Quelltext der Seite Gütefunktion des Gauß-Tests

{{Testtheorie}}

==Grundbegriffe==

===Gütefunktion des Gauß-Tests===

Für die Beurteilung der Güte eines [[Statistischer Test|Tests]] ist entscheidend, dass vorhandene Abweichungen des wahren [[Parameter]]wertes <math>\mu</math> vom hypothetischen Wert <math>\mu _{0}</math> möglichst zuverlässig aufgedeckt werden. 

Es interessiert daher die [[Wahrscheinlichkeit]], sich im Ergebnis des Tests für <math>H_1</math> zu entscheiden, wenn der wahre [[Parameter]]wert <math>\mu</math> vom hypothetischen Wert <math>\mu _{0}</math> verschieden ist. 

Diese [[Wahrscheinlichkeit]] kann mittels der [[Gütefunktion]] <math>G(\mu)</math> gewonnen werden.

Wenn <math>\sigma</math> bekannt ist und der hypothetische Wert <math>\mu_{0}</math>, das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> vorgegeben sind, können die Werte der [[Gütefunktion]] berechnet werden, indem nacheinander alle zulässigen Werte für <math>\mu</math> eingesetzt werden. 

Die [[Gütefunktion]] kann bereits vor der [[Stichprobenerhebung]] ermittelt werden, da sie sich nicht auf konkrete [[Realisation]]en der [[Teststatistik]] <math>V\;</math> bezieht.

Die [[Gütefunktion]] <math>G\left(\mu\right)</math> gibt die [[Wahrscheinlichkeit]] der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung von <math>H_{0}</math>]] in Abhängigkeit vom [[Parameter]]wert <math>\mu</math> an:

<math>G(\mu)=P(V \in \mbox{Ablehnungsbereich der } H_{0}|\mu)=P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|\mu)\;</math>

====Zweiseitiger Test====

Bei einem [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] ist die [[Nullhypothese]] in Wirklichkeit nur wahr, wenn <math>\mu =\mu_{0}</math> gilt,
so dass in diesem Fall mit der Ablehnung der [[Nullhypothese]] ein [[Fehler 1. Art]] begangen wird und

<math>P( V \in \mbox{Ablehnungsbereich der } H_{0} | \mu =\mu_{0} ) = P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''} | H_{0})= \alpha\;</math>

ist. 

Für alle anderen zulässigen Werte von <math>\mu</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] und mit der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] wird eine richtige Entscheidung getroffen. 

Es ist

<math>P( V \in \mbox{Ablehnungsbereich der } H_{0}|\mu \neq \mu_{0})=P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})=1-\beta\;</math>

<math>G(\mu)=\begin{cases} P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})=\alpha, & \mbox{, wenn } \mu = \mu_{0} \\
P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1})=1-\beta & \mbox{, wenn } \mu \neq \mu_{0}\end{cases}</math>

Die [[Gütefunktion]] <math>G(\mu)</math> kann beim [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] für vorgegebene Werte von <math>\mu</math> wie folgt berechnet werden:

<math>G\left(\mu \right) =1-\left[P\left(V\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu-\mu _{0}}{\sigma /\sqrt{n}}\right) -P\left(V\leq-z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu _{0}}{\sigma /\sqrt{n}}\right) \right]</math>

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] lässt sich leicht über die [[Gütefunktion]] ermitteln:

<math>P(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})=1-G\left(\mu \right)=\beta</math>

Charakteristika der [[Gütefunktion]] beim [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]]

* An der Stelle <math>\mu = \mu_{0}</math> nimmt sie ihr Minimum mit dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> an.

* Sie ist symmetrisch zum hypothetischen Wert <math>\mu_{0}</math>

* Sie wächst mit zunehmenden Abstand des wahren [[Parameter]]wertes <math>\mu</math> vom hypothetischen Wert <math>\mu _{0}</math> und nimmt schließlich den Wert Eins an.

Das charakteristische Bild der [[Gütefunktion]] beim [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] zeigt die folgende Abbildung.


<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_zweiseitig_R00480004800000000000000_plot.html" />

In dieser Abbildung sind zwei mögliche Alternativwerte <math>\mu_{1}</math> und <math>\mu _{2}</math> eingetragen. 

Wenn in Wirklichkeit <math>\mu_{1}</math> der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, so existiert eine relativ große Abweichung <math>\mu_{1} - \mu_{0}</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \beta</math> einer richtigen Entscheidung für die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> ist groß und damit die
[[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] klein.

