Quelltext der Seite Zweistichproben-t-Test/Beispiel: Alter

=={{Vorlage:Beispiele}}==


===Alter===

Zwei leitende Mitarbeiter einer großen Bank, Herr Schmidt und Herr Maier, geraten während der Mittagspause in einen Disput über das Alter der Bankangestellten.

* 1. Variante: 

: Herr Schmidt behauptet, dass es einen Unterschied im Durchschnittsalter der männlichen und weiblichen Bankangestellten gibt, während Herr Maier die gegenteilige Auffassung vertritt.

* 2. Variante: 

: Herr Schmidt behauptet, dass die weiblichen Bankangestellten im Durchschnitt älter sind, Herr Maier widerspricht dem.

* 3. Variante: 

: Herr Schmidt behauptet, dass die weiblichen Bankangestellten im Durchschnitt mehr als 5 Jahre älter sind. Herr Maier räumt zwar ein, dass das Durchschnittsalter der männlichen Bankangestellten unter dem der weiblichen Bankangestellten liegen könnte, aber nicht in dieser Größenordnung.

Da sie sich nicht einigen können, beschließen sie, einen [[Statistischer Test|statistischen Test]] auf dem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> durchzuführen, wobei es sich um einen [[Test auf Differenz zweier Mittelwerte]] <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> handelt.

Die [[Zufallsvariable]] <math>X_{1}\;</math> bezeichne das Alter der weiblichen Bankangestellten und die [[Zufallsvariable]] <math>X_{2}\;</math> das Alter der männlichen Bankangestellten. Die [[Erwartungswert]]e <math>E[X_{1}]=\mu_{1}</math> und <math>E[X_{2}]=\mu_{2}</math> sowie die [[Varianz (stochastisch)|Varianzen]] <math>Var(X_{1}) = \sigma_{1}^{2}</math> und <math>Var(X_{2})=\sigma_{2}^{2}</math> sind unbekannt. 

Herr Schmidt und Herr Maier stimmen darin überein, dass nicht von einer Gleichheit der [[Varianz (stochastisch)|Varianzen]] in den [[Grundgesamtheit]]en ausgegangen werden kann (Annahme der [[Varianzheterogenität]]). 

Über die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilungen]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>X_{2}\;</math> haben sie keine Erkenntnisse vorliegen, so dass sie beide [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> genügend groß wählen, damit der [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentrale Grenzwertsatz]] wirksam wird. 

Da ihnen bekannt ist, dass in der Bank die Gesamtzahl der weiblichen und männlichen Bankangestellten etwa gleich ist, wählen sie auch die [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] gleich groß, und zwar: <math>n_{1}  = n_{2}  = 50</math>. 

Sie bitten die Personalabteilung um Unterstützung bei der [[Stichprobe]]nziehung. Dort werden aus der [[Grundgesamtheit|Gesamtheit]] der Personalunterlagen der männlichen bzw. der weiblichen Bankangestellten jeweils 50 zufällig und nach dem [[Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen|Modell mit Zurücklegen]] ([[Realisation|Realisierung]] einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]]) ausgewählt und das Alter registriert. 

Durch die Problemstellung und die Ziehungsmodalitäten ist gewährleistet, dass die beiden [[Zufallsstichprobe]]n [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] voneinander sind. 

Für jede [[Stichprobe]] wird das Durchschnittsalter und die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] berechnet. Aufgrund dieser für jede Variante gleichen Voraussetzungen kann auch die gleiche [[Teststatistik]] verwendet werden.

