Quelltext der Seite Bestimmung des Stichprobenumfangs

{{Schaetztheorie}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Bestimmung des Stichprobenumfangs===

Die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge eines Konfidenzintervalls]] hängt neben dem [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> in der Regel auch vom [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ab. 

Hält man den [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> konstant, dann führt eine Erhöhung des [[Konfidenzniveau]]s <math>1-\alpha</math> unter sonst gleichen Bedingungen zu einem breiteren [[Konfidenzintervall]]. 

Größere Sicherheit, dass der unbekannte Wert des [[Parameter]]s <math>\vartheta</math> in dem v liegt, ist somit mit einer unpräziseren Aussage über seine Lage verbunden. 

Hält man das [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> konstant, dann führt eine Vergrößerung des [[Stichprobenumfang]]s <math>n</math> unter sonst gleichen Bedingungen zu einer kleineren [[Länge des Konfidenzintervalls]], d.h. es wird schmaler, womit die Präzision der Aussage erhöht
wird. 

Das ist auch intuitiv einleuchtend, da in einer [[Stichprobe]] größeren [[Stichprobenumfang|Umfang]]s auch mehr Information über die [[Grundgesamtheit]] enthalten ist. 

Im Zusammenspiel von [[Konfidenzniveau]] und [[Stichprobenumfang]] lässt sich somit eine Steuerung für das [[Konfidenzintervall]] erreichen.

Bisher wurde davon ausgegangen, dass für die Bestimmung eines [[Konfidenzintervall]]s für den unbekannten [[Parameter]] <math>\vartheta</math> sowohl das [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> als auch der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> vorgegeben wurden. 

Bei vielen praktischen Anwendungen ist jedoch eine [[Intervallschätzung]] mit vorgegebener Sicherheit und
vorgegebener Genauigkeit erforderlich, d.h. es wird das [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math>
und die [[Länge des Konfidenzintervalls]] vorgegeben. 

Die daraus resultierende Frage ist:

Wie groß muss der [[Stichprobenumfang]] gewählt werden, um beide vorgegebenen Bedingungen einzuhalten?

Diese Problemstellung soll anhand des [[Konfidenzintervall]]s für den [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und für den [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>\pi</math> dargelegt werden.

Eingeschränkt wird die Betrachtung auf [[einfache Zufallsstichprobe]]n bzw. auf den Fall, dass der [[Umfang der Grundgesamtheit]] genügend groß ist, dass von der [[Realisation|Realisierung]] einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] ausgegangen werden kann.

====Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz====

Vorausgesetzt wird eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Grundgesamtheit]]. 

Eine exakte Ermittlung des notwendigen [[Stichprobenumfang]]es ist nur möglich, wenn die Länge des [[Konfidenzintervall]]s keine [[Zufallsvariable]] ist, d.h. nicht von den [[Stichprobe]]nergebnissen abhängt. 

Das ist nur bei bekannter [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz <math>\sigma^{2}</math> der Grundgesamtheit]] bzw. begründeten Annahmen über <math>\sigma^{2}</math> gegeben. 

In diesem Fall hängt die [[Länge des Konfidenzintervalls]] für <math>\mu</math>

<math>l= 2 \cdot e = 2 \cdot z_{1- \frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>

vom [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> und vom [[Stichprobenumfang]] <math>n</math>, jedoch nicht vom [[Stichprobe]]nergebnis ab. 

Werden die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>l</math>]] (bzw. der [[Schätzfehler]] <math>e</math>) und das [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> vorgegeben, ist der gesuchte [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> die kleinste ganze Zahl, die die Bedingung

<math>n\geq\frac{4\cdot\sigma^{2}\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}}{l^{2}} =\frac{\sigma^{2}\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}}{e^{2}}</math>

erfüllt. Um ein [[Konfidenzintervall]] mit der geforderten [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>l</math>]] und dem [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> zu erhalten, muss <math>n</math> also mindestens die angegebene Größe aufweisen.

====Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz====

Vorausgesetzt wird eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Grundgesamtheit]]. 

