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MM*Stat - Benutzerbeiträge [de-formal]
2024-03-29T10:51:04Z
Benutzerbeiträge
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Kombinatorik/Lösungen
2020-07-15T15:09:29Z
<p>Petrescc: /* Wanderwege */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===6 aus 49===<br />
<br />
<math>K(49,6) = </math>13 983 816<br /><br />
===Angebotsmöglichkeiten===<br />
<br />
1. Unternehmen: <math>K(6,2)= \binom{6}{2}=15</math>Kombination Preis/Menge nicht erlaubt: <math>15-1=14</math><br /><br />
<br /><br />
2. Unternehmen: <math>K(7,2)=\binom{7}{2}=21</math>Kombination Preis/Menge nicht erlaubt: <math>21-1=20</math><br /><br />
Insgesamt <math>14\cdot20=280</math> Angebotsmöglichkeiten.<br /><br />
===Anzahl der Abweichungen===<br />
<br />
<math>K(50;2)=1225</math><br /><br />
===Arbeitsgänge===<br />
<br />
<math>P(9; 3,2,4) = 1260</math><br /><br />
===Blindenschrift===<br />
<br />
<math>V^{W}(2,6) = 64</math><br />
<br />
[[File:alphabet_taktil.gif|image]]<br /><br />
Quelle: http://www.siljakorn.de/braille-info.shtml<br />
<br />
===Bridge===<br />
<br />
<math>K(52,13) = 635 013 559 600</math><br /><br />
===Bücher===<br />
<br />
<math>V(9,6) = 60480</math><br /><br />
===Bunte Häuser===<br />
<br />
<math>P(3) = 6</math><br />
<br />
===Bunte Häuser===<br />
<br />
<math>P(5) = 120</math><br />
<br />
===Camel Cup===<br />
<br />
* <math>K^{W}(50,3) = 22 100</math><br />
* Unter den 22 100 Möglichkeiten sind 50 Möglichkeiten, die Testausritte mit genau einem Kamel zu machen; <math>K(50,3) = 19 600</math> Möglichkeiten, die Testausritte mit 3 unterschiedliche Kamelen zu machen und folglich <math>22 100<br />
-50 -19 600 = 2 450</math> Möglichkeiten, die Testausritte mit zwei Kamelen zu machen.<br />
<br />
===Code-Schlösser===<br />
<br />
<math>\mbox{Anzahl solcher 5--stelligen Codes}=2\cdot9^4=13122</math><br /><br />
<math>\mbox{Anzahl aller Codes mit 4 gleichen Ziffern}=2\cdot9=18</math><br /><br />
<math>\rightarrow13122-18=13104</math><br /><br />
===Computerraum-Code===<br />
<br />
Anzahl aller Codes <math>55**=9\cdot10=90</math> (dritte Stelle <math>\neq5</math>)<br /><br />
Anzahl aller Codes <math>**55=9\cdot10=90</math> (zweite Stelle <math>\neq5</math>)<br /><br />
Anzahl aller Codes <math>*55*=9\cdot9=81</math> (erste &amp; vierte Stelle <math>\neq5</math>)<br /><br />
<math>\rightarrow 261</math><br />
<br />
===Einmaleins===<br />
<br />
<math>K^{W}(9,2) = 45</math><br /><br />
===Geburtstagsparty===<br />
<br />
* Kombination ohne Wiederholung für <math>n = 12</math>, <math>k= 6</math>:<br> <br><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
K(12,6)=\left(\begin{array}{c}<br />
12 \\<br />
6<br />
\end{array}\right) &=\frac{12 !}{(12-6) ! 6 !}=\frac{12 !}{6 ! 6 !} \\<br />
&=\frac{7 \cdot \not 8^{2} \cdot \not 9^{3} \cdot \not 10^{2} \cdot 11 \cdot \not 12^{1}}{1 \cdot \not 2 \cdot \not 3 \cdot 4 \cdot \not 5 \cdot \not 6} \\<br />
&=7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 1=924<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Genua Wahl===<br />
<br />
Nein, denn <math>K(100,5) = 75 287 520</math> Es hätte ungefähr der <math>75</math> millionenfache Betrag des Einsatzes gezahlt werden müssen.<br /><br />
===Geschenke für die Abteilungsleiter===<br />
<br />
<math>P(5;1,1,1,2)=\displaystyle\frac{5!}{1!1!1!2!}=120/2=60</math><br />
<br />
===Hallenschwimmbad===<br />
<br />
<math>P(13;1,2,10) = 858 </math><br /><br />
===Hemden===<br />
<br />
<math>6+6+6+4=22</math><br />
<br />
===Lotto Toto===<br />
<br />
<math>V^{W}(3,13) = 1 594 323</math><br /><br />
===Orientierungsrundgang===<br />
<br />
* Permutation <math>n=5</math>: <math>P(5) = 5!= 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120</math><br />
* Permutation mit Wiederholung <math>n=5</math>, <math>k_1=2</math>: <math>P(5;2) = \frac{5!}{2!}=\frac{\not1\cdot\not2\cdot3\cdot4\cdot5}{\not1\cdot\not2}=60</math><br />
* 60 - 4<math>\cdot</math>3! = 36<br />
<br />
===Parkplätze===<br />
<br />
<math>K(9,5)=126</math><br /><br />
===Pferdelotto===<br />
<br />
<math>V( 23, 4) = 212520</math><br />
<br />
===Pferderennen===<br />
<br />
<math>V(10;3)=720</math><br /><br />
===Schachturnier===<br />
<br />
<math>K(12,2)=66</math><br /><br />
===Schiffsignale===<br />
<br />
<math>K^{W}(6,2) = 21 </math><br /><br />
===Schließfach===<br />
<br />
<math>P(4,2)\cdot3 = 12\cdot 3 = 36</math> Schließfächer <math>{\rightarrow}</math> falls “3” bzw. “5” bzw. “7” doppelt sind.<br /><br />
===Skatspieler===<br />
<br />
Nein, denn es gibt <math> K(32;10) =</math> 64 512 240 mögliche Spiele. Der Skatspieler spielt <math>73 000</math> Spiele/Jahr. Somit müsste er knapp <math>884</math> Jahre spielen.<br /><br />
===TEA===<br />
<br />
* <math>P(3) = 6 </math><br />
* <math>P(3;2) = 3</math><br />
<br />
===Unfallstation===<br />
<br />
* <math>V^{W}(3,2) = 9 </math><br />
* <math>K^{W}(3,2) = 6</math><br />
* <math>V(3,2) = 6 </math><br />
* <math>K(3,2) = 3</math><br />
<br />
===Wagenreihungen===<br />
<br />
<math>P(6;2,4) = 15 </math><br /><br />
===Wanderwege===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Variation mit Wiederholung für <math>n= 6</math> Farben: <math>V^{W} (n,2) = 6^2 =36</math></p></li><br />
<li><p>Kombinaiton ohne Wiederholung für <math>n = 7</math> Farben:</p><br />
<p><math>K(n,2) = \binom{7}{2}= \frac{7!}{(7-2)!2!}=\frac{7!}{5! 2!}=\frac{6\cdot7}{2}= \frac{42}{2}= 21</math></p></li><br />
<li><p>Kombination mit Wiederholung für <math>n = 5</math> Farben: <br><br> <math>\begin{align}<br />
K^{W}(n,2) = \binom{5+2-1}{2}&= \binom{6}{2}=\frac{6!}{(6-2)!2!}\\<br />
&=\frac{6!}{4!2!}=\frac{5\cdot6}{2}= 15 <br />
\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Zahlenschlösser===<br />
<br />
<math>V(5;3) = 60</math><br /><br />
===Zwei Würfel===<br />
<br />
<math>K^{W}(6,3) = 56</math><br /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Kombinatorik/L%C3%B6sungen&diff=2347
Kombinatorik/Lösungen
2020-07-15T15:07:17Z
<p>Petrescc: /* Geburtstagsparty */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===6 aus 49===<br />
<br />
<math>K(49,6) = </math>13 983 816<br /><br />
===Angebotsmöglichkeiten===<br />
<br />
1. Unternehmen: <math>K(6,2)= \binom{6}{2}=15</math>Kombination Preis/Menge nicht erlaubt: <math>15-1=14</math><br /><br />
<br /><br />
2. Unternehmen: <math>K(7,2)=\binom{7}{2}=21</math>Kombination Preis/Menge nicht erlaubt: <math>21-1=20</math><br /><br />
Insgesamt <math>14\cdot20=280</math> Angebotsmöglichkeiten.<br /><br />
===Anzahl der Abweichungen===<br />
<br />
<math>K(50;2)=1225</math><br /><br />
===Arbeitsgänge===<br />
<br />
<math>P(9; 3,2,4) = 1260</math><br /><br />
===Blindenschrift===<br />
<br />
<math>V^{W}(2,6) = 64</math><br />
<br />
[[File:alphabet_taktil.gif|image]]<br /><br />
Quelle: http://www.siljakorn.de/braille-info.shtml<br />
<br />
===Bridge===<br />
<br />
<math>K(52,13) = 635 013 559 600</math><br /><br />
===Bücher===<br />
<br />
<math>V(9,6) = 60480</math><br /><br />
===Bunte Häuser===<br />
<br />
<math>P(3) = 6</math><br />
<br />
===Bunte Häuser===<br />
<br />
<math>P(5) = 120</math><br />
<br />
===Camel Cup===<br />
<br />
* <math>K^{W}(50,3) = 22 100</math><br />
* Unter den 22 100 Möglichkeiten sind 50 Möglichkeiten, die Testausritte mit genau einem Kamel zu machen; <math>K(50,3) = 19 600</math> Möglichkeiten, die Testausritte mit 3 unterschiedliche Kamelen zu machen und folglich <math>22 100<br />
-50 -19 600 = 2 450</math> Möglichkeiten, die Testausritte mit zwei Kamelen zu machen.<br />
<br />
===Code-Schlösser===<br />
<br />
<math>\mbox{Anzahl solcher 5--stelligen Codes}=2\cdot9^4=13122</math><br /><br />
<math>\mbox{Anzahl aller Codes mit 4 gleichen Ziffern}=2\cdot9=18</math><br /><br />
<math>\rightarrow13122-18=13104</math><br /><br />
===Computerraum-Code===<br />
<br />
Anzahl aller Codes <math>55**=9\cdot10=90</math> (dritte Stelle <math>\neq5</math>)<br /><br />
Anzahl aller Codes <math>**55=9\cdot10=90</math> (zweite Stelle <math>\neq5</math>)<br /><br />
Anzahl aller Codes <math>*55*=9\cdot9=81</math> (erste &amp; vierte Stelle <math>\neq5</math>)<br /><br />
<math>\rightarrow 261</math><br />
<br />
===Einmaleins===<br />
<br />
<math>K^{W}(9,2) = 45</math><br /><br />
===Geburtstagsparty===<br />
<br />
* Kombination ohne Wiederholung für <math>n = 12</math>, <math>k= 6</math>:<br> <br><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
K(12,6)=\left(\begin{array}{c}<br />
12 \\<br />
6<br />
\end{array}\right) &=\frac{12 !}{(12-6) ! 6 !}=\frac{12 !}{6 ! 6 !} \\<br />
&=\frac{7 \cdot \not 8^{2} \cdot \not 9^{3} \cdot \not 10^{2} \cdot 11 \cdot \not 12^{1}}{1 \cdot \not 2 \cdot \not 3 \cdot 4 \cdot \not 5 \cdot \not 6} \\<br />
&=7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 1=924<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Genua Wahl===<br />
<br />
Nein, denn <math>K(100,5) = 75 287 520</math> Es hätte ungefähr der <math>75</math> millionenfache Betrag des Einsatzes gezahlt werden müssen.<br /><br />
===Geschenke für die Abteilungsleiter===<br />
<br />
<math>P(5;1,1,1,2)=\displaystyle\frac{5!}{1!1!1!2!}=120/2=60</math><br />
<br />
===Hallenschwimmbad===<br />
<br />
<math>P(13;1,2,10) = 858 </math><br /><br />
===Hemden===<br />
<br />
<math>6+6+6+4=22</math><br />
<br />
===Lotto Toto===<br />
<br />
<math>V^{W}(3,13) = 1 594 323</math><br /><br />
===Orientierungsrundgang===<br />
<br />
* Permutation <math>n=5</math>: <math>P(5) = 5!= 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120</math><br />
* Permutation mit Wiederholung <math>n=5</math>, <math>k_1=2</math>: <math>P(5;2) = \frac{5!}{2!}=\frac{\not1\cdot\not2\cdot3\cdot4\cdot5}{\not1\cdot\not2}=60</math><br />
* 60 - 4<math>\cdot</math>3! = 36<br />
<br />
===Parkplätze===<br />
<br />
<math>K(9,5)=126</math><br /><br />
===Pferdelotto===<br />
<br />
<math>V( 23, 4) = 212520</math><br />
<br />
===Pferderennen===<br />
<br />
<math>V(10;3)=720</math><br /><br />
===Schachturnier===<br />
<br />
<math>K(12,2)=66</math><br /><br />
===Schiffsignale===<br />
<br />
<math>K^{W}(6,2) = 21 </math><br /><br />
===Schließfach===<br />
<br />
<math>P(4,2)\cdot3 = 12\cdot 3 = 36</math> Schließfächer <math>{\rightarrow}</math> falls “3” bzw. “5” bzw. “7” doppelt sind.<br /><br />
===Skatspieler===<br />
<br />
Nein, denn es gibt <math> K(32;10) =</math> 64 512 240 mögliche Spiele. Der Skatspieler spielt <math>73 000</math> Spiele/Jahr. Somit müsste er knapp <math>884</math> Jahre spielen.<br /><br />
===TEA===<br />
<br />
* <math>P(3) = 6 </math><br />
* <math>P(3;2) = 3</math><br />
<br />
===Unfallstation===<br />
<br />
* <math>V^{W}(3,2) = 9 </math><br />
* <math>K^{W}(3,2) = 6</math><br />
* <math>V(3,2) = 6 </math><br />
* <math>K(3,2) = 3</math><br />
<br />
===Wagenreihungen===<br />
<br />
<math>P(6;2,4) = 15 </math><br /><br />
===Wanderwege===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Variation mit Wiederholung für <math>n= 6</math> Farben: <math>V^{W} (n,2) = 6^2 =36</math></p></li><br />
<li><p>Kombinaiton ohne Wiederholung für <math>n = 7</math> Farben:</p><br />
<p><math>K(n,2) = \binom{7}{2}= \frac{7!}{(7-2)!2!}=\frac{7!}{5! 2!}=\frac{6\cdot7}{2}= \frac{42}{2}= 21</math></p></li><br />
<li><p>Kombination mit Wiederholung für <math>n = 5</math> Farben: <math>\begin{align}<br />
K^{W}(n,2) = \binom{5+2-1}{2}&= \binom{6}{2}=\frac{6!}{(6-2)!2!}\\<br />
&=\frac{6!}{4!2!}=\frac{5\cdot6}{2}= 15 <br />
\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Zahlenschlösser===<br />
<br />
<math>V(5;3) = 60</math><br /><br />
===Zwei Würfel===<br />
<br />
<math>K^{W}(6,3) = 56</math><br /></div>
Petrescc
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Bivariate Statistik/Lösungen
2020-07-15T15:01:07Z
<p>Petrescc: /* Körpergröße */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Verspätungen===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = - 0,8<br />
<br />
===Sportveranstaltungen===<br />
[[Datei:sportveranstaltungen.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 14,4797; <math>C</math> = 0,2146; <math>C_{korr}</math> = 0,3035<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.<br />
<br />
===Old Faithful===<br />
<br />
Variable <math>X</math>: Dauer einer Eruption (in Minuten)<br /><br />
Variable <math>Y</math>: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)<br /><br />
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus<br /><br />
<math>\rightarrow</math> Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.<br />
<br />
<math>\begin{array}{c}<br />
\sum_{i} x_{i}=26,9 \quad \sum_{i} x_{i}^{2}=100,53 \\<br />
\sum_{i} y_{i}=587 \quad \sum_{i} y_{i}^{2}=45131 \\<br />
\sum_{i} x_{i} y_{i}=2114,6<br />
\end{array}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
r_{y x}=\frac{n \sum_{i}^{n} x_{i} y_{i}-\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{i}^{n} y_{i}}{\sqrt{\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)}}=0,97727<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Alter und Preis eines PKWs===<br />
<br />
Gegeben: <math>s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81</math><br /><br />
Es ist <math>r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y</math>. Daraus folgt: <math>s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)</math><br /><br />
Ferner ist: <math>r_{yx}=-0,9</math> (<math>r_{yx}</math> und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); <math>s_y=2</math><br /><br />
<math>s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3</math><br /><br />
<br />
===Koeffizienten Vergleich===<br />
<br />
# H) Median<br />
# F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz <math>\chi^2</math><br />
# D) Interquartilsabstand<br />
# B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz<br />
<br />
===GM===<br />
<br />
X – Wert der Aktie<br /><br />
<math>K_i</math> – Kurs der Aktie<math>E_j</math> – Wechselkurs<br /><br />
Dann ist<math>\bar{X}=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5E_jK_if_{ji}</math>zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung<br /><br />
<math>Cov(E,K)=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5e_jK_if_{ji}-\overline{E}\cdot\overline{K},</math>dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von <math>E</math> und <math>K</math> entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:<br /><br />
Randverteilung von <math>E</math>: <math>0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2</math><br /><br />
Randverteilung von <math>K</math>: <math>0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35</math><br /><br />
<math>\overline{e}=1,97</math> EUR/$ <math>\overline{k}=118,0175</math> $<br /><br />
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu <math>\bar{x}=232,5</math> EUR.<br /><br />
<br />
===Teesorten===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = 0,5714<br />
<br />
===Buttersorten===<br />
<br />
<br />
<br />
<math><br />
\begin{array}{l}<br />
r_{S}=1-\frac{6 \cdot \sum d_{i}^{2}}{n\cdot\left(n^{2}-1\right)} \\<br />
r_{S}=1-(6 \cdot 8) /(7 \cdot 48)=1-48 / 336=1-0,1429=08571 \approx 0,857<br />
\end{array}<br />
</math><br />
<br />
===Tarifvereinbarungen===<br />
<br />
lineare Transformation: <math>y=a+bx</math><br /><br />
<math>\overline{y}=1,029\overline{x}+50=1,029\cdot1642,86+50=1740,50294</math><br />
<br />
===Cafeteria===<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!<br />
<br />
! Frauen<br />
! Männer<br />
!<br />
<br />
|-<br />
| Mensa<br />
| <math>h_{11}</math><br />
| <math>h_{12}</math><br />
| <math>h_{1\bullet}</math><br />
|-<br />
| Cafeteria<br />
| <math>h_{21}</math><br />
| <math>h_{22}</math><br />
| <math>h_{2\bullet}</math><br />
|-<br />
|<br />
<br />
| <math>h_{\bullet1}</math><br />
| <math>h_{\bullet2}</math><br />
| <math>n</math><br />
|}<br />
<br />
<math>n=200,\quad h_{\bullet1}=0,375\cdot200=75,\quad h_{21}=45 \quad \Rightarrow h_{11}=30</math><br /><br />
<br /><br />
Unabhängigkeit:<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{1}{n}h_{\bullet1}\cdot h_{1\bullet}=h_{11}</math><math>\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet}=30\cdot200/75=80</math><br />
<br />
===Relationen der Merkmalsausprägungen===<br />
<br />
Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale <math>X</math> und <math>Y</math> ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! i<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>y_i</math><br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>d_i</math><br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
<math>r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum_{i=1}^nd_i^2}{\displaystyle n(n^2-1)}=1-\frac{\displaystyle6\cdot10}{\displaystyle5\cdot(25-1)}=0,5</math><br /><br />
<br />
===Stellung im Beruf===<br />
[[Datei:2_74_Stellung_im_Beruf.xlsx]]<br />
<ul><br />
<li><p> <br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
| Geschlecht<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| RV<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| Beamte(r)<br />
|align="right"| Angestellte(r)<br />
|align="right"| Arbeiter(in)<br />
|align="right"| Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 40<br />
|-<br />
| männlich<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|-<br />
| RV Beruf<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 50<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| n=100<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(y_{j}|x_{1})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
| Beamte<br />
| Angestellte<br />
| Arbeiter<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,375<br />
| 0,5<br />
| 0,125<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(x_{i}|y_{2})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Angestellte<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,4<br />
|-<br />
| m<br />
| 0,6<br />
|}<br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
| align="right" | 0.15<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.05<br />
| align="right" |0.4<br />
|-<br />
| männlich<br />
| align="right" |0.1<br />
| align="right" |0.3<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.6<br />
|-<br />
| RV Stellung<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |0.5<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
|weiblich<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.2<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.4<br />
|-<br />
|männlich<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.3<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.6<br />
|-<br />
|RV Stellung<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |0.5<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><p>Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. <math>f_{11}<br />
\neq f_{1.} \cdot f_{.1}</math> ist.</p></li></ul><br />
<br />
===Tekolom und IBBM - Teil II===<br />
<br />
Tekolom–Aktie <math>var(X)=16</math>, IBBM–Aktie <math>var(Y)=1</math>, Portfolio <math>Z=100X+200Y</math><br /><br />
<math>\begin{align}<br />
corr(X,Y)&=&\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y} \rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot4\cdot1=0,8\\<br />
var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot100\cdot200cov(X,Y)\\<br />
&=&10000\cdot16+40000\cdot1+40000\cdot0,8=232000\\\end{align}</math><br />
<br />
===Mensaessen===<br />
<br />
Es sei <math>R_E</math> die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und <math>R_1</math> die von Essen 1.<br /><br><br />
Fall A: <math>R_E=1</math>, <math>R_1=4</math><br /> <br><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(0+1+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{32}{35}=0,085714>0</math><br /> <br><br />
Fall B: <math>R_E=4</math>, <math>R_1=1</math><br /><br><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(9+16+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{56}{35}=-0,6<0</math><br />
<br />
===Außentemperatur und Dauer eines Weges===<br />
<br />
<math>{r_{xy}} = \frac{5\cdot(-1000)}{\displaystyle\sqrt{(5*1000)(5*7225-175^2)}} = \frac{-5000}{5224} = -0,953</math><br />
<br />
===Körpergröße===<br />
<br />
* <math>X</math>: “Körpergröße in cm”; <math>\overline{x}</math> = 128 cm; <math>s_{x}^{<br />
2} </math> = 26 cm<math>^{2}</math>; <math>s_{x}</math> = 5,1 cm;<br /><br />
<math>v_{x}</math> = 0,0398<br /><br />
<math>Y</math>:“Körpergröße in Zoll”; <math>\overline{y}</math> = 51,2 Zoll; <math>s_{y}^{<br />
2}</math> = 4,16 Zoll<math>^{2}</math>; <math>s_{y}</math> = 2,04 Zoll; <math>v_{y}</math> = 0,0398<br />
* <math>{x}_{i}=a+b y_{i} \text { mit } a=0 \text { und } b=2,5 ; \bar{x}=a+b \bar{y}</math><br /><br />
<math>s_{x}=|b| s_{y} ; v_{x}=\frac{s_{x}}{\bar{x}}=\frac{|b| s_{y}}{b \bar{y}}=\frac{s_{y} }{\bar{y}}=v_{y}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Bivariate_Statistik/L%C3%B6sungen&diff=2345
Bivariate Statistik/Lösungen
2020-07-15T14:50:44Z
<p>Petrescc: /* Mensaessen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Verspätungen===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = - 0,8<br />
<br />
===Sportveranstaltungen===<br />
[[Datei:sportveranstaltungen.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 14,4797; <math>C</math> = 0,2146; <math>C_{korr}</math> = 0,3035<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.<br />
<br />
===Old Faithful===<br />
<br />
Variable <math>X</math>: Dauer einer Eruption (in Minuten)<br /><br />
Variable <math>Y</math>: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)<br /><br />
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus<br /><br />
<math>\rightarrow</math> Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.<br />
<br />
<math>\begin{array}{c}<br />
\sum_{i} x_{i}=26,9 \quad \sum_{i} x_{i}^{2}=100,53 \\<br />
\sum_{i} y_{i}=587 \quad \sum_{i} y_{i}^{2}=45131 \\<br />
\sum_{i} x_{i} y_{i}=2114,6<br />
\end{array}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
r_{y x}=\frac{n \sum_{i}^{n} x_{i} y_{i}-\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{i}^{n} y_{i}}{\sqrt{\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)}}=0,97727<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Alter und Preis eines PKWs===<br />
<br />
Gegeben: <math>s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81</math><br /><br />
Es ist <math>r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y</math>. Daraus folgt: <math>s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)</math><br /><br />
Ferner ist: <math>r_{yx}=-0,9</math> (<math>r_{yx}</math> und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); <math>s_y=2</math><br /><br />
<math>s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3</math><br /><br />
<br />
===Koeffizienten Vergleich===<br />
<br />
# H) Median<br />
# F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz <math>\chi^2</math><br />
# D) Interquartilsabstand<br />
# B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz<br />
<br />
===GM===<br />
<br />
X – Wert der Aktie<br /><br />
<math>K_i</math> – Kurs der Aktie<math>E_j</math> – Wechselkurs<br /><br />
Dann ist<math>\bar{X}=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5E_jK_if_{ji}</math>zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung<br /><br />
<math>Cov(E,K)=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5e_jK_if_{ji}-\overline{E}\cdot\overline{K},</math>dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von <math>E</math> und <math>K</math> entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:<br /><br />
Randverteilung von <math>E</math>: <math>0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2</math><br /><br />
Randverteilung von <math>K</math>: <math>0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35</math><br /><br />
<math>\overline{e}=1,97</math> EUR/$ <math>\overline{k}=118,0175</math> $<br /><br />
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu <math>\bar{x}=232,5</math> EUR.<br /><br />
<br />
===Teesorten===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = 0,5714<br />
<br />
===Buttersorten===<br />
<br />
<br />
<br />
<math><br />
\begin{array}{l}<br />
r_{S}=1-\frac{6 \cdot \sum d_{i}^{2}}{n\cdot\left(n^{2}-1\right)} \\<br />
r_{S}=1-(6 \cdot 8) /(7 \cdot 48)=1-48 / 336=1-0,1429=08571 \approx 0,857<br />
\end{array}<br />
</math><br />
<br />
===Tarifvereinbarungen===<br />
<br />
lineare Transformation: <math>y=a+bx</math><br /><br />
<math>\overline{y}=1,029\overline{x}+50=1,029\cdot1642,86+50=1740,50294</math><br />
<br />
===Cafeteria===<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!<br />
<br />
! Frauen<br />
! Männer<br />
!<br />
<br />
|-<br />
| Mensa<br />
| <math>h_{11}</math><br />
| <math>h_{12}</math><br />
| <math>h_{1\bullet}</math><br />
|-<br />
| Cafeteria<br />
| <math>h_{21}</math><br />
| <math>h_{22}</math><br />
| <math>h_{2\bullet}</math><br />
|-<br />
|<br />
<br />
| <math>h_{\bullet1}</math><br />
| <math>h_{\bullet2}</math><br />
| <math>n</math><br />
|}<br />
<br />
<math>n=200,\quad h_{\bullet1}=0,375\cdot200=75,\quad h_{21}=45 \quad \Rightarrow h_{11}=30</math><br /><br />
<br /><br />
Unabhängigkeit:<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{1}{n}h_{\bullet1}\cdot h_{1\bullet}=h_{11}</math><math>\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet}=30\cdot200/75=80</math><br />
<br />
===Relationen der Merkmalsausprägungen===<br />
<br />
Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale <math>X</math> und <math>Y</math> ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! i<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>y_i</math><br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>d_i</math><br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
<math>r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum_{i=1}^nd_i^2}{\displaystyle n(n^2-1)}=1-\frac{\displaystyle6\cdot10}{\displaystyle5\cdot(25-1)}=0,5</math><br /><br />
<br />
===Stellung im Beruf===<br />
[[Datei:2_74_Stellung_im_Beruf.xlsx]]<br />
<ul><br />
<li><p> <br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
| Geschlecht<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| RV<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| Beamte(r)<br />
|align="right"| Angestellte(r)<br />
|align="right"| Arbeiter(in)<br />
|align="right"| Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 40<br />
|-<br />
| männlich<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|-<br />
| RV Beruf<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 50<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| n=100<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(y_{j}|x_{1})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
| Beamte<br />
| Angestellte<br />
| Arbeiter<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,375<br />
| 0,5<br />
| 0,125<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(x_{i}|y_{2})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Angestellte<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,4<br />
|-<br />
| m<br />
| 0,6<br />
|}<br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
| align="right" | 0.15<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.05<br />
| align="right" |0.4<br />
|-<br />
| männlich<br />
| align="right" |0.1<br />
| align="right" |0.3<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.6<br />
|-<br />
| RV Stellung<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |0.5<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
|weiblich<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.2<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.4<br />
|-<br />
|männlich<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.3<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.6<br />
|-<br />
|RV Stellung<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |0.5<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><p>Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. <math>f_{11}<br />
\neq f_{1.} \cdot f_{.1}</math> ist.</p></li></ul><br />
<br />
===Tekolom und IBBM - Teil II===<br />
<br />
Tekolom–Aktie <math>var(X)=16</math>, IBBM–Aktie <math>var(Y)=1</math>, Portfolio <math>Z=100X+200Y</math><br /><br />
<math>\begin{align}<br />
corr(X,Y)&=&\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y} \rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot4\cdot1=0,8\\<br />
var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot100\cdot200cov(X,Y)\\<br />
&=&10000\cdot16+40000\cdot1+40000\cdot0,8=232000\\\end{align}</math><br />
<br />
===Mensaessen===<br />
<br />
Es sei <math>R_E</math> die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und <math>R_1</math> die von Essen 1.<br /><br><br />