Da <math>\sigma_{1}</math> und <math>\sigma_{2}</math> unbekannt sind und [[Varianzheterogenität]] unterstellt wird, kommt die [[Teststatistik]]

<math>V=\frac{\left(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right)-\omega_{0}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}</math>

zur Anwendung, wobei 

<math>\overline{X}_{1}=\frac{1}{n_{1}}\cdot\sum_{i=1}^{n_{1}}\;X_{1i},\quad \overline{X}_{2}=\frac{1}{n_{2}}\cdot\sum_{i=1}^{n_{2}}\;X_{2i}</math>

die beiden [[Stichprobenmittelwert]]e sind und <math>\sigma_{1}</math> und <math>\sigma_{2}</math> mittels der [[Schätzfunktion]]en

<math>S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\cdot \sum_{i=1}^{n_{1}}\left( X_{1i}-\overline{X}_{1}\right)^{2},\quad S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\cdot\sum_{i=1}^{n_{2}}\left(X_{2i}-\overline{X}_{2}\right)^{2}</math>

aus den [[Zufallsstichprobe]]n [[Schätzung|geschätzt]] werden.

Da für beide [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] <math>n_{1}>30</math> und <math>n_{2}>30</math> gilt, ist aufgrund der Wirksamkeit des [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatzes]] die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> unter <math>H_{0}</math> [[Approximation|approximativ]] <math>N(0; 1)</math>-[[Verteilung (stochastisch)|verteilt]] ([[Approximation]] durch [[Zweistichproben-Gauß-Test]] - siehe oben).

====1. Variante====

Da Herr Schmidt mit seiner Behauptung eines Unterschiedes im Durchschnittsalter sehr allgemein in dem Sinne geblieben ist, dass er weder eine Richtung noch eine Größe des Altersunterschiedes angegeben hat, wird ein [[zweiseitiger Test]] mit dem hypothetischen Wert <math>\omega_{0}=0</math> durchgeführt:

<math>H_{0}:\;\mu_{1}-\mu_{2}=\omega_{0}=0\quad H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}\neq \omega_{0}=0</math>

Eine äquivalente Hypothesenformulierung ist:

<math>H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\quad H_{1}:\mu_{1}\neq \mu _{2}</math>

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>P\left(V\geq c_{o}\right)=1-\frac{\alpha}{2}=0,975</math> den oberen [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c_{o}=z_{1-\frac{\alpha}{2}}=z_{0,975}=1,96</math>. 

Wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] gilt <math>c_{u}=-z_{1-\frac{\alpha}{2}}=-z_{0,975}=-1,96</math> und <math>P\left( V\leq c_{u}\right)=\frac{\alpha}{2}=0,025</math>. 

Damit ergeben sich die [[Approximation|approximativen]] [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu:

* [[Approximation|approximativer]] [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\; \left\{ v|-1,96\leq v\leq 1,96\right\}</math>

* [[Approximation|approximativer]] [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\; \left\{ v|v<-1,96\mbox{ oder }v>1,96\right\}</math>

Die Personalabteilung teilt den beiden leitenden Mitarbeitern folgende Schätzergebnisse aus den konkreten [[Zufallsstichprobe]]n mit:

weibliche Bankangestellte: <math>\overline{x}_{1}=47,71, \quad s_{1}^{2}=260,875</math>

männliche Bankangestellte: <math>\overline{x}_{2}=41,80, \quad s_{2}^{2}=237,681</math>

Unter Berücksichtigung von <math>\omega_{0}=0</math> errechnen sie daraus den [[Prüfwert]] <math>v = 1,87</math>.

Da <math>v = 1,87</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Basierend auf den beiden [[Zufallsstichprobe]]n mit den [[Stichprobenumfang|Umfängen]] <math>n_{1} = 50</math> und <math>n_{2} = 50</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht gezeigt werden, dass eine signifikante Differenz zwischen den [[Erwartungswert]]en <math>\mu_{1}</math> und <math>\mu_{2}</math> der beiden [[Grundgesamtheit]]en, d.h. im mittleren Alter der männlichen und weiblichen Bankangestellten besteht.

Allerdings besteht bei dieser [[Statistischer Test|Test]]entscheidung die Möglichkeit eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] (<math>\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}</math>), wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] gilt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] dieses Fehlers kann jedoch nur bestimmt werden, wenn ein konkreter Alternativwert festgelegt wird, d.h. die
Bereichsalternative in eine Punktalternative umgewandelt wird

====2. Variante====

Da Herr Schmidt im Verlauf des Disputs starke sachliche Argumente für seine Auffassung ins Feld geführt hat, besteht er darauf, dass seine
Annahme als [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> formuliert wird. 

