Quelltext der Seite Verteilung des Stichprobenmittelwertes

{{Stichprobentheorie}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Verteilung des Stichprobenmittelwertes===

Entscheidend für Aussagen über die ''Verteilung <math>F(\bar{X})</math> des Stichprobenmittelwertes'' ist die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung <math>F(x)</math> der Zufallsvariablen <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] und ob darüber Kenntnisse existieren oder nicht.

====Normalverteilte Zufallsvariable in der Grundgesamtheit====

Es wird angenommen, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] einer [[Normalverteilung]] mit dem [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und der [[Varianz der Grundgesamtheit|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> folgt:

<math>X\sim N(\mu,\,\sigma^{2})</math>

=====Die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^{2}</math> ist bekannt=====

Ist das [[Merkmal]] <math>X\;</math> der [[Grundgesamtheit]] <math>N(\mu,\;\sigma)</math>-verteilt und ist <math>\sigma^{2}</math> bekannt, so ist bei einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] die [[Stichprobenfunktion]] <math>\bar{X}</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]]:

<math>\bar{X}\sim N(\mu,\;\sigma(\bar{X}))</math>

und die [[Standardisierung|standardisierte]] [[Zufallsvariable]]

<math>Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma(\bar{X})}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\cdot \sqrt{n}</math>

[[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]]: <math>Z\sim N(0;1)\;</math>.

=====Die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^{2}</math> ist unbekannt=====

Wenn <math>\sigma^{2}</math> der [[Grundgesamtheit]] unbekannt ist, muss sie unter Verwendung der [[Stichprobenfunktion]]

<math>S^{2}=\frac{1}{n-1}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}</math>

aus der [[Stichprobe]] geschätzt werden. 

Dann ist jedoch keine Aussage über die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] von <math>\bar{X}</math> möglich, sondern nur noch über die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] der [[Standardisierung|standardisierten]] [[Zufallsvariable]]

<math>T=\frac{\bar{X}-\mu}{S}\cdot \sqrt{n}</math>

Die [[Zufallsvariable]] <math>T\;</math> folgt bei einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] einer [[t-Verteilung]] mit dem [[Parameter]] <math>f = n - 1</math>:

<math>T\sim t \; (f=n-1)\;</math>

Der [[Parameter]] <math>f</math> ist die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e der [[Zufallsvariable]]n <math>T</math>.

Die [[t-Verteilung]] konvergiert für <math>f \rightarrow \infty</math> gegen die [[Standardnormalverteilung]]. 

Für <math>f > 30</math> wird bereits eine relativ gute Näherung an die [[Standardnormalverteilung]] erreicht, so dass anstatt der [[t-Verteilung]] [[Approximation|approximativ]] die [[Standardnormalverteilung]] verwendet werden kann:

<math>T\sim N(0;1)\;</math> für <math>f>30</math>.

====Beliebig verteilte Zufallsvariable in der Grundgesamtheit====

Hierbei handelt es sich um den für die empirische Wirtschaftsforschung wesentlich relevanteren Fall, da viele interessierende [[Merkmal]]e der [[Grundgesamtheit]] nicht einmal annähernd [[Normalverteilung|normalverteilt]] sind bzw. Unkenntnis über die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung <math>F(x)</math> der Zufallsvariablen <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] besteht.

Gegeben seien <math>n</math> identisch, jedoch unbekannt [[Verteilung (stochastisch)|verteilte]] [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{i} \; (i=1,\dots,n)</math> mit <math>E[X_{i}]=\mu</math> und <math>Var(X_{i})=\sigma^{2}</math>. 

Auf Grund des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] können folgende Aussagen getroffen werden:

* Sind die [[Stichprobenvariable]]n [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] (Ziehung einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]]) und ist <math>\sigma^{2}</math> bekannt, dann ist die [[Zufallsvariable]] 

:<math>Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\cdot \sqrt{n}</math>

:für genügend großen [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> [[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]].