Fall A: <math>R_E=1</math>, <math>R_1=4</math><br /> <br><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(0+1+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{32}{35}=0,085714>0</math><br /> <br><br />
Fall B: <math>R_E=4</math>, <math>R_1=1</math><br /><br><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(9+16+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{56}{35}=-0,6<0</math><br />
<br />
===Außentemperatur und Dauer eines Weges===<br />
<br />
<math>{r_{xy}} = \frac{5\cdot(-1000)}{\displaystyle\sqrt{(5*1000)(5*7225-175^2)}} = \frac{-5000}{5224} = -0,953</math><br />
<br />
===Körpergröße===<br />
<br />
* <math>X</math>: “Körpergröße in cm”; <math>\overline{x}</math> = 128 cm; <math>s_{x}^{<br />
2} </math> = 26 cm<math>^{2}</math>; <math>s_{x}</math> = 5,1 cm;<br /><br />
<math>v_{x}</math> = 0,0398<br /><br />
<math>Y</math>:“Körpergröße in Zoll”; <math>\overline{y}</math> = 51,2 Zoll; <math>s_{y}^{<br />
2}</math> = 4,16 Zoll<math>^{2}</math>; <math>s_{y}</math> = 2,04 Zoll; <math>v_{y}</math> = 0,0398<br />
* <math>x_{i}= a + by_{i}</math> mit <math>a = 0</math> und <math>b = 2,5</math>; <math>\overline{x} =<br />
a + b\overline{y}</math><br /><br />
<math>s_{x} = |b|s_{y}</math>; <math>v_{x} = s_{x}/\overline{x} =<br />
(|b|s_{y})/b\overline{y} = s_{y}/\overline{y} = v_{y}</math></div>
Petrescc
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Bivariate Statistik/Lösungen
2020-07-15T14:38:40Z
<p>Petrescc: /* Buttersorten */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Verspätungen===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = - 0,8<br />
<br />
===Sportveranstaltungen===<br />
[[Datei:sportveranstaltungen.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 14,4797; <math>C</math> = 0,2146; <math>C_{korr}</math> = 0,3035<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.<br />
<br />
===Old Faithful===<br />
<br />
Variable <math>X</math>: Dauer einer Eruption (in Minuten)<br /><br />
Variable <math>Y</math>: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)<br /><br />
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus<br /><br />
<math>\rightarrow</math> Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.<br />
<br />
<math>\begin{array}{c}<br />
\sum_{i} x_{i}=26,9 \quad \sum_{i} x_{i}^{2}=100,53 \\<br />
\sum_{i} y_{i}=587 \quad \sum_{i} y_{i}^{2}=45131 \\<br />
\sum_{i} x_{i} y_{i}=2114,6<br />
\end{array}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
r_{y x}=\frac{n \sum_{i}^{n} x_{i} y_{i}-\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{i}^{n} y_{i}}{\sqrt{\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)}}=0,97727<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Alter und Preis eines PKWs===<br />
<br />
Gegeben: <math>s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81</math><br /><br />
Es ist <math>r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y</math>. Daraus folgt: <math>s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)</math><br /><br />
Ferner ist: <math>r_{yx}=-0,9</math> (<math>r_{yx}</math> und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); <math>s_y=2</math><br /><br />
<math>s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3</math><br /><br />
<br />
===Koeffizienten Vergleich===<br />
<br />
# H) Median<br />
# F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz <math>\chi^2</math><br />
# D) Interquartilsabstand<br />
# B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz<br />
<br />
===GM===<br />
<br />
X – Wert der Aktie<br /><br />
<math>K_i</math> – Kurs der Aktie<math>E_j</math> – Wechselkurs<br /><br />
Dann ist<math>\bar{X}=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5E_jK_if_{ji}</math>zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung<br /><br />
<math>Cov(E,K)=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5e_jK_if_{ji}-\overline{E}\cdot\overline{K},</math>dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von <math>E</math> und <math>K</math> entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:<br /><br />
Randverteilung von <math>E</math>: <math>0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2</math><br /><br />
Randverteilung von <math>K</math>: <math>0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35</math><br /><br />
<math>\overline{e}=1,97</math> EUR/$ <math>\overline{k}=118,0175</math> $<br /><br />
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu <math>\bar{x}=232,5</math> EUR.<br /><br />
<br />
===Teesorten===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = 0,5714<br />
<br />
===Buttersorten===<br />
<br />
<br />
<br />
<math><br />
\begin{array}{l}<br />
r_{S}=1-\frac{6 \cdot \sum d_{i}^{2}}{n\cdot\left(n^{2}-1\right)} \\<br />
r_{S}=1-(6 \cdot 8) /(7 \cdot 48)=1-48 / 336=1-0,1429=08571 \approx 0,857<br />
\end{array}<br />
</math><br />
<br />
===Tarifvereinbarungen===<br />
<br />
lineare Transformation: <math>y=a+bx</math><br /><br />
<math>\overline{y}=1,029\overline{x}+50=1,029\cdot1642,86+50=1740,50294</math><br />
<br />
===Cafeteria===<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!<br />
<br />
! Frauen<br />
! Männer<br />
!<br />
<br />
|-<br />
| Mensa<br />
| <math>h_{11}</math><br />
| <math>h_{12}</math><br />
| <math>h_{1\bullet}</math><br />
|-<br />
| Cafeteria<br />
| <math>h_{21}</math><br />
| <math>h_{22}</math><br />
| <math>h_{2\bullet}</math><br />
|-<br />
|<br />
<br />
| <math>h_{\bullet1}</math><br />
| <math>h_{\bullet2}</math><br />
| <math>n</math><br />
|}<br />
<br />
<math>n=200,\quad h_{\bullet1}=0,375\cdot200=75,\quad h_{21}=45 \quad \Rightarrow h_{11}=30</math><br /><br />
<br /><br />
Unabhängigkeit:<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{1}{n}h_{\bullet1}\cdot h_{1\bullet}=h_{11}</math><math>\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet}=30\cdot200/75=80</math><br />
<br />
===Relationen der Merkmalsausprägungen===<br />
<br />
Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale <math>X</math> und <math>Y</math> ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! i<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>y_i</math><br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>d_i</math><br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
<math>r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum_{i=1}^nd_i^2}{\displaystyle n(n^2-1)}=1-\frac{\displaystyle6\cdot10}{\displaystyle5\cdot(25-1)}=0,5</math><br /><br />
<br />
===Stellung im Beruf===<br />
[[Datei:2_74_Stellung_im_Beruf.xlsx]]<br />
<ul><br />
<li><p> <br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
| Geschlecht<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| RV<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| Beamte(r)<br />
|align="right"| Angestellte(r)<br />
|align="right"| Arbeiter(in)<br />
|align="right"| Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 40<br />
|-<br />
| männlich<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|-<br />
| RV Beruf<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 50<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| n=100<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(y_{j}|x_{1})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
| Beamte<br />
| Angestellte<br />
| Arbeiter<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,375<br />
| 0,5<br />
| 0,125<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(x_{i}|y_{2})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Angestellte<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,4<br />
|-<br />
| m<br />
| 0,6<br />
|}<br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
| align="right" | 0.15<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.05<br />
| align="right" |0.4<br />
|-<br />
| männlich<br />
| align="right" |0.1<br />
| align="right" |0.3<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.6<br />
|-<br />
| RV Stellung<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |0.5<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
|weiblich<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.2<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.4<br />
|-<br />
|männlich<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.3<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.6<br />
|-<br />
|RV Stellung<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |0.5<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><p>Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. <math>f_{11}<br />
\neq f_{1.} \cdot f_{.1}</math> ist.</p></li></ul><br />
<br />
===Tekolom und IBBM - Teil II===<br />
<br />
Tekolom–Aktie <math>var(X)=16</math>, IBBM–Aktie <math>var(Y)=1</math>, Portfolio <math>Z=100X+200Y</math><br /><br />
<math>\begin{align}<br />
corr(X,Y)&=&\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y} \rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot4\cdot1=0,8\\<br />
var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot100\cdot200cov(X,Y)\\<br />
&=&10000\cdot16+40000\cdot1+40000\cdot0,8=232000\\\end{align}</math><br />
<br />
===Mensaessen===<br />
<br />
Es sei <math>R_E</math> die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und <math>R_1</math> die von Essen 1.<br /><br />
Fall A: <math>R_E=1</math>, <math>R_1=4</math><br /><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(0+1+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{32}{35}=0,085714>0</math><br /><br />
Fall B: <math>R_E=4</math>, <math>R_1=1</math><br /><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(9+16+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{56}{35}=-0,6<0</math><br />
<br />
===Außentemperatur und Dauer eines Weges===<br />
<br />
<math>{r_{xy}} = \frac{5\cdot(-1000)}{\displaystyle\sqrt{(5*1000)(5*7225-175^2)}} = \frac{-5000}{5224} = -0,953</math><br />
<br />
===Körpergröße===<br />
<br />
* <math>X</math>: “Körpergröße in cm”; <math>\overline{x}</math> = 128 cm; <math>s_{x}^{<br />
2} </math> = 26 cm<math>^{2}</math>; <math>s_{x}</math> = 5,1 cm;<br /><br />
<math>v_{x}</math> = 0,0398<br /><br />
<math>Y</math>:“Körpergröße in Zoll”; <math>\overline{y}</math> = 51,2 Zoll; <math>s_{y}^{<br />
2}</math> = 4,16 Zoll<math>^{2}</math>; <math>s_{y}</math> = 2,04 Zoll; <math>v_{y}</math> = 0,0398<br />
* <math>x_{i}= a + by_{i}</math> mit <math>a = 0</math> und <math>b = 2,5</math>; <math>\overline{x} =<br />
a + b\overline{y}</math><br /><br />
<math>s_{x} = |b|s_{y}</math>; <math>v_{x} = s_{x}/\overline{x} =<br />
(|b|s_{y})/b\overline{y} = s_{y}/\overline{y} = v_{y}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Bivariate_Statistik/L%C3%B6sungen&diff=2342
Bivariate Statistik/Lösungen
2020-07-15T14:29:45Z
<p>Petrescc: /* Old Faithful */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Verspätungen===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = - 0,8<br />
<br />
===Sportveranstaltungen===<br />
[[Datei:sportveranstaltungen.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 14,4797; <math>C</math> = 0,2146; <math>C_{korr}</math> = 0,3035<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* <math>\chi^{2}</math> = 0<br />
* Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.<br />
<br />
===Old Faithful===<br />
<br />
Variable <math>X</math>: Dauer einer Eruption (in Minuten)<br /><br />
Variable <math>Y</math>: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)<br /><br />
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus<br /><br />
<math>\rightarrow</math> Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.<br />
<br />
<math>\begin{array}{c}<br />
\sum_{i} x_{i}=26,9 \quad \sum_{i} x_{i}^{2}=100,53 \\<br />
\sum_{i} y_{i}=587 \quad \sum_{i} y_{i}^{2}=45131 \\<br />
\sum_{i} x_{i} y_{i}=2114,6<br />
\end{array}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
r_{y x}=\frac{n \sum_{i}^{n} x_{i} y_{i}-\sum_{i=1}^{n} x_{i} \sum_{i}^{n} y_{i}}{\sqrt{\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(n <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-<br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i} <br />
\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)}}=0,97727<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Alter und Preis eines PKWs===<br />
<br />
Gegeben: <math>s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81</math><br /><br />
Es ist <math>r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y</math>. Daraus folgt: <math>s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)</math><br /><br />
Ferner ist: <math>r_{yx}=-0,9</math> (<math>r_{yx}</math> und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); <math>s_y=2</math><br /><br />
<math>s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3</math><br /><br />
<br />
===Koeffizienten Vergleich===<br />
<br />
# H) Median<br />
# F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz <math>\chi^2</math><br />
# D) Interquartilsabstand<br />
# B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz<br />
<br />
===GM===<br />
<br />
X – Wert der Aktie<br /><br />
<math>K_i</math> – Kurs der Aktie<math>E_j</math> – Wechselkurs<br /><br />
Dann ist<math>\bar{X}=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5E_jK_if_{ji}</math>zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung<br /><br />
<math>Cov(E,K)=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5e_jK_if_{ji}-\overline{E}\cdot\overline{K},</math>dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von <math>E</math> und <math>K</math> entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:<br /><br />
Randverteilung von <math>E</math>: <math>0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2</math><br /><br />
Randverteilung von <math>K</math>: <math>0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35</math><br /><br />
<math>\overline{e}=1,97</math> EUR/$ <math>\overline{k}=118,0175</math> $<br /><br />
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu <math>\bar{x}=232,5</math> EUR.<br /><br />
<br />
===Teesorten===<br />
<br />
<math>r_{S}</math> = 0,5714<br />
<br />
===Buttersorten===<br />
<br />
Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient:<br /><br />
<math>r_S=1-(6\cdot\sum d_i^2)/[n\cdot(n^2-1)]</math><br /><br />
<math>r_S=1-(6\cdot8)/(7\cdot48)=1-48/336=1-0,1429=08571\approx0,857</math><br /><br />
<br />
===Tarifvereinbarungen===<br />
<br />
lineare Transformation: <math>y=a+bx</math><br /><br />
<math>\overline{y}=1,029\overline{x}+50=1,029\cdot1642,86+50=1740,50294</math><br />
<br />
===Cafeteria===<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!<br />
<br />
! Frauen<br />
! Männer<br />
!<br />
<br />
|-<br />
| Mensa<br />
| <math>h_{11}</math><br />
| <math>h_{12}</math><br />
| <math>h_{1\bullet}</math><br />
|-<br />
| Cafeteria<br />
| <math>h_{21}</math><br />
| <math>h_{22}</math><br />
| <math>h_{2\bullet}</math><br />
|-<br />
|<br />
<br />
| <math>h_{\bullet1}</math><br />
| <math>h_{\bullet2}</math><br />
| <math>n</math><br />
|}<br />
<br />
<math>n=200,\quad h_{\bullet1}=0,375\cdot200=75,\quad h_{21}=45 \quad \Rightarrow h_{11}=30</math><br /><br />
<br /><br />
Unabhängigkeit:<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{1}{n}h_{\bullet1}\cdot h_{1\bullet}=h_{11}</math><math>\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet}=30\cdot200/75=80</math><br />
<br />
===Relationen der Merkmalsausprägungen===<br />
<br />
Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale <math>X</math> und <math>Y</math> ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! i<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>y_i</math><br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>d_i</math><br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
<math>r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum_{i=1}^nd_i^2}{\displaystyle n(n^2-1)}=1-\frac{\displaystyle6\cdot10}{\displaystyle5\cdot(25-1)}=0,5</math><br /><br />
<br />
===Stellung im Beruf===<br />
[[Datei:2_74_Stellung_im_Beruf.xlsx]]<br />
<ul><br />
<li><p> <br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
| Geschlecht<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| RV<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| Beamte(r)<br />
|align="right"| Angestellte(r)<br />
|align="right"| Arbeiter(in)<br />
|align="right"| Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 40<br />
|-<br />
| männlich<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|-<br />
| RV Beruf<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 50<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| n=100<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(y_{j}|x_{1})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
| Beamte<br />
| Angestellte<br />
| Arbeiter<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,375<br />
| 0,5<br />
| 0,125<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Bedingte Verteilung <math>f(x_{i}|y_{2})</math><br /><br />
</p><br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Angestellte<br />
|-<br />
| w<br />
| 0,4<br />
|-<br />
| m<br />
| 0,6<br />
|}<br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
| weiblich<br />
| align="right" | 0.15<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.05<br />
| align="right" |0.4<br />
|-<br />
| männlich<br />
| align="right" |0.1<br />
| align="right" |0.3<br />
| align="right" |0.2<br />
| align="right" |0.6<br />
|-<br />
| RV Stellung<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |0.5<br />
| align="right" |0.25<br />
| align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><br />
<p> Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
| Beamte(r)<br />
| Angestellte(r)<br />
| Arbeiter(in)<br />
| RV Geschlecht<br />
|-<br />
|weiblich<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.2<br />
|align="right" | 0.1<br />
|align="right" | 0.4<br />
|-<br />
|männlich<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.3<br />
|align="right" |0.15<br />
|align="right" |0.6<br />
|-<br />
|RV Stellung<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |0.5<br />
|align="right" |0.25<br />
|align="right" |1<br />
|}<br />
</p><br />
</li><br />
<br />
<li><p>Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. <math>f_{11}<br />
\neq f_{1.} \cdot f_{.1}</math> ist.</p></li></ul><br />
<br />
===Tekolom und IBBM - Teil II===<br />
<br />
Tekolom–Aktie <math>var(X)=16</math>, IBBM–Aktie <math>var(Y)=1</math>, Portfolio <math>Z=100X+200Y</math><br /><br />
<math>\begin{align}<br />
corr(X,Y)&=&\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y} \rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot4\cdot1=0,8\\<br />
var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot100\cdot200cov(X,Y)\\<br />
&=&10000\cdot16+40000\cdot1+40000\cdot0,8=232000\\\end{align}</math><br />
<br />
===Mensaessen===<br />
<br />
Es sei <math>R_E</math> die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und <math>R_1</math> die von Essen 1.<br /><br />
Fall A: <math>R_E=1</math>, <math>R_1=4</math><br /><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(0+1+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{32}{35}=0,085714>0</math><br /><br />
Fall B: <math>R_E=4</math>, <math>R_1=1</math><br /><br />
<math>r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(9+16+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{56}{35}=-0,6<0</math><br />
<br />
===Außentemperatur und Dauer eines Weges===<br />
<br />
<math>{r_{xy}} = \frac{5\cdot(-1000)}{\displaystyle\sqrt{(5*1000)(5*7225-175^2)}} = \frac{-5000}{5224} = -0,953</math><br />
<br />
===Körpergröße===<br />
<br />
* <math>X</math>: “Körpergröße in cm”; <math>\overline{x}</math> = 128 cm; <math>s_{x}^{<br />
2} </math> = 26 cm<math>^{2}</math>; <math>s_{x}</math> = 5,1 cm;<br /><br />
<math>v_{x}</math> = 0,0398<br /><br />
<math>Y</math>:“Körpergröße in Zoll”; <math>\overline{y}</math> = 51,2 Zoll; <math>s_{y}^{<br />
2}</math> = 4,16 Zoll<math>^{2}</math>; <math>s_{y}</math> = 2,04 Zoll; <math>v_{y}</math> = 0,0398<br />
* <math>x_{i}= a + by_{i}</math> mit <math>a = 0</math> und <math>b = 2,5</math>; <math>\overline{x} =<br />
a + b\overline{y}</math><br /><br />
<math>s_{x} = |b|s_{y}</math>; <math>v_{x} = s_{x}/\overline{x} =<br />
(|b|s_{y})/b\overline{y} = s_{y}/\overline{y} = v_{y}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/Aufgaben&diff=2341
Testtheorie/Aufgaben
2020-07-15T13:44:41Z
<p>Petrescc: </p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
{{Loesung|1000g–Portionen|0}}<br />
<br />
<br />
Obst- und Gemüsehändler Paul lässt seine Äpfel in 1000g-Portionen abpacken. Natürlich kann man nicht immer exakt 1000g abwiegen. Paul wiegt daher bei jeder Lieferung eine Stichprobe von 25 Portionen nach, um sicherzustellen, dass der Mittelwert von 1000g eingehalten wird. Heute hat er allerdings eine Stichprobe gezogen, deren Stichprobenmittelwert bei 1015g liegt. Paul ist beunruhigt und benötigt statistische Hilfe. Aus langjähriger Erfahrung weiß er, dass das Gewicht der gelieferten Portionen normalverteilt ist und eine Varianz von 625g<math>^2</math> aufweist.<br /><br />
Testen Sie anhand von Pauls Stichprobe, ob die Hypothese<br /><br />
<math>\mbox{mittleres Portionsgewicht}=1000</math> g erfüllt ist.<br /><br />
Um wieviel Gramm muss der Stichprobenmittelwert nach beiden Seiten von 1000g abweichen, um die Hypothese zu einem Signifikanzniveau von 5% abzulehnen?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Anzahl der Kinder|1}}<br />
<br />
<br />
Eine Umfrage unter 200 Familien mit 3 Kindern<br /><br />
(<math>\mbox{J}=\mbox{Junge, M}=\mbox{Mädchen}</math>) ergab folgende Verteilung:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anzahl der Kinder<br />
!align="right"| 3J, 0M<br />
!align="right"| 2J, 1M<br />
!align="right"| 1J, 2M<br />
!align="right"| 0J, 3M<br />
|-<br />
| Anzahl der Familien<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 32<br />
|}<br />
<br />
Prüfen Sie mit dem Chi–Quadrat–Anpassungstest die Hypothese, dass die Wahrscheinlichkeit der Geburt von Jungen und Mädchen gleich groß ist. Welches ist das kleinste Signifikanzniveau, zu dem die Nullhypothese abgelehnt wird?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Arbeitsproduktivität|2}}<br />
<br />
<br />
Bei der Vorbereitung technischer Arbeitsnormen wurden in einem Betrieb mit Monoproduktfertigung 64 unabhängige Messungen der Arbeitsproduktivität von Arbeitern durchgeführt. Es sei bekannt, dass die Standardabweichung der Arbeitsproduktivität bei derartiger Fertigung <math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde ist. Die durchschnittliche Arbeitsproduktivität betrug in der Stichprobe 5,2 Stück/Stunde.<br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> wird die zweiseitige Hypothese, dass die durchschnittliche Arbeitsproduktivität aller Arbeiter des Betriebes 5,5 Stück/Stunde beträgt, geprüft. Es wird nunmehr angenommen, dass in Wirklichkeit die durchschnittliche Arbeitsproduktivität 5,6 Stück/Stunde beträgt.<br /><br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Ausfallsicherheit|3}}<br />
<br />
<br />
Ein Hersteller von Internetservern möchte die Ausfallsicherheit seiner Produkte untersuchen. Er möchte statistisch zeigen, dass die Ausfallzeit seiner Server geringer ist als 1% der Gesamtbetriebszeit, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Dafür werden die Ausfallzeiten von 25 Servern innerhalb eines Jahres (=365 Tage) beobachtet. Es ergab sich eine mittlere Ausfallzeit von 84,2 Stunden bei einer Stichprobenvarianz von 100.<br /><br />
Führen Sie einen Test durch, um die genannte Aussage des Herstellers zu prüfen <math>(\alpha=0,05)</math>. Gehen Sie davon aus, dass die Server das ganze Jahr in Betrieb waren und die Ausfallzeit normalverteilt ist. Wie groß ist der Wert der Teststatistik <math>v</math> und wie ist Ihre Testentscheidung?<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Ausgaben für Urlaubsreisen|4}}<br />
<br />
<br />
Von den 2,5 Millionen Haushalten eines Landes werden 10.000 Haushalte nach ihren Ausgaben im Jahre 2001 für Urlaubsreisen befragt. In der Stichprobe ergab sich ein arithmetisches Mittel von 3780 EUR und eine Standardabweichung von 2290 EUR. Ein Tourismusexperte geht von der Annahme eines hypothetischen Wertes für die Gesamtausgaben für Urlaubsreisen in der Grundgesamtheit von 10 Milliarden EUR aus und testet auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> die Nullhypothese, dass der Mittelwert <math>\mu</math> in der Grundgesamtheit nicht größer ist als der hypothetische Mittelwert <math>\mu_0</math>: <math>H_0:\mu\leq\mu_0.</math>Wählen Sie eine adäquate Teststatistik und berechnen Sie den Wert der Teststatistik für die Stichprobe.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Batterien Lebensdauer|5}}<br />
<br />
<br />
Der altgediente Leiter der statistischen Abteilung einer Batterie–Firma geht davon aus, dass die Lebensdauer der produzierten Batterien normalverteilt ist. Der neu eingestellte Statistiker S. Kepsis möchte es genau wissen. Dem Protokoll einer unlängst durchgeführten Qualitätskontrolle entnimmt er folgende Daten:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|align="center"| i<br />
|align="center"| Batterie–Lebensdauer in Std.<br />
|align="right"| beobachtete<br />
|align="right"| <math>\bar{x}_i</math><br />
|-<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="center"| von …bis unter<br />
|align="right"| Häufigkeit<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| …– 300<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 160<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 300 – 340<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 320<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 340 – 460<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 400<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 460 – …<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 560<br />
|}<br />
<br />
Die Stichprobenstandardabweichung dieser Daten beträgt 100 Stunden.<br />
<br />
* Mit welchem statistischen Verfahren läßt sich die Annahme des<br /><br />
Leiters der statistischen Abteilung überprüfen?<br />
* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test.<br />
* Führen Sie den Test auf einem Signifikanzniveau von 1% mit<br /><br />
allen Begründungen durch.<br />
* Interpretieren Sie das Testergebnis statistisch exakt.<br />
* Ist Ihnen bei der Testentscheidung ein Fehler unterlaufen?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Benzinverbrauch Test|6}}<br />
<br />
<br />
Ein Autohersteller behauptet, dass sein neuestes Auto einen mittleren Benzinverbrauch von 6 l/100 km hat. Ein Automobilclub lässt auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> überprüfen, ob es Abweichungen von dieser Behauptung gibt, wobei angenommen wird, dass der Benzinverbrauch normalverteilt ist. Eine einfache Zufallsstichprobe an 16 dieser Autos liefert folgende Informationen: <math>\sum_ix_i=97,6</math> und<br /><br />
<math>\sum_i(x_i-\overline{x})^2=0,6615</math>.Wählen Sie einen geeigneten Test zur überprüfung der Hypothese und geben Sie dafür den Prüfwert (gerundet auf drei Stellen nach dem Komma) und den absoluten kritischen Wert an.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Chininhaltige Limonade|7}}<br />
<br />
<br />
Der Getränkegroßhändler H. beabsichtigt, chininhaltige Limonade aus England zu importieren. Allerdings vermutet er aufgrund einschlägiger Erfahrungen mit englischen Importeuren, dass höchstens 90% aller importierten Flaschen dieser Limonade den hier geltenden Gesundheitsvorschriften hinsichtlich des Chiningehaltes genügen. Der Großhändler H. bittet nun Sie, für ihn einen statistischen Test auf einem Signifikanzniveau von 5% und einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> durchzuführen.<br />
<br />
* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test, wobei Sie davon ausgehen können, dass der Großhändler sich eher einen neuen Importeur sucht als ein zu hohes Risiko einzugehen, Arger mit dem Gesundheitsamt zu bekommen.<br />
* Wie lautet die Testfunktion bei diesem Test?<br />
* Wie ist die Testfunktion unter <math>H_{0}</math> verteilt?<br />
* Bestimmen Sie den Annahme und den Ablehnungsbereich.<br />
<br />
Aus der Stichprobe ergab sich, dass eine Flasche den Gesundheitsvorschriften nicht entsprach.<br />
<br />
* Wie lautet die Testentscheidung?<br />
* Interpretieren Sie das Testergebnis unter dem Gesichtspunkt der Konsequenzen, die sich eventuell für den Großhändler ergeben.<br />
* Skizzieren Sie die Gütefunktion dieses Tests für folgende Werte<br /><br />