Grund: Im Falle einer Entscheidung für <math>H_{1}</math> kennt er mit dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math>. 

Es resultiert ein [[rechtsseitiger Test]]. 

Mit seiner Behauptung ist jedoch keine Größe des Altersunterschiedes verbunden, weshalb der hypothetische Wert <math>\omega_{0}=0</math> gesetzt wird. 

Das [[Hypothese]]npaar lautet:

<math>H_{0}:\mu_{1}-\mu_{2}\leq \omega_{0}=0\quad H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}>\omega_{0}=0</math> bzw. äquivalent

<math>H_{0}:\mu_{1}\leq \mu_{2}\quad H_{1}:\mu_{1}>\mu_{2}</math>

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>P\left(V\leq c\right) = 1 - \alpha = 0,95</math> den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c = z_{0,95} = 1,645</math>. 

Damit ergeben sich die [[Approximation|approximativen]] [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu:

* [[Approximation|approximativer]] [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\;\left\{v|v\leq 1,645\right\}</math>

* [[Approximation|approximativer]] [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\;\left\{v|v>1,645\right\}</math>

Die Personalabteilung zieht die beiden [[Zufallsstichprobe]]n und übermittelt Herrn Schmidt und Herrn Maier folgende Schätzergebnisse:

weibliche Bankangestellte: <math>\overline{x}_{1}=51,71, \quad s_{1}^{2}=385,509</math>

männliche Bankangestellte: <math>\overline{x}_{2}=45,16, \quad s_{2}^{2}=283,985</math>

Unter Berücksichtigung von <math>\omega_{0}=0</math>, errechnen sie daraus den [[Prüfwert]] <math>v = 1,79</math>.

Da <math>v = 1,79</math> in den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] abgelehnt. 

Auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> und basierend auf den beiden [[Zufallsstichprobe]]n mit den [[Stichprobenumfang|Umfängen]] <math>n_{1} = 50</math> und <math>n_{2} = 50</math> konnte [[Statistik|statistisch]] gezeigt
werden, dass eine signifikant positive Differenz <math>\mu_{1} - \mu_{2}</math> zwischen den [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswerten der beiden Grundgesamtheiten]] besteht, d.h. das mittlere Alter der weiblichen Bankangestellten ist signifikant größer als das mittlere Alter der männlichen Bankangestellten.

Die [[Wahrscheinlichkeit]] eines Irrtums bei dieser [[Statistischer Test|Test]]entscheidung, d.h. die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)</math>, entspricht dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha =0,05</math>.

Im Vergleich zu einem [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] besteht der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] nicht mehr aus zwei Segmenten, sondern liegt insgesamt rechts von <math>E[V] = 0</math>. 

Da die Fläche unter der [[Standardnormalverteilung]] über diesem [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] dem gesamten vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> entspricht, ist der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] kleiner im Vergleich zum [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]]. 

Damit wird die <math>H_{0}</math> bei dem [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] eher abgelehnt als bei einem [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] (bei gleichem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und gleichen [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfängen]] <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math>).

====3. Variante====

Mit seiner Behauptung hat Herr Schmidt neben der Richtung auch die Größe des Altersunterschiedes mit mehr als 5 Jahren fixiert, so dass der
hypothetische Wert <math>\omega_{0}=5</math> gesetzt wird. 

Herr Maier willigt ein, dass die Annahme von Herrn Schmidt als [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> formuliert wird. Es resultiert ein [[rechtsseitiger Test]]. 

Das [[Hypothese]]npaar lautet:

<math>H_{0}:\;\mu_{1}-\mu_{2}\leq 5 \quad H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}> 5</math>

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>P(V \leq c) = 1 - \alpha = 0,95</math> den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c = z_{0,95} = 1,645</math>. 

Damit ergeben sich die [[Approximation|approximativen]] [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu: 

* [[Approximation|approximativer]] [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\;\left\{v|v\leq 1,645\right\}</math>

* [[Approximation|approximativer]] [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\;\left\{ v|v>1,645\right\}</math>.