Bei unbekannter [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz <math>\sigma^{2}</math> der Grundgesamtheit]] hängt die [[Länge des Konfidenzintervalls]] für <math>\mu</math>

<math>L=2 \cdot e = 2\cdot t_{n-1;1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}</math>

über die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>S\;</math> auch vom [[Stichprobe]]nergebnis ab. 

Des weiteren ist zum Auffinden von <math>t_{n-1;1-\frac{\alpha}{2}}</math> aus der Tabelle der [[t-Verteilung]] neben dem [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> auch die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e <math>n - 1</math> und damit der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> erforderlich.

Zur Bestimmung des notwendigen [[Stichprobenumfang]]es <math>n</math> bei vorgegebener [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>l</math>]] und vorgegebenem [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> gibt es mehrstufige bzw. sequentielle Verfahren.

====Konfidenzintervall für Anteilswert====

Sofern eine [[Approximation]] durch die [[Normalverteilung]] möglich ist, ergab sich die [[Länge des Konfidenzintervalls]] für <math>\pi</math> zu

<math>L=2\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sqrt{\frac{\widehat{\pi}(1-\widehat{\pi})}{n}}</math>,

woraus man durch einfache Umformungen erhält:

<math>n\geq\frac{4\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{l^{2}}=\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{e^{2}}</math>

Bei Vorgabe einer geforderten [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>l</math> des Konfidenzintervalls]] bzw. eines
[[Schätzfehler]]s <math>e</math> und Vorgabe des [[Konfidenzniveau]]s <math>1-\alpha</math> tritt trotzdem ein gravierendes Problem auf:

Der zu berechnende [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ist über <math>\widehat{\pi}</math> vom [[Stichprobe]]nergebnis abhängig, das aber noch nicht vorliegen kann, da der [[Stichprobenumfang]] vorher bestimmt werden soll.

Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten, zu einer Abschätzung von <math>n</math> zu gelangen:

* <math>\widehat{\pi}</math> wird durch das Ergebnis <math>p</math> einer Vor[[stichprobe]] bzw. aus einer früheren Erhebung ersetzt.

* Es wird von dem [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteilswert]] <math>\pi</math> ausgegangen, für den das Produkt <math>\pi\cdot(1-\pi)</math> maximal wird. 

: Das ist für <math>\pi = 0,5</math> und <math>1 - \pi = 0,5</math> der Fall. Für die Festsetzung des [[Stichprobenumfang]]es ist dies der ungünstigste Fall, denn für jeden anderen Wert von <math>\pi</math> würde sich ein kleinerer [[Stichprobenumfang]] ergeben. 

: Damit folgt, dass der gesuchte [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> die kleinste ganze Zahl ist, die die Bedingung

: <math>n\geq\frac{4\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{l^{2}}=\frac{z^{2}}{l}=\frac{z^{2}}{4e^{2}}</math>

: erfüllt. Um ein [[Konfidenzintervall]] mit der geforderten [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge <math>l</math>]] und dem [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> zu erhalten, muss <math>n</math> mindestens die angegebene Größe aufweisen.

: Es ist darüber hinaus jedoch darauf zu achten, dass der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> stets so groß gewählt wird, dass die [[Approximation]]sbedingung für eine [[Normalverteilung]] erfüllt ist.

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Zugverspätungen===

Die Bimmelbahn AG will eine Pressemitteilung zur Pünktlichkeit ihrer Züge im gegenwärtigen Quartal herausgeben, die Angaben über die durchschnittliche Dauer der Verspätungen und den Anteil pünktlicher Züge enthalten soll. 

Dazu soll jeweils eine [[Intervallschätzung]] auf der Basis einer [[Zufallsstichprobe]] erfolgen.

====Konfidenzintervall für den Erwartungswert====

Wie groß muss der [[Stichprobenumfang]] gewählt werden, um ein [[Konfidenzintervall]] für die im Mittel zu erwartende Dauer der Verspätungen zum [[Konfidenzniveau]] von <math>1-\alpha=0,90</math> und einem [[Schätzfehler]] von 30 Minuten zu bestimmen?