<math>p = 0</math>, <math>p = 0,1</math> und <math>p = 0,2</math>!<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Dicke der Fahrbahndecke|8}}<br />
<br />
<br />
Beim Bau eines Autobahnabschnittes wird vereinbart, dass der Bauunternehmer Abzüge vom vereinbarten Kaufpreis hinnehmen muss, wenn sich auf Grund einer Stichprobe von 64 Bohrkernen und auf einem Signifikanzniveau von 5% ergibt, dass die mittlere Dicke der Fahrbahndecke den Wert 3,5 unterschreitet. Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test aus der Sicht des Bauunternehmers mit Begründung.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Durchmesser von Wellen|9}}<br />
<br />
<br />
Für den Durchmesser von Wellen ist ein Sollwert von 200mm vorgeschrieben. Außerdem ist bekannt, dass der Durchmesser der Wellen normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 5 mm. Um die Produktion zu kontrollieren, zog der Kontrolleur K<math>_{1}</math> eine Zufallsstichprobe von <math>n=100</math>. Das arithmetische Mittel aus diesen 100 Messungen des Durchmessers ergab eine Abweichung vom Sollwert von +0,4mm.<br />
<br />
Es soll die Hypothese <math>H_{0} : \mu = \mu_{0}</math> gegen <math>H_{1} : \mu<br />
e \mu_{0}</math> auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.<br />
<br />
* Geben Sie den Verwerfungsbereich an!<br />
* Wie entscheidet sich K<math>_{1}</math>?<br />
* Welchen Fehler könnte K<math>_{1}</math> bei seiner Entscheidung begangen haben?<br />
* Ein zweiter Kontrolleur K<math>_{2}</math> berechnet aus einer zweiten Zufallsstichprobe von <math>n=100</math> ein <math>\overline{x} =</math> 202mm. Wie entscheidet sich K<math>_{2}</math> (bei gleichen Entscheidungskriterien)?<br />
* Welchen Fehler könnte K<math>_{2}</math> bei seiner Entscheidung begangen haben?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Durchschnittsgewicht|10}}<br />
<br />
<br />
Ein Supermarkt hat bisher Hähnchen mit einem Durchschnittsgewicht von 1400g zu einem bestimmten Preis bezogen. Ein Händler macht nun das Angebot, Hähnchen von gleichem Durchschnittsgewicht zu einem günstigeren Stückpreis liefern zu können. Die Einkäufer E<math>_{1}</math> und E<math>_{2}</math> des Supermarkts, die beide wissen, dass das Hähnchengewicht normalverteilt ist, vermuten, dass der günstige Preis durch ein zu geringes Durchschnittsgewicht zustande kommt. E<math>_{1}</math> wiegt daraufhin 25 zufällig ausgewählte Hähnchen ab. Dabei stellt sich heraus, dass das arithmetische Mittel um -9g vom Sollgewicht abweicht und die Standardabweichung sich zu 50g aus der Stichprobe ergab. Das Signifikanzniveau des Test soll 5% betragen.<br />
<br />
* Der Einkäufer stellt folgende Hypothesen auf: <math>H_{0} : \mu\geq\mu_{0} (= 1400)\quad \mbox{und}\quad<br />
H_{A} : \mu < \mu_{0} (= 1400).</math> Welches Risiko wird bei dieser Hypothesenformulierung klein gehalten?<br />
* Geben Sie diejenige Stichprobenfunktion, die sich zur Prüfung der aufgestellten Hypothesen eignet, verbal an!<br />
* Geben Sie ihre Verteilung und Parameter unter der Annahme an, dass <math>H_{0}</math> richtig ist.<br />
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter <math>H_{0}</math> verteilt?<br />
* Ermitteln Sie den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>.<br />
* Wie entscheidet sich E<math>_{1}</math>?<br />
* Welchen Fehler kann E<math>_{1}</math> gemacht haben?<br />
<br />
E<math>_{2}</math> entnimmt eine zweite Zufallsstichprobe von n=25. Es ergibt sich ein Durchschnittsgewicht von 1381g bei gleicher Standardabweichung wie zuvor.<br />
<br />
* Wie entscheidet sich E<math>_{2}</math>?<br />
* Welchen Fehler kann E<math>_{2}</math> gemacht haben?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Fachgebiete|11}}<br />
<br />
<br />
Die Studentinnen Gerda und Bärbel stehen in der Bibliothek vor einem großen Regal mit Büchern, von denen sich jedes eindeutig einem Fachgebiet zuordnen lässt. Gerda behauptet, dass 10% der Bücher zur Statistik, 30% der Bücher zur VWL, 40% der Bücher zur BWL und der Rest zur Wirtschaftsinformatik gehören. Bärbel bezweifelt diese Behauptung und wählt zufällig 100 Bücher aus diesem Regal. Sie stellt fest, dass 5 Bücher zur Statistik, 35 zur VWL, 50 zur BWL und der Rest zur Wirtschaftsinformatik gehören. Wählen Sie einen geeigneten statistischen Test und berechnen Sie für diesen den Prüfwert.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|FKK|12}}<br />
<br />
<br />
In einer Zeitung stand, dass ein Meinungsforschungsinstitut eine Stichprobe von 100 alten und 50 neuen Bundesbürgern über ihre Haltung zu FKK befragte. Je 20 Alt– und Neubundesbürger sprachen sich für FKK aus, der Rest dagegen.<br /><br />
Prüfen Sie die Behauptung, die Neigung zu FKK sei unabhängig von der Region auf einem Signigfikanzniveau von 1%. Definieren Sie dazu die Zufallsvariablen, stellen Sie die Hypothesen auf und geben Sie die Testfunktion und ihre Verteilung unter <math>H_0</math> an.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Gewinnspiel–Automat|13}}<br />
<br />
<br />
An einem Gewinnspiel–Automaten ergaben sich nach 50 Spielen folgende Erträge bei jeweils gleichem Einsatz pro Spiel:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Gewinn minus Einsatz<br />
!align="right"| -1<br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| Anzahl<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
Testen Sie die Hypothese <math>H_0</math>, dass der erwartete Ertrag (Gewinn minus Einsatz) nicht negativ ist, zum Signifikanzniveau <math>\alpha=5\%</math>.<br /><br />
Wie klein dürfte der mittlere Ertrag gerade noch sein, damit die Hypothese nicht abgelehnt wird?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Grönländische Bohrlochkerne|14}}<br />
<br />
<br />
Es wird angenommen, dass Grönländische Bohrlochkerne in 300 m Tiefe im ewigen Eis eine durchschnittliche Temperatur von <math>-25</math>C haben. Aus Erfahrung weiß man, dass die Temperatur der Bohrlochkerne normalverteilt ist mit Varianz <math>\sigma^2=4</math>. Forscher vermuten, dass die Klimaerwärmung eine Erwärmung des Eises zur Folge hat und führen deshalb eine Messreihe an 100 zufällig ausgewählten Bohrlochkernen des letzten Jahres durch, die eine mittlere Temperatur von <math>-24</math>C bei einer Standardabweichung von 1,5C ergab. Die Nullhypothese <math>H_0</math> wird auf einem Signifikanzniveau von 2,5% geprüft. Wenn in Wirklichkeit die durchschnittliche Temperatur der Bohrlochkerne <math>-24,8</math>C beträgt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, sich richtigerweise für die Alternativhypothese zu entscheiden, d.h. <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>?<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Kaffee Packungen|15}}<br />
<br />
<br />
Die Firma Tschiduscho produziert unter anderem die Kaffeesorte Dröhnung. Die Abfüllung in 500 g–Packungen variiert zufällig, wie die Beobachtungen der Vergangenheit zeigen, und zwar gemäß einer Normalverteilung mit <math>\mu=500</math> g und der Varianz von 100 g<math>^2</math>. Die Firma muss aus bestimmten Gründen den Lieferanten von Kaffeebohnen wechseln. Da die Bohnen des neuen Lieferanten größer sind, vermutet man, dass in die Kaffeepackungen effektiv weniger abgefüllt wird. Das aber hätte Arger mit den deutschen Kaffeetrinkern zur Folge, was die Firma auf jeden Fall vermeiden will.<br /><br />
Aus Erfahrung weiß man, dass ein solcher Wechsel der Kaffeebohnensorte weder die Verteilungsform noch die Varianz der Füllmenge pro Packung verändert, sondern allenfalls den Erwartungswert. Die Firma möchte nun einen Test auf diesen Erwartungswert durchführen auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und auf der Basis einer einfachen Zufallsstichprobe von 25 Kaffeepackungen.<br />
<br />
* Wie lauten die Hypothesen für diesen Test? überlegen Sie genau, welches Risiko zu kontrollieren ist und begründen Sie so Ihre Wahl der Hypothesen.<br />
* Geben Sie die von Ihnen verwendete Schätzfunktion verbal und formal an und begründen Sie deren Verteilung unter <math>H_0</math>.<br />
* Wie lautet die Testfunktion konkret und wie ist sie unter <math>H_0</math> verteilt?<br />
* Bestimmen Sie den Nicht–Ablehnungsbereich und den Ablehnungsbereich für diesen Test.<br />
<br />
Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Abfüllmenge pro Packung von 504,5 g.<br />
<br />
* Wie lautet Ihre Testentscheidung?<br />
* Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt.<br />
* Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn <math>\mu</math> in Wahrheit den Wert <math>\mu_1=501</math> g hat?<br />
* Bestimmen und interpretieren Sie den Wert der Gütefunktion, falls <math>\mu</math> in Wahrheit folgenden Wert hat:<br /><br />
(i) <math>\mu_1=499</math> g(ii)<math>\mu_2=502</math> g.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Kaffee Packungen 2|16}}<br />
<br />
<br />
Eine Maschine füllt Packungen Kaffee ab, die ein Sollgewicht von 500 g haben sollen. Aufgrund langer Beobachtungen kann angenommen werden, dass für diese Maschine <math>\sigma=15</math> g ist. Aus dieser Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> gezogen. Auf einem Signifikanzniveau von von <math>\alpha=0,05</math> wurde das mittlere Füllgewicht der Kaffeepackungen mittels der Hypothese <math>H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math> geprüft.<br /><br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn <math>\mu=497</math> g das wahre mittlere Füllgewicht ist?<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Lagerhaltungsprobleme|17}}<br />
<br />
<br />
In Zusammenhang mit bestimmten Lagerhaltungsproblemen ist zu prüfen, ob die Poisson–Verteilung ein geeignetes Modell für die Nachfrage nach einem Produkt ist. Eine einfache Zufallsstichprobe von <math>n=100</math> Verkaufstagen liefert die folgenden Daten:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|align="right"| Anzahl der nachgefragten<br />
|align="right"| Anzahl der Tage, an denen <math>x</math><br />
|-<br />
|align="right"| Produkte pro Tag <math>(x)</math><br />
|align="right"| Produkte nachgefragt wurden<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|-<br />
|align="right"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|}<br />
<br />
Wählen Sie einen geeigneten Test aus und bestimmen Sie dafür den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math>.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Mietpreisbindung|18}}<br />
<br />
<br />
Der Mieterverein von Bärenhausen kämpfte vor einiger Zeit gegen die Aufhebung der Mietpreisbindung für Altbauwohnungen. Alles, was er jedoch erreichen konnte, war eine Einigung darüber, dass der Mietpreis jährlich um maximal 5% angehoben werden darf. Ein Jahr nach Inkrafttreten des Gesetzes veröffentlicht der Verein der “Baulöwen und Großgrundbesitzer” folgende Meldung:<br />
<br />
<blockquote>“Entgegen allen Befürchtungen der Mieter lag die durchschnittliche Mietpreissteigerung bei den Altbauwohnungen im letzten Jahr nur bei 2,5%. Ferner ist festzustellen, dass die Höhe der einzelnen Mietpreissteigerungen einer Gleichverteilung innerhalb des vereinbarten Bereiches folgt.”<br />
</blockquote><br />
Der Mieterverein bezweifelt diese Zahlen und führt deshalb selbst eine Erhebung vom Umfang <math>n = 100</math> durch. Diese Erhebung brachte folgende Ergebnisse:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Mietpreissteigerung in%<br />
!align="right"| Häufigkeit<br />
|-<br />
|align="right"| 0 - 1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1 - 2<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 2 - 3<br />
|align="right"| 10<br />
|-<br />
|align="right"| 3 - 4<br />
|align="right"| 10<br />
|-<br />
|align="right"| 4 - 5<br />
|align="right"| 40<br />
|-<br />
|align="right"| über 5<br />
|align="right"| 40<br />
|}<br />
<br />
* Mit welchem statistischen Testverfahren kann der Mieterverein die Verteilungsannahme der Gegenseite überprüfen?<br />
* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!<br /><br />
Berechnen Sie dafür die untere und obere Grenze der von der Gegenseite behaupteten Verteilung!<br />
* Wie lautet die Testfunktion für diesen Test?<br />
* Wie ist diese Testfunktion unter <math>H_{0}</math> verteilt? Begründung!<br />
* Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,5%!<br />
* Wie lautet die Testentscheidung?<br />
* Interpretieren Sie das Testergebnis und statistisch exakt!<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Münzen|19}}<br />
<br />
<br />
Drei unterscheidbare Münzen werden insgesamt 240 mal geworfen, und jedesmal wurde die erscheinende Anzahl von “Kopf” beobachtet.<br />
<br />
Die Ergebnisse sind im folgenden zusammengefasst:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|align="right"| 0 mal Kopf:<br />
|align="right"| 24<br />
|-<br />
|align="right"| 1 mal Kopf:<br />
|align="right"| 108<br />
|-<br />
|align="right"| 2 mal Kopf:<br />
|align="right"| 85<br />
|-<br />
|align="right"| 3 mal Kopf:<br />
|align="right"| 23<br />
|}<br />
<br />
Testen Sie die Hypothese, dass es sich bei den drei Münzen um ideale Münzen handelt (<math>\alpha = 0,05</math>)!<br /><br />
(Bei einer idealen Münze werden Kopf und Zahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geworfen.)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Neues Präparat|20}}<br />
<br />
<br />
Von der Pharma–Industrie wurde ein neues Präparat gegen das bisher als unheilbar geltende und weltweit verbreitete Nasenjucken entwickelt, wobei vom Hersteller versprochen wird, dass bei höchstens 65% der mit diesem Präparat behandelten Patienten kein Heilerfolg eintritt.<br /><br />
Da Sie es als behandelnder Arzt mit der Kostendämpfung im Gesundheitswesen genau nehmen, wollen Sie Ihren Patienten dieses teure Präparat nur verschreiben, wenn man den Angaben des Herstellers trauen kann und die Krankenkassen nicht zur Kasse gebeten werden für die Bezahlung eines Präparats, dessen Heilung minimal ist.<br /><br />
Sie beschließen, dieses Präparat an 19 zufällig ausgewählten Patienten, die an Nasenjucken leiden, auszuprobieren und die Angaben des Herstellers zu testen <math>(\alpha=0,01)</math>. Von dieser Testentscheidung wollen Sie die Einführung des Präparats abhängig machen.<br />
<br />
* Stellen Sie die Hypothesen für diesen Test auf. überlegen Sie genau, welches Risiko zu kontrollieren ist und begründen Sie die Wahl der Hypothesen.<br />
* Geben Sie die Testfunktion für diesen Test verbal und formal an.<br />
* Wie ist die Testfunktion unter <math>H_0</math> verteilt?<br />
* Bestimmen Sie den Nicht–Ablehnungsbereich und den Ablehnungsbereich für diesen Test, sowie das zugehörige exakte Signifikanzniveau.<br />
<br />
Da man in der Regel erst nach ein paar Tagen über den Heilerfolg von medizinischen Präparaten konkret etwas aussagen kann, beantworten Sie in der Zeit, in der Sie auf das Stichprobenergebnis warten, die folgende Frage:<br />
<br />
* Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit und um welche Wahrscheinlichkeiten handelt es sich, dass Sie sich aufgrund des Testergebnisses<br />
*# nicht für die Einführung des Präparates entscheiden, wenn die Heilungsquote in Wahrheit sogar 50% betragen sollte?<br />
*# für die Einführung des Präparates entscheiden, wenn die Heilungsquote in Wahrheit 40% ausmachen sollte?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Paketversandfirma|21}}<br />
<br />
<br />
Eine Paketversandfirma wirbt mit der Behauptung, dass mehr als 90% der von ihr beförderten Pakete ihren Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Wenn diese Behauptung stimmt, will ein Unternehmen diese Firma mit dem Versand seiner Pakete beauftragen. Das Unternehmen läßt deshalb einen Test mit den Hypothesen <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> und <math>H_1:\pi>\pi_0</math> auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math>, basierend auf einer Zufallsstichprobe von 900 Paketen durchführen. Von den 900 Paketen erreichten 828 ihre Empfänger innerhalb einer Woche.<br /><br />
Geben Sie die Testfunktion und ihre Verteilung unter <math>H_0</math>, den Ablehnungsbereich der <math>H_0</math> an und treffen Sie die Testentscheidung mit exakter inhaltlicher und statistischer Interpretation.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Phosphatgehalt der Waschmittel|22}}<br />
<br />
<br />
Seit geraumer Zeit beklagen Umweltschützer die Verschmutzung der Seen durch die Abwässer der Haushalte – insbesondere durch den Phosphatgehalt der Waschmittel. So greifen sie auch eine bestimmte Firma an, da sie glauben, dass der zulässige Durchschnittswert von höchstens 18g pro Packung in deren Produkt überschritten wird. Die Firma bestreitet energisch und verspricht den Umweltschützern, das Produkt vom Markt zu nehmen, falls sich statistisch zeigen läßt, dass der mittlere Phosphatgehalt ihres Produkts tatsächlich zu hoch ist.<br />
<br />
Die Firma will nun diesen Test durchführen und schlägt den Umweltschützern eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,001 vor, da man dann mit hoher Sicherheit ein richtiges Testergebnis bekommen würde. Die Umweltschützer akzeptieren dies, da ihnen die Argumentation völlig einleuchtet. Die Varianz des Phosphatgehalts pro Packung wird mit 36g<math>^{2}</math> als bekannt vorausgesetzt.<br />
<br />
Bei einer gezogenen Zufallsstichprobe von 36 Packungen ergab sich ein durchschnittlicher Phosphatgehalt von 20g.<br />
<br />
* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!<br />
* Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion formal und verbal an. Wie ist sie unter <math>H_{0}</math> verteilt?<br />
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter <math>H_{0}</math> verteilt?<br />
* Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für diesen Test.<br />
* Wie lautet die Testentscheidung?<br />
<br />
Die Firma gibt folgende Pressemitteilung heraus:<br />
<br />
<blockquote>“Mit Hilfe eines Tests konnte unsere Firma statistisch belegen, dass der mittlere Phosphatgehalt in unseren Waschmittelpaketen den Richtwert von 18g nicht überschreitet. Für diesen Test wurden unter den Augen der Umweltschützer 36 Waschmittelpakete zufällig ausgewählt und untersucht. Um eine Fehlentscheidung bei diesem Test fast vollständig auszuschließen, haben wir nach Absprache mit den Umweltschützern den Test so durchgeführt, dass eine Fehlentscheidung nur mit 0,1%-iger Wahrscheinlichkeit vorkommen kann. Damit hat unsere Firma wieder einmal bewiesen, dass sie zu den umweltbewußten Herstellern von... usw. ... usw.”<br />
</blockquote><br />
* Nehmen Sie ausführlich Stellung zu dieser Pressemitteilung!<br />
* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Fehlentscheidung, falls der mittlere Phosphatgehalt pro Paket den wahren Wert 21,09g hat.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)|23}}<br />
<br />
<br />
Ist der Verlauf der Gütefunktion für den in Test in der Aufgabe ''Phosphatgehalt der Waschmitte'' abhängig vom Stichprobenergebnis bzw. vom Stichprobenumfang?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Schlampiges Gepäck-Handling|24}}<br />
<br />
<br />
Einer im Berlin–Verkehr tätigen ausländischen Fluggesellschaft wird gelegentlich schlampiges Gepäck-Handling vorgeworfen. Gewöhnlich verteidigt sich der Deutschlanddirektor der Fluggesellschaft gegenüber Journalisten mit dem Hinweis, dass es sich bei diesen Vorkommnissen um “seltene” Ereignisse handelt. Als der Deutschlanddirektor durch Zufall erfährt, dass es eine statistische Verteilung gibt, die gerade “Verteilung der seltenen Ereignisse” heißt, wittert er eine Chance, seine Behauptung statistisch zu untermauern. Dies soll durch einen statistischen Test geschehen, bei dem die Behauptung “Nichtmitnahme von Passagiergepäck mit dem Flugzeug unterliegt der Verteilung der seltenen Ereignisse” auf einem Signifikanzniveau von 1% überprüft werden soll.<br />
<br />
Von der Vertretung der Airline in Berlin-Tegel läßt er sich eine zufällige Auswahl von 1000 Flügen vorlegen. Danach wurde in 460 Fällen ohne Beanstandung abgefertigt. In 350 Fällen wurde das Gepäck jeweils eines Passagiers nicht befördert. Für 135 Flüge war dies bei zwei Fluggästen, für 40 Flüge bei drei und für 15 Flüge bei vier Berlin-Reisenden der Fall. In keinem Fall hatten mehr als vier Fluggäste Grund zur Beanstandung.<br /><br />
(Hinweis: Die Poisson-Verteilung wird auch “Verteilung der seltenen Ereignisse” genannt)<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!</p></li><br />
<li><p>Wie ist die Testfunktion unter <math>H_{0}</math> verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter)</p></li><br />
<li><p>Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test.</p></li><br />
<li><p>Welche Schätzfunktion ergibt sich nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip, falls zur Durchführung dieses Tests Parameter geschätzt werden müssen?</p></li><br />
<li><p>Wie lautet die Testentscheidung?<br /><br />
Hinweis: Runden Sie die Werte aus den Verteilungstabellen auf drei Stellen nach dem Komma!</p></li><br />
<li><p>Nach Kenntnisnahme des Testergebnisses argumentiert der Deutschlanddirektor wie folgt:</p><br />
<blockquote><p>“Vorwürfe widerlegt! Mittels eines Tests konnte auf der Grundlage einer Stichprobe vom Umfang 1000 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% statistisch bewiesen werden, dass fehlerhaftes Gepäck-Handling einer Verteilung der seltenen Ereignisse unterliegt.”</p></blockquote><br />
<p>Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung und begründen Sie Ihre Aussage!</p></li></ul><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Schwergewichtsboxer|25}}<br />
<br />
<br />
Die beiden Schwergewichtsboxer Jim Knockout und Bill Uppercut werden aufgrund von Computer-Ranglisten als gleichstarke weltbeste Boxer eingeschätzt. Eine bekannte Firma für Hühneraugenpflaster will dem weltbesten Boxer einen Werbevertrag für 1 Mill. EUR pro Jahr anbieten. Der Chef dieser Firma glaubt, dass Jim Knockout, der schon viele k.o.–Siege errungen hat, der bessere Boxer ist.<br />
<br />
Um diese These statistisch zu zeigen, organisiert der Firmenchef 11 Schaukämpfe zwischen den beiden Boxern, wobei es in jedem dieser Kämpfe stets einen Sieger geben soll, ein Unentschieden also nicht möglich ist. (<math>\alpha = 0.05</math>)<br />
<br />
* Stellen Sie die Hypothesen für diesen Test auf.<br />
* Definieren Sie die Testfunktion für diesen Test.<br />
* Wie ist diese Testfunktion bei Zutreffen der Nullhypothese verteilt?<br />
* Bestimmen Sie den Annahme- und den Ablehnungsbereich für diesen Test.<br />
* Wie entscheiden Sie sich bei diesem Test, wenn J. Knockout 3 Kämpfe verliert?<br />
* Können Sie einen Fehler bei Ihrer Testentscheidung begangen haben? Wenn ja, welchen?<br />
* Die Firma beabsichtigt, das Testergebnis in kurzer und verständlicher Form in einer Presseerklärung zu veröffentlichen. Formulieren Sie diese Presseerklärung.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Skirennen|26}}<br />
<br />
<br />
In einem bekannten Wintersportort wird alljährlich ein großes Skirennen für Gäste veranstaltet, bei dem alle Gäste teilnehmen können. Diesmal soll der Slalom an einem erst kürzlich erschlossenen Hang stattfinden. Eine Gruppe von Skilehrern bekommt den Auftrag, einen Slalom abzustecken, der für alle Gäste befahrbar ist. Es ist beabsichtigt, dass im Mittel mehr als 90% der Gäste heil durchs Ziel kommen sollen. Die bisherigen Erfahrungen haben gezeigt, dass man den Schwierigkeitsgrad des Hanges noch überprüfen muss. Es soll ein Test auf einem Signifikanzniveau von 10% durchgeführt werden auf der Basis der Ergebnisse von 22 zufällig ausgewählten Gastskiläufern, die den abgesteckten Slalom zu durchfahren haben.<br />
<br />
* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test.<br />
* Welche Verteilung besitzt die Testfunktion unter <math>H_{0}</math>?<br />
* Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für diesen Test.<br />
* Wie groß ist die exakte Wahrscheinlichkeit, sich bei diesem Test fälschlicherweise für <math>H_{A}</math> zu entscheiden?<br />
* Von den 22 Testläufern schied ein Läufer aus. Wie lautet die Testentscheidung?<br />
* Rechtfertigen Sie diese Entscheidung.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Skirennen (Gütefunktion)|27}}<br />
<br />
<br />
Für den Test in der Aufgabe ''Skirennen''<br />
<br />
* geben Sie den Wert der Gütefunktion <math>g(p)</math> an für <math>p = 0</math>, <math>p = 0,1</math> und <math>p = 0,2</math>.<br />
* Skizzieren Sie den Verlauf der Gütefunktion unter Verwendung der unter g) ermittelten Werte.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Sollwerte|28}}<br />
<br />
<br />
Kein Produktionsprozess ist vollkommen. Deshalb muss man darauf bedacht sein, dass die vorgeschriebenen Sollwerte der Produkte möglichst gut eingehalten werden. Unter Verwendung einer geeigneten Prüfgröße testet man die Hypothese <math>H_{0} : \mu= \mu_{0}</math>, dass ein bestimmter Sollwert eingehalten ist, gegen die Alternativhypothese <math>H_{A} : \mu<br />
e\mu_{0}</math>. Behält man bei einem solchen Test <math>\mu = \mu_{0}</math> bei, so lässt man den Produktionsvorgang weiterlaufen. Führt der Test zur Ablehnung, so stoppt man den Prozess.<br />
<br />
Ein Füllmaschine füllt Konserven mit Erbsen. Der Hersteller vermutet, dass die Füllgewichte seiner Dosen normalverteilt sind. Der Sollwert sei <math>\mu_{0}</math> = 300g. Ein Kontrolleur nimmt aus der laufenden Produktion eine Zufallsstichprobe von <math>n=100</math> und errechnet aus den Stichprobenwerten ein Durchschnittsgewicht von 304g bei einer Standardabweichung von 20g.<br />
<br />
* Muss aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe der Produktionsprozess gestoppt werden? (<math>\alpha = 0,05</math>) Ein Abnehmer hat die Vermutung, dass die Dosen aus dieser Produktion zu leicht sind und möchte diesen Sachverhalt statistisch prüfen.<br />
* Welche Hypothesenformulierung wählt er?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Spezialgefrierschränke|29}}<br />
<br />
<br />
Ein Unternehmen stellt Spezialgefrierschränke her, die zur Konservierung bestimmter Güter verwendet werden. Die Soll-Kühltemperatur beträgt für derartige Gefrierschränke -25<math>^{o}</math>C.<br />
<br />
Da man weiß, dass die tiefgefrorenen Güter bei höheren Temperaturen leicht verderben, und da der potentielle Kundenstamm nicht sehr groß ist, würde ein mangelhaftes Produkt, das also nicht tief genug kühlt, das Schlimmste, nämlich den Ruin der Firma, bedeuten. Aus Gründen der Vorsicht soll nun die Kühlleistung der Gefrierschränke an 100 zufällig aus der Produktion ausgewählten Gefrierschränken auf einem Signifikanzniveau von 2,275% getestet werden, um zu entscheiden, ob die Produktion weiterlaufen kann oder eine Konstruktionsänderung an den Geräten vorgenommen werden muss.<br /><br />
Aus Erfahrung weiß man, dass die erreichte Kühltemperatur eines solchen Gefrierschrankes normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 2<math>^{o}</math>C.<br />
<br />
* Wie lauten die Hypothesen für diesen Test? Begründen Sie Ihre Wahl in Form einer Risikobetrachtung!<br />
* Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion formal und verbal sowie ihre Verteilung unter <math>H_{0}</math> an!<br />
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter <math>H_{0}</math> verteilt?<br />
* Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test!<br />
* Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Kühltemperatur pro Gerät von -26<math>^{o}</math>C bei einer Standardabweichung von 1,5<math>^{o}</math>C.<br />
** Wie lautet die Testentscheidung?<br />
** Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt!<br />
* Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Kühltemperatur pro Gerät von -25,3<math>^{o}</math>C.<br />
** Wie lautet die Testentscheidung?<br />
** Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt!<br />
** Welcher Fehler kann bei dieser Entscheidung unterlaufen sein?<br />
** Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fehler hier unterlaufen ist?<br />
** Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Testverfahren diesen Fehler zu machen, wenn <math>\mu</math> tatsächlich -29<math>^{o}</math>C beträgt?<br />
* Warum reicht es beim einseitigen Test aus, dass man unter der Nullhypothese nur den Fall <math>\mu = \mu_{0}</math> betrachtet?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)|30}}<br />
<br />
<br />
Für den in Test in der Aufgabe ''Spezialgefrierschränke''<br />
<br />
* bestimmen Sie die Werte der Gütefunktion, falls die mittlere Kühltemperatur in Wahrheit<br /><br />
(i) - 24,8<math>^{o}</math>C,(ii) - 25,8<math>^{o}</math>C, (iii) - 29,0<math>^{o}</math>C beträgt!<br />