Wenn in Wirklichkeit <math>\mu _{2}</math> der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, so existiert eine relativ kleine Abweichung <math>\mu_{2} - \mu_{0}</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \beta</math> einer richtigen Entscheidung für die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> ist klein und damit die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] groß. 

Dies ist intuitiv plausibel, denn kleine Abweichungen sind schwieriger zu entdecken.

====Rechtsseitiger Test====

Im Fall eines [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]]s gilt die [[Nullhypothese]] in Wirklichkeit für alle zulässigen Werte des [[Parameter]]s <math>\mu</math>, für die <math>\mu \leq \mu_{0}</math> ist. 

Für diese Fälle wird mit der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] ein [[Fehler 1. Art]] begangen, dessen [[Wahrscheinlichkeit]] höchstens gleich dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> ist:

<math>P(V\in \mbox{ Ablehnungsbereich der }H_{0}|\mu \leq \mu_{0})=P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}) \leq \alpha</math>

Für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_{0}</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] und mit der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] wird eine richtige Entscheidung getroffen. 

Es ist

<math>P\left( V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_{0}|\mu \geq \mu _{0}\right)P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right)=1-\beta</math>

<math>G\left(\mu\right)=\begin{cases}
P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)\leq\alpha, & \mbox{, wenn } \mu \leq \mu_{0}\\
P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right)=1-\beta, & \mbox{, wenn }\mu > \mu_{0}\end{cases}
</math>

Die [[Gütefunktion]] <math>G(\mu)</math> beim [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] wird für vorgegebene Werte von <math>\mu</math> nach folgender Formel berechnet:

<math>G(\mu ) =1-P\left( V\leq z_{1-\alpha }-\frac{\mu -\mu _{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right)</math>

Das charakteristische Bild der [[Gütefunktion]] beim [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] zeigt die folgende Abbildung.


<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_rechtsseitig_R00480004800000000000000_plot.html" />
Für alle gültigen Werte der [[Alternativhypothese]], d.h. <math>\mu >\mu_{0}</math>, wächst die [[Gütefunktion]] und nimmt schließlich den Wert
Eins an. 

Je größer dabei die Differenz  <math>\mu -\mu_{0}</math> wird, desto größer wird die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \beta</math> einer richtigen Entscheidung für die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> und desto kleiner wird die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]].

Für <math>\mu =\mu _{0}</math> entspricht der Wert der [[Gütefunktion]] dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>.

Für alle anderen gültigen Werte der [[Nullhypothese]], d.h. <math>\mu <\mu_{0}</math>, ist die [[Gütefunktion]] kleiner als <math>\alpha</math>. 

Je größer dabei die Differenz <math>\mu -\mu_{0}</math> wird, desto kleiner wird die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\alpha</math>, einen [[Fehler 1. Art]] zu begehen.

====Linksseitiger Test====

Im Fall eines [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]]s gilt die [[Nullhypothese]] in Wirklichkeit für alle zulässigen Werte des [[Parameter]]s <math>\mu</math>, für die <math>\mu \geq \mu _{0}</math> ist. 

Für diese Fälle wurde mit der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] ein [[Fehler 1. Art]] begangen, dessen [[Wahrscheinlichkeit]] höchstens gleich dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> ist:

<math>P\left(V\in \mbox{ Ablehnungsbereich der }H_{0}|\mu \geq \mu_{0}\right)=P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)\leq\alpha</math>

Für alle zulässigen Werte von <math>\mu <\mu_{0}</math> gilt in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] und mit der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der Nullhypothese]] wurde eine richtige Entscheidung getroffen. 

Es ist

<math>P\left(V\in \mbox{ Ablehnungsbereich der }H_{0}|\mu \leq \mu _{0}\right) =P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right) =1-\beta</math>

<math>G\left(\mu \right)=\begin{cases} P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)\leq\alpha, & \mbox{, wenn } \mu \geq \mu_{0} \\
P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}| H_{1}\right)=1-\beta, & \mbox{, wenn } \mu < \mu_{0}\end{cases}
</math>

Die [[Gütefunktion]] <math>G(\mu)</math> beim [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] wird für vorgegebene Werte von <math>\mu</math> nach folgender Formel berechnet:

<math>G(\mu ) =P\left( V\leq -z_{1-\alpha }-\frac{\mu -\mu _{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right)</math>

Das charakteristische Bild der [[Gütefunktion]] beim [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] zeigt die folgende Abbildung.


