Quelltext der Seite Skalierung

{{Grundbegriffe der Statistik}}

==Grundbegriffe==

===Skalierung===

Unter ''Skalierung'' wird die relationsgetreue Abbildung einer Zeichenmenge ([[Skala]]) auf eine Menge von statistisch erhobenen [[Statistische Einheit|Einheiten]] bezüglich eines [[Merkmal]]s verstanden.

Je höherwertig ein [[Merkmal]] skaliert ist, desto breiter ist das Spektrum der anwendbaren statistischen Methoden.

===Skala oder Skalenniveau/Messniveau=== 

Eine weitere wichtige Unterscheidung von [[Merkmal]]en ist die ''Skala'' (auch: ''Skalenniveau'' oder ''Messniveau''), auf der das jeweilige [[Merkmal]] gemessen wird. Diese Unterscheidung ist deshalb von Bedeutung, weil sie den Kreis der anwendbaren statistischen Methoden bestimmt. 

In der [[Statistik]] werden überwiegend folgende Skalen verwendet: die [[Nominalskala]], [[Ordinalskala]], [[Kardinalskala]], [[Intervallskala]], [[Verhältnisskala]] und [[Absolutskala]].

Die Skalen sind in der angegebenen Reihenfolge hierarchisch, d.h. die [[Nominalskala]] ist die niedrigste Skala und die [[Absolutskala]] die höchste Skala. Höherwertig skalierte [[Merkmal]]e können in eine niedrigere Skala transformiert werden, jedoch nicht umgekehrt.

===Nominalskala===

Eine ''Nominalskala'' liegt vor, wenn begriffliche [[Merkmalsausprägung]]en durch zugeordnete Zahlen lediglich eine
Verschiedenartigkeit zum Ausdruck bringen. Sie drückt die [[Qualitatives Merkmal|qualitativen]] Eigenschaften eines [[Merkmal]]s aus und stellt die einfachste Form einer [[Skala]] dar.

Zulässige Relationen einer Nominalskala sind nur: "gleich" oder "ungleich".

[[Merkmal]]e, die auf einer Nominalskala gemessen werden, heißen ''nominalskalierte'' [[Merkmal]]e.

===Nominalzahlen oder Schlüsselzahlen===

Die den begrifflichen [[Merkmalsausprägung]]en einer [[Nominalskala]] zugeordneten Zahlen werden als ''Nominalzahlen'' oder ''Schlüsselzahlen'' bezeichnet. Auf Grund der [[Nominalskala|Nominalskalierung]] haben sie eine reine Bezeichnungsfunktion.

===Ordinalskala===

Eine ''Ordinalskala'' liegt vor, wenn [[Merkmalsausprägung]]en durch zugeordnete Zahlen nicht nur eine Verschiedenartigkeit, sondern auch eine natürliche Rangfolge zum Ausdruck bringen. Sie drückt die [[Qualitatives Merkmal|qualitativen]] Eigenschaften eines [[Merkmal]]s aus. 

Neben den Relationen der [[Nominalskala]] sind als weitere Relationen "größer als" und "kleiner als" zulässig. 

Abstände zwischen den [[Merkmalsausprägung]]en sind nicht quantifizierbar und besitzen keine Aussagefähigkeit.

[[Merkmal]]e, die auf einer Ordinalskala gemessen werden, heißen ''ordinalskalierte'' [[Merkmal]]e.

Beispiel: Bei Zensuren mit den Rangzahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6} läßt sich sagen, daß eine 2 (gut) besser ist als eine 3 (befriedigend). Der Abstand zwischen den beiden Zensuren läßt sich dagegen nicht interpretieren - es kann nicht gefolgert werden, daß eine 2 (gut) doppelt so gut wie eine 4 (genügend) ist.

{| class="wikitable"
|+ Weitere Beispiele
|militärischer Dienstgrad
|-
|Wind- und Erdbebenstärken
|-
|Güteklassen für Produkte
|-
|Aggressivität
|-
|Intelligenz
|-
|sozialer Status
|}

===Rangzahl===

Seien <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> [[Merkmal]]e. Dann werden die den begrifflichen [[Merkmalsausprägung]]en einer [[Ordinalskala]] zugeordneten Zahlen als ''Rangzahlen'' 

<math>R(x_i),R(y_i), \ i=1,\ldots,n</math> bezeichnet.

===Kardinalskala oder metrische Skala===

Eine ''Kardinalskala'' oder ''metrische Skala'' liegt vor, wenn [[Merkmalsausprägung]]en durch zugeordnete Zahlen sowohl Verschiedenartigkeit und Rangfolge als auch mess- und quantifizierbare Unterschiede zum Ausdruck bringen.

Sie drückt die [[Quantitatives Merkmal|quantitativen]] Eigenschaften eines [[Merkmal]]s aus. [[Merkmal]]e, die auf einer metrischen Skala gemessen werden, heißen ''metrisch skalierte'' [[Merkmal]]e und ihre [[Merkmalswert]]e sind im allgemeinen das Ergebnis eines Zähl- oder Messprozesses.

Die metrische Skala wird weiter unterteilt in:

====Intervallskala====

Eine ''Intervallskala'' liegt vor, wenn die Abstände (Differenzen) zwischen [[Merkmalswert]]en messbar und plausibel interpretierbar sind. Quotienten können nicht sinnvoll gebildet werden.

''Intervallskalierte'' [[Merkmal]]e besitzen keinen natürlichen Nullpunkt und keine natürliche Maßeinheit.

Beispiel: Temperatur °C, Kalenderzeitrechnung oder Breiten- und Längengrade der Erde. 

Ein Temperaturanstieg von 10 Grad Celsius ist geringer als ein Temperaturanstieg von 14 Grad Celsius. Es wäre jedoch falsch zu behaupten, dass ein Anstieg von 14 Grad Celsius 40% größer sei als ein Anstieg von 10 Grad Celsius.

====Verhältnisskala====

Eine ''Verhältnisskala'' liegt vor, wenn außer Abständen zwischen [[Merkmalsausprägung]]en auch Quotienten von [[Merkmalswert]]en berechenbar und plausibel interpretierbar sind.

''Verhältnisskalierte'' [[Merkmal]]e besitzen einen natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Maßeinheit.

Beispiel: Längenmaße, Gewichtsmaße, Alter oder Wertvolumen eines Warenkorbes.

Ein 10 kg schwerer Stein ist doppelt so schwer wie ein 5 kg schwerer Stein.

====Absolutskala====

Als ''Absolutskala'' wird eine [[metrische Skala]] bezeichnet, die sowohl einen natürlichen Nullpunkt als auch eine natürliche Maßeinheit besitzt.

Beispiel: Stückzahl, Anzahl der immatrikulierten Studierenden an einer Universität