Quelltext der Seite Verteilungsfunktion (stochastisch)

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Verteilungsfunktion eindimensionaler Zufallsvariablen===

Als ''Verteilungsfunktion'' <math>F(x)</math> einer [[Zufallsvariable|Zufallsvariablen]] <math>X</math> bezeichnet man die Funktion, die die [[Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]] dafür angibt, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> höchstens den Wert <math>x</math> annimmt.

====Diskrete Verteilungsfunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen====

Sei <math>X</math> eine [[diskrete Zufallsvariable]]. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

<math> F(x)=P(X\leq x)=\sum\nolimits_{x_{i}\leq x}f(x_{i})</math>

Grafisch kann die Verteilungsfunktion der [[diskrete Zufallsvariable|diskreten Zufallsvariablen]] <math>X</math> als eine Treppenfunktion dargestellt werden,
bei der sich die Funktion jeweils in den [[Realisation]]en <math>x_{i}</math> um den Betrag <math>f(x_{i})</math> erhöht und zwischen den einzelnen möglichen [[Realisation]]en konstant verläuft.

Mittels der Verteilungsfunktion lassen sich andere [[Wahrscheinlichkeit]]en gemäß 

<math> P(a<X\leq b)=F(b)-F(a) </math> 

bzw. 

<math>\,P(X>a)=1-F(a)</math>
 
berechnen.

====Stetige Verteilungsfunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen====

Sei <math>X</math> eine [[stetige Zufallsvariable]]. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

<math>\, F(x) \, = P(-\infty <X\leq x) \, = \int\nolimits_{-\infty }^{x}f(t)\,dt </math>

Der Wert der Verteilungsfunktion <math>F(x)</math> entspricht der Fläche unter der [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] <math>f(t)</math> für <math>-\infty <X\leq x</math>.

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Verteilungsfunktion_stochastisch_Dichte_Verteilung_R00480004800000000000000_plot.html" />

[[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] und Verteilungsfunktion einer [[stetige Zufallsvariable|stetigen Zufallsvariablen]] hängen mathematisch in der folgenden Weise zusammen: Die [[Dichtefunktion (eindimensional)|Dichtefunktion]] ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, also

<math>\frac{\partial F(x)}{\partial x}=F^{\prime }(x)=f(x)\mbox{.}</math>

===Verteilungsfunktion zweidimensionaler Zufallsvariablen===

Die ''Verteilungsfunktion zweidimensionaler Zufallsvariablen'' gibt an, mit welcher [[Wahrscheinlichkeit]] die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> höchstens den Wert <math>x</math> und gleichzeitig die [[Zufallsvariable]] <math>Y</math> höchstens den Wert <math>y</math> annimmt.

====Diskrete Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen====

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei [[diskrete Zufallsvariable]]n. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

<math>F(x,y)=P(X\leq x,\,Y\leq y)=\sum\nolimits_{x_{i}\leq x}\sum\nolimits_{y_{j}\leq y}f(x_{i},y_{j})</math>

====Stetige Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen====

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei [[stetige Zufallsvariable]]n. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

<math>F(x,y)=\int\nolimits_{-\infty }^{y}\int\nolimits_{-\infty }^{x}f(u,v)\,du\,dv</math>

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Münzwurf===

Beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze ist das Interesse auf die Anzahl des Auftretens der [[Ausprägung]] "Zahl (Z)" gerichtet.

Die zugehörige [[Zufallsvariable]] <math> X</math> ist: 

<math>X = \{ \mbox{Anzahl von 'Zahl' beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze} \}</math> mit den [[Realisation]]en <math>x_{1}=0;\; x_{2}=1;\; x_{3}=2;</math> und <math>\,x_{4}=3</math>.

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|[[Elementarereignis|Elementarereignis]] 
<math>\,E_{j}</math>
|align="center"|[[Wahrscheinlichkeit]] 
<math>\,P(E_{j})</math>
|align="center"|[[Zufallsvariable]] <math>X</math>
[[Realisation]]en <math>x_{i}\,</math>
|align="center"|[[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] 
<math>\,P(X=x_{i})=f(x_{i})</math>
|-
|align="center"|<math>\, E_{1}=\{hhh\}</math>
|align="center"|<math>\, P(E_{1})=0,125 </math>
|align="center"|<math>\, x_{1}=0</math>
|align="center"|<math>\, f(x_{1})=0,125 </math>
|-
|align="center"|<math>\,E_{2}=\{hho\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{2})=0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"|<math>\,E_{3}=\{hoh\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{3})=0,125</math>
|align="center"|<math>\,x_{2}=1</math>
|align="center"|<math>\,f(x_{2})=0,375</math>
|-
|align="center"|<math>\,E_{4}=\{ohh\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{4})=0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"|<math>\,E_{5}=\{hoo\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{5})=0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"|<math>\,E_{6}=\{oho\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{6})=0,125</math>
|align="center"|<math>\,x_{3}=2 </math>
|align="center"|<math>\,f(x_{3})=0,375</math>
|-
|align="center"|<math>\,E_{7}=\{ooh\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{7})=0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"|<math>\,E_{8}=\{ooo\}</math>
|align="center"|<math>\,P(E_{8})=0,125</math>
|align="center"|<math>\,x_{4}=3</math>
|align="center"|<math>\,f(x_{4})=0,125</math>
|}

Die Berechnung der Eintritts[[wahrscheinlichkeit]]en <math>P(E_{j})</math> beruht auf dem [[Multiplikationssatz]] für [[unabhängige Ereignisse]].