* Sind die [[Stichprobenvariable]]n [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] und ist <math>\sigma^{2}</math> unbekannt, dann ist die [[Zufallsvariable]]

: <math>T=\frac{\bar{x}-\mu}{s}\cdot \sqrt{n}</math>

: für genügend großen [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> [[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]].

* Sind die [[Stichprobenvariable]]n abhängig (Ziehung einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]]), dann ist die [[Zufallsvariable]]

:<math>Z=\cfrac{\bar{X}-\mu}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{\cfrac{N-n}{N-1}}}</math> 

:bzw.

:<math>Z=\cfrac{\bar{X}-\mu}{\cfrac{S}{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{\cfrac{N-n}{N-1}}}</math>

:für hinreichend großen Umfang <math>N</math> der [[Grundgesamtheit]] und genügend großen [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> [[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]].

:Als Faustregel für die Verwendung der [[Normalverteilung]] gilt: <math>n >30</math>.

=={{Vorlage:Überschrift_2}}==

===Berechnung von Wahrscheinlichkeiten===

Ist <math>\bar{X}</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] und sind <math>\mu</math> und <math>\sigma^{2}</math> bekannt, so lässt sich die [[Wahrscheinlichkeit]],

* dass <math>\bar{X}</math> Werte kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert <math>\bar{x}</math> annimmt, berechnen als:

: <math>\,P( \bar{X} \leq \bar{x} ) = \phi \left( \frac {\bar{x}-\mu} {\sigma(\bar{X})} \right) = \phi \left(\frac{\bar{x}-\mu} {\sigma}\sqrt{n}\right)=\phi(z)</math>

* dass <math>\bar{X}</math> Werte in einem Intervall <math>[\bar{x_{1}},\; \bar{x_{2}}]</math> annimmt, berechnen als:

: <math>\,P (\bar{x_{1}} \leq \bar{X} \leq \bar{x_{2}}) = \phi \left(\frac {\bar{x_{2}}-\mu} {\sigma(\bar{X})}\right) - \phi \left(\frac {\bar{x_{1}}-\mu} {\sigma(\bar{X})}\right) = \phi (z_{2})-\phi(z_{1}),</math>

: wobei <math>\phi\;</math> die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] kennzeichnet. 

: Diese [[Wahrscheinlichkeit]]sberechnungen gelten [[Approximation|approximativ]], wenn <math>X\;</math> beliebig [[Verteilung (stochastisch)|verteilt]] und der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> hinreichend groß ist.

===Zentrales Schwankungsintervall===

Ein [[zentrales Schwankungsintervall]] um den bekannten [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> des [[Stichprobenmittelwert]]es ist ein Bereich mit festen
Grenzen 

<math>\left[\mu-c\leq\bar{X}\leq\mu+c\right]</math>,

in dem <math>\bar{X}</math> [[Realisation]]en mit einer vorgegebenen [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] <math>1 - \alpha</math> annimmt:

<math>P\left[\mu-c\leq\bar{X}\leq\mu+c\right]= 1- \alpha</math>

Mit dem Übergang zur [[Standardisierung|standardisierten]] [[Zufallsvariable]]n <math>Z</math> folgt:

{|
|<math>P\left(\mu-c\leq\bar{X}\leq\mu+c\right)</math>
|<math>\, =1-\alpha</math>
|-
|<math>P\left(-c\leq\bar{X}-\mu\leq c\right)</math>
|<math>\, =1-\alpha</math>
|-
|<math>P\left(\frac{-c}{\sigma(\bar{X})}\leq\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma(\bar{X})}\leq\frac{c}{\sigma(\bar{X})}\right)    </math>
|<math>\, =1-\alpha</math>
|-
|<math>P\left(\frac{-c}{\sigma(\bar{X})}\leq Z\leq\frac{c}{\sigma(\bar{X})}\right)</math>
|<math>\, =1-\alpha</math>
|-
|<math>P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq Z\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)</math>
|<math>\,=1-\alpha</math>
|}

und

{|
|<math>\frac{c}{\sigma(\bar{X})}</math>
|<math>=z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math>
|-
|<math>\, c</math>
|<math>=z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\sigma(\bar{X})</math>
|}

Die Abweichung <math>c</math> von <math>\mu</math> wird somit als Vielfaches der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma(\bar{X})</math> bestimmt. 