* Skizzieren Sie die Gütefunktion.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Testfunktion|31}}<br />
<br />
<br />
Für die Daten einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit beliebiger Verteilung wird der Test der Nullhypothese<br /><br />
<math>H_0: \mu\leq0</math> zum Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> computergestützt durchgeführt. Der Computerausdruck enthält folgende Angaben:<br /><br />
Stichprobenumfang: <math>n=200</math><br /><br />
realisierter Wert der Testfunktion V: <math>v=2,06</math><br /><br />
<math>\gamma=P(V>2,06)=0,0197</math>,<br /><br />
wobei V eine standardnormalverteilte Testfunktion ist.<br /><br />
Wann wird die Nullhypothese zum vorgegebenen Signifikanzniveau <math>\alpha</math> abgelehnt?<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Torerfolge|32}}<br />
<br />
<br />
In einer Fußball–Liga wurden für eine Saison die Torerfolge pro Spiel in folgender Häufigkeitstabelle zusammengefasst:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|align="right"| Torerfolge<br />
|align="right"| Häufigkeit<br />
|-<br />
|align="right"| pro Spiel<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 2<br />
|-<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|}<br />
<br />
Es soll mit einem statistischen Testverfahren überprüft werden, ob die Torerfolge pro Spiel einer Poissonverteilung mit <math>\lambda</math> = 3,4 folgen (<math>\alpha = 0,1</math>).<br />
<br />
* Wie lauten die Hypothesen für den Chi-Quadrat-Anpassungstest?<br />
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter <math>H_{0}</math> verteilt?<br /><br />
Begründung!<br />
* Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test! Runden Sie die <math>np_{i}</math> - Werte auf ganz Zahlen!<br />
* Wie lautet die Testentscheidung? Interpretieren Sie das Testergebnis kurz, aber statistisch exakt!<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Werbeaktion|33}}<br />
<br />
<br />
Ein bekannter Technik-Markt führt seit einiger Zeit eine Werbeaktion mit großen Zeitungsanzeigen durch. Der Geschäftsleiter möchte diese Werbeaktion jedoch nur fortführen, wenn sich der Umsatz um mindestens 10% erhöht hat.<br /><br />
Vor der Werbeaktion betrug der Umsatz üblicherweise 150 EUR pro Kunde. Der Geschäftsleiter ermittelt nun die Umsätze <math>u_i</math> von 900 Kunden in einer Woche und erhält eine Gesamtsumme von <math>u=\sum u_i=148000</math> EUR.<br /><br />
Die geschätzte Varianz der Umsätze <math>s^2=\sum(u_i-u/900)^2/899</math> beläuft sich auf 900 EUR.<br /><br />
Der Geschäftsleiter will daraufhin die Werbeaktion stoppen, sein Assistent weist ihn jedoch daraufhin, dass statistisch gesehen die Hypothese “erwarteter Umsatz pro Kunde” <math>\geq</math>165 EUR nicht unbedingt abgelehnt werden kann.<br /><br />
Wie klein darf der tatsächliche wöchentliche Umsatz sein, um diese Hypothese zu einem Signifikanzniveau von 5% gerade nicht mehr abzulehnen?<br /><br />
<br />
<br />
{{Loesung|Wetterlage und Geschäftslage|34}}<br />
<br />
Ein Taxiunternehmen will überprüfen, ob sich eine Abhängigkeit zwischen der Wetterlage und der Geschäftslage nachweisen lässt. Dazu werden einige Tage des vergangenen Jahres zufällig ausgewählt. Folgende Angaben stehen zur Verfügung:<br />
<br />
* Von insgesamt 20 Regentagen gab es ebensoviele mit guter wie mit schlechter Geschäftslage.<br />
* 5 Sonnentage brachten ein normales Geschäft.<br />
* 15 Tage brachten ein schlechtes Geschäft.<br />
* Ein gutes Geschäft konnte an 15 Sonnentagen beobachtet werden.<br />
* Das Geschäft lief an 15 Tagen normal.<br />
<br />
* Stellen Sie das Ergebnis in einer Kontingenztabelle dar!<br />
* Formulieren Sie verbal die Hypothesen!<br />
* Ist eine Anwendung der <math>\chi^{2}</math>-Verteilung hier gerechtfertigt?<br />
* Fällen Sie die Entscheidung bei (i) <math>\alpha</math> = 1% bzw. (ii) <math>\alpha</math> = 5%.<br />
* Welcher Fehler kann Ihnen im Fall (i) bzw.(ii) jeweils unterlaufen sein?<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Wocheneinkommen|35}}<br />
<br />
<br />
Ein Lebensmittelunternehmen will in einem neuen Stadtteil eine Filiale errichten. Aus langjähriger Erfahrung ist bekannt, dass eine Filiale nur dann gewinnbringend arbeitet, wenn das durchschnittliche Wocheneinkommen der Bewohner mehr als 400 EUR beträgt. Weiterhin sei die Standardabweichung des Wocheneinkommens mit <math>\sigma=20</math> EUR bekannt. Es wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> gezogen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird mit<br /><br />
<math>\alpha=0,050503</math> vorgegeben.<br /><br />
Angenommen, in Wirklichkeit betrage das durchschnittliche Wocheneinkommen in diesem Stadtteil 406 EUR. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Fehler 2. Art zu begehen.<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Zigarettenpreis|36}}<br />
<br />
<br />
Der Zigarettenkonzern TAB will den Zigarettenpreis erhöhen, obwohl dieser vor einem Jahr schon einmal angehoben wurde. Prokurist L. liegt das Wohl des Konzerns am Herzen und weil er meint, dass der Zigarettenkonsum pro Tag bei neuerlichen Preiserhöhungen abnehmen werde, will er einen Test durchführen. Er weiß, dass der tägliche Zigarettenkonsum pro Raucher vor der letzten Preiserhöhung einem erwarteten Wert von 16 Stück entsprach.<br />
<br />
Mit Hilfe einer zufälligen Befragung unter <math>n=100</math> Rauchern will er statistisch zeigen, dass sich der durchschnittliche Konsum verringert hat (<math>\alpha = 0,01</math>).<br />
<br />
* Formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese.<br />
* Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion verbal an.<br />
* Geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter dieser Stichprobenfunktion unter der Annahme an, dass <math>H_{0}</math> richtig ist.<br />
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese verteilt?<br />
* Angenommen, die 100 Versuchspersonen rauchen durchschnittlich 15 Zigaretten pro Tag bei einer Standardabweichung von 5 Stück.<br /><br />
Wie entscheidet sich der Prokurist?<br />
* Welchen Fehler kann der Prokurist bei seiner Entscheidung gemacht haben?<br />
* Formulieren Sie in einer Pressemitteilung kurz, aber statistisch exakt das Testergebnis.<br />
<br />
<br />
<br />
{{Loesung|Zugkraft eines Drahtseiles|37}}<br />
<br />
<br />
Die durchschnittliche Zugkraft eines Drahtseiles soll nach Angaben des Herstellers <math>\mu=15</math> Tonnen mit einer Standardabweichung von <math>\sigma=0,4964</math> Tonnen betragen. Um die Behauptung eines Kunden zu widerlegen, dass die Zugkraft geringer sei, werden 49 Drahtseile geprüft und die Hypothese <math>H_0:\mu\geq\mu_0</math> auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,07927</math> getestet.<br /><br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit <math>\mu=14,8</math> Tonnen beträgt.<br /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2340
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:25:02Z
<p>Petrescc: /* Zweidimensionale Zufallsvariable */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{align}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{align}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{align}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{align}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{align}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{align}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2339
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:24:21Z
<p>Petrescc: /* Zufallsvariable X */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{align}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{align}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{align}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{align}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2338
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:24:07Z
<p>Petrescc: /* Rechteckverteilung */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{align}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{align}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{align}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2337
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:23:48Z
<p>Petrescc: /* Mautpflichtige Brücke */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{align}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{align}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{align}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2336
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:23:36Z
<p>Petrescc: /* Konstante a */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{align}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{align}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{aligned}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2335
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:23:24Z
<p>Petrescc: /* Kinder */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{align}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{aligned}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{aligned}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2334
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:23:07Z
<p>Petrescc: /* ICE */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{align}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{aligned}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{aligned}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{aligned}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2333
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:22:50Z
<p>Petrescc: /* Fachliteratur */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{align}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{align}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{align}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{align}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{align}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{align}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{align}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{align}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{align}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{align}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{align}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{align}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{align}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{aligned}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{aligned}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{aligned}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2332
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:22:12Z
<p>Petrescc: /* Dichtefunktion und Erwartungswert */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{align}</math><br />
<br />
<br /><br />
<br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{aligned}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{aligned}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{aligned}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{aligned}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{aligned}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{aligned}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{aligned}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{aligned}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{aligned}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{aligned}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{aligned}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{aligned}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{aligned}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{aligned}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{aligned}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zufallsvariable/L%C3%B6sungen&diff=2331
Zufallsvariable/Lösungen
2020-07-15T13:21:51Z
<p>Petrescc: /* Dichtefunktion */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Ampeln===<br />
<br />
<math>A_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf grün}; <math>P(A_{k})=0,5</math>; Ereignisse sind unabhängig;<br /><br />
<math>\overline{A}_{k}=</math>{Die <math>k</math>–te Ampel steht auf rot}; <math>P(\overline{A}_{k})=0,5</math>; <math>k=1,2,3,4</math><br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Auto fährt an keiner Ampel vorbei: <math>P(\overline{A}_{1}) = 0,5</math>; <math>A_{1} \cap \overline{A}_{2}=</math>{Auto fährt an 1. Ampel vorbei und muss an 2. Ampel halten}, <math>P(A_{1} \cap \overline{A}_{2})<br />
= 0,5\cdot 0,5=0,25</math> ; analog folgt: <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap \overline{A}_{3}) = 0,125</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \overline{A}_{4}) = 0,0625</math>; <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = 0,0625</math>;</p></li><br />
<li><p>X: ”Anzahl der Verkehrsampeln, an denen das Auto bis zum ersten Halt vorbeifährt”; diskrete Zufallsvariable</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,125<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|align="right"| 0,0625<br />
|}<br />
</li></ul><br />
<br />
===Auslastung der Schiffe===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Kosten}</math>, <math>E(X)=T_1\cdot K_1+T_2\cdot K_2+T_3\cdot K_3</math><br /><br />
<math>T_1=65</math>, <math>T_2=45</math>; <math>T_3=95</math>, <math>K_1=1000</math>, <math>K_2=1200</math>, <math>K_3=700</math>, <math>E(X)=185500</math><br /><br />
===Bahnstrecke Berlin – Nauen===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Klasse<br />
!align="right"| 0 - 30<br />
!align="right"| 30 - 60<br />
!align="right"| 60 - 90<br />
!align="right"| 90 - 120<br />
|-<br />
| <math>f(x_i)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,45<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,05<br />
|-<br />
| <math>F(x_j)</math><br />
|align="right"| 0,35<br />
|align="right"| 0,8<br />
|align="right"| 0,95<br />
|align="right"| 1,00<br />
|}<br />
<br />
<math>x_{0,5}=x_j^u+\frac{0,5-F(x_j^u)}{f(x_j)}\cdot(x_j^o-x_j^u)=30+\frac{0,5-0,35}{0,45}\cdot30=30+10=40</math><br />
<br />
===Bauteile===<br />
<br />
* Antwort: nein<br /><br />
Begründung:<br /><br />
Wenn X und Y unabhängig voneinander <math>\rightarrow f(x_i,y_j)=f(x_i)\cdot f(y_j)</math> <math>\forall i,j</math><br /><br />
Ist nicht erfüllt, da z.B.<br /><br />
<math>f(x_2,y_3)=0,115\neq0,3\cdot0,4=0,12</math><br />
* <math>f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)+f(x_2,y_1)=0,015+0,03+0,04=0,085</math><br />
<br />
===Dichtefunktion einer Zufallsvariablen===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a;b]=[-1;3]</math>:<br /><br />
<math>1=\int_{-1}^3f(x)dx=[ax]_{-1}^3=4a\rightarrow a=1/4=0,25</math><math>P(X>0)=\int_0^3f(x)dx=[ax]_0^3=3a=3/4=0,75</math>.<br />
<br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
* Für eine Dichtefunktion muss gelten <math>f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty }^{+ \infty }f(x)\,dx=1.</math> Da <math>f(x)=0</math> für <math>x \notin [0,2]</math>, genügt es für die erste Eigenschaft, zu zeigen, die Nullstellen der nach oben geöffnete Parabel beide links oder beide rechts des Intervalls <math>(0,2)</math> liegen. Wir verwenden die <math>p-q</math> Formel, um diese Nullstellen zu berechnen und erhalten eine doppelte Nullstelle bei <math>x=2+\sqrt{2^2-4}=2.</math> Damit gilt also sogar, dass die Parabel global nichtnegativ ist. Für die Normierung berechnen wir <math>\begin{align}<br />
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= <br />
\int_{0}^{2} \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) dx \\<br />
&= \frac{3}{8} \left[4x-2x^2+\frac{1}{3} x^3 +c \right]_{x=0}^2 \\<br />
\frac{3}{8} \left(8-8+\frac{8}{3}\right) =1.\end{align}</math> Also sind beide Eigenschaften erfüllt.<br />
* Wir berechnen die Verteilungsfunktion mithilfe der Definition im Foliensatz Zufallsvariablenfür <math>x \in [0,2]</math>: <math>\begin{align}<br />
F(x)&=\int_{-\infty}^{x} f(s) ds \\<br />
&=\int_{0}^{x} \frac{3}{8} (4-4s+s^{2}) ds \\<br />
&=\frac{3}{8} \left[4s-2s^2+\frac{1}{3} s^3 +c \right]_{s=0}^x\\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot \left( 4x-2x^2+\frac{1}{3}x^3 \right).\end{align}</math> Für <math>x\leq 0</math> gilt <math>F(x)=0</math>, während <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 2</math>. Zusammengefasst gilt also: <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0, \\<br />
\frac38 \left(4x-2x ^{2}+ \frac13 x ^{3}\right)& \quad\mbox{für}\quad 0<br />
\leq x<2, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* Wir berechnen den Erwartungswert mit der Definition aus dem Foliensatz Zufallsvariablen: <math>\begin{align}<br />
E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{0}^{2} x \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x-4x^2+x^3) dx\\<br />
&=\frac{3}{8} [2x^2-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4} x^4]_{x=0}^2 \\<br />
&=\frac{3}{8} \cdot (8-\frac{32}{3}+\frac{16}{4} )\\<br />
&=\frac{1}{2}.\end{align}</math> Analog gilt für die Varianz <math>\begin{align}<br />
Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{0}^{2} x^2 \cdot \left(\frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) \right) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&= \frac{3}{8} \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) dx-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8} [\frac{4}{3}x^3-x^4+\frac{1}{5}x^5]_{x=0}^2-\frac{1}{4}\\<br />
&=\frac{3}{8}\cdot (\frac{4}{3}2^3-2^4+\frac{1}{5}2^5)-\frac{1}{4}=0,15.\end{align}</math><br />
<br />
===Dichtefunktion und Erwartungswert===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
E(X)&=\int_0^2x\cdot f(x)dx\\<br />
E(X)&=\int_0^2x\left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}\right)dx=\int_0^2\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)dx\\<br />
&=\left[\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2\right]_0^2=\frac{8}{12}+\frac{4}{8}=\frac{7}{6}=1,16667\end{aligned}</math><br />
<br />
<br /><br />
===Diskrete Zufallsvariable===<br />
<br />
Zunächst prüfen wir, ob die Aufgabe wohlgestellt ist, d.h. ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Dazu ist zu prüfen, ob sie nichtnegativ ist und ihre Werte sich zu 1 aufsummieren. Aus der Definition ist klar, dass die Funktion, von der zu prüfen ist, ob sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist, nur nichtnegative Werte annimt. Wir berechnen <math>f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=\frac{4+5+8+13+20}{50}=1.</math> Es liegt also in der Tat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.<br />
<br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X = 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X = 2\}]=f(2)=\frac{8}{50}=\frac{4}{25}0,16.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X < 2\}]</math>. Mit der Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt <math>P[\{X < 2\}]=P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]=f(0)+f(1)=\frac{4+5}{50}=0,18.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 2\}] = P[\{X = 0\}]+P[\{X = 1\}]+P[\{X = 2\}]=\frac{4+5+8}{50}=0,34.</math><br />
* Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X > 3\}] = P[\{X = 4\}]=f(4)=\frac{20}{50}=0,4</math><br />
* Es gilt <math>P[\{X < 5\}] = f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.</math><br />
<br />
===Fachliteratur===<br />
<br />
* Der Abbildung entnehmen wir, dass die Dichtefunktion im Intervall <math>[1,4]</math> als affine Funktion dargestellt werden kann, d.h. für <math>x \in [1,4]</math> gilt <math>f(x)=m \cdot x +b,</math> wobei <math>m \in \mathbb{R}</math> die Steigung und <math>b \in \mathbb{R}</math> den Achsenabschnitt der affinen Funktion angibt. Wir verwenden die Formel für die Steigung <math>m</math> der Geraden, indem wir die beiden bekannten Punkte <math>(1/a)</math> und <math>(4/0)</math> verwenden (<math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> ist unbekannt): <math>m=\dfrac{0-a}{4-1}=-\frac{a}{3}.</math> Für den Achsenabschnitt gilt damit <math>b=f(4)+\frac{a}{3}\cdot 4=\frac{4}{3} \cdot a.</math> In Abhängigkeit vom unbekannten Parameter <math>a \in \mathbb{R}_{+}</math> gilt damit für <math>x \in [1,4]</math>, <math>f(x)=-\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a.</math> Aus der Skizze ist ebenfalls klar, dass <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \notin [1,4]</math>. Um <math>a</math> zu bestimmen, müssen wir es so wählen, dass <math>f</math> eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird, d.h. nichtnegativ ist und sich zu 1 integriert. Die Nichtnegativität ist klar. Für die Normierung rechnen wir <math>\begin{aligned}<br />
1 &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} -\frac{a}{3} \cdot x + \frac{4}{3}a dx\\<br />
&=\left[ -\frac{a}{6} \cdot x^2 + \frac{4}{3}ax+c \right]_{x=1}^4 \\<br />
&= -\frac{a}{6} \cdot (4^2-1^2) + \frac{12}{3}a\\<br />
&= -\frac{5}{2}a+4a=\frac{3}{2}a.\end{aligned}</math> Damit ergibt sich <math>a=\frac{2}{3}.</math> Zusammengefasst erhalten wir also <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x& \quad\mbox{für}\quad 1 \leq x \leq 4 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
\end{aligned}</math> In der obigen Rechnung haben wir zudem die allg. Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> berechnet, die noch von einer Konstante <math>c</math> abhängt. Diese wollen wir nun so wählen, dass die Verteilungsfunktion stetig ist (d.h., dass sie keine Sprungstellen hat). Offenbar muss gelten <math>F(x)=0</math> für <math>x\leq 1</math> und <math>F(x)=1</math> für <math>x \geq 4</math>. Damit muss auch für die Stammfunktion <math>S_c (x)</math> der Dichte gelten, dass <math>S_c (1)=0</math>. Wir berechnen <math>\begin{aligned}<br />
0&=S_c (1)\\<br />
&=-\frac{2}{18} \cdot 1^2 + \frac{8}{9}+c\\<br />
&=\frac{7}{9}+c.\end{aligned}</math> Also muss gelten <math>c=-\frac{7}{9},</math> damit <math>F</math> an der Stelle <math>1</math> stetig ist. Die Stetigkeit an der Stelle <math>4</math> ergibt sich aus der Wahl von <math>a</math>, die die Normierung der Dichtefunktion garantiert. Zusammengefasst ergibt sich <math>\begin{aligned}<br />
F(x)&= &{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<1, \\<br />
-\frac{1}9 x ^{2}+\frac89 x-\frac79& \quad\mbox{für}\quad 1<br />
\leq x<4, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* Um den Erwartungswert zu berechnen, verwenden wir die Definition aus dem Foliensatz zu Zufallsvariablen <math>\begin{aligned}<br />
E[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \\<br />
&= \int_{1}^{4} x \cdot (\frac{8}{9}-\frac{2}{9}x) dx\\<br />
&=\int_{1}^{4} \frac{8}{9}x-\frac{2}{9}x^2 dx\\<br />
&=[\frac{4}{9}x^2-\frac{2}{27}x^3+c]_{x=1}^4\\<br />
&=\frac{64}{9}-\frac{128}{27}-\frac{4}{9}+\frac{2}{27}\\<br />
&=\frac{60}{9}-\frac{126}{27}\\<br />
&=\frac{20}{3}-\frac{14}{3}=\frac{6}{3}=2.\end{aligned}</math> Für die Varianz von <math>X</math> gilt mit der Definition aus dem Foliensatz <math>\begin{aligned}<br />
Var[X]&=\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) dx -E[X]^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} x^2 \cdot \left( \frac{8}{9}-\frac{2}{9}x \right) dx-2^2\\<br />
&= \int_{1}^{4} \frac{8}{9} x^2 -\frac{2}{9}x^3 dx-2^2\\<br />
&=[\frac{8}{27}x^3-\frac{1}{18}x^4]_{x=1}^4 -2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 4^3}{27}-\frac{4^4}{18}-\frac{8 \cdot 1^3}{27}+\frac{1^4}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot (4^3-1)}{27}-\frac{4^4-1}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{8 \cdot 63}{27}-\frac{255}{18}-2^2\\<br />
&=\frac{56}{3}-\frac{85}{6}-2^2\\<br />
&=4,5-4=0,5.\end{aligned}</math><br />
* Um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwenden wir unsere Kenntnis der Verteilungsfunktion. Zunächst berechnen wir <math>P[\{X \leq 2\}] = F(2)=-\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{7}{9}=\frac{5}{9}.</math> Für die nächste gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>P[\{2 \leq X \leq 3\}]=F(3)-F(2)=\frac{1}{3}.</math> Für die letzte gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{aligned}<br />
P[\{X \geq 3\}] &= 1- P[\{X<3\}]\\<br />
&=1-P[\{X \leq 3\}]\\<br />
&=1-F(3)=\frac{1}{9},\end{aligned}</math> wobei wir im zweiten Schritt verwendet haben, dass eine stetige Verteilung vorliegt und daher jeder Punkt eine Masse von 0 besitzt.<br />
<br />
===Fernsehsendung===<br />
<br />
<math>G=\mbox{Gewinn};\quad R:\mbox{richtige Antwort}\quad F:\mbox{falsche Antwort}</math><br /><br />
Für jede Runde gilt: <math>P(R)=0,2;\quad P(F)=0,8</math>.<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Runde<br />
!align="center"| Antwort<br />
!align="right"| Gewinn<br />
! Wahrscheinlichkeit <math>P_i</math><br />
!align="right"| <math>G\cdot P_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 0<br />
| <math>P(F_1)=0,8</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 100<br />
| <math>P(R_1\cap F_2)=0,2\cdot0,8</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,16</math><br />
|align="right"| 16<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 200<br />
| <math>P(R_1\cap R_2 \cap F_3)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,032</math><br />
|align="right"| 6,4<br />
|-<br />
|align="right"| 4a<br />
|align="center"| <math>F</math><br />
|align="right"| 300<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap F_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,8=0,0064</math><br />
|align="right"| 1,92<br />
|-<br />
|align="right"| 4b<br />
|align="center"| <math>R</math><br />
|align="right"| 400<br />
| <math>P(R_1\cap R_2\cap R_3\cap R_4)</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
| <math>=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016</math><br />
|align="right"| 0,64<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
<math>E(G)=\sum_iG_i\cdot P_i=24,96</math> EUR<br />
<br />
===Feuerwehr===<br />
<br />
Die erwartete quadrierte Fahrstrecke ist minimal, wenn sich die Feuerwehr an der Stelle aufstellt, die dem Erwartungswert der Zufallsvariablen <math>X=\{\mbox{Ort des nächsten Feuers}\}</math> entspricht.<br /><br />
Herleitung:<br /><br />
<math>\min_cE[(x-c)^2]</math><br /><br />
1. Ableitung: <math>-2\sum_x(x-c)P(x)=0;c=\sum_xxP(x)=E(X)</math><br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| Punkt <math>x</math><br />
!align="right"| Wahrscheinlichkeit <math>P(x)</math><br />
!align="right"| <math>x\cdot P(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| -0,6<br />
|-<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| -0,1<br />
|-<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\sum</math><br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<br /><br />
Die Feuerwehr sollte sich an der Stelle <math>x=0,1</math> aufstellen.<br />
<br />
===Gemeinsame Verteilung===<br />
<br />
a) <math>P(X=Y)=0,02+0,28=0,3</math><br /><br />
b) <math>P(X+Y=2)=0,34+0,28=0,62</math><br /><br />
c) <math>P(Y-X=1)=0,04+0,3=0,34</math><br /><br />
d) <math>P(X\cdot Y=1)=0,28</math><br /><br />
'''e)''' <math>E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0,6+1,6=2,2</math><br /><br />
f) <math>E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,6-1,6=-1</math><br /><br />
g) <math>Var(X)=(-0,6)^2\cdot0,4+(0,4)^2\cdot0,6=0,144+0,096=0,24</math><br /><br />
h) <math>Var(Y)=(-1,6)^2\cdot0,04+(-0,6)^2\cdot0,32+(0,4)^2\cdot0,64=0,1024+0,1152+0,1024=0,32</math><br />
<br />
===Glücksrad===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X</math>: Punkt, an dem der Zeiger des Glücksrades stehen bleibt. Die stetige Zufallsvariable kann alle Werte des Intervalls <math>[0;60]</math> annehmen. <math>X</math> folgt der Rechteckverteilung:<br />
<br />
<math>f(x)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/60 & \text{ für } 0 \leq x \leq60 \\<br />
0 & \text{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X=14,08)=0</math>, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable genau einen Wert annimmt, stets Null ist.<br />
<br />
===Herstellung eines Gutes===<br />
<br />
* <math>E(Z) = 6000</math> EUR; <math>Var(Z) = 18 000</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>E(Y) = 3250</math> EUR; <math>Var(Y) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
* <math>G</math>: ”Gewinn”; <math>E(G) = 2750</math> EUR; <math>Var(G) = 4500</math> [EUR]<math>^{2}</math><br />
<br />
===ICE===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
V&=&\frac{\mbox{Gesamtstrecke}}{\mbox{Gesamtzeit}}\\<br />
&=&\frac{23+81+90+44+78+43+32+169}{14+39+31+17+29+25+17+75}\\<br />