Die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] ergibt sich als sukzessives Aufsummieren der [[Wahrscheinlichkeit]]en der einzelnen [[Realisation]]en der [[Zufallsvariable]]n <math>X</math>. 

Zum Beispiel:

<math>F(1)=f(0)+f(1)=0,125+0,375=0,5</math>

Insgesamt erhält man:

<math>F(x)=\begin{cases}0\, & \mbox{, wenn } x<0 \\
0,125\, & \mbox{, wenn } 0\leq x<1 \\
0,500\, & \mbox{, wenn } 1\leq x<2 \\
0,875\, & \mbox{, wenn } 2\leq x<3 \\
1,000\, & \mbox{, wenn } 3\leq x
\end{cases}</math>

Folglich kann die [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] auch grafisch dargestellt werden:

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Verteilungsfunktion_stochastisch_Verteilungsfunktion_diskret_R00480004800000000000000_plot.html" />

===Haushaltsgröße===

Aus "Statistisches Jahrbuch 1998", herausgegeben vom Statistischen Landesamt Berlin, Kulturbuch-Verlag Berlin, S. 61, können nachstehende Angaben über die Größe von Privathaushalten in Berlin für April 1998 entnommen werden:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|Anzahl der im Haushalt lebenden Personen
|align="center"|Anzahl der Privathaushalte (in 1000)
|-
|align="center"|1
|align="center"|820,7
|-
|align="center"|2
|align="center"|564,7
|-
|align="center"|3
|align="center"|222,9
|-
|align="center"|4 und mehr
|align="center"|195,8
|-
|align="center"|Summe
|align="center"|1804.1
|}

Wenn <math>X</math> die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen eines zufällig ausgewählten Berliner Privathaushaltes im April 1998 (kurz: Haushaltsgröße) ist, dann bedeuten::

{|style="width:35%"
|<math> x_{1}=1 </math>
|Einpersonenhaushalt
|-
|<math>x_{2}=2</math>
|Zweipersonenhaushalt
|-
|<math>x_{3}=3</math>
|Dreipersonenhaushalt
|-
|<math>x_{4}=4</math>
|Vier- und Mehrpersonenhaushalt.
|}

Vor der zufälligen Auswahl des Privathaushaltes liegt die Haushaltsgröße noch nicht konkret vor; sie kann jedoch die angegebenen möglichen [[Realisation]]en annehmen. 

<math> X = \{ \mbox{Haushaltsgröße} \}</math> ist somit eine [[Zufallsvariable]]. Sie ist [[diskrete Zufallsvariable|diskret]], da der zulässige Wertebereich nur die ganzzahligen Werte <math>1,2,3,4</math> umfasst. 

Die [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] für die Gesamtheit der Privathaushalte in Berlin ergeben die theoretischen [[Wahrscheinlichkeit]]en der möglichen [[Realisation]]en von <math> X </math>, wobei hier auf die statistische Definition der
[[Wahrscheinlichkeit]] zurückgegriffen wird. 

Die gemeinsame Auflistung der [[Realisation]]en von <math> X </math> und den zugehörigen [[Wahrscheinlichkeit]]en ergibt die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional)|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|Haushaltsgröße <math>x_{j}</math>
|<math>f(x_{j})</math>
|-
|align="center"|1
|align="center"|0,4549
|-
|align="center"|2
|align="center"|0,3130 
|-
|align="center"|3
|align="center"|0,1236
|-
|align="center"|4
|align="center"|0,1085
|-
|align="center"|Summe
|align="center"|1,0000
|}

Als [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] mit <math>F(x) = P(X \leq x)</math> folgt:

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Verteilungsfunktion_stochastisch_Verteilungsfunktion_diskret2_R00480004800000000000000_plot.html" />

{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
|align="center"|Haushaltsgröße <math>x_{j}</math>
|align="center"|<math>F(x)</math>
|-
|align="center"|1
|align="center"|0,4549
|-
|align="center"|2
|align="center"|0,7679
|-
|align="center"|3 
|align="center"|0,8915
|-
|align="center"|4
|align="center"|1,0000
|}

Aus der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] kann z.B. abgelesen werden:

Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt höchstens 2 Personen leben <math>(X \leq 2)</math>, beträgt 0,7679.

Mittels der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional)|Wahrscheinlichkeitsfunktion]] bzw. der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] lassen sich weitere [[Wahrscheinlichkeit]]en ermitteln, z.B.

* Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt mehr als 2 Personen <math>(X > 2)</math> leben, ist:

: <math>P(X>2)=1-F(2)=1-0,7679=0,2321</math>

: oder

: <math>P(X>2)=f(3)+f(4)=0,1236+0,1085=0,2321</math>.

* Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt mehr als 1 Person, jedoch höchstens 3 Personen leben, ist:

: <math>P(1<X\leq 3)=F(3)-F(1)=0,8915-0,4549=0,4366</math>

: oder

: <math>P(1<X\leq 3)=f(2)+f(3)=0,3130+0,1236=0,4366</math>.

[[Kategorie:Statistik I&II]]