Setzt man <math>\sigma(\bar{X})</math> ein, so erhält man für das [[Zentrales Schwankungsintervall|zentrale Schwankungsintervall]]

<math>\left[\mu-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\bar{X}\leq\mu+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math>
mit der [[Sicherheitswahrscheinlichkeit]]

<math>P\left(\mu-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\bar{X}\leq\mu+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math>

Sind <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> bekannt und ist die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] [[Normalverteilung|normalverteilt]], so kann das [[Zentrales Schwankungsintervall|zentrale Schwankungsintervall]] zur vorgegebenen
[[Sicherheitswahrscheinlichkeit]] <math>1 - \alpha</math> bestimmt werden, indem <math>z_{1 - \frac{\alpha}{2}}</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>N(0;1)</math> entnommen wird.

Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1-\alpha</math> gilt [[Approximation|approximativ]], wenn <math>X\;</math> beliebig [[Verteilung (stochastisch)|verteilt]] und der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> genügend groß ist.

===Herleitung bei normalverteilter Zufallsvariable in der Grundgesamtheit===

Es sei eine [[Grundgesamtheit]] mit der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F(x)</math>, dem [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert]] <math>E[X]=\mu</math> und der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>Var(X)=\sigma^{2}</math> vorausgesetzt.

Die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{i}\;(i=1,\ldots,n)</math> besitzen alle die gleiche [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] <math>F(x_{i})=F(x)</math>, den [[Erwartungswert]] <math>E[X_{i}]=\mu</math> und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>Var(X_{i})=\sigma^{2}</math>.

Es wird angenommen, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] einer [[Normalverteilung]] mit dem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> folgt:

<math>X\sim N(\mu,\;\sigma^{2})</math>.

Dann sind die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{i}\;(i=1,\ldots,n)</math> ebenfalls identisch [[Normalverteilung|normalverteilt]]:

<math>X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})\;</math> für alle <math>i=1,\ldots,n</math>.

Die Summe von <math>n</math> [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängigen]], [[Normalverteilung|normalverteilten]] [[Zufallsvariable]]n ist aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der [[Normalverteilung]] auch [[Normalverteilung|normalverteilt]]:

<math>\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\sim N(n\cdot \mu,\sqrt{n\cdot \sigma^{2}})\;</math>

Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> unterscheidet sich nur um den konstanten Faktor <math>\frac{1}{n}</math> von der Summe <math>\sum\nolimits_{i} X_{i} </math>, so dass er ebenfalls [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist:

<math>\bar{X}\sim N(\mu,\sigma(\bar{X}))\;</math>.

Da jedoch nur die [[Standardnormalverteilung]] tabelliert vorliegt, geht man zur [[Standardisierung|standardisiert]]en [[Zufallsvariable]]n

<math>z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma(\bar{x})}=\sqrt{n}\cdot \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}</math>

über, die dann [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] ist: <math>Z\sim N(0,1)\;</math>.

Wie ersichtlich, setzt die Verwendung der [[Standardnormalverteilung]] die Kenntnis der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> der [[Grundgesamtheit]] voraus, um die [[Standardisierung|standardisierte]] [[Zufallsvariable]] <math>Z\;</math> bestimmen zu können.

Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> der [[Grundgesamtheit]] ist unbekannt:

Die unbekannte [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}</math> der [[Grundgesamtheit]] wird mittels der [[Stichprobenfunktion]]

<math>s^{2}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}</math>

geschätzt. Dividiert man beide Seiten durch <math>\sigma^{2}</math>, folgt

<math>\frac{s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma^{2}}\cdot \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}</math>

Dies ist äquivalent zu:

<math>\frac{n-1}{\sigma^{2}}\cdot s^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}-\bar{x}}{\sigma}\right)^2</math>

Zur Vereinfachung sei <math>y=\frac{(n-1)\cdot s^{2}}{\sigma^{2}}</math> gesetzt.

Bei einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] sind die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{i}\;(i=1,\ldots,n)</math> [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] voneinander, so dass <math>Y\;</math> die Summe von quadrierten [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängigen]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilten]] [[Zufallsvariable]]n ist.

Eine derartig definierte [[Zufallsvariable]] folgt einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit dem [[Parameter]] <math>f = n - 1</math>.

Bildet man unter Verwendung der obigen [[Standardisierung|standardisierten]] [[Zufallsvariable]]n <math>Z\;</math> das Verhältnis

<math>T=\cfrac{Z}{\sqrt{\cfrac{Y}{f}}}</math>,

so folgt die [[Zufallsvariable]] <math>T\;</math> einer [[t-Verteilung]] mit dem [[Parameter]] <math>f = n - 1</math>, da im Zähler eine [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilte]] [[Zufallsvariable]] und im Nenner eine von <math>Z\;</math> [[Unabhängige Ereignisse|unabhängig]]e
[[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilte]] [[Zufallsvariable]] gegeben ist. 

Nach Einsetzen von <math>Z\;</math>, <math>Y\;</math> und <math>f</math> sowie einigen Umformungen erhält man:

<math>T=\cfrac{\sqrt{n}\cdot \cfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma}}{\sqrt{\cfrac{1}{n-1}\cdot \left(\cfrac{n-1}{\sigma^{2}}\cdot S^{2}\right)
}}=\sqrt{n}\cdot \cfrac{\bar{X}-\mu}{S}</math>

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Bruttostundenverdienst===

Dieses Beispiel dient der formalen Erläuterung der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]], des [[Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes|Erwartungswert]]es und der [[Varianz des Stichprobenmittelwertes|Varianz]] des [[Stichprobenmittelwert]]es. 

Zu diesem Zweck müssen gewisse Informationen über die [[Grundgesamtheit]] gegeben sein, was bei tatsächlichen praktischen [[Stichprobenerhebung]]en natürlich nicht der Fall ist.

Es sei nun angenommen: Der durchschnittliche Bruttostundenverdienst aller 5000 Arbeiter eines Unternehmens betrage 27,30 € mit einer [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von 5,90 €.

====Einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n====

Es sei angenommen, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X = </math> "Bruttostundenverdienst eines Arbeiters" in diesem Unternehmen [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist. 

Entsprechend diesen Informationen ist <math>X\sim N(27,3;5,9)\;</math>.

Aus der [[Grundgesamtheit]] der Arbeiter dieses Unternehmens wird eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom Umfang <math>n</math> gezogen.

Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> gibt damit den mittleren Bruttostundenverdienst für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] von Arbeitern aus diesem Unternehmen an.

Bestimmen Sie den [[Erwartungswert]], die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]], die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] und die Form der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] von <math>\bar{X}</math> , wenn der [[Stichprobenumfang]]

* <math>n = 10</math>,

* <math>n = 50</math> und

* <math>n = 200</math> ist.