&=&\frac{560\mbox{ km}}{247\mbox{ Min.}}=\frac{560\mbox{ km}}{4,1166\mbox{ h}}=136,032\mbox{ km/h}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Intervall–Bestimmung===<br />
<br />
* <math>F(a) = a/6 - 1/3 \doteq 0</math>; <math>a = 2</math>; <math>F(b) = b/6 - 1/3 \doteq 1</math>; <math>b = 8</math><br />
* <math>\frac{d F ( x )}{d x}=f(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
1/6& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x \leq 8 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
* <math>P(6 \leq X \leq 8) = \int^{8}_{6} (1/6)dt = 1/3</math>; <math>P(X = 5) = P(5 \leq X \leq 5) = 0</math><br />
<br />
===Kinder===<br />
<br />
[[Datei:5-1_Kinder.xlsx]]<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Zuerst werden die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariable bestimmt. Die kleinste Summe an Kinder bei drei Ziehungen ohne Zurücklegen ist zwei, z.B. <math>(P_3,P_4,P_6)</math>, und die größte Summe ist zehn, z.B. <math>(P_1, P_2, P_5)</math>.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung zwischen zwei und zehn können wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens mit Hilfe der Wk. nach Laplace bestimmen. Zunächst halten wir fest, dass es <math>K(6;3)=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=4\cdot 5=20</math> Möglichkeiten gibt (Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, da die Addition kommutativ ist), 3 Personen aus 6 Personen zu ziehen.</p><br />
<p>Für jede Merkmalsausprägung lässt sich nun angeben (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) wieviele Möglichkeiten es gibt sie zu erhalten:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
! Ereignisse<br />
!align="right"| <math>P(X=x)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 2<br />
| <math>(P_3, P_4, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 3<br />
| <math>(P_2,P_3, P_4)</math>, <math>(P_2,P_3, P_6)</math>, <math>(P_3, P_4, P_5)</math>, <math>(P_3,P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 4<br />
| <math>(P_2, P_3, P_5)</math>, <math>(P_2, P_4, P_6)</math>, <math>(P_4, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 5<br />
| <math>(P_2, P_4, P_5)</math>, <math>(P_2, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 6<br />
| –<br />
|align="right"| <math>0/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 7<br />
| <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>2/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 8<br />
| <math>(P_1, P_2, P_3)</math>, <math>(P_1, P_3, P_4)</math>, <math>(P_1, P_3, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>3/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 9<br />
| <math>(P_1, P_2, P_4)</math>, <math>(P_1, P_2, P_6)</math>, <math>(P_1, P_4, P_5)</math>, <math>(P_1, P_5, P_6)</math><br />
|align="right"| <math>4/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 10<br />
| <math>(P_1, P_2, P_5)</math><br />
|align="right"| <math>1/20</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p>Um den Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle <math>s</math> zu erhalten, genügt es, die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu dieser Stelle <math>s</math> zu addieren, da es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt. Z.B. ist der Wert der Verteilungsfunktion <math>F</math> an der Stelle 5 gegeben durch <math>F(5)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2}.</math> Es gilt ebenfalls <math>F(6)=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=\frac{1}{2},</math> da sich zwischen 5 und 6 kein Ergebnis befindet, das mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Die Verteilungsfunktion hat also die für diskrete Verteilungen typische Sprungstellen an den Stellen, an denen Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Ergebnisse für die anderen Stellen ergeben sich mit analoger Rechnung zu <math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<2, \\<br />
1/20& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<3, \\<br />
5/20& \quad\mbox{für}\quad 3 \leq x<4, \\<br />
8/20& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<5, \\<br />
10/20& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<7, \\<br />
12/20& \quad\mbox{für}\quad 7 \leq x<8, \\<br />
15/20& \quad\mbox{für}\quad 8 \leq x<9, \\<br />
19/20& \quad\mbox{für}\quad 9 \leq x<10, \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 10 \leq x.<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li><br />
<li><p>Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden wir nun unter Rückgriff auf die Verteilungsfunktion berechnen. Wir erinnern uns daher nocheinmal an die Definition der Verteilungsfunktion <math>F</math> als <math>F(x)=P[\{X \leq 4\}].</math> Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X \leq 4\}]</math>, die wir direkt aus der Tabelle der Verteilungsfunktion in Aufgabenteil b) als <math>P[\{X \leq 4\}]=F(4)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}</math> abgelesen werden kann. Nun wird die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{X>8\}]</math> gesucht. Um diese Wahrscheinlichkeit auf die Verteilungsfunktion zurückzuführen, verwenden wir den Trick der Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: <math>P[\{X>8\}]=1-P[\{X \leq 8\}]=1-\frac{15}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.</math> Um die Wahrscheinlichkeit <math>P[\{3<X<9\}]</math> zu berechnen, greifen wir wieder auf die Verteilungsfunktion zurück: <math>\begin{aligned}<br />
P[\{3<X<9\}]&=P[\{X<9\}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=P[\{X\leq 8 \}]-P[\{X\leq 3\}]\\<br />
&=F[8]-F[3]\\<br />
&=\frac{15}{20}-\frac{5}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Konstante a===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
1=\int_0^1f(x)dx&=&\int_0^1\{ax^2(1-x)\}dx=a\int_0^1\{x^2-x^3\}\\<br />
&=&a\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=a\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right]=\frac{a}{12}\\<br />
a&=&12\end{aligned}</math><br />
<br />
===Konstanten===<br />
<br />
* <math>a = 7/117</math>; <math>b = 2/13</math><br />
* <math>F(x)={ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
\frac{7}{351}x ^{3}& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<3 \\<br />
\frac{-1}{13}x ^{2}+x-\frac{23}{13}& \quad\mbox{für}\quad 3<br />
\leq x<4 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 4 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
===Lostrommel===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Gewinn”; <math>P(X=5) = 5\cdot 10/1000 = 0,05</math>; <math>P(X=2) = 4\cdot 100/1000= 0,4</math>; <math>P(X=0) = 1-0,05-0,4 = 0,55</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x)</math><br />
|align="right"| 0,55<br />
|align="right"| 0,4<br />
|align="right"| 0,05<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>F(x)= {\left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<0 \\<br />
0,55& \quad\mbox{für}\quad 0 \leq x<2 \\<br />
0,95& \quad\mbox{für}\quad 2 \leq x<5 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 5 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Maschinenbauunternehmen===<br />
<br />
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der abgesetzten Anlagen, so ergibt sich die Zufallsvariable G, die den Gewinn in Mio. EUR (bzw. den Verlust im Fall von Realisationen kleiner als Null) beschreibt, zu<br /><br />
<math>G(X)=1\cdot X-(1+0,5\cdot X)=0,5\cdot X-1</math><br /><br />
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung<br /><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Anlagenzahl x<br />
!align="center"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| 3<br />
!align="right"| 4<br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>P(X=x)</math>, <math>P(G=g)</math><br />
|align="center"| 0,05<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,25<br />
|align="right"| 0,30<br />
|align="right"| 0,15<br />
|align="right"| 0,10<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| Verlust/Gewinn <math>g=G(x)</math><br />
|align="center"| -1,0<br />
|align="right"| -0,5<br />
|align="right"| 0,0<br />
|align="right"| 0,5<br />
|align="right"| 1,0<br />
|align="right"| 1,5<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
<math>E(G)=-1\cdot0,05+(-0,5)\cdot0,15+0,0\cdot0,25+0,5\cdot0,3+1,0\cdot0,15+1,5\cdot0,1=0,325</math> oder <math>E(X)=1\cdot0,15+2\cdot0,25+3\cdot0,3+4\cdot0,15+5\cdot0,1=2,65</math> <math>E(G)=0,5\cdot2,65-1=0,325</math> Der erwartete Gewinn der Abteilung beträgt 325.000 EUR.<br /><br />
===Mautpflichtige Brücke===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P_{(a)}(X)&=&0,5\cdot(0,05+2\cdot 0,43+3\cdot 0,27+4\cdot 0,12+5\cdot 0,09+6\cdot 0,04)\\<br />
&=&1,445\\<br />
P_{(b)}(X)&=&2\cdot0,5+0,35\cdot(0,43+2\cdot0,27+3\cdot0,12+4\cdot0,09+5\cdot0,04)\\<br />
&=&1,6615\end{aligned}</math><br />
<br />
===MegaShop===<br />
<br />
<math>E(X)=1000\cdot\displaystyle\frac{1}{x}+500\cdot\displaystyle\frac{4}{x}+20\cdot\displaystyle\frac{100}{x}+0\cdot\displaystyle\frac{x-105}{x}=\displaystyle\frac{5000}{x}</math><br /><br />
<math>E(X)=5\rightarrow x=1000</math><br />
<br />
===Platten===<br />
<br />
<math>X</math>: “Länge einer Platte”; <math>Y</math>: “Breite einer Platte”; <math>X\cdot Y</math>: “Fläche einer Platte”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 5<br />
!align="right"| 6<br />
!align="right"| f(x)<br />
|-<br />
| 8<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,1<br />
|align="right"| 0,2<br />
|-<br />
| 10<br />
|align="right"| 0,6<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 0,8<br />
|-<br />
| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 0,7<br />
|align="right"| 0,3<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
<br />
<math>E(X\cdot Y) = 50,8</math>mm<math>^{2}</math><br />
<br />
===Qualitätskontrolle===<br />
<br />
Anwendung des allgemeinen Multiplikationssatzes,<br /><br />
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen: <math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)</math><br /><br />
<math>A_i:\mbox{ein fehlerhaftes Stück wird bei der i-ten Kontrolle entdeckt}</math>; die Ereignisse <math>A_i</math> sind unvereinbar (disjunkt);<br /><br />
gegeben: <math>P(A_1)=0,8;\;P(A_2|\overline{A}_1)=0,6;\;P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)=0,3</math><br /><br />
<math>f(X=5)=P(A_1)=0,8</math><br /><br />
<math>f(X=10)=P(A_2)=P(A_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,6\cdot0,2=0,12</math><br /><br />
<math>f(X=20)=P(A_3)=P(A_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,3\cdot0,4\cdot0,2=0,024</math><br /><br />
<math>f(X=50)=P(\overline{A}_1\cap \overline{A}_2\cap \overline{A}_3)=P(\overline{A}_3|\overline{A}_1\cap\overline{A}_2)\cdot P(\overline{A}_2|\overline{A}_1)\cdot P(\overline{A}_1)=0,7\cdot0,4\cdot0,2=0,056</math><br /><br />
<math>E(X)=\sum_ix_i\cdot f(x_i)=5\cdot0,8+10\cdot0,12+20\cdot0,024+50\cdot0,056=8,48</math><br />
<br />
===Rechteckverteilung===<br />
<br />
* <math>\begin{aligned}<br />
f(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac18& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x \leq 6 \\<br />
0& \quad\mbox{sonst}<br />
\end{array}<br />
\right .} \\<br />
F(x)& =&{ \left \{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0& \quad\mbox{für}\quad x<-2 \\<br />
\frac{x+2}{8}& \quad\mbox{für}\quad -2 \leq x<6 \\<br />
1& \quad\mbox{für}\quad 6 \leq x<br />
\end{array}<br />
\right .}<br />
\end{aligned}</math><br />
* <math>E(X) = 2</math>; <math>Var(X) = 5,333</math><br />
* <math>P(X \leq 0) = 1/4</math>; <math>P(X \leq |1|) = 1/4</math>; <math>P(X \leq 2|X\mbox{ positiv})= 1/3</math><br />
<br />
===Spielkasino===<br />
<br />
1. Durchgang:<br /><br />
Es gibt vier mögliche Ereignisse <math>(Z,Z)</math>, <math>(W,Z)</math>, <math>(Z,W)</math> und <math>(W,W)</math>, wobei die grüne Münze an 1. Stelle und die rote Münze an 2. Stelle genannt wird, mit jeweils der Wahrscheinlichkeit von 0,25.<br /><br />
<math>X=1</math> tritt ein, wenn (Z,Z), (W,Z), (Z,W) eintritt, damit ist <math>P(X=1)=0,75</math>.<br /><br />
<math>X=0</math> tritt ein, wenn (W,W) eintritt, damit ist <math>P(X=0)=0,25</math><br /><br />
<br /><br />
2. Durchgang:<br /><br />
Es gibt zwei mögliche Ereignisse: die rote Münze zeigt Z bzw. W jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <math>P(Z)=P(W)=0,5</math>.<br /><br />
<math>P(Y=y\cap X=x)=P(Y=y|X=x)\cdot P(X=x)</math><br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=0)=0\cdot 0,25=0</math>, da <math>(Y=1\cap X=0)</math> ein unmögliches Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=0)=1\cdot0,25=0,25</math>, da <math>(Y=0|X=0)</math> ein sicheres Ereignis ist.<br /><br />
<math>P(Y=1\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math> da <math>P(Y=1|X=1)=P(Z|X=1)=0,5</math><br /><br />
<math>P(Y=0\cap X=1)=0,5\cdot0,75=0,375</math>, da <math>P(Y=0|X=1)=P(W|X=1)=0,5</math><br /><br />
<br /><br />
Ergebnis:<br /><br />
<math>P(Y=1,X=1)=0,375\quad P(Y=1,X=0)=0</math><br /><br />
<math>P(Y=0,X=1)=0,375\quad P(Y=0, X=0)=0,25</math><br />
<br />
===Umweltschützer===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>P(X \geq 4)= 3/4</math></p></li><br />
<li><p><math>E(X) = 4</math> Fässer;<br /><br />
<math>Var(X) = \frac{1}{2} </math> Fässer<math>^2</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>X \backslash Y</math><br />
!align="right"| 0<br />
!align="right"| 1<br />
!align="right"| 2<br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 4/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 2/4<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 3/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 1/4<br />
|-<br />
|align="right"| <math>f(y)</math><br />
|align="right"| 9/16<br />
|align="right"| 6/16<br />
|align="right"| 1/16<br />
|align="right"| 1,0<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>Cov(x,Y) = - 1/8</math></p></li><br />
<li><p>nein</p></li><br />
<li><p><math>Z</math>: “Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen Fässer”;<br /><br />
<math>Z = X + Y</math>; <math>E(Z) = 4,5</math> <math>U</math>: “Erlös von 2 Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region”;<br /><br />
<math>U = 20 + 5\cdot Z</math>; <math>E(U) = 42,50</math> EUR</p></li></ul><br />
<br />
===Würfelspiel===<br />
<br />
<math>Z = </math>{Erscheinen der gesetzten Zahl beim Werfen eines Würfels};<br /><br />
<math>P(Z) = 1/6; P(\overline{Z}) = 5/6</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! Ereignis<br />
!align="right"| <math>P(E_{i})</math><br />
!align="right"| Spielgewinn <math>X=x</math><br />
!align="right"| <math>f(x)</math><br />
|-<br />
| <math>E_{1} = \overline{Z} \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|align="right"| <math>x_{1} = -1</math><br />
|align="right"| 125/216<br />
|-<br />
| <math>E_{2} = Z \cap<br />
\overline{Z} \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{3} = \overline{Z} \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"| <math>x_{2} = 1</math><br />
|align="right"| 75/216<br />
|-<br />
| <math>E_{4} = \overline{Z} \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 25/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{5} = Z \cap Z \cap \overline{Z}</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{6} = Z \cap \overline{Z} \cap Z</math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"| <math>x_{3} = 2</math><br />
|align="right"| 15/216<br />
|-<br />
| <math>E_{7} = \overline{Z} \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 5/216<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>E_{8} = Z \cap Z \cap Z </math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|align="right"| <math>x_{4} = 3</math><br />
|align="right"| 1/216<br />
|}<br />
<br />
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Würfelergebnisse Anwendung des Multiplikationssatzes für unabhängige Ereignisse zur Berechnung der <math>P(E_{j})</math>. Die <math>E_{j}</math> sind disjunkt; Anwendung des Axioms 3 zur Berechnung der <math>f(x_{i})</math>. <math>X</math> ist eine diskrete Zufallsvariable.<br />
<br />
<math>E(X) = - 0,079 EUR</math><br />
<br />
===Zufallsvariable X===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\int_3^x\frac{1}{8}(t-3)=\frac{1}{8}\left[\frac{1}{2}t^2-3t\right]_3^x&=\left(\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x\right)-\left(\frac{9}{16}-\frac{9}{8}\right) \\<br />
&=\frac{1}{16}x^2-\frac{3}{8}x+\frac{9}{16}\end{aligned}</math><br />
<br />
Die Verteilungsfunktion von <math>X</math> ist :<br />
<br />
<math><br />
F(x)= \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{ für } x<3 \\<br />
\frac{1}{16} x^2 - \frac{3}{8} x + \frac{9}{16} & \text{ für } 3\leq x \leq 7 \\<br />
1 & \text{ für } x>7 <br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-F(5)=1-(25/16-15/8+9/16)=1-4/16=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zurückgelegte Strecke===<br />
<br />
Zufallsvariable <math>X=\mbox{täglich zurückgelegte Strecke}</math><br /><br />
Erwartungswert <math>\mu=140</math> km;Varianz <math>\sigma^2=144</math> (km<math>^2</math>);<math>\sigma=12</math> (km)<br /><br />
Da die Verteilung der Zufallsvariablen nicht bekannt ist, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht exakt berechnet werden, sondern nur mittels der Tschebyschev–Ungleichung grob abgeschätzt werden:<br /><br />
<math>P(|X-\mu|>a)\leq\sigma^2/a^2</math> mit <math>a>0</math> bzw. für <math>a=k\sigma</math> folgt: <math>P|X-\mu|>k\sigma)\leq1/k^2</math> mit <math>k>0</math>.<br /><br />
<math>a=24;\quad k=a/\sigma=24/12=2</math><br /><br />
<math>P(|X-140|>24)\leq144/576=0,25</math> bzw. <math>P(|X-140|>2\cdot12)\leq1/2^2=0,25</math><br /><br />
Dies ist eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert außerhalb des 2–fachen zentralen Schwankungsintervalls annimmt. Die Formulierung in der Frage “um höchstens 24 (km) vom Erwartungswert abweicht” impliziert jedoch, dass <math>X</math> Werte innerhalb eines zentralen Schwankungsintervalls annimmt:<br /><br />
<math>[\mu-a;\mu+a]=[\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]</math> mit <math>a=k\sigma</math>.<br /><br />
Dies ist das Komplementärereignis zu <math>|X-\mu|>a</math>, so dass das gesuchte Ergebnis wie folgt lautet:<br /><br />
<math>P(\mu-a\leq X\leq\mu+a)\geq1-\sigma^2/a^2</math> bzw. <math>P(\mu-k\sigma\leq X\leq\mu+k\sigma)\geq1-1/k^2</math><br /><br />
<math>P(140-24\leq X\leq140+24)\geq1-144/576=0,75</math> bzw.<br /><br />
<math>P(140-2\cdot12\leq X\leq140+2\cdot12)\geq1-1/2^2=0,75</math><br /><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable===<br />
<br />
Wir charakterisieren zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Summe. Dazu stellen wir zunächst fest, dass 2,3,4 und 5 als Summe von <math>X_1</math> und <math>X_2</math> dargestellt werden können. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Summe nimmt nur dann den Wert 2 an, wenn <math>X_1</math> und <math>X_2</math> beide den Wert 1 annehmen. Wir entnehmen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion, dass dieser Fall mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>0,1</math> eintritt.<br /><br />
Die Summe kann den Wert 3 annehmen, wenn <math>X_1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,3</math>) oder wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1). Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 4 annimmt, <math>0,4</math>. Analog werden die übrigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Die folgende Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen:<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x_3</math><br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 5<br />
|-<br />
| <math>f(x_3)</math><br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,4<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|}<br />
<br />
Damit gilt für den Erwartungswert: <math>\begin{aligned}<br />
E[X_3]&=2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,2\\<br />
&=0,2+1,2+1,2+1=3,6.\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zweidimensionale Zufallsvariable und Erwartungswert===<br />
<br />
Wir beginnen wieder mit dem Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>Y</math>. Dazu stellen wir zunächst fest, dass das Produkt der Faktoren 1,2 und 3 mit 1,2 und 4 die Werte 1,2,3,4,6,8 und 12 annehmen kann. Nun müssen wir noch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen. Damit das Produkt den Wert 1 annimmt, müssen sowohl der erste als auch der zweite Faktor den Wert 1 annehmen. Da dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 passiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 1 annimmt, 0,1 <ref>Das gleiche Argument führt auf die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert 6 bzw. 12 annimmt.<br />
</ref>. Es gibt zwei Ereignisse, die dazu führen, dass das Produkt den Wert 2 annimmt: Wenn <math>X_1=2</math> und <math>X_2=1</math> (Wahrscheinlichkeit ist <math>0,2</math>) oder <math>X_1=1=1</math> und <math>X_2=2</math> (Wahrscheinlichkeit ist 0,1) eintritt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produkt den Wert 2 annimmt, <math>0,3</math>. Die anderen Wahrscheinlichkeiten werden analog berechnet und sind in der folgenden Tabelle aufgetragen.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! y<br />
!align="center"| 1<br />
!align="center"| 2<br />
!align="center"| 3<br />
!align="center"| 4<br />
!align="center"| 6<br />
!align="center"| 8<br />
!align="center"| 12<br />
|-<br />
| f(y)<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0,3<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,2<br />
|align="center"| 0,1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="center"| 0,1<br />
|}<br />
<br />
Damit ergibt sich für den Erwartungswert von <math>Y</math> <math>E(Y)=1\cdot0,1+2\cdot0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,2+6\cdot 0,1+12\cdot0,1=3,9.</math><br />
<br />
<references /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zeitreihen/L%C3%B6sungen&diff=2330
Zeitreihen/Lösungen
2020-07-15T13:21:06Z
<p>Petrescc: /* Telefonkosten 2 */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abschreibung===<br />
<br />
Zeitpunkt <math>t</math> (Beginn des Jahres) <math>t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow</math> Zeiträume: 7<br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:<math>x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}</math><math>\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166</math>mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132<br /><br />
zur Kontrolle:<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| Abschreibung (EUR)<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>t</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| im Jahre <math>t-1</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 1<br />
|align="right"| <math>50000,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="right"| 39340,00<br />
|-<br />
| 2<br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="right"| 8387,29<br />
|-<br />
| 3<br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="right"| 1788,17<br />
|-<br />
| 4<br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="right"| 381,24<br />
|-<br />
| 5<br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="right"| 81,28<br />
|-<br />
| 6<br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="right"| 17,32<br />
|-<br />
| 7<br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>1,00</math><br />
|align="right"| 3,70<br />
|}<br />
<br />
===Anzahl der Beschäftigten===<br />
<br />
* nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1987; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1988<br />
* Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.<br />
<br />
===Arbeitslosenquoten===<br />
<br />
Zeitpunkte <math>t=0,\ldots,T=3</math> <br />
<math>\sum_{t=0}^3t=6; <br />
\sum_{t=0}^4x_t=45,2;<br />
\sum_{t=0}^4tx_t=71,5;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14<br />
</math> <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
&=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\<br />
\hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bauhauptgewerbe===<br />
<br />
Jahresumsätze:<br /><br />
<math>x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700</math><br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:<math>i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391</math><br />
<br />
===Benutzer des Dial-In-Service===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=3</math><br /><br />
<math><br />
\sum_{t=0}^3t=6;<br />
\sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14</math><br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\<br />
\hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Bruttosozialprodukt von Deutschland===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t</math> mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 1980; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1981<br />
* <math>\widehat{x}_{89}</math> = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands<br />
<br />
===Eheschließungen===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=4</math><br /><br />
<math>\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30</math> <math>\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\<br />
\hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{align}</math><br />
<br />
===Eheschließungen und Ehescheidungen===<br />
[[Datei:Eheschliessungen_und_scheidungen.xlsx]]<br />
<br />
* Eheschließungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br /><br />
Ehescheidungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br />
* Eheschließungen: <math>s</math> = 4,17, <math>v</math> = 0,01135; <math>s</math> = 26,89, <math>v</math> = 0,06<br /><br />
Ehescheidungen: <math>s</math> = 6, <math>v</math> = 0,05; <math>s</math> = 17,98, <math>v</math> = 0,221<br />
* Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284<br /><br />
Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075<br />
<br />
===Gecrashte Festplatte===<br />
<br />
Zu bestimmen ist <math>\hat{y}_{43}^{ZRM}</math> anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:<br /><br />
<math>b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}</math>,<math>a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\hat{y}_{43}=a+b\cdot43</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3</math><br />
<br />
{|<br />
|align="right"| <math>a</math><br />
|align="right"| <math>-2,738462</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| <math>b</math><br />
|align="right"| 0,530769<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| keine<br />
|align="right"| additiv<br />
|align="right"| multiplikativ<br />
|-<br />
|align="right"| <math>R^2</math><br />
|align="right"| 0,80<br />
|align="right"| 0,81<br />
|align="right"| 0,48<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Haushalte eines Landes===<br />
<br />
<math>a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9</math><br /><br />
<math>b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9</math><br /><br />
===Hausschlachtungen von Schweinen===<br />
[[Datei:Hausschlachtung_von_schweinen.xlsx]]<br />
<br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br /><br />
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
<br />
===Haushalte eines Landes 2===<br />
<br />
<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br /><br />
<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br /><br />
<br />
<br />
===Indizes der Aktienkurse===<br />
<br />
* -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -<br /><br />
-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
<br />
===Maschinenzeitfondsauslastungen===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,1111 + 2,967<math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,766<math>\cdot</math>1,03722<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
* <math>R^2</math>(lin. Trend) = 0,9377;<br /><br />
<math>R^2</math>(exp. Trend) = 0,9214<br />
* 103,715 % (!, Interpretation)<br />
<br />
===Mikroprozessoren===<br />
[[Datei:Mikroprozessoren.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* Zeitreihe<br />
* <math>i_{G}</math> = 1,19<br />
* exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 92396,57<math>\cdot</math>1,1867<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1986<br />
* Basis <math>i_{G}</math>: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 311 542 Stück;<br /><br />
Basis exp. Trend: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 306216,26 Stück<br />
<br />
===Quartalsproduktion===<br />
<br />
Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;<br /><br />