Dabei wird von der Annahme ausgegangen, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X =\;</math> "Dauer der Verspätungen" [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist mit [[Erwartungswert]] <math>E[X] = \mu</math> und [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>Var(X) = \sigma^{2}</math>.

Entsprechend der Frage handelt sich um ein [[Konfidenzintervall]] für <math>\mu</math>. 

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] entnimmt man für die vorgegebene [[Wahrscheinlichkeit]] von 0,90 den Wert <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,95}=1,645</math>.

Da <math>\sigma^{2}</math> ebenfalls unbekannt ist, wird auf das gleiche Quartal des Vorjahres zurückgegriffen, wofür die Dauer der Verspätung aller Züge vorliegt und unterstellt, dass die dafür errechnete [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\sigma= 68,8</math> Minuten auch im gegenwärtigen Quartal zutrifft.

Damit ergibt sich für den notwendigen [[Stichprobenumfang]]:

<math>n\geq\frac{\sigma^{2}\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}}{e^{2}}=\frac{68,8^{2}\cdot1,645^{2}}{30^{2}}=14,23</math>

Der [[Stichprobenumfang]] muss mindestens 15 betragen, um die Vorgaben an das [[Konfidenzintervall]] betreffend die Sicherheit und die Genauigkeit einzuhalten.

====Konfidenzintervall für den Anteilswert====

Wie groß muss der [[Stichprobenumfang]] gewählt werden, um ein [[Konfidenzintervall]] für den unbekannten Anteil <math>\pi</math> pünktlicher Züge zum [[Konfidenzniveau]] von <math>1-\alpha = 0,95</math> und einem [[Schätzfehler]] von 0,05 zu bestimmen?

Wenn der [[Stichprobenumfang]] auf jeden Fall so groß gewählt wird, dass die [[Approximation]]sbedingung für eine [[Normalverteilung]] erfüllt ist (Faustregel: <math>n >30</math>), findet man zum vorgegebenen [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha = 0,95</math> in der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] den Wert <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975}=1,96</math>.

Da in der Formel zur Bestimmung von

<math>n\geq\frac{4\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{l^{2}} = \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{e^{2}}</math>

<math>\widehat{\pi}</math> unbekannt ist, wäre es naheliegend, wie bei Frage 1 das Ergebnis des gleichen Quartals des Vorjahres zu verwenden, in dem der Anteil pünktlicher Züge <math>\pi = 0,867</math> betrug. 

Aufgrund zahlreicher Baustellen und einiger Unwetter im gegenwärtigen Quartal kann jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass dieser Wert gehalten werden kann. 

Es wird deshalb der für die Festsetzung des [[Stichprobenumfang]]es ungünstigste Fall <math>\pi = 0,5</math> gewählt. 

Man befindet sich damit hinsichtlich des [[Stichprobenumfang]]es immer auf der "sicheren" Seite, denn für jeden anderen Wert von <math>\pi</math> würde sich ein kleinerer [[Stichprobenumfang]] ergeben.

Einsetzen der Werte ergibt:

<math>n\geq\frac{z^{2}}{4e^{2}}=\frac{1,96^{2}}{4 \cdot 0,05^{2}}=384,16</math>

Um die geforderte Sicherheit und Genauigkeit eines [[Konfidenzintervall]]s für den unbekannten [[Anteilswert der Grundgesamtheit|Anteil <math>p</math>]] pünktlicher Züge einzuhalten, ist mindestens ein [[Stichprobenumfang]] von <math>n = 385</math> erforderlich.

===5%-Hürde===

Der Vorsitzende einer kleinen Partei will unbedingt wissen, ob seine Partei bei der bevorstehenden Wahl die 5% Hürde überspringen wird. 

Er vereinbart daher einen Termin mit einem Statistiker, um einen Auftrag für eine Wählerbefragung zu besprechen.

