollständig spezifizierte [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] vorgegeben wurde, ist <math>m = 0</math>).

Da in der [[Teststatistik]] die Terme <math>\frac{\left(H_{j}-n\cdot p_{j}\right)^{2}}{n\cdot p_{j}}</math> nur positive Werte annehmen können, nimmt die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> ebenfalls nur positive Werte an. 

Große Abweichungen <math>H_{j}-n\cdot p_{j}</math> zwischen beobachteter und erwarteter [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] führen zu großen Werten von <math>V\;</math>. 

Somit führen nur große Werte von <math>V\;</math> zur [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]], während kleine Werte von <math>V\;</math> nicht gegen die [[Nullhypothese]] sprechen, sondern auf eine gute Übereinstimmung hindeuten. 

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ist somit ein [[rechtsseitiger Test]]. 

Der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>c</math> wird für <math>P(V \leq c) = 1 - \alpha</math> und die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e <math>f</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Chi-Quadrat-Verteilung]] entnommen.

===Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Anpassungstests===

Die ''Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Anpassungstests'' sind:

* [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\left\{v|v>\chi_{1-\alpha ;f}^{2}\right\}</math>.

* [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der]] <math>H_{0} : \left\{ v|v\leq \chi_{1-\alpha ;f}^{2}\right\}</math>.

Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> eine [[Realisation]] aus dem [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha =P\left( V>\chi_{1-\alpha ;k-m-1}^{2}|H_{0}\right)</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> eine [[Realisation]] aus dem [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, ist <math>P\left(V\leq \chi_{1-\alpha;k-m-1}^{2}|H_{0}\right)=1-\alpha</math>.

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[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] | [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]

===Prüfwert des Chi-Quadrat-Anpassungstests===

Wenn die [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> gezogen wurde, können die [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>h_{j}</math> ermittelt, gegebenenfalls unbekannte [[Parameter]] der hypothetischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] [[Schätzung|geschätzt]] und die erwarteten Häufigkeiten <math>n\cdot p_{j}</math> berechnet werden. 

Einsetzen in die [[Teststatistik]] führt zu einem ''Prüfwert des Chi-Quadrat-Anpassungstests'' <math>v</math>.

===Entscheidungssituationen des Chi-Quadrat-Anpassungstests===

* Wenn <math>v</math> in den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] auf dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''})</math>. 

: Es konnte [[Statistik|statistisch]] gezeigt werden, dass die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung der Zufallsvariablen <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] nicht der hypothetischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F_{0}(x)</math> entspricht.

: Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] (<math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}</math>) zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]] richtig ist. 

: Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 1. Art]] entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>.

* Wenn <math>v</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> nicht abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''})</math>. 

: Es konnte [[Statistik|statistisch]] nicht gezeigt werden, dass die wahre [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung in der Grundgesamtheit]] von der hypothetischen [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F_{0}\left(x\right)</math> abweicht.

: Das bedeutet jedoch nicht, dass die wahre [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] tatsächlich die hypothetische [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F_{0}(x)</math> ist. Das [[Stichprobe]]nergebnis gibt nur keine Veranlassung, <math>H_{0}</math> zu verwerfen. 

: Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}| H_{1})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.