Jahresproduktion: 10 000 000<br />
<br />
===Quartalsproduktion 2===<br />
<br />
Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;<br /><br />
Jahresproduktion: 13 744 066,875<br />
<br />
<br />
===Souvenirhändler===<br />
<br />
* –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 50<math>\cdot</math>2<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> Februar 1992; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> März 1992<br />
* <math>\widehat{x}_{Januar}</math> = 25; <math>\widehat{x}_{Juli}</math> = 1600<br />
<br />
===Speiseeis===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 138,44 + 9,67 <math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (140 + 10 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (60 + 20 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1986<br />
* 209 kg<br />
<br />
===Telefonkosten===<br />
<br />
<math>\hat{x}_t=a+bt</math>; Zeitcodierung: <math>t=0</math> 1990; <math>t=1</math> 1991;…<math>t=5</math> 1995<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 1545/50\\<br />
& = & 30,9\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 195/50\\<br />
& = & 3,9\end{align}</math><br />
<br />
<math>\hat{x}_t=30,9+3,9t</math><br />
<br />
===Telefonkosten 2===<br />
<br />
Begründung für Funktionsform:<br /><br />
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:<br /><br />
<math>\hat{x_t}=a+bt</math><br /><br />
Berechnungen:<br /><br />
Gegeben: <math>T=10</math>; <math>\sum x_t=28</math>; <math>b=0,125</math><br /><br />
'''Entweder:'''<br /><br />
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade <math>\rightarrow</math> Zeitcodierung:<br />
<br />
<math>t=0 \rightarrow</math> 1980<br />
<math>t=1 \rightarrow</math> 1981<br />
...<br />
<math>t=10 \rightarrow </math> 1991<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{align}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,1125+0,125t</math> mit <math>t=0 <math>\rightarrow</math> 1980<br />
=1980</math>, <math>t=1=1981</math><br /><br />
'''Oder:'''<br /><br />
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: <math>b=0,125/2=0,0625</math><br /><br />
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:<br /><br />
<math>t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990</math><br /><br />
<math>a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,8+0,0625t</math> mit <math>t=-1=1985;t=1=1986</math><br />
<br />
===Transportleistung===<br />
<br />
* Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}</math>, <math>\overline{s}_{1}</math> = 1,637; <math>\overline{s}_{2}</math> = -2,507; <math>\overline{s}_{3}</math> = -1,65; <math>\overline{s}_{4}</math> = 2,54;<br /><br />
mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
* <math>s</math> = 0,50<br />
* 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10<math>^{3}</math>tkm<br />
<br />
===Trendfunktion===<br />
<br />
* 2740,047 Mio. Personen<br />
<br />
===Wachstum des Bruttoinlandsprodukts===<br />
<br />
Geometrisches Mittel:<math>i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%</math><br />
<br />
===Warenausfuhr===<br />
<br />
* <math>i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}}</math> = 1,0662<br />
* <math>x_{92}</math> = 84,391 Mrd. EUR<br />
* <math>T = </math>4,65; also im Jahre 1995</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zeitreihen/L%C3%B6sungen&diff=2329
Zeitreihen/Lösungen
2020-07-15T13:20:53Z
<p>Petrescc: /* Telefonkosten */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abschreibung===<br />
<br />
Zeitpunkt <math>t</math> (Beginn des Jahres) <math>t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow</math> Zeiträume: 7<br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:<math>x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}</math><math>\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166</math>mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132<br /><br />
zur Kontrolle:<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| Abschreibung (EUR)<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>t</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| im Jahre <math>t-1</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 1<br />
|align="right"| <math>50000,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="right"| 39340,00<br />
|-<br />
| 2<br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="right"| 8387,29<br />
|-<br />
| 3<br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="right"| 1788,17<br />
|-<br />
| 4<br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="right"| 381,24<br />
|-<br />
| 5<br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="right"| 81,28<br />
|-<br />
| 6<br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="right"| 17,32<br />
|-<br />
| 7<br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>1,00</math><br />
|align="right"| 3,70<br />
|}<br />
<br />
===Anzahl der Beschäftigten===<br />
<br />
* nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1987; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1988<br />
* Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.<br />
<br />
===Arbeitslosenquoten===<br />
<br />
Zeitpunkte <math>t=0,\ldots,T=3</math> <br />
<math>\sum_{t=0}^3t=6; <br />
\sum_{t=0}^4x_t=45,2;<br />
\sum_{t=0}^4tx_t=71,5;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14<br />
</math> <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
&=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\<br />
\hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bauhauptgewerbe===<br />
<br />
Jahresumsätze:<br /><br />
<math>x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700</math><br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:<math>i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391</math><br />
<br />
===Benutzer des Dial-In-Service===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=3</math><br /><br />
<math><br />
\sum_{t=0}^3t=6;<br />
\sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14</math><br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\<br />
\hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Bruttosozialprodukt von Deutschland===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t</math> mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 1980; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1981<br />
* <math>\widehat{x}_{89}</math> = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands<br />
<br />
===Eheschließungen===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=4</math><br /><br />
<math>\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30</math> <math>\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\<br />
\hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{align}</math><br />
<br />
===Eheschließungen und Ehescheidungen===<br />
[[Datei:Eheschliessungen_und_scheidungen.xlsx]]<br />
<br />
* Eheschließungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br /><br />
Ehescheidungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br />
* Eheschließungen: <math>s</math> = 4,17, <math>v</math> = 0,01135; <math>s</math> = 26,89, <math>v</math> = 0,06<br /><br />
Ehescheidungen: <math>s</math> = 6, <math>v</math> = 0,05; <math>s</math> = 17,98, <math>v</math> = 0,221<br />
* Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284<br /><br />
Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075<br />
<br />
===Gecrashte Festplatte===<br />
<br />
Zu bestimmen ist <math>\hat{y}_{43}^{ZRM}</math> anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:<br /><br />
<math>b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}</math>,<math>a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\hat{y}_{43}=a+b\cdot43</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3</math><br />
<br />
{|<br />
|align="right"| <math>a</math><br />
|align="right"| <math>-2,738462</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| <math>b</math><br />
|align="right"| 0,530769<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| keine<br />
|align="right"| additiv<br />
|align="right"| multiplikativ<br />
|-<br />
|align="right"| <math>R^2</math><br />
|align="right"| 0,80<br />
|align="right"| 0,81<br />
|align="right"| 0,48<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Haushalte eines Landes===<br />
<br />
<math>a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9</math><br /><br />
<math>b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9</math><br /><br />
===Hausschlachtungen von Schweinen===<br />
[[Datei:Hausschlachtung_von_schweinen.xlsx]]<br />
<br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br /><br />
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
<br />
===Haushalte eines Landes 2===<br />
<br />
<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br /><br />
<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br /><br />
<br />
<br />
===Indizes der Aktienkurse===<br />
<br />
* -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -<br /><br />
-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
<br />
===Maschinenzeitfondsauslastungen===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,1111 + 2,967<math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,766<math>\cdot</math>1,03722<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
* <math>R^2</math>(lin. Trend) = 0,9377;<br /><br />
<math>R^2</math>(exp. Trend) = 0,9214<br />
* 103,715 % (!, Interpretation)<br />
<br />
===Mikroprozessoren===<br />
[[Datei:Mikroprozessoren.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* Zeitreihe<br />
* <math>i_{G}</math> = 1,19<br />
* exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 92396,57<math>\cdot</math>1,1867<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1986<br />
* Basis <math>i_{G}</math>: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 311 542 Stück;<br /><br />
Basis exp. Trend: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 306216,26 Stück<br />
<br />
===Quartalsproduktion===<br />
<br />
Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;<br /><br />
Jahresproduktion: 10 000 000<br />
<br />
===Quartalsproduktion 2===<br />
<br />
Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;<br /><br />
Jahresproduktion: 13 744 066,875<br />
<br />
<br />
===Souvenirhändler===<br />
<br />
* –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 50<math>\cdot</math>2<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> Februar 1992; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> März 1992<br />
* <math>\widehat{x}_{Januar}</math> = 25; <math>\widehat{x}_{Juli}</math> = 1600<br />
<br />
===Speiseeis===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 138,44 + 9,67 <math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (140 + 10 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (60 + 20 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1986<br />
* 209 kg<br />
<br />
===Telefonkosten===<br />
<br />
<math>\hat{x}_t=a+bt</math>; Zeitcodierung: <math>t=0</math> 1990; <math>t=1</math> 1991;…<math>t=5</math> 1995<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 1545/50\\<br />
& = & 30,9\end{align}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 195/50\\<br />
& = & 3,9\end{align}</math><br />
<br />
<math>\hat{x}_t=30,9+3,9t</math><br />
<br />
===Telefonkosten 2===<br />
<br />
Begründung für Funktionsform:<br /><br />
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:<br /><br />
<math>\hat{x_t}=a+bt</math><br /><br />
Berechnungen:<br /><br />
Gegeben: <math>T=10</math>; <math>\sum x_t=28</math>; <math>b=0,125</math><br /><br />
'''Entweder:'''<br /><br />
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade <math>\rightarrow</math> Zeitcodierung:<br />
<br />
<math>t=0 \rightarrow</math> 1980<br />
<math>t=1 \rightarrow</math> 1981<br />
...<br />
<math>t=10 \rightarrow </math> 1991<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{aligned}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,1125+0,125t</math> mit <math>t=0 <math>\rightarrow</math> 1980<br />
=1980</math>, <math>t=1=1981</math><br /><br />
'''Oder:'''<br /><br />
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: <math>b=0,125/2=0,0625</math><br /><br />
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:<br /><br />
<math>t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990</math><br /><br />
<math>a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,8+0,0625t</math> mit <math>t=-1=1985;t=1=1986</math><br />
<br />
<br />
<br />
===Transportleistung===<br />
<br />
* Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}</math>, <math>\overline{s}_{1}</math> = 1,637; <math>\overline{s}_{2}</math> = -2,507; <math>\overline{s}_{3}</math> = -1,65; <math>\overline{s}_{4}</math> = 2,54;<br /><br />
mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
* <math>s</math> = 0,50<br />
* 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10<math>^{3}</math>tkm<br />
<br />
===Trendfunktion===<br />
<br />
* 2740,047 Mio. Personen<br />
<br />
===Wachstum des Bruttoinlandsprodukts===<br />
<br />
Geometrisches Mittel:<math>i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%</math><br />
<br />
===Warenausfuhr===<br />
<br />
* <math>i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}}</math> = 1,0662<br />
* <math>x_{92}</math> = 84,391 Mrd. EUR<br />
* <math>T = </math>4,65; also im Jahre 1995</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zeitreihen/L%C3%B6sungen&diff=2328
Zeitreihen/Lösungen
2020-07-15T13:20:36Z
<p>Petrescc: /* Eheschließungen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abschreibung===<br />
<br />
Zeitpunkt <math>t</math> (Beginn des Jahres) <math>t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow</math> Zeiträume: 7<br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:<math>x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}</math><math>\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166</math>mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132<br /><br />
zur Kontrolle:<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| Abschreibung (EUR)<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>t</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| im Jahre <math>t-1</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 1<br />
|align="right"| <math>50000,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="right"| 39340,00<br />
|-<br />
| 2<br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="right"| 8387,29<br />
|-<br />
| 3<br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="right"| 1788,17<br />
|-<br />
| 4<br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="right"| 381,24<br />
|-<br />
| 5<br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="right"| 81,28<br />
|-<br />
| 6<br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="right"| 17,32<br />
|-<br />
| 7<br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>1,00</math><br />
|align="right"| 3,70<br />
|}<br />
<br />
===Anzahl der Beschäftigten===<br />
<br />
* nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1987; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1988<br />
* Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.<br />
<br />
===Arbeitslosenquoten===<br />
<br />
Zeitpunkte <math>t=0,\ldots,T=3</math> <br />
<math>\sum_{t=0}^3t=6; <br />
\sum_{t=0}^4x_t=45,2;<br />
\sum_{t=0}^4tx_t=71,5;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14<br />
</math> <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
&=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\<br />
\hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bauhauptgewerbe===<br />
<br />
Jahresumsätze:<br /><br />
<math>x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700</math><br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:<math>i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391</math><br />
<br />
===Benutzer des Dial-In-Service===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=3</math><br /><br />
<math><br />
\sum_{t=0}^3t=6;<br />
\sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14</math><br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\<br />
\hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Bruttosozialprodukt von Deutschland===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t</math> mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 1980; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1981<br />
* <math>\widehat{x}_{89}</math> = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands<br />
<br />
===Eheschließungen===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=4</math><br /><br />
<math>\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30</math> <math>\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\<br />
\hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{align}</math><br />
<br />
===Eheschließungen und Ehescheidungen===<br />
[[Datei:Eheschliessungen_und_scheidungen.xlsx]]<br />
<br />
* Eheschließungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br /><br />
Ehescheidungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br />
* Eheschließungen: <math>s</math> = 4,17, <math>v</math> = 0,01135; <math>s</math> = 26,89, <math>v</math> = 0,06<br /><br />
Ehescheidungen: <math>s</math> = 6, <math>v</math> = 0,05; <math>s</math> = 17,98, <math>v</math> = 0,221<br />
* Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284<br /><br />
Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075<br />
<br />
===Gecrashte Festplatte===<br />
<br />
Zu bestimmen ist <math>\hat{y}_{43}^{ZRM}</math> anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:<br /><br />
<math>b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}</math>,<math>a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\hat{y}_{43}=a+b\cdot43</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3</math><br />
<br />
{|<br />
|align="right"| <math>a</math><br />
|align="right"| <math>-2,738462</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| <math>b</math><br />
|align="right"| 0,530769<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| keine<br />
|align="right"| additiv<br />
|align="right"| multiplikativ<br />
|-<br />
|align="right"| <math>R^2</math><br />
|align="right"| 0,80<br />
|align="right"| 0,81<br />
|align="right"| 0,48<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Haushalte eines Landes===<br />
<br />
<math>a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9</math><br /><br />
<math>b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9</math><br /><br />
===Hausschlachtungen von Schweinen===<br />
[[Datei:Hausschlachtung_von_schweinen.xlsx]]<br />
<br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br /><br />
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
<br />
===Haushalte eines Landes 2===<br />
<br />
<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br /><br />
<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br /><br />
<br />
<br />
===Indizes der Aktienkurse===<br />
<br />
* -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -<br /><br />
-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
<br />
===Maschinenzeitfondsauslastungen===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,1111 + 2,967<math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,766<math>\cdot</math>1,03722<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
* <math>R^2</math>(lin. Trend) = 0,9377;<br /><br />
<math>R^2</math>(exp. Trend) = 0,9214<br />
* 103,715 % (!, Interpretation)<br />
<br />
===Mikroprozessoren===<br />
[[Datei:Mikroprozessoren.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* Zeitreihe<br />
* <math>i_{G}</math> = 1,19<br />
* exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 92396,57<math>\cdot</math>1,1867<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1986<br />
* Basis <math>i_{G}</math>: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 311 542 Stück;<br /><br />
Basis exp. Trend: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 306216,26 Stück<br />
<br />
===Quartalsproduktion===<br />
<br />
Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;<br /><br />
Jahresproduktion: 10 000 000<br />
<br />
===Quartalsproduktion 2===<br />
<br />
Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;<br /><br />
Jahresproduktion: 13 744 066,875<br />
<br />
<br />
===Souvenirhändler===<br />
<br />
* –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 50<math>\cdot</math>2<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> Februar 1992; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> März 1992<br />
* <math>\widehat{x}_{Januar}</math> = 25; <math>\widehat{x}_{Juli}</math> = 1600<br />
<br />
===Speiseeis===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 138,44 + 9,67 <math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (140 + 10 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (60 + 20 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1986<br />
* 209 kg<br />
<br />
===Telefonkosten===<br />
<br />
<math>\hat{x}_t=a+bt</math>; Zeitcodierung: <math>t=0</math> 1990; <math>t=1</math> 1991;…<math>t=5</math> 1995<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 1545/50\\<br />
& = & 30,9\end{aligned}</math><br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 195/50\\<br />
& = & 3,9\end{aligned}</math><br />
<br />
<math>\hat{x}_t=30,9+3,9t</math><br />
<br />
===Telefonkosten 2===<br />
<br />
Begründung für Funktionsform:<br /><br />
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:<br /><br />
<math>\hat{x_t}=a+bt</math><br /><br />
Berechnungen:<br /><br />
Gegeben: <math>T=10</math>; <math>\sum x_t=28</math>; <math>b=0,125</math><br /><br />
'''Entweder:'''<br /><br />
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade <math>\rightarrow</math> Zeitcodierung:<br />
<br />
<math>t=0 \rightarrow</math> 1980<br />
<math>t=1 \rightarrow</math> 1981<br />
...<br />
<math>t=10 \rightarrow </math> 1991<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{aligned}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,1125+0,125t</math> mit <math>t=0 <math>\rightarrow</math> 1980<br />
=1980</math>, <math>t=1=1981</math><br /><br />
'''Oder:'''<br /><br />
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: <math>b=0,125/2=0,0625</math><br /><br />
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:<br /><br />
<math>t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990</math><br /><br />
<math>a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,8+0,0625t</math> mit <math>t=-1=1985;t=1=1986</math><br />
<br />
<br />
<br />
===Transportleistung===<br />
<br />
* Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}</math>, <math>\overline{s}_{1}</math> = 1,637; <math>\overline{s}_{2}</math> = -2,507; <math>\overline{s}_{3}</math> = -1,65; <math>\overline{s}_{4}</math> = 2,54;<br /><br />
mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
* <math>s</math> = 0,50<br />
* 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10<math>^{3}</math>tkm<br />
<br />
===Trendfunktion===<br />
<br />
* 2740,047 Mio. Personen<br />
<br />
===Wachstum des Bruttoinlandsprodukts===<br />
<br />
Geometrisches Mittel:<math>i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%</math><br />
<br />
===Warenausfuhr===<br />
<br />
* <math>i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}}</math> = 1,0662<br />
* <math>x_{92}</math> = 84,391 Mrd. EUR<br />
* <math>T = </math>4,65; also im Jahre 1995</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zeitreihen/L%C3%B6sungen&diff=2327
Zeitreihen/Lösungen
2020-07-15T13:20:25Z
<p>Petrescc: /* Benutzer des Dial-In-Service */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abschreibung===<br />
<br />
Zeitpunkt <math>t</math> (Beginn des Jahres) <math>t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow</math> Zeiträume: 7<br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:<math>x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}</math><math>\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166</math>mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132<br /><br />
zur Kontrolle:<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| Abschreibung (EUR)<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>t</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| im Jahre <math>t-1</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 1<br />
|align="right"| <math>50000,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="right"| 39340,00<br />
|-<br />
| 2<br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="right"| 8387,29<br />
|-<br />
| 3<br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="right"| 1788,17<br />
|-<br />
| 4<br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="right"| 381,24<br />
|-<br />
| 5<br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="right"| 81,28<br />
|-<br />
| 6<br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="right"| 17,32<br />
|-<br />
| 7<br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>1,00</math><br />
|align="right"| 3,70<br />
|}<br />
<br />
===Anzahl der Beschäftigten===<br />
<br />
* nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1987; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1988<br />
* Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.<br />
<br />
===Arbeitslosenquoten===<br />
<br />
Zeitpunkte <math>t=0,\ldots,T=3</math> <br />
<math>\sum_{t=0}^3t=6; <br />
\sum_{t=0}^4x_t=45,2;<br />
\sum_{t=0}^4tx_t=71,5;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14<br />
</math> <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
&=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\<br />
\hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bauhauptgewerbe===<br />
<br />
Jahresumsätze:<br /><br />
<math>x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700</math><br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:<math>i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391</math><br />
<br />
===Benutzer des Dial-In-Service===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=3</math><br /><br />
<math><br />
\sum_{t=0}^3t=6;<br />
\sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14</math><br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\<br />
\hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Bruttosozialprodukt von Deutschland===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t</math> mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 1980; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1981<br />
* <math>\widehat{x}_{89}</math> = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands<br />
<br />
===Eheschließungen===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=4</math><br /><br />
<math>\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30</math> <math>\begin{aligned}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\<br />
\hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{aligned}</math><br />
<br />
===Eheschließungen und Ehescheidungen===<br />
[[Datei:Eheschliessungen_und_scheidungen.xlsx]]<br />
<br />
* Eheschließungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br /><br />
Ehescheidungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br />
* Eheschließungen: <math>s</math> = 4,17, <math>v</math> = 0,01135; <math>s</math> = 26,89, <math>v</math> = 0,06<br /><br />
Ehescheidungen: <math>s</math> = 6, <math>v</math> = 0,05; <math>s</math> = 17,98, <math>v</math> = 0,221<br />
* Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284<br /><br />
Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075<br />
<br />
===Gecrashte Festplatte===<br />
<br />
Zu bestimmen ist <math>\hat{y}_{43}^{ZRM}</math> anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:<br /><br />
<math>b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}</math>,<math>a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\hat{y}_{43}=a+b\cdot43</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3</math><br />
<br />
{|<br />
|align="right"| <math>a</math><br />
|align="right"| <math>-2,738462</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| <math>b</math><br />
|align="right"| 0,530769<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| keine<br />
|align="right"| additiv<br />
|align="right"| multiplikativ<br />
|-<br />
|align="right"| <math>R^2</math><br />
|align="right"| 0,80<br />
|align="right"| 0,81<br />
|align="right"| 0,48<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Haushalte eines Landes===<br />
<br />