<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_linksseitig_R00480004800000000000000_plot.html" />
Hier gelten analoge Interpretationen wie für die [[Gütefunktion]] eines [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]]s.

==Zusatzinformationen==

===Herleitung der Gütefunktion===

Für einen [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] wird die Formel für die Berechnung der [[Gütefunktion]] hergeleitet.

Es ist:
{|
|<math>G\left( \mu \right) </math>
|<math>=P\left( V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_{0}|\mu \right)</math>
|-
|
|<math>=1-P\left( V\in \mbox{ Nichtablehnungsbereich der }H_{0}|\mu \right)</math>
|}

Wenn <math>\mu</math> der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, ergibt sich ausgehend von der letzten Bestimmungsgleichung für die [[Gütefunktion]]:

{|
|<math>G\left( \mu \right)</math>
|<math>=1-P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq V\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}|\mu \right)</math>
|-
|
|<math> =1-P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma\cdot\sqrt{n}}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}|\mu \right)</math>
|}

Der mittlere Term der Ungleichung im [[Wahrscheinlichkeit]]sausdruck wird mit <math>\mu -\mu</math> erweitert und weiter umgeformt:

{|
|<math>G\left( \mu \right)</math>
|<math> =1-P\left( -z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{\overline{X}-\mu_{0}+\mu -\mu }{\sigma\cdot \sqrt{n}}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}|\mu \right)</math>
|-
|
|<math>=1-P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma\cdot\sqrt{n}}+\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma\cdot \sqrt{n}}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}|\mu \right) </math>
|-
|
|<math> =1-P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma\cdot\sqrt{n}}\leq \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma\cdot \sqrt{n}}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma\sqrt{n}}|\mu \right)</math>
|-
|
|<math> =1-P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma\cdot\sqrt{n}}\leq V\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma \cdot \sqrt{n}}|\mu\right)</math>
|-
|
|<math> =1-\left[P\left( V\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma\cdot\sqrt{n}}|\mu \right)-P\left(V\leq-z_{1-\frac{\alpha}{2}}-\frac{\mu -\mu_{0}}{\sigma\cdot\sqrt{n}}|\mu \right) \right]</math>
|}

Analog können die Formeln für die Berechnung der [[Gütefunktion]] bei [[Einseitiger Test|einseitigen Tests]] hergeleitet werden.

===Eigenschaften der Gütefunktion===

Für die Güte eines [[Statistischer Test|Tests]] ist es von Vorteil, wenn die [[Wahrscheinlichkeit]], sich richtigerweise für <math>H_{1}</math> zu entscheiden, mit wachsendem Abstand des wahren [[Parameter]]wertes <math>\mu</math> vom hypothetischen Wert <math>\mu_{0}</math> schnell anwächst, d.h. wenn die [[Gütefunktion]] recht steil verläuft. 

Es gibt zwei grundsätzliche Möglichkeiten, die [[Gütefunktion]] zu beeinflussen:

* über den [[Stichprobenumfang]] <math>n</math>

* über das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>

====Stichprobenumfang====

Wie aus den Formeln für die Berechnung der [[Gütefunktion]] ersichtlich ist, hängt <math>G\left(\mu\right)</math> außer an der Stelle <math>\mu = \mu_{0}</math> vom [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> ab. 

Unter sonst gleichen Bedingungen wird die [[Gütefunktion]] mit wachsendem [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> steiler, was für jeden Wert <math>\mu</math> (mit <math>\mu \neq \mu_{0}</math> beim [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]], <math>\mu > \mu_{0}</math> beim [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] bzw. <math>\mu < \mu_{0}</math> beim [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]]) eine höhere [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 - \beta</math> für die [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] und eine kleinere [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> für einen [[Fehler 2. Art]] impliziert. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]], vorhandene Unterschiede zwischen dem wahren [[Parameter]]wert <math>\mu</math> und dem hypothetischen Wert <math>\mu_{0}</math> zu erkennen, wächst mit dem [[Stichprobenumfang]]. 

Bei festem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> lässt sich die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> für einen [[Fehler 2. Art]] über die Erhöhung des
[[Stichprobenumfang]]s verringern.

Die nachstehende Abbildung zeigt für einen [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] bei vorgegebenem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> die [[Gütefunktion]]en für 4 verschiedene [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]], wobei  <math>n_{1}<n_{2}<n_{3}<n_{4}</math> gilt.


<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_mu0_1000_4SP_R00480004800000000000000_plot.html" />
====Signifikanzniveau====

Je größer unter sonst gleichen Bedingungen das [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> (die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 1. Art]]) ist, desto höher verläuft der Graf der [[Gütefunktion]]. 