Bei dem Dialog weist der Statistiker auf folgende wichtige Punkte hin:

* Um den genauen Stimmenanteil zu erhalten, müsste man alle Wähler (d.h. alle Personen der [[Grundgesamtheit]]) befragen.

* Der Stimmenanteil in einer [[Stichprobe]] erlaubt nur einen unsicheren Rückschluss auf den Stimmenanteil in der [[Grundgesamtheit]].

* Ein [[Konfidenzintervall]] erlaubt einen Rückschluss mit "kontrollierter Unsicherheit" ([[Länge des Konfidenzintervalls|Länge]], [[Konfidenzniveau]])

* [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge]] und [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] können vom Anwender (dem Politiker) vorgegeben werden.

* Je geringer die [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge]] und je höher die [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]], desto höher der benötigte [[Stichprobenumfang]].

Auf Grund der Vorgaben des Politikers berechnet der Statistiker den nötigen [[Stichprobenumfang]] mit Hilfe der Formel

<math>n\geq\frac{4\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{l^{2}} = \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}\cdot\widehat{\pi}\cdot(1-\widehat{\pi})}{e^{2}}</math>

Da <math>\widehat{\pi}</math> unbekannt ist, verwendet der Statistiker den - nach Einschätzung des Politikers - höchsten zu erwartenden Stimmenanteil (10%). 

Mit diesem Vorgehen ist der Statistiker "auf der sicheren Seite", denn der auf Basis von 10% errechnete [[Stichprobenumfang]] ist mehr als groß genug, um die vorgegebene [[Breite des Konfidenzintervalls|Breite]] und [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] einzuhalten, wenn <math>\widehat{\pi}</math> kleiner als 10% ist.

<!--==Interaktives Beispiel ==


Es steht eine Grundgesamtheit von Angestellten einer Versicherungsgesellschaft zur
Verfügung. An den Angestellten wurden die Variablen

<math>X_1 =\;</math> Jahresprovision in DM,

<math>X_2 =\;</math> Versicherungsabschlüsse pro Monat,

<math>X_3 =\;</math> Krankheitstage pro Kalenderjahr,

<math>X_4 =\;</math> Wochenarbeitszeit in Stunden

beobachtet. Von einer Normalverteilung
der Variablen <math>X1,\ldots,X4</math> in der Grundgesamtheit kann ausgegangen werden. Der
[[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und die [[STAT-Glossar#Varianz|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> der Variablen in der
Grundgesamtheit sind unbekannt. Aufgrund langjähriger Erfahrungen in der
Versicherungsbranche können jedoch folgende [[STAT-Glossar#Varianz|Varianzen]] der Variablen angenommen
werden:

{|
|<math>\sigma_{1}^{2}=18,92</math>
|-
|<math>\sigma_{2}^{2}=7,54</math>
|-
|<math>\sigma_{3}^{2}=4,03</math>
|-
|<math>\sigma_{4}^{2}=12,24</math>
|}

Wie groß muss der [[Stichprobenumfang]] gewählt werden, um ein [[Konfidenzintervall]] für den unbekannten [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>, zu einem bestimmten [[Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> und vorgegebener [[Länge des Konfidenzintervalls|Länge]], zu erhalten?

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Einfluss des [[STAT-Glossar#Stichprobenumfang|Stichprobenumfanges]]
auf die Güte des [[STAT-Glossar#Konfidenzintervall|Konfidenzintervalls]], d.h. auf die Länge des [[STAT-Glossar#Konfidenzintervall|Konfidenzintervalls]]
sowie das [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]], zu studieren. Dazu empfiehlt es sich, nur eine der beiden
Größen zu verändern, während die andere konstant gehalten wird.

Treffen Sie bitte nachfolgend ihre Entscheidungen über

* die zu analysierende Variable,
* die Länge l des [[STAT-Glossar#Konfidenzintervall|Konfidenzintervalls]],
* das [[STAT-Glossar#Konfidenzniveau|Konfidenzniveau]] <math>1-\alpha</math> (als Dezimalzahl, z.B. 0,95).-->