<math>a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9</math><br /><br />
<math>b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9</math><br /><br />
===Hausschlachtungen von Schweinen===<br />
[[Datei:Hausschlachtung_von_schweinen.xlsx]]<br />
<br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br /><br />
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
<br />
===Haushalte eines Landes 2===<br />
<br />
<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br /><br />
<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br /><br />
<br />
<br />
===Indizes der Aktienkurse===<br />
<br />
* -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -<br /><br />
-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
<br />
===Maschinenzeitfondsauslastungen===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,1111 + 2,967<math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,766<math>\cdot</math>1,03722<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
* <math>R^2</math>(lin. Trend) = 0,9377;<br /><br />
<math>R^2</math>(exp. Trend) = 0,9214<br />
* 103,715 % (!, Interpretation)<br />
<br />
===Mikroprozessoren===<br />
[[Datei:Mikroprozessoren.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* Zeitreihe<br />
* <math>i_{G}</math> = 1,19<br />
* exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 92396,57<math>\cdot</math>1,1867<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1986<br />
* Basis <math>i_{G}</math>: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 311 542 Stück;<br /><br />
Basis exp. Trend: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 306216,26 Stück<br />
<br />
===Quartalsproduktion===<br />
<br />
Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;<br /><br />
Jahresproduktion: 10 000 000<br />
<br />
===Quartalsproduktion 2===<br />
<br />
Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;<br /><br />
Jahresproduktion: 13 744 066,875<br />
<br />
<br />
===Souvenirhändler===<br />
<br />
* –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 50<math>\cdot</math>2<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> Februar 1992; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> März 1992<br />
* <math>\widehat{x}_{Januar}</math> = 25; <math>\widehat{x}_{Juli}</math> = 1600<br />
<br />
===Speiseeis===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 138,44 + 9,67 <math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (140 + 10 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (60 + 20 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1986<br />
* 209 kg<br />
<br />
===Telefonkosten===<br />
<br />
<math>\hat{x}_t=a+bt</math>; Zeitcodierung: <math>t=0</math> 1990; <math>t=1</math> 1991;…<math>t=5</math> 1995<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 1545/50\\<br />
& = & 30,9\end{aligned}</math><br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 195/50\\<br />
& = & 3,9\end{aligned}</math><br />
<br />
<math>\hat{x}_t=30,9+3,9t</math><br />
<br />
===Telefonkosten 2===<br />
<br />
Begründung für Funktionsform:<br /><br />
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:<br /><br />
<math>\hat{x_t}=a+bt</math><br /><br />
Berechnungen:<br /><br />
Gegeben: <math>T=10</math>; <math>\sum x_t=28</math>; <math>b=0,125</math><br /><br />
'''Entweder:'''<br /><br />
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade <math>\rightarrow</math> Zeitcodierung:<br />
<br />
<math>t=0 \rightarrow</math> 1980<br />
<math>t=1 \rightarrow</math> 1981<br />
...<br />
<math>t=10 \rightarrow </math> 1991<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{aligned}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,1125+0,125t</math> mit <math>t=0 <math>\rightarrow</math> 1980<br />
=1980</math>, <math>t=1=1981</math><br /><br />
'''Oder:'''<br /><br />
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: <math>b=0,125/2=0,0625</math><br /><br />
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:<br /><br />
<math>t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990</math><br /><br />
<math>a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,8+0,0625t</math> mit <math>t=-1=1985;t=1=1986</math><br />
<br />
<br />
<br />
===Transportleistung===<br />
<br />
* Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}</math>, <math>\overline{s}_{1}</math> = 1,637; <math>\overline{s}_{2}</math> = -2,507; <math>\overline{s}_{3}</math> = -1,65; <math>\overline{s}_{4}</math> = 2,54;<br /><br />
mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
* <math>s</math> = 0,50<br />
* 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10<math>^{3}</math>tkm<br />
<br />
===Trendfunktion===<br />
<br />
* 2740,047 Mio. Personen<br />
<br />
===Wachstum des Bruttoinlandsprodukts===<br />
<br />
Geometrisches Mittel:<math>i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%</math><br />
<br />
===Warenausfuhr===<br />
<br />
* <math>i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}}</math> = 1,0662<br />
* <math>x_{92}</math> = 84,391 Mrd. EUR<br />
* <math>T = </math>4,65; also im Jahre 1995</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Zeitreihen/L%C3%B6sungen&diff=2326
Zeitreihen/Lösungen
2020-07-15T13:20:14Z
<p>Petrescc: /* Arbeitslosenquoten */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abschreibung===<br />
<br />
Zeitpunkt <math>t</math> (Beginn des Jahres) <math>t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow</math> Zeiträume: 7<br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:<math>x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}</math><math>\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166</math>mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132<br /><br />
zur Kontrolle:<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| Abschreibung (EUR)<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>t</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"| im Jahre <math>t-1</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| 1<br />
|align="right"| <math>50000,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="right"| 39340,00<br />
|-<br />
| 2<br />
|align="right"| <math>10660,00</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="right"| 8387,29<br />
|-<br />
| 3<br />
|align="right"| <math>2272,71</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="right"| 1788,17<br />
|-<br />
| 4<br />
|align="right"| <math>484,54</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="right"| 381,24<br />
|-<br />
| 5<br />
|align="right"| <math>103,30</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="right"| 81,28<br />
|-<br />
| 6<br />
|align="right"| <math>22,02</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="right"| 17,32<br />
|-<br />
| 7<br />
|align="right"| <math>4,70</math><br />
|align="center"| <math>\cdot0,2132=</math><br />
|align="right"| <math>1,00</math><br />
|align="right"| 3,70<br />
|}<br />
<br />
===Anzahl der Beschäftigten===<br />
<br />
* nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1987; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1988<br />
* Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.<br />
<br />
===Arbeitslosenquoten===<br />
<br />
Zeitpunkte <math>t=0,\ldots,T=3</math> <br />
<math>\sum_{t=0}^3t=6; <br />
\sum_{t=0}^4x_t=45,2;<br />
\sum_{t=0}^4tx_t=71,5;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14<br />
</math> <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
&=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\<br />
\hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bauhauptgewerbe===<br />
<br />
Jahresumsätze:<br /><br />
<math>x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700</math><br /><br />
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:<math>i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391</math><br />
<br />
===Benutzer des Dial-In-Service===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=3</math><br /><br />
<math><br />
\sum_{t=0}^3t=6;<br />
\sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734;<br />
\sum_{t=0}^4t^2=14</math><br /><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\<br />
\hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Bruttosozialprodukt von Deutschland===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t</math> mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 1980; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1981<br />
* <math>\widehat{x}_{89}</math> = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands<br />
<br />
===Eheschließungen===<br />
<br />
<math>t=0,\ldots,T=4</math><br /><br />
<math>\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30</math> <math>\begin{aligned}<br />
b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\<br />
a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\<br />
\hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{aligned}</math><br />
<br />
===Eheschließungen und Ehescheidungen===<br />
[[Datei:Eheschliessungen_und_scheidungen.xlsx]]<br />
<br />
* Eheschließungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br /><br />
Ehescheidungen:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1983; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1984<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t</math> mit <math>t = -1</math> <math>\widehat{=}</math> 1965; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1970<br />
* Eheschließungen: <math>s</math> = 4,17, <math>v</math> = 0,01135; <math>s</math> = 26,89, <math>v</math> = 0,06<br /><br />
Ehescheidungen: <math>s</math> = 6, <math>v</math> = 0,05; <math>s</math> = 17,98, <math>v</math> = 0,221<br />
* Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284<br /><br />
Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075<br />
<br />
===Gecrashte Festplatte===<br />
<br />
Zu bestimmen ist <math>\hat{y}_{43}^{ZRM}</math> anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:<br /><br />
<math>b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}</math>,<math>a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\hat{y}_{43}=a+b\cdot43</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3</math>, bzw. <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3</math><br />
<br />
{|<br />
|align="right"| <math>a</math><br />
|align="right"| <math>-2,738462</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| <math>b</math><br />
|align="right"| 0,530769<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| keine<br />
|align="right"| additiv<br />
|align="right"| multiplikativ<br />
|-<br />
|align="right"| <math>R^2</math><br />
|align="right"| 0,80<br />
|align="right"| 0,81<br />
|align="right"| 0,48<br />
|-<br />
|align="right"| <math>\hat{y}^{ZRM}_{43}</math><br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
===Haushalte eines Landes===<br />
<br />
<math>a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9</math><br /><br />
<math>b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9</math><br /><br />
===Hausschlachtungen von Schweinen===<br />
[[Datei:Hausschlachtung_von_schweinen.xlsx]]<br />
<br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br /><br />
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
<br />
===Haushalte eines Landes 2===<br />
<br />
<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br /><br />
<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br /><br />
<br />
<br />
===Indizes der Aktienkurse===<br />
<br />
* -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -<br /><br />
-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -<br />
* <math>\widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
<br />
===Maschinenzeitfondsauslastungen===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,1111 + 2,967<math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 68,766<math>\cdot</math>1,03722<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 0.Monat; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Monat<br />
* <math>R^2</math>(lin. Trend) = 0,9377;<br /><br />
<math>R^2</math>(exp. Trend) = 0,9214<br />
* 103,715 % (!, Interpretation)<br />
<br />
===Mikroprozessoren===<br />
[[Datei:Mikroprozessoren.xlsx]]<br />
<br />
<br />
* Zeitreihe<br />
* <math>i_{G}</math> = 1,19<br />
* exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t}</math> = 92396,57<math>\cdot</math>1,1867<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1986<br />
* Basis <math>i_{G}</math>: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 311 542 Stück;<br /><br />
Basis exp. Trend: <math>\widehat{x}_{92}</math> = 306216,26 Stück<br />
<br />
===Quartalsproduktion===<br />
<br />
Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;<br /><br />
Jahresproduktion: 10 000 000<br />
<br />
===Quartalsproduktion 2===<br />
<br />
Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;<br /><br />
Jahresproduktion: 13 744 066,875<br />
<br />
<br />
===Souvenirhändler===<br />
<br />
* –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 50<math>\cdot</math>2<math>^{t}</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> Februar 1992; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> März 1992<br />
* <math>\widehat{x}_{Januar}</math> = 25; <math>\widehat{x}_{Juli}</math> = 1600<br />
<br />
===Speiseeis===<br />
<br />
* <math>\widehat{x}_{t}</math> = 138,44 + 9,67 <math>t</math> mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (140 + 10 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1989; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.7.1989<br />
* <math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (60 + 20 <math>t</math>)<math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 0,9; <math>\overline{s}_{2}</math> = 1,1 mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1985; <math>t = 1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.1.1986<br />
* 209 kg<br />
<br />
===Telefonkosten===<br />
<br />
<math>\hat{x}_t=a+bt</math>; Zeitcodierung: <math>t=0</math> 1990; <math>t=1</math> 1991;…<math>t=5</math> 1995<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 1545/50\\<br />
& = & 30,9\end{aligned}</math><br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\<br />
& = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\<br />
& = & 195/50\\<br />
& = & 3,9\end{aligned}</math><br />
<br />
<math>\hat{x}_t=30,9+3,9t</math><br />
<br />
===Telefonkosten 2===<br />
<br />
Begründung für Funktionsform:<br /><br />
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:<br /><br />
<math>\hat{x_t}=a+bt</math><br /><br />
Berechnungen:<br /><br />
Gegeben: <math>T=10</math>; <math>\sum x_t=28</math>; <math>b=0,125</math><br /><br />
'''Entweder:'''<br /><br />
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade <math>\rightarrow</math> Zeitcodierung:<br />
<br />
<math>t=0 \rightarrow</math> 1980<br />
<math>t=1 \rightarrow</math> 1981<br />
...<br />
<math>t=10 \rightarrow </math> 1991<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{aligned}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,1125+0,125t</math> mit <math>t=0 <math>\rightarrow</math> 1980<br />
=1980</math>, <math>t=1=1981</math><br /><br />
'''Oder:'''<br /><br />
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: <math>b=0,125/2=0,0625</math><br /><br />
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:<br /><br />
<math>t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990</math><br /><br />
<math>a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}</math><br /><br />
Trendfunktion:<br /><br />
<math>x_t=2,8+0,0625t</math> mit <math>t=-1=1985;t=1=1986</math><br />
<br />
<br />
<br />
===Transportleistung===<br />
<br />
* Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:<br /><br />
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}</math>, <math>\overline{s}_{1}</math> = 1,637; <math>\overline{s}_{2}</math> = -2,507; <math>\overline{s}_{3}</math> = -1,65; <math>\overline{s}_{4}</math> = 2,54;<br /><br />
mit <math>t = 0</math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990<br />
* <math>s</math> = 0,50<br />
* 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10<math>^{3}</math>tkm<br />
<br />
===Trendfunktion===<br />
<br />
* 2740,047 Mio. Personen<br />
<br />
===Wachstum des Bruttoinlandsprodukts===<br />
<br />
Geometrisches Mittel:<math>i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%</math><br />
<br />
===Warenausfuhr===<br />
<br />
* <math>i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}}</math> = 1,0662<br />
* <math>x_{92}</math> = 84,391 Mrd. EUR<br />
* <math>T = </math>4,65; also im Jahre 1995</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Wahrscheinlichkeitsrechnung/L%C3%B6sungen&diff=2325
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen
2020-07-15T13:19:46Z
<p>Petrescc: /* Gangsterbande */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===15 Cent===<br />
<br />
* <math>A = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}<br /><br />
<math> P(A) = 3/8</math><br />
* <math>B = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}<br /><br />
<math>P(B) = 0,333</math><br />
<br />
===1950–2000===<br />
<br />
<math>E_{0}</math> = {keine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
<math>E_{1}</math> = {eine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
…<br /><br />
<math>E_{10}</math> = {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}<br /><br />
<math>A = E_{2}</math>, <math>B_{1} = \{E_{2}, E_{3},\ldots, E_{10}\}</math>, <math>B_{2} = E_{1}</math><br /><br />
<math>A \cap B_{2} = \emptyset</math> und <math>B_{1} \cap B_{2} = \emptyset</math><br /><br />
===Altbauwohnung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Wir betrachten die Ereignisse:</p><br />
<ul><br />
<li><p>F: Wasserzufuhr friert ein</p></li><br />
<li><p>S: Strom fällt aus</p></li><br />
<li><p>W: Es ist Winterzeit.</p></li></ul><br />
<br />
<p>Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:</p><br />
<ol><br />
<li><p>''Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.'' <math>P(F\cap S|W) = P(F|W)\cdot P(S|W) \mbox{ und } P(F\cap S|\overline{W}) = P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W})</math></p></li><br />
<li><p>''So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.'' <math>P(F|W) = 0,8 \mbox{ und } P(F|\overline{W}) = 0</math></p></li><br />
<li><p>''Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.'' <math>P(S|\overline{W}) = 0,4 \mbox{ und } P(\overline{S}|W) = 0,4</math></p></li><br />
<li><p>''Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.'' <math>P(W) = 0,3</math></p></li></ol><br />
</li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F)</math>. Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(F) &= P(F\cap W) + P(F\cap\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)P(W)+P(F|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,8 \cdot 0,3 +0 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,24. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(S)</math>. Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit <math>\begin{align}<br />
P(S) &= P(S\cap W) + P(S\cap\overline{W})\\<br />
&= P(S|W)P(W)+P(S|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,46. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F\cap S)</math>: <math>\begin{align}<br />
P(F\cap S) &=P(F\cap S|W) P(W)+ P(F\cap S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)\cdot P(S|W)\cdot P(W) + P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&=0,8\cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,6 \cdot 0,7\\<br />
&=0,144 \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(F|S)</math>. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen: <math>\begin{align}<br />
P(F|S)&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,46}\approx 0,313.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S|F)</math>. Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P(S|F)]&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,24}=0,6.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S\cup F)</math>. Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben <math>\begin{align}<br />
P(S\cup F) &= P(S)+P(F)-P(S\cap F)\\<br />
&=0,24+0,46-0,144 \\<br />
&=0,556.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline{S\cap F})</math>. Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten <math>\begin{align}<br />
P(\overline{S\cap F}) &=1-P(S\cap F)\\<br />
&=1-0,144 \\<br />
&=0,856. \end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Alter===<br />
<br />
<math>A = </math>{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; <math>P(A) = 0,82277</math><br /><br />
<math>B = </math>{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; <math>P(B) = 0,37977</math><br /><br />
<math>P(B|A) = 0,4616</math>; (<math>B \subset A</math> !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit<br /><br />
===Angler===<br />
<br />
<math>A_{i}</math> = {Angeln am See i}; <math>i = 1,2,3</math>; <math>P(A_{i}) = 1/3</math><br /><br />
<math>B = </math>{Angler hat etwas gefangen}; <math>P(B|A_{1}) = 2/3</math>; <math>P(B|A_{2}) = 3/4</math>;<br /><br />
<math>P(B|A_{3}) = 4/5 \rightarrow P(B) = 133/180</math>; Formel für totale Wahrscheinlichkeit<br /><br />
<math>P(A_{2}|B) = 0,3383</math>; Satz von Bayes<br /><br />
===Antriebswellen===<br />
<br />
* Für die Überprüfung der <math>i</math>-ten Welle, mit <math>i=1,\dots,10000</math>, bezeichne <br />
<math>x_i = {\left \{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{falls Welle i kein Ausschuss} \\<br />
1 & \text{falls Welle i Ausschuss}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
das Ergebnis des <math>i</math>-ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch <math>\begin{align}<br />
S=\{0,1\}<br />
\end{align}</math> mit den Elementarereignissen <math>\begin{align}<br />
\{0\} &= \text{``Kein Ausschuss wird produziert''}, \\<br />
\{1\} &= \text{``Ausschuss wird produziert''}.<br />
\end{align}</math> Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten <math>h</math> die relativen Häufigkeiten <math>\hat{f}</math> für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
h(0) &= \sum\limits_{i=1}^{10000}I(x_i = 0 ) = 4500 + 5200 = 9700, \\<br />
h(1) &= 10000 - h(0) = 300, \text{da alle } x_i \text{ binär} \\<br />
\hat{f}(0) &= \frac{h(0)}{10000} = 0.97 \approx P(\{0\}), \\<br />
\hat{f}(1) &= \frac{h(1)}{10000} = 0.03 \approx P(\{1\}) = P(\text{Ausschuss wird produziert}).<br />
\end{align}</math><br />
* Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: <math>\begin{align}<br />
P(\{0\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(0),\\<br />
P(\{1\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(1),<br />
\end{align}</math> wobei <math>\hat{f}_{n}</math> die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> angibt. Da hier <math>n=10000</math> relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.<br />
<br />
===Aufzug===<br />
<br />
* Ergebnisse: <math>(i,j,k)</math> mit Person 1 steigt in Etage <math>i</math> aus, Person 2 in Etage <math>j</math> und Person 3 in Etage <math>k</math><br />
* Elementarereignisse: <math>\{(i,j,k)\}</math> mit <math>2\leq i,j,k \leq 7</math><br />
* Ereignisraum: <math>S=\{(2,2,2), (2,2,3), \ldots, (7,7,7)\}</math><br />
* Anzahl der Elementarereignisse: <math>6\cdot6\cdot6=216</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V^W(6;3)=6^3=216</math><br />
* <math>A = \{(4,4,4)\} \rightarrow P(A) = 1/216</math><br />
* <math>B = \{(2,2,2), \ldots, (7,7,7)\}\Rightarrow P(B) = 6/216 = 1/36</math><br />
* <math>C = \{(2,3,4), (2,3,5), \ldots, (7, 6, 5) \}</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V(6;3)=\frac{6!}{3!}=120\Rightarrow P(C) = 120/216 = 5/9</math><br />
<br />
===Augenzahl eines Würfels===<br />
<br />
<math>A = \emptyset</math>, <math>B =\emptyset \quad {\rightarrow}</math> <math> A = B </math><br /><br />
===Ausschussteile===<br />
<br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(B)&=&P(B|C)P(C)+P(B|\overline{C})(1-P(C)) \\<br />
&=&0,95\cdot0,05+0,1\cdot0,95 \\<br />
&=&0,1425\\ \\<br />
P(B)&=&P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)P(A_2)&=&P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)&=&[P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)]/P(A_2)\\<br />
&=&(0,1425-0,8\cdot0,1-0,6\cdot0,05)/0,0422 \\<br />
&=&0,0325/0,0422=0,77014<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Banknoten===<br />
<br />
Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.<br /><br />
Gegeben: <math>P(E|\overline{B})=0,9</math>; <math>P(E|B)=0,05</math>; <math>P(\overline{B})=0,002</math>.<br /><br />
Gesucht: <math>P(B|E)</math><br /><br />
Anwendung des Satzes von Bayes:<br /><br />
<math>P(B|E)=\frac{P(B\cap B)}{P(E)}=\frac{P(E|B)\cdot P(B)}{P(E|B)\cdot P(B)+P(E|\overline{B})\cdot P(\overline{B})}</math> <math>=0,9652</math><br />
<br />
===Bauernwirtschaft===<br />
<br />
* Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher <math>S=\{e_1,...,e_9 \},</math> mit <math>e_{1}</math> = {0,0}, <math>e_{2}</math> = {0,1}, <math>e_{3}</math> = {0,2}, <math>e_{4}</math> = {1,0}, <math>e_{5}</math> = {1,1}, <math>e_{6}</math> = {1,2}, <math>e_{7}</math> = {2,0}, <math>e_{ 8}</math> = {2,1}, <math>e_{9} = \{2,2\} </math>.<br />
* Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden: <math>V^{W}(3,2) = 3^2= 9.</math><br />
* <math>A \cap B = \{1,1\} </math> Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.<br />
<br />
===Biergärten===<br />
<br />
'''Gegeben:'''<br /><br />
<br />
A= {Gast aus Biergarten A},<math>\quad P(A)=0,6</math><br /><br />
B= {Gast aus Biergarten B}, <math>\quad P(B)=0,3</math><br /><br />
C= {Gast aus Biergarten C}, <math>\quad P(C)=0,1</math><br /><br />
U= {unzufriedener Gast } mit<br /><br />
<math>P(U|A)=0,1;\;P(U|B)=0,4;\;P(U|C)=0,7</math><br /><br />
'''Gesucht:'''<br /><br />
<math>P(B|U)</math><br /><br />
'''Theorem von Bayes:''' <math>P(B|U)=\frac{P(U|B)P(B)}{P(U|A)P(A)+P(U|B)P(B)+P(U|C)P(C)}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P(U|A)P(A)&=0,1\cdot0,6=0,06\\<br />
P(U|B)P(B)&=0,4\cdot0,3=0,12\\<br />
P(U|C)P(C)&=0,7\cdot0,1=0,07\\<br />
\sum P(U|i)P(i)&=0,25\\<br />
P(B|U)&=0,12/0,25=0,48\\\end{align}</math><br />
<br />
===Blumen===<br />
<br />
<math>R = </math>{Rose, Rose}, <math>N = </math>{Narzisse, Narzisse}, <math>L = </math>{Lilie, Lilie}<br /><br />
<math>A = </math>{zwei Blumen gleicher Art}<math> = R \cup N \cup L</math><br /><br />
<math>P(A) = P(R \cup N \cup L) = P(R) + P(N) + P(L) = 6/66 + 15/66 + 1/66 = 1/3</math><br />
<br />
===Bus===<br />
<br />
<math>F =</math> {Besuch bei der Freundin}, <math>U =</math> {Erscheinen in der Universität}<br /><br />
<math>F = \overline{U}</math>, <math>P(U) = 1/10</math>, <math>P(F) = 1 - P(U) = 9/10</math><br /><br />
<math>U =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{U}</math> zur Universität als erster kommt}<br /><br />
<math>F =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{F}</math> zur Freundin als erster kommt}<br /><br />
<math>U =</math> {<math>m_{1}</math>, <math>m_{2}</math>, …, <math>m_{k}</math>} mit <math>m_{i}</math> für <math>B_{U}</math> günstige Minute<br /><br />
<math>P(U) = \frac{\mbox{Zahl der für Uni. günstigen Minuten}}{\mbox{Gesamtzahl der Minuten}}=\frac{k}{20} = \frac{1}{10}= \frac{2}{20}</math><br /><br />
<br /><br />
Abfahrtszeiten zur Universität sind somit <math>^{\underline{02}}</math>, <math>^{\underline{22}}</math> und <math>^{ \underline{42}}</math><br /><br />
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.<br /><br />
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus <math>B_{U}</math> <math>^{\underline{10}}</math>, <math>^{\underline{30}}</math> und <math>^{\underline{50}}</math> gegeben.<br />
<br />
===Eigener PKW===<br />
<br />
<math>A_1</math> = "Bürokraft ist weiblich"<br /><br />
<math>A_2</math> = "Bürokraft ist männlich"<br /><br />
<math>B</math> = "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit" <br /><br />
<math>P(A_1) = 0,6, \quad P(A_2) = 0,4, \quad P(B| A_1) = 0,7, \quad P(B| A_2) = 0,8;</math><br /><br />
<br />
<math>A_1\cap A_2 = \varnothing, \quad A_1\cup A_2 = S;</math><br /><br />
<br />
<math> P(A_1 \| B) = [P(B\| A_1)P(A_1)]/[P(B| A_1)P(A_1)+P(B| A_2)P(A_2)] = 0,42/0,74= 05676 \approx 0,57</math><br />
<br />
===Eignungstest===<br />
<br />
Die Ereignisse <math>A_1=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest}</math> und<br /><br />
<math>A_2=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest nicht}</math> bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums <math>S</math>. Gegeben ist <math>P(A_1)=0,25</math>. Aufgrund von <math>A_2=\overline{A_1}</math> folgt <math>P(A_2)=1-P(A_1)=0,75</math>.<br /><br />