Dies impliziert, dass mit einer Vergrößerung von <math>\alpha</math> für jeden Wert <math>\mu</math> (mit <math>\mu \neq \mu_{0}</math> beim [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]], <math>\mu > \mu_{0}</math> beim [[Rechtsseitiger Test|rechtsseitigen Test]] bzw. <math>\mu < \mu_{0}</math> beim [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]]) die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>1 -\beta</math> für die [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]] größer und die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\beta</math> für einen [[Fehler 2. Art]] kleiner wird. 

Bei festem [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> können also die beiden Fehler[[wahrscheinlichkeit]]en nicht gleichzeitig niedrig gehalten werden.

Die folgende Abbildung zeigt für einen [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] bei gegebenem [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> die [[Gütefunktion]]en für 2 verschiedene [[Signifikanzniveau]]s: 

die rote Linie repräsentiert <math>G(\mu)</math> für <math>\alpha = 0,05</math> und die blaue Linie <math>G(\mu)</math> für <math>\alpha = 0,10</math>.


<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_zweiseitig_2Alpha_R00480004800000000000000_plot.html" />
<!--
[[Bild:STAT-Gütefunktionzweis5.gif]]
-->

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Mehl===

In einem Unternehmen wird Mehl maschinell in Tüten abgefüllt. Das Sollgewicht beträgt 1000 g, auf das die Maschine justiert wurde. 

Das Ist-Gewicht der Mehltüten weist gewisse Schwankungen auf, die im Produktionsprozess nicht vermieden werden können. 

Damit ist das Ist-Gewicht eine [[Zufallsvariable]]: <math>X =\;</math>"Ist-Gewicht der Mehltüten". 

Der [[Erwartungswert]] des Ist-Gewichts <math>E[X] = \mu</math>, mit dem die Maschine derzeit arbeitet, ist unbekannt. Er soll jedoch dem Sollgewicht entsprechen, d.h. <math>E[X] = \mu_{0} = 1000 \mbox{g}</math>. 

Die Konsequenz ist, dass nach einer gewissen Laufzeit der Maschine überprüft werden muss, ob die ursprüngliche Justierung der Maschine noch eingehalten wird oder ob schon erhebliche Abweichungen auftreten. 

Dazu wird in gewissen Abständen eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aus der Produktion entnommen, für die [[Stichprobe]] das durchschnittliche Ist-Gewicht ermittelt und das Ergebnis mit dem Sollwert verglichen. 

Bei
erheblichen (signifikanten) Abweichungen muss eine neue Justierung der Maschine vorgenommen
werden.

Aus der Sicht des Unternehmers sind Abweichungen nach beiden Seiten vom Sollwert <math>\mu_{0}= 1000\mbox{g}</math> relevant. 

Wird im Mittel zu wenig abgefüllt, würde dieser Umstand über kurz oder lang bei Überprüfungen (z.B. durch Verbraucherorganisationen) bekannt und der Reputation des Unternehmens erheblichen Schaden zufügen. 

Wird im Mittel zu viel abgefüllt, schmälert dies den Gewinn des Unternehmers. Es ist somit ein [[zweiseitiger Test]] durchzuführen:

<math>H_{0}:\mu =1000\quad H_{1}:\mu \neq 1000</math>

Der [[Statistischer Test|Test]] soll auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> durchgeführt werden. 

Es wird eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> gezogen. Aufgrund des großen [[Umfang der Grundgesamtheit|Umfangs der Grundgesamtheit]] (Gesamtproduktion) kann dabei von einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] ausgegangen werden.

====Teststatistik und Entscheidungsbereiche====

Als [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> der Grundgesamtheit]] wird der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> verwendet. 

Es sei aufgrund der langjährigen Nutzung der Maschine bekannt, dass das Ist-Gewicht eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Zufallsvariable]] mit der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma = 10\mbox{g}</math> ist. 

Dann folgt für die [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math>, dass sie ebenfalls [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist und eine [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\sigma\left(\bar{X}\right) = 2\mbox{g}</math> aufweist. 

Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], d.h. wenn die Maschine im Mittel tatsächlich das Sollgewicht von 1000 g einhält, gilt:

<math>\bar{X}\mbox{ ist unter } H_{0}\sim N(1000;\;2)</math>.

Für die [[Teststatistik]]

<math>V=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}</math>

folgt:

<math>V \mbox{ ist unter }H_{0}\sim N(0;\;1)</math>.

Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>P(V \leq c_{o})=1-\frac{\alpha}{2} = 0,975</math> den oberen [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c_{o} = z_{0,975}= 1,96</math>. 

Wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] gilt <math>c_{u}=-z_{1-\frac{\alpha}{2}}=-1,96</math>.

Damit ergeben sich die [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu: 

[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]<math>:\;\left\{v|-1,96\leq v\leq 1,96\right\}</math>

[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]<math>:\;\left\{v|v<-1,96 \mbox{ oder }v>1,96\right\}</math>



<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_Verteilung_Teststatistik_R00480004800000000000000_plot.html" />
| Abb. 1: Verteilung der Teststatistik <math>V</math> unter <math>H_0</math> und Entscheidungsbereiche}}

====Prüfwert====

Es werden nunmehr die 25 Mehltüten zufällig ausgewählt, ihr Ist-Gewicht festgestellt und das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] dieser Gewichte berechnet, für das sich <math>\bar{x} = 996,4 \mbox{ g}</math>  ergeben habe. 

Als [[Prüfwert]] erhält man

<math>v=\frac{996,4-1000}{2}=-1,8</math>

====Entscheidungssituationen====

Da <math>v = - 1,8 </math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt. 

Basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] verschieden vom hypothetischen Wert <math>\mu_{0} = 1000\mbox{g}</math> ist, d.h. dass die Maschine den Sollwert von 1000 g nicht einhält.

====Gütefunktion====

Bei dieser Testentscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist. 

Die [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnung der <math>H_{0}</math>]] kann daher nur angemessen beurteilt werden, wenn die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen derartigen Fehler berücksichtigt wird. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist jedoch unbekannt, da der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] unbekannt ist. 

Man kann aber für verschiedene mögliche Alternativwerte <math>\mu</math> die [[Gütefunktion]] und über <math>1 - G(\mu)</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] für den [[Fehler 2. Art]] in Abhängigkeit von <math>\mu</math> ermitteln. 

Es sei z.B. angenommen, dass <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> das tatsächliche mittlere Ist-Gewicht ist, mit dem die Maschine arbeitet. 

Da für <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> stimmt, gibt die [[Gütefunktion]] <math>G(\mu = 1002)</math> an dieser Stelle die [[Wahrscheinlichkeit]] einer richtigen Entscheidung für <math>H_{1}</math> an:

<math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}\right)= 1-\beta</math>

Mit <math>\mu_{0} = 1000,\; \alpha =0,05,\; \sigma =10</math> und <math>n = 25</math> erhält man:
{|
|<math>G\left(\mu = 1002\right)</math>
|<math>=1-\left[P\left( V\leq 1,96-\frac{1002-1000}{2}\right)-P\left(V\leq -1,96-\frac{1002-1000}{2}\right) \right]</math>
|-
|
|<math>=1-\left[P\left(V\leq 0,96\right)-P\left(V\leq -2,96\right)\right]</math>
|-
|
|<math>=1-\left[P\left( V\leq 0,96\right) -\left( 1-P\left( V\leq 2,96\right) \right) \right]</math>
|-
|
|<math> =1-\left[ 0,831472-\left( 1-0,998462\right) \right]</math>
|-
|
|<math>=1-0,829934\;</math>
|-
|
|<math> =0,17=1-\beta\;</math>
|}

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] an der Stelle <math>\mu = 1002</math> ist:

<math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right) =\beta \left(\mu = 1002\right) =1-G\left(\mu=  1002\right)=0,83</math>

Wenn das tatsächliche durchschnittliche Ist-Gewicht <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> beträgt, wird in rund 83% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> die Abweichung vom Sollgewicht 1000 g durch den Test nicht aufgedeckt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist sehr hoch, da die Differenz <math>\mu -\mu_{0} = 1002 - 1000</math> relativ klein ist.

Wenn dagegen z.B. <math>\mu = 989</math> g der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, dann gibt <math>G(\mu = 989)</math> ebenfalls die [[Wahrscheinlichkeit]] einer richtigen Entscheidung für <math>H_{1}</math> an: 

<math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1} \right)=1-\beta</math>, da in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> stimmt. 

Man erhält durch analoge Berechnungen:

<math>G\left(\mu= 989 \right) = 1-\beta = 0,9998</math> und <math> \beta\left(\mu =989\right)=0,0002</math>

In nur rund 0,02% aller [[Stichprobe]]n vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> wird in diesem Fall die Abweichung vom Sollgewicht <math>1000\mbox{g}</math> durch den [[Statistischer Test|Test]] nicht aufgedeckt. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist sehr klein, da die Differenz <math>\mu - \mu_{0} = 989 - 1000</math> groß ist.