<U>Erwartungswert</U>

Für alle [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichproben]], gleichgültig welchen [[Stichprobenumfang]] sie haben, ergibt sich für den [[Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes]]:

<math>E\left[\bar{X}\right] = \mu = 27,30 \; \euro</math>

<U>Varianz und Standardabweichung</U>

Da eine [[einfache Zufallsstichprobe]] ([[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Zufallsauswahl mit Zurücklegen]]) gezogen wird, ergibt sich die [[Varianz des Stichprobenmittelwertes]] gemäß <math>Var(\bar{X}) = \sigma^2  (\bar{X}) = \frac{\sigma^2 }{n}.</math>

Somit ist

* für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 10</math>

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{5,9^2}{10} = \frac{34,81}{10} = 3,481</math>

: <math>\sigma (\bar{X}) = 1,8657 \; \euro</math>

* für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 50</math>

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{5,9^2}{50} = \frac{34,81}{50} = 0,6962</math>

: <math>\sigma (\bar{X}) = 0,8344 \; \euro</math>

* für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 200</math>

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{5,9^2}{200} = \frac{34,81}{200} = 0,17405</math>

: <math>\sigma (\bar{X}) = 0,4172 \; \euro</math>

Deutlich wird, dass die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> kleiner ist als die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]].

Weiterhin ist zu beobachten, dass der Wert der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> von 1,8657 auf 0,8344 und dann auf 0,4172 fällt, wenn der [[Stichprobenumfang]] von 10 auf 50 und weiter auf 200 erhöht wird.

Der fünffache [[Stichprobenumfang]] führt zu einer Verringerung der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] auf etwas unter die Hälfte. 

Eine zwanzigfach größere [[Stichprobe]] reduziert die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] auf unter 1/4.

<U>Verteilung des Stichprobenmittelwertes</U>

Da vorausgesetzt wurde, dass <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] [[Normalverteilung|normalverteilt]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>X\;</math> bekannt ist, ist auch der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> für alle [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichproben]] mit den gegebenen [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfängen]] [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit dem [[Erwartungswert]] <math>E (\bar{X})</math> und der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma ( \bar{X})</math>.

Somit folgt:

* für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 10</math>

: <math>\bar{X} \sim N ( 27,3 ; 1,8657 )</math>

: In der Grafik entspricht die rote Kurve der [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung von <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] und die blaue Kurve der Verteilung des Stichprobenmittelwertes.

:{| 
|<R output="display">
pdf(rpdf,width=7,height=7)

curve(from=7.3, to=47.3, dnorm(x, mean=27.3, sd=1.8657), ylab="",xlab="Bruttostundenverdienst", col="blue", ylim=c(0.00,0.25), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
par(new=TRUE)
curve(from=7.3, to=47.3, dnorm(x, mean=27.3, sd=5.9), ylab="", xlab="Bruttostundenverdienst", col="red", ylim=c(0.00,0.25), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
legend("topright", lwd=4, col=c("red","blue"),c("Verteilung von X", "Stichprobenverteilung"), bty="n", cex=1.2)

</R>
|}

* für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 50</math>

: <math>\bar{X} \sim N ( 27,3 ; 0,8344 )</math>

:{|
|<R output="display">
pdf(rpdf,height=7,width=7)

curve(from=7.3, to=47.3, dnorm(x, mean=27.3, sd=0.8344), ylab="",xlab="Bruttostundenverdienst", col="blue", ylim=c(0.00,0.5), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
par(new=TRUE)
curve(from=7.3, to=47.3, dnorm(x, mean=27.3, sd=5.9), ylab="", xlab="Bruttostundenverdienst", col="red", ylim=c(0.00,0.5), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
legend("topright", lwd=4, col=c("red","blue"),c("Verteilung von X", "Stichprobenverteilung"), bty="n", cex=1.2)

</R>
|}

* für eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 200</math>

: <math>\bar{X} \sim N ( 27,3 ; 0,4172 )</math>

:{| 
|<R output="display">
pdf(rpdf,width=7,height=7)

curve(from=7.3, to=47.3, dnorm(x, mean=27.3, sd=0.4172), ylab="",xlab="Bruttostundenverdienst", col="blue", ylim=c(0.00,1), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
par(new=TRUE)
curve(from=7.3, to=47.3, dnorm(x, mean=27.3, sd=5.9), ylab="", xlab="Bruttostundenverdienst", col="red", ylim=c(0.00,1), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")
legend("topright", lwd=4, col=c("red","blue"),c("Verteilung von X", "Stichprobenverteilung"), bty="n", cex=1.2)

</R>
|}

====Uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang n====

Es sei angenommen, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X =</math> „Bruttostundenverdienst eines Arbeiters" in diesem Unternehmen [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist.