Als Schätzergebnisse aus den beiden [[Zufallsstichprobe]]n habe sich ergeben:

weibliche Bankangestellte: <math>\overline{x}_{1}=52,22, \quad s_{1}^{2}=321,914</math>

männliche Bankangestellte: <math>\overline{x}_{2}=43,13, \quad s_{2}^{2}=306,527</math>

Unter Berücksichtigung von <math>\omega_{0}=5</math> errechnen sie daraus den [[Prüfwert]] <math>v = 1,154</math>.

Da <math>v = 1,154</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Basierend auf den beiden [[Zufallsstichprobe]]n mit den [[Stichprobenumfang|Umfängen]] <math>n_{1} = 50</math> und <math>n_{2} = 50</math> konnte [[Statistik|statistisch]] nicht gezeigt werden, dass die Differenz <math>\mu_{1}- \mu_{2}</math> zwischen den [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswerten der beiden Grundgesamtheiten]] größer als 5 ist, d.h. dass das Durchschnittsalter der weiblichen Bankangestellten um mehr als 5 Jahre über dem der männlichen Bankangestellten liegt. 

Mit dieser [[Statistischer Test|Test]]entscheidung wird jedoch nicht verworfen, dass die weiblichen Bankangestellten im Mittel älter als die männlichen Bankangestellten sind, sondern lediglich dass Herr Schmidt die Größe dieses Unterschiedes offensichtlich zu hoch veranschlagt hat. 

Allerdings besteht bei dieser [[Statistischer Test|Test]]entscheidung die Möglichkeit eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math>, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] gilt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] dieses Fehlers kann jedoch nur bestimmt werden, wenn ein konkreter Alternativwert festgelegt wird.

<!--==Interaktives Beispiel==

In einer Gesamtheit von 3100 Supermarktfilialen gibt es einen Käsestand und einen Fleischstand, die von verschiedenem Personal bedient werden. Es sei:

<math>X_{1} =\;</math> "Wartezeit am Käsestand in Minuten" und

<math>X_{2}=\;</math> "Wartezeit am Fleischstand in Minuten",

wobei unterstellt wird, dass beide Zufallsvariablen einer Normalverteilung mit unbekanntem [[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu_{1}</math> bzw. <math>\mu_{2}</math> und unbekannten Varianzen <math>\sigma_{1}^{2}</math> bzw. <math>\sigma_{2}^{2}</math> folgen. Es wird weiterhin angenommen, dass Varianzhomogenität <math>\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}</math> in den [[STAT-Glossar#Grundgesamtheit|Grundgesamtheiten]] unterstellt werden kann.

Auf einem [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] von <math>\alpha</math> und basierend auf einfachen Zufallsstichproben vom Umfang <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> soll getestet werden, ob die mittlere Wartezeit am Käsestand gleich der mittleren Wartezeit am Fleischstand ist, d.h., ob die wahre Differenz <math>\mu_{1}-\mu_{2}</math> der
[[STAT-Glossar#Erwartungswert|Erwartungswerte]] in der [[STAT-Glossar#Grundgesamtheit|Grundgesamtheit]] dem hypothetischen <math>\omega_{0}=0</math> entspricht:

<math>H_{0}:\mu_{1}-\mu_{2}=0\quad H_{1}:\mu_{1}-\mu_{2}\neq 0</math>

Mit diesem Beispiel haben Sie die Möglichkeit, den Test wiederholt durchzuführen, wobei 
'''für jede Testdurchführung erneut eine Zufallsstichprobe aus <math>X_1\;</math> und <math>X_2\;</math> gezogen wird'''. Dabei können Sie

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und die Stichprobenumfänge <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> konstant halten;

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> verändern und die Stichprobenumfänge <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> konstant halten;

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> konstant halten und die Stichprobenumfänge <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> verändern;

* das [[STAT-Glossar#Signifikanzniveau|Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und die Stichprobenumfänge <math>n_{1}</math> und <math>n_{2}</math> verändern
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