Für die gegebenen Werte von <math>\mu_{0},\; \alpha,\; \sigma</math> und <math>n</math> sind in der folgenden Tabelle <math>G(\mu)</math> und <math>1 - G(\mu)</math> für weitere zulässige Werte von <math>\mu</math> enthalten.

{| class="wikitable"
|align="center"|<math>\mu</math>
|align="center"|Gültigkeit von
|align="center"|<math>G\left( \mu \right)</math>
|align="center"|<math>1-G\left( \mu \right)</math>
|-
|align="center"|<math>988,00</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,999973=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,000027=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>990,40</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,997744=1-\beta </math>
|align="center"|<math>0,002256=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>992,80</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,949497=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,050503=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>995,20</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,670038=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,329962=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>997,60</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,224416=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,775584=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>1000,00</math>
|align="center"|<math>H_{0}</math>
|align="center"|<math>0,05=\alpha</math>
|align="center"|<math>0,95=1-\alpha</math>
|-
|align="center"|<math>1002,40</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,224416=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,775584=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>1004,80</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,670038=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,329962=\beta</math>
|-
|align="center"|<math>1007,20</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,949497=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,050503=\beta </math>
|-
|align="center"|<math>1009,60</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,997744=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,002256=\beta </math>
|-
|align="center"|<math>1012,00</math>
|align="center"|<math>H_{1}</math>
|align="center"|<math>0,999973=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,000027=\beta</math>
|}

Die grafische Darstellung der [[Gütefunktion]] enthält die Abb. 2.





<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_mu0_1000_R00480004800000000000000_plot.html" />
| Abb. 2: Gütefunktion mit <math>\mu_0=1000</math>, <math>\alpha=0,05</math>, <math>\sigma=10</math> und <math>n=25</math>}}

Eine Möglichkeit, die [[Gütefunktion]] bei festem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha= 0,05</math> zu beeinflussen, ist die Erhöhung des [[Stichprobenumfang]]s <math>n</math>. 

Das soll exemplarisch unter den Annahmen gezeigt werden, dass <math>\mu = 1002\mbox{g}</math> bzw. <math>\mu = 989\mbox{g}</math> der wahre [[Parameter]]wert in der [[Grundgesamtheit]] ist, wobei weiterhin <math>\alpha=0,05,\; \mu_{0} = 1000</math> und <math>\sigma = 10</math> gelten.

{| class="wikitable"
|
|align="center"|<math>n=9</math>
|align="center"|<math>n=16</math>
|align="center"|<math>n=25</math>
|align="center"|<math>n=36</math>
|-
|align="center"|<math>G\left(1002\right)=1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,0921</math>
|align="center"|<math>0,126</math>
|align="center"|<math>0,17</math>
|align="center"|<math>0,224</math>
|-
|align="center"|<math>\beta \left(\mu = 1002\right)</math>
|align="center"|<math>0,9079</math>
|align="center"|<math>0,874</math>
|align="center"|<math>0,83</math>
|align="center"|<math>0,776</math>
|-
|align="center"|<math>G\left(\mu = 989\right) =1-\beta</math>
|align="center"|<math>0,91</math>
|align="center"|<math>0,993</math>
|align="center"|<math>0,9998</math>
|align="center"|<math>0,999998</math>
|-
|align="center"|<math>\beta \left(\mu =  989\right)</math>
|align="center"|<math>0,09</math>
|align="center"|<math>0,007</math>
|align="center"|<math>0,0002</math>
|align="center"|<math>0,000002</math>
|}

Abb. 3 zeigt die [[Gütefunktion]]en für die 4 verschiedenen [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]].

===BEARBEITUNG===

<iframe k="wiwi" p="examples/stat_Guetefunktion_GF_zweiseitig_4SP_R00480004800000000000000_plot.html" />

Wird z.B. vermutet, dass die Maschine nur mit einer geringfügigen Abweichung vom Sollwert <math>\mu_{0}</math> arbeitet, so ist ein größerer [[Stichprobenumfang]] empfehlenswert, um vorhandene Abweichungen zuverlässiger aufzudecken und bei [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnung der <math>H_{0}</math>]] die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] zu verringern, auch wenn dadurch die Kosten für die Überprüfung der Maschine höher werden.