Entsprechend diesen Informationen ist

<math>X \sim N ( 27,3 ; 5,9 )\;</math>.

Aus der [[Grundgesamtheit]] der Arbeiter dieses Unternehmens wird eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> gezogen.

Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> gibt damit den mittleren Bruttostundenverdienst für eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] von Arbeitern aus diesem Unternehmen an.

Bestimmen Sie den [[Erwartungswert]], die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> , wenn der [[Stichprobenumfang]]

* <math>n = 10</math>,

* <math>n = 50</math> und

* <math>n = 1000</math> ist.

<U>Erwartungswert</U>

Für alle [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]]n, gleichgültig welchen [[Stichprobenumfang]] sie haben, ergibt sich für den [[Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes]] das gleiche Ergebnis wie bei der 1. Problemstellung:

<math>E\left[ \bar{X}\right] = \mu = 27,30 \; \euro</math>

<U>Varianz und Standardabweichung</U>

Da eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] ([[Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen|Zufallsauswahl ohne Zurücklegen]]) gezogen wird, ergibt sich die [[Varianz des Stichprobenmittelwertes]] gemäß <math>\bar{X}</math>.

Die [[Endlichkeitskorrektur]] kann jedoch bei einem [[Auswahlsatz]] von <math>\frac{n}{N} \leq 0,05</math> vernachlässigt werden.

Somit ist 

* für eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 10</math>

: Der [[Auswahlsatz]] beträgt  <math>\frac{n}{N} = \frac{10}{5000} = 0,002 < 0,05</math>, so dass näherungsweise die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] unter Verwendung der Formel 

: <math>Var (\bar{X} ) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{ n}</math>

: berechnet wird. Damit ergibt sich das gleiche Ergebnis wie bei der 1. Problemstellung:

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{5,9^2}{10} = \frac{34,81}{10} = 3,481</math>

: <math>\sigma (\bar{X}) = 1,8657 \; \euro</math>

: Zum Vergleich: Die Berechnung mit Berücksichtigung der [[Endlichkeitskorrektur]] ergibt

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 ( \bar{X}) = 3,4747</math>  und  <math>\sigma (\bar{X}) = 1,8641 \; \euro</math>, was die vernachlässigbaren Differenzen verdeutlicht.

* für eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 50</math>

: Der [[Auswahlsatz]] beträgt <math>\frac{n }{N} = \frac{50}{5000} = 0,01 < 0,05</math>, so dass auch hier näherungsweise die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] unter Verwendung der Formel 

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}</math> 

: berechnet wird. Damit ergibt sich das gleiche Ergebnis wie bei der 1. Problemstellung:

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{5,9^2}{50} = \frac{34,81}{50} = 0,6962</math>

: <math>\sigma ( \bar{X}) = 0,8344 \; \euro</math>

: Zum Vergleich: Die Berechnung mit Berücksichtigung der [[Endlichkeitskorrektur]] ergibt

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 ( \bar{X}) = 0,6894</math>   und <math>\sigma (\bar{X}) = 0,8303 \; \euro</math> .

* für eine [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 1000</math>

: Der [[Auswahlsatz]] beträgt <math>\frac{n }{N} = \frac{1000 }{ 5000} = 0,2 > 0,05</math>, so dass [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] mit Berücksichtigung der [[Endlichkeitskorrektur]] ermittelt werden müssen:

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{\sigma^{2}}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1} = \frac{5,9^2}{1000} \cdot \frac{5000 - 1000}{5000 - 1} = \frac{34,81}{1000} \cdot 0,80016 = 0,0279</math>

: und <math>\sigma(\bar{X}) = 0,1669 \; \euro.</math>

====Zufallsstichprobe vom Umfang n====

Es wird nun der realistischere Fall angenommen, dass die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X = </math>„Bruttostundenverdienst eines Arbeiters" in diesem Unternehmen unbekannt ist.

Entsprechend den verfügbaren Informationen ist <math>E[ X ] = \mu = 27,30 \; \euro</math> und <math>\sigma ( X ) = 5,90 \; \euro</math>

Aus der [[Grundgesamtheit]] der Arbeiter dieses Unternehmens wird eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> gezogen.

Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> gibt damit den mittleren Bruttostundenverdienst für eine [[Zufallsstichprobe]] von Arbeitern aus diesem Unternehmen an.

Bestimmen Sie den [[Erwartungswert]], die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]], die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] und die Form der [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] von <math>\bar{X}</math> , wenn der [[Stichprobenumfang]] 

* <math>n = 10</math>, 

* <math>n = 50</math> und 

* <math>n = 200</math> ist.

<U>Erwartungswert</U>

Die Berechnung des [[Erwartungswert]]es <math>E\left[\bar{X}\right]</math> hängt nicht von der [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung von <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] ab. 

Es ergeben sich deshalb keine neuen Aspekte. Die Ergebnisse sind wie bei der 1. und 2. Problemstellung:

<math>E \left[ \bar{X} \right]= \mu = 27,30 \; \euro</math>

<U>Varianz und Standardabweichung</U>

Die Berechnung der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> hängt nicht von der [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung von <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] ab, jedoch von der Art und dem [[Stichprobenumfang|Umfang]] der [[Zufallsstichprobe]]. 

Bei der 3. Problemstellung wurde die Art der [[Zufallsstichprobe]] offen gelassen. Bei allen drei angegebenen [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfängen]] ist jedoch der [[Auswahlsatz]] <math>\frac{n}{N} < 0,05</math>, so dass selbst bei einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]] näherungsweise mit der Formel

<math>Var (\bar{X}) = \sigma^2 (\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}</math>

gearbeitet werden kann.

* für <math>n = 10</math>:  

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2(\bar{X}) = 3,481 </math>

: <math>\sigma ( \bar{X}) = 1,8657 \; \euro</math>

* für <math>n = 50</math>:  

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2(\bar{X}) = 0,6962  </math>

: <math>\sigma ( \bar{X}) = 0,8344 \; \euro</math>

* für <math>n = 200</math>:  

: <math>Var (\bar{X}) = \sigma^2(\bar{X}) = 0,17405 </math>

: <math>\sigma ( \bar{X}) = 0,4172 \; \euro</math>

<U>Verteilung des Stichprobenmittelwertes</U>

Da die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung von <math>X\;</math> in der Grundgesamtheit]] unbekannt ist, kann keine exakte Aussage über die [[Verteilung der Grundgesamtheit|Verteilung]]  von <math>\bar{X}</math> getroffen werden.

Aufgrund des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] folgt jedoch, dass die [[Standardisierung|standardisiert]]e [[Zufallsvariable]] <math>Z\;</math>

<math>Z= \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n}</math>  bzw.  <math> Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma \cdot \sqrt{\cfrac{N-n}{N-1}}} \cdot \sqrt{n}</math>

[[Approximation|approximativ]] [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]] ist, wenn der [[Stichprobenumfang]] <math>n > 30</math> und bei einer [[uneingeschränkte Zufallsstichprobe|uneingeschränkten Zufallsstichprobe]] der Umfang <math>N</math> der [[Grundgesamtheit]] hinreichend groß. 

Dies gilt für die Fälle <math>n = 50</math> und <math>n = 200</math>.