Ferner sind ein zufälliges Ereignis <math>B=\mbox{Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet}</math> und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses <math>P(B|A_1)=0,95</math> und <math>P(B|A_2)</math>=0,10 gegeben.<br /><br />
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A_1|B)</math>. Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayes<math>P(A_1|B)=\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}</math>berechnen. Für <math>P(B)</math> resultiert:<math>P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)=0,3125</math><math>\rightarrow P(A_1|B)=0,76</math><br />
<br />
===Elemente eines Ereignisraumes===<br />
<br />
* Für eine Zerlegung von <math>S</math> muss u.a. gelten: <math>A_1\cup\ldots\cup A_n=S</math>, d.h. es müsste <math>A\cup B=S</math> sein und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).<br />
* Wenn <math>A</math> und <math>B</math> komplementär wären, müsste gelten: <math>A\cup B=S</math> und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht.<br />
* Für disjunkte Ereignisse gilt <math>A\cap B=\varnothing</math> und somit <math>P(A\cap B)=0</math> (Berechnung unter d).<br />
* <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1/2+1/2-3/4=1/4</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=1/2\cdot1/2=1/4</math><br /><br />
oder<br /><br />
<math>P(A|B)=P(A|\overline{B})</math> mit <math>P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=(1/4)/(1/2)=1/2</math> und <math>P(A|\overline{B})=P(A\cap B)/P(\overline{B})=(1/4)/(1/2)=1/2</math><br /><br />
Die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> sind unabhängig.<br />
<br />
===Entwicklungsabteilung===<br />
<br />
* <math>A_{1}</math> = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{2}</math> = {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{3}</math> = {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>P(A_{1} ) = 0,9</math>;<br /><br />
<math>P(A_{2}|A_{1}) = 0,7</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}_{3}|A_{1} \cap A_{2}) = 0,2</math>;<br /><br />
<math>P(A_{3}|A_{1} \cap \overline{A}_{2}) = 0,4</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P(A_{1})<br />
\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot[1 - P(\overline{A}_{3}|A_{1}<br />
\cap A_{2})] = 0,504</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{3}) = P(A_{1}\cap<br />
A_{2} \cap A_{3}) + P(A_{1} \cap<br />
\overline{A}_{2} \cap A_{ 3}) = 0,612</math><br />
<br />
===Ereignisoperationen===<br />
<br />
<math>A \cup A = A</math>; <math>A \cup \emptyset = A</math>; <math>A \cap A = A </math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>; <math>\emptyset \cap S = \emptyset</math><br /><br />
<math>A \cup S = S</math>; <math>A \cup \overline{A} = S</math>; <math>A \cap S = A</math>; <math>A \cap \overline{A} = \emptyset</math><br /><br />
===Ereignisraum===<br />
<br />
Allgemein gilt: <math>P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B)= \frac{1}{4}</math><br />
<br />
* falsch: <math>P(A \cup B)\neq 1</math> und <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(\overline{A})=P(B)</math> aber <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* richtig: <math>P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}=P(A)</math><br />
<br />
===Erregertest===<br />
<br />
I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)<br /><br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(E| I)=0,95</math><br />
* <math>P(E|\overline{I})=0,03 </math><br />
* <math>P(I)=0,02</math><br />
<br /><br />
Daraus ergeben sich:<br /><br />
<math>P(\overline{E}| I)=0,05; P(\overline{E}|\overline{I})=0,97; P(\overline{I})=0,98</math><br /><br />
Gesucht: <math>P(I| E)=P(E\cap I)/P(E)</math><br /><br />
<math>P(E\cap I)=P(E| I)P(I)=0,019</math><br /><br />
<math>P(E)=P(E\cap I)+P(E\cap\overline{I})=P(E|I)P(I)+P(E|\overline{I})P(\overline{I}) =0,0484</math><br /><br />
<math>P(I| E)=0,39256 \approx 0,3926</math><br />
<br />
===Fachbereichsrat===<br />
<br />
<math>A = </math>{drei Professoren werden gewählt}<br /><br />
Anzahl mögliche Fälle: <math>K(n,k) = K(8,3) = 56</math><br /><br />
Anzahl günstiger Fälle für <math>A</math>: <math>K(4,3) = 4</math><br /><br />
<math>P(A) = 4/56 = 1/14 </math><br /><br />
===Fahrrad oder Straßenbahn===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>A=\mbox{Fritzi braucht mehr als 30 Min. bis in die Uni}</math><br /><br />
<math>B_1=\mbox{Fritzi nimmt das Fahrrad}</math><br /><br />
<math>B_2=\mbox{Fritzi nimmt die Straßenbahn}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(B_1)=0,8</math><br />
* <math>P(B_2)=0,2 </math><br />
* <math>P(A|B_1)=0,3</math><br />
* <math>P(A|B_2)=0,6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
P(B_2|A)&=&\frac{P(A|B_2)\cdot P(B_2)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}\\<br />
&=& 0,\overline{333}\end{align}</math><br />
<br />
===Felgen===<br />
<br />
* <math>P(4) = 24</math><br />
* <math>A</math> = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}<br />
<br />
===Fernschreiben===<br />
<br />
<math>A_{1}</math> = {Fehler bei 1. übertragung}; <math>A_{2}</math> = {Fehler bei 2. übertragung}<br /><br />
<math>A_{1}\cap A_{2}=</math>{Fehler bei 1. und 2. übertragung}; <math>P(A_{1})=0,01; P(A_{2}|A_{1}) = 0,1</math><br /><br />
<math>P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) = 0,001 </math><br /><br />
===Fernsehshow===<br />
<br />
<math>W=\{\mbox{weiße Kugel}\};\quad U_i= \{\mbox{Urne i}\}\quad i=1,2</math><br /><br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:<br /><br />
<math>P(W)=P(W|U_1)\cdot P(U_1)+P(W|U_2)\cdot P(U_2)</math><br /><br />
<math>P(U_1)=P(U_2)=1/2</math><br /><br />
1. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>2S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/8</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>10S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/16</math><br /><br />
<math>P(W)=6/8\cdot1/2+6/16\cdot1/2=9/16=0,5625</math><br /><br />
2. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/12</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/12</math><br /><br />
<math>P(W)=6/12\cdot1/2+6/12\cdot1/2=1/2=0,5</math><br /><br />
===Fußballmannschaft===<br />
<br />
<math>A = </math>{Gewinn beim 1. Spiel}; <math>B = </math>{Gewinn beim 2. Spiel}; <math>C = </math>{Gewinn beim 3. Spiel};<br /><br />
<math>P(A) = P(B) = P(C) = 0,7</math><br /><br />
<math>D = </math>{Gewinnspiele überwiegen} = <math>[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)<br />
\cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)] </math><br /><br />
<math>P(D) = 0,784</math><br /><br />
===Gangsterbande===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>D=\mbox{Donnerstag}</math>;<math>\overline{D}=\mbox{nicht Donnerstag}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Scotland Yard fasst Täter am selben Tag}</math>,<br /><br />
<math>H=\mbox{Sherlock Holmes fasst Täter am selben Tag}</math><br /><br />
<math>G=\mbox{Täter am selben Tag im Gefängnis}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
<math>P(Y)=P(Y|D)=P(Y|\overline{D})=0,25;\quad P(H|D)=0,00;\quad P(H|\overline{D})=0,35;</math><br /><br />
<math>P(D)=1/6;\quad P(\overline{D})=5/6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
P(G|D)&=&P(Y|D)=0,25\\<br />
P(G|\overline{D})&=&P(Y\cup H|\overline{D})\\<br />
&=&P(Y|\overline{D})+P(H|\overline{D})-P(Y\cap H|\overline{D})\\<br />
&=&0,25+0,35-0,25\cdot0,35=0,5125\\<br />
P(G)&=&P(G|D)\cdot P(D)+P(G|\overline{D})\cdot P(\overline{D})\\<br />
&=&0,25\cdot1/6+0,5125\cdot5/6=0,46875\approx0,47<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Garderobe===<br />
<br />
Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.<br /><br />
<math>A = </math>{jeder Mann bekommt seinen Hut}, <math>P(A) = 1/120 </math><br /><br />
===Geburtstag===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:</p><br />
<ul><br />
<li><p><math>A</math>: Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li><br />
<li><p><math>\overline{A}</math>: Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li></ul><br />
<br />
<p>Wenn die</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Wahrscheinlichkeitsrechnung/L%C3%B6sungen&diff=2324
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen
2020-07-15T13:19:33Z
<p>Petrescc: /* Fahrrad oder Straßenbahn */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===15 Cent===<br />
<br />
* <math>A = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}<br /><br />
<math> P(A) = 3/8</math><br />
* <math>B = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}<br /><br />
<math>P(B) = 0,333</math><br />
<br />
===1950–2000===<br />
<br />
<math>E_{0}</math> = {keine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
<math>E_{1}</math> = {eine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
…<br /><br />
<math>E_{10}</math> = {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}<br /><br />
<math>A = E_{2}</math>, <math>B_{1} = \{E_{2}, E_{3},\ldots, E_{10}\}</math>, <math>B_{2} = E_{1}</math><br /><br />
<math>A \cap B_{2} = \emptyset</math> und <math>B_{1} \cap B_{2} = \emptyset</math><br /><br />
===Altbauwohnung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Wir betrachten die Ereignisse:</p><br />
<ul><br />
<li><p>F: Wasserzufuhr friert ein</p></li><br />
<li><p>S: Strom fällt aus</p></li><br />
<li><p>W: Es ist Winterzeit.</p></li></ul><br />
<br />
<p>Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:</p><br />
<ol><br />
<li><p>''Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.'' <math>P(F\cap S|W) = P(F|W)\cdot P(S|W) \mbox{ und } P(F\cap S|\overline{W}) = P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W})</math></p></li><br />
<li><p>''So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.'' <math>P(F|W) = 0,8 \mbox{ und } P(F|\overline{W}) = 0</math></p></li><br />
<li><p>''Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.'' <math>P(S|\overline{W}) = 0,4 \mbox{ und } P(\overline{S}|W) = 0,4</math></p></li><br />
<li><p>''Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.'' <math>P(W) = 0,3</math></p></li></ol><br />
</li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F)</math>. Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(F) &= P(F\cap W) + P(F\cap\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)P(W)+P(F|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,8 \cdot 0,3 +0 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,24. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(S)</math>. Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit <math>\begin{align}<br />
P(S) &= P(S\cap W) + P(S\cap\overline{W})\\<br />
&= P(S|W)P(W)+P(S|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,46. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F\cap S)</math>: <math>\begin{align}<br />
P(F\cap S) &=P(F\cap S|W) P(W)+ P(F\cap S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)\cdot P(S|W)\cdot P(W) + P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&=0,8\cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,6 \cdot 0,7\\<br />
&=0,144 \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(F|S)</math>. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen: <math>\begin{align}<br />
P(F|S)&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,46}\approx 0,313.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S|F)</math>. Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P(S|F)]&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,24}=0,6.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S\cup F)</math>. Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben <math>\begin{align}<br />
P(S\cup F) &= P(S)+P(F)-P(S\cap F)\\<br />
&=0,24+0,46-0,144 \\<br />
&=0,556.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline{S\cap F})</math>. Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten <math>\begin{align}<br />
P(\overline{S\cap F}) &=1-P(S\cap F)\\<br />
&=1-0,144 \\<br />
&=0,856. \end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Alter===<br />
<br />
<math>A = </math>{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; <math>P(A) = 0,82277</math><br /><br />
<math>B = </math>{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; <math>P(B) = 0,37977</math><br /><br />
<math>P(B|A) = 0,4616</math>; (<math>B \subset A</math> !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit<br /><br />
===Angler===<br />
<br />
<math>A_{i}</math> = {Angeln am See i}; <math>i = 1,2,3</math>; <math>P(A_{i}) = 1/3</math><br /><br />
<math>B = </math>{Angler hat etwas gefangen}; <math>P(B|A_{1}) = 2/3</math>; <math>P(B|A_{2}) = 3/4</math>;<br /><br />
<math>P(B|A_{3}) = 4/5 \rightarrow P(B) = 133/180</math>; Formel für totale Wahrscheinlichkeit<br /><br />
<math>P(A_{2}|B) = 0,3383</math>; Satz von Bayes<br /><br />
===Antriebswellen===<br />
<br />
* Für die Überprüfung der <math>i</math>-ten Welle, mit <math>i=1,\dots,10000</math>, bezeichne <br />
<math>x_i = {\left \{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{falls Welle i kein Ausschuss} \\<br />
1 & \text{falls Welle i Ausschuss}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
das Ergebnis des <math>i</math>-ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch <math>\begin{align}<br />
S=\{0,1\}<br />
\end{align}</math> mit den Elementarereignissen <math>\begin{align}<br />
\{0\} &= \text{``Kein Ausschuss wird produziert''}, \\<br />
\{1\} &= \text{``Ausschuss wird produziert''}.<br />
\end{align}</math> Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten <math>h</math> die relativen Häufigkeiten <math>\hat{f}</math> für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
h(0) &= \sum\limits_{i=1}^{10000}I(x_i = 0 ) = 4500 + 5200 = 9700, \\<br />
h(1) &= 10000 - h(0) = 300, \text{da alle } x_i \text{ binär} \\<br />
\hat{f}(0) &= \frac{h(0)}{10000} = 0.97 \approx P(\{0\}), \\<br />
\hat{f}(1) &= \frac{h(1)}{10000} = 0.03 \approx P(\{1\}) = P(\text{Ausschuss wird produziert}).<br />
\end{align}</math><br />
* Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: <math>\begin{align}<br />
P(\{0\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(0),\\<br />
P(\{1\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(1),<br />
\end{align}</math> wobei <math>\hat{f}_{n}</math> die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> angibt. Da hier <math>n=10000</math> relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.<br />
<br />
===Aufzug===<br />
<br />
* Ergebnisse: <math>(i,j,k)</math> mit Person 1 steigt in Etage <math>i</math> aus, Person 2 in Etage <math>j</math> und Person 3 in Etage <math>k</math><br />
* Elementarereignisse: <math>\{(i,j,k)\}</math> mit <math>2\leq i,j,k \leq 7</math><br />
* Ereignisraum: <math>S=\{(2,2,2), (2,2,3), \ldots, (7,7,7)\}</math><br />
* Anzahl der Elementarereignisse: <math>6\cdot6\cdot6=216</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V^W(6;3)=6^3=216</math><br />
* <math>A = \{(4,4,4)\} \rightarrow P(A) = 1/216</math><br />
* <math>B = \{(2,2,2), \ldots, (7,7,7)\}\Rightarrow P(B) = 6/216 = 1/36</math><br />
* <math>C = \{(2,3,4), (2,3,5), \ldots, (7, 6, 5) \}</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V(6;3)=\frac{6!}{3!}=120\Rightarrow P(C) = 120/216 = 5/9</math><br />
<br />
===Augenzahl eines Würfels===<br />
<br />
<math>A = \emptyset</math>, <math>B =\emptyset \quad {\rightarrow}</math> <math> A = B </math><br /><br />
===Ausschussteile===<br />
<br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(B)&=&P(B|C)P(C)+P(B|\overline{C})(1-P(C)) \\<br />
&=&0,95\cdot0,05+0,1\cdot0,95 \\<br />
&=&0,1425\\ \\<br />
P(B)&=&P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)P(A_2)&=&P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)&=&[P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)]/P(A_2)\\<br />
&=&(0,1425-0,8\cdot0,1-0,6\cdot0,05)/0,0422 \\<br />
&=&0,0325/0,0422=0,77014<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Banknoten===<br />
<br />
Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.<br /><br />
Gegeben: <math>P(E|\overline{B})=0,9</math>; <math>P(E|B)=0,05</math>; <math>P(\overline{B})=0,002</math>.<br /><br />
Gesucht: <math>P(B|E)</math><br /><br />
Anwendung des Satzes von Bayes:<br /><br />
<math>P(B|E)=\frac{P(B\cap B)}{P(E)}=\frac{P(E|B)\cdot P(B)}{P(E|B)\cdot P(B)+P(E|\overline{B})\cdot P(\overline{B})}</math> <math>=0,9652</math><br />
<br />
===Bauernwirtschaft===<br />
<br />
* Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher <math>S=\{e_1,...,e_9 \},</math> mit <math>e_{1}</math> = {0,0}, <math>e_{2}</math> = {0,1}, <math>e_{3}</math> = {0,2}, <math>e_{4}</math> = {1,0}, <math>e_{5}</math> = {1,1}, <math>e_{6}</math> = {1,2}, <math>e_{7}</math> = {2,0}, <math>e_{ 8}</math> = {2,1}, <math>e_{9} = \{2,2\} </math>.<br />
* Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden: <math>V^{W}(3,2) = 3^2= 9.</math><br />
* <math>A \cap B = \{1,1\} </math> Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.<br />
<br />
===Biergärten===<br />
<br />
'''Gegeben:'''<br /><br />
<br />
A= {Gast aus Biergarten A},<math>\quad P(A)=0,6</math><br /><br />
B= {Gast aus Biergarten B}, <math>\quad P(B)=0,3</math><br /><br />
C= {Gast aus Biergarten C}, <math>\quad P(C)=0,1</math><br /><br />
U= {unzufriedener Gast } mit<br /><br />
<math>P(U|A)=0,1;\;P(U|B)=0,4;\;P(U|C)=0,7</math><br /><br />
'''Gesucht:'''<br /><br />
<math>P(B|U)</math><br /><br />
'''Theorem von Bayes:''' <math>P(B|U)=\frac{P(U|B)P(B)}{P(U|A)P(A)+P(U|B)P(B)+P(U|C)P(C)}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P(U|A)P(A)&=0,1\cdot0,6=0,06\\<br />
P(U|B)P(B)&=0,4\cdot0,3=0,12\\<br />
P(U|C)P(C)&=0,7\cdot0,1=0,07\\<br />
\sum P(U|i)P(i)&=0,25\\<br />
P(B|U)&=0,12/0,25=0,48\\\end{align}</math><br />
<br />
===Blumen===<br />
<br />
<math>R = </math>{Rose, Rose}, <math>N = </math>{Narzisse, Narzisse}, <math>L = </math>{Lilie, Lilie}<br /><br />
<math>A = </math>{zwei Blumen gleicher Art}<math> = R \cup N \cup L</math><br /><br />
<math>P(A) = P(R \cup N \cup L) = P(R) + P(N) + P(L) = 6/66 + 15/66 + 1/66 = 1/3</math><br />
<br />
===Bus===<br />
<br />
<math>F =</math> {Besuch bei der Freundin}, <math>U =</math> {Erscheinen in der Universität}<br /><br />
<math>F = \overline{U}</math>, <math>P(U) = 1/10</math>, <math>P(F) = 1 - P(U) = 9/10</math><br /><br />
<math>U =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{U}</math> zur Universität als erster kommt}<br /><br />
<math>F =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{F}</math> zur Freundin als erster kommt}<br /><br />
<math>U =</math> {<math>m_{1}</math>, <math>m_{2}</math>, …, <math>m_{k}</math>} mit <math>m_{i}</math> für <math>B_{U}</math> günstige Minute<br /><br />
<math>P(U) = \frac{\mbox{Zahl der für Uni. günstigen Minuten}}{\mbox{Gesamtzahl der Minuten}}=\frac{k}{20} = \frac{1}{10}= \frac{2}{20}</math><br /><br />
<br /><br />
Abfahrtszeiten zur Universität sind somit <math>^{\underline{02}}</math>, <math>^{\underline{22}}</math> und <math>^{ \underline{42}}</math><br /><br />
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.<br /><br />
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus <math>B_{U}</math> <math>^{\underline{10}}</math>, <math>^{\underline{30}}</math> und <math>^{\underline{50}}</math> gegeben.<br />
<br />
===Eigener PKW===<br />
<br />
<math>A_1</math> = "Bürokraft ist weiblich"<br /><br />
<math>A_2</math> = "Bürokraft ist männlich"<br /><br />
<math>B</math> = "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit" <br /><br />
<math>P(A_1) = 0,6, \quad P(A_2) = 0,4, \quad P(B| A_1) = 0,7, \quad P(B| A_2) = 0,8;</math><br /><br />
<br />
<math>A_1\cap A_2 = \varnothing, \quad A_1\cup A_2 = S;</math><br /><br />
<br />
<math> P(A_1 \| B) = [P(B\| A_1)P(A_1)]/[P(B| A_1)P(A_1)+P(B| A_2)P(A_2)] = 0,42/0,74= 05676 \approx 0,57</math><br />
<br />
===Eignungstest===<br />
<br />
Die Ereignisse <math>A_1=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest}</math> und<br /><br />
<math>A_2=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest nicht}</math> bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums <math>S</math>. Gegeben ist <math>P(A_1)=0,25</math>. Aufgrund von <math>A_2=\overline{A_1}</math> folgt <math>P(A_2)=1-P(A_1)=0,75</math>.<br /><br />
Ferner sind ein zufälliges Ereignis <math>B=\mbox{Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet}</math> und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses <math>P(B|A_1)=0,95</math> und <math>P(B|A_2)</math>=0,10 gegeben.<br /><br />
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A_1|B)</math>. Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayes<math>P(A_1|B)=\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}</math>berechnen. Für <math>P(B)</math> resultiert:<math>P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)=0,3125</math><math>\rightarrow P(A_1|B)=0,76</math><br />
<br />
===Elemente eines Ereignisraumes===<br />
<br />
* Für eine Zerlegung von <math>S</math> muss u.a. gelten: <math>A_1\cup\ldots\cup A_n=S</math>, d.h. es müsste <math>A\cup B=S</math> sein und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).<br />
* Wenn <math>A</math> und <math>B</math> komplementär wären, müsste gelten: <math>A\cup B=S</math> und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht.<br />
* Für disjunkte Ereignisse gilt <math>A\cap B=\varnothing</math> und somit <math>P(A\cap B)=0</math> (Berechnung unter d).<br />
* <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1/2+1/2-3/4=1/4</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=1/2\cdot1/2=1/4</math><br /><br />
oder<br /><br />
<math>P(A|B)=P(A|\overline{B})</math> mit <math>P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=(1/4)/(1/2)=1/2</math> und <math>P(A|\overline{B})=P(A\cap B)/P(\overline{B})=(1/4)/(1/2)=1/2</math><br /><br />
Die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> sind unabhängig.<br />
<br />
===Entwicklungsabteilung===<br />
<br />
* <math>A_{1}</math> = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{2}</math> = {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{3}</math> = {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>P(A_{1} ) = 0,9</math>;<br /><br />
<math>P(A_{2}|A_{1}) = 0,7</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}_{3}|A_{1} \cap A_{2}) = 0,2</math>;<br /><br />
<math>P(A_{3}|A_{1} \cap \overline{A}_{2}) = 0,4</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P(A_{1})<br />
\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot[1 - P(\overline{A}_{3}|A_{1}<br />
\cap A_{2})] = 0,504</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{3}) = P(A_{1}\cap<br />
A_{2} \cap A_{3}) + P(A_{1} \cap<br />
\overline{A}_{2} \cap A_{ 3}) = 0,612</math><br />
<br />
===Ereignisoperationen===<br />
<br />
<math>A \cup A = A</math>; <math>A \cup \emptyset = A</math>; <math>A \cap A = A </math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>; <math>\emptyset \cap S = \emptyset</math><br /><br />
<math>A \cup S = S</math>; <math>A \cup \overline{A} = S</math>; <math>A \cap S = A</math>; <math>A \cap \overline{A} = \emptyset</math><br /><br />
===Ereignisraum===<br />
<br />
Allgemein gilt: <math>P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B)= \frac{1}{4}</math><br />
<br />
* falsch: <math>P(A \cup B)\neq 1</math> und <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(\overline{A})=P(B)</math> aber <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* richtig: <math>P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}=P(A)</math><br />
<br />
===Erregertest===<br />
<br />
I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)<br /><br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(E| I)=0,95</math><br />
* <math>P(E|\overline{I})=0,03 </math><br />
* <math>P(I)=0,02</math><br />
<br /><br />
Daraus ergeben sich:<br /><br />
<math>P(\overline{E}| I)=0,05; P(\overline{E}|\overline{I})=0,97; P(\overline{I})=0,98</math><br /><br />
Gesucht: <math>P(I| E)=P(E\cap I)/P(E)</math><br /><br />
<math>P(E\cap I)=P(E| I)P(I)=0,019</math><br /><br />
<math>P(E)=P(E\cap I)+P(E\cap\overline{I})=P(E|I)P(I)+P(E|\overline{I})P(\overline{I}) =0,0484</math><br /><br />
<math>P(I| E)=0,39256 \approx 0,3926</math><br />
<br />
===Fachbereichsrat===<br />
<br />
<math>A = </math>{drei Professoren werden gewählt}<br /><br />
Anzahl mögliche Fälle: <math>K(n,k) = K(8,3) = 56</math><br /><br />
Anzahl günstiger Fälle für <math>A</math>: <math>K(4,3) = 4</math><br /><br />
<math>P(A) = 4/56 = 1/14 </math><br /><br />
===Fahrrad oder Straßenbahn===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>A=\mbox{Fritzi braucht mehr als 30 Min. bis in die Uni}</math><br /><br />
<math>B_1=\mbox{Fritzi nimmt das Fahrrad}</math><br /><br />
<math>B_2=\mbox{Fritzi nimmt die Straßenbahn}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(B_1)=0,8</math><br />
* <math>P(B_2)=0,2 </math><br />
* <math>P(A|B_1)=0,3</math><br />
* <math>P(A|B_2)=0,6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
P(B_2|A)&=&\frac{P(A|B_2)\cdot P(B_2)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}\\<br />
&=& 0,\overline{333}\end{align}</math><br />
<br />
===Felgen===<br />
<br />
* <math>P(4) = 24</math><br />
* <math>A</math> = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}<br />
<br />
===Fernschreiben===<br />
<br />
<math>A_{1}</math> = {Fehler bei 1. übertragung}; <math>A_{2}</math> = {Fehler bei 2. übertragung}<br /><br />
<math>A_{1}\cap A_{2}=</math>{Fehler bei 1. und 2. übertragung}; <math>P(A_{1})=0,01; P(A_{2}|A_{1}) = 0,1</math><br /><br />
<math>P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) = 0,001 </math><br /><br />
===Fernsehshow===<br />
<br />
<math>W=\{\mbox{weiße Kugel}\};\quad U_i= \{\mbox{Urne i}\}\quad i=1,2</math><br /><br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:<br /><br />
<math>P(W)=P(W|U_1)\cdot P(U_1)+P(W|U_2)\cdot P(U_2)</math><br /><br />
<math>P(U_1)=P(U_2)=1/2</math><br /><br />
1. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>2S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/8</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>10S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/16</math><br /><br />
<math>P(W)=6/8\cdot1/2+6/16\cdot1/2=9/16=0,5625</math><br /><br />
2. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/12</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/12</math><br /><br />
<math>P(W)=6/12\cdot1/2+6/12\cdot1/2=1/2=0,5</math><br /><br />
===Fußballmannschaft===<br />
<br />
<math>A = </math>{Gewinn beim 1. Spiel}; <math>B = </math>{Gewinn beim 2. Spiel}; <math>C = </math>{Gewinn beim 3. Spiel};<br /><br />
<math>P(A) = P(B) = P(C) = 0,7</math><br /><br />
<math>D = </math>{Gewinnspiele überwiegen} = <math>[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)<br />
\cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)] </math><br /><br />
<math>P(D) = 0,784</math><br /><br />
===Gangsterbande===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>D=\mbox{Donnerstag}</math>;<math>\overline{D}=\mbox{nicht Donnerstag}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Scotland Yard fasst Täter am selben Tag}</math>,<br /><br />
<math>H=\mbox{Sherlock Holmes fasst Täter am selben Tag}</math><br /><br />
<math>G=\mbox{Täter am selben Tag im Gefängnis}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
<math>P(Y)=P(Y|D)=P(Y|\overline{D})=0,25;\quad P(H|D)=0,00;\quad P(H|\overline{D})=0,35;</math><br /><br />
<math>P(D)=1/6;\quad P(\overline{D})=5/6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(G|D)&=&P(Y|D)=0,25\\<br />
P(G|\overline{D})&=&P(Y\cup H|\overline{D})\\<br />
&=&P(Y|\overline{D})+P(H|\overline{D})-P(Y\cap H|\overline{D})\\<br />
&=&0,25+0,35-0,25\cdot0,35=0,5125\\<br />
P(G)&=&P(G|D)\cdot P(D)+P(G|\overline{D})\cdot P(\overline{D})\\<br />
&=&0,25\cdot1/6+0,5125\cdot5/6=0,46875\approx0,47<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Garderobe===<br />
<br />
Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.<br /><br />
<math>A = </math>{jeder Mann bekommt seinen Hut}, <math>P(A) = 1/120 </math><br /><br />
===Geburtstag===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:</p><br />
<ul><br />
<li><p><math>A</math>: Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li><br />
<li><p><math>\overline{A}</math>: Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li></ul><br />
<br />
<p>Wenn die</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Wahrscheinlichkeitsrechnung/L%C3%B6sungen&diff=2323
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen
2020-07-15T13:19:14Z
<p>Petrescc: /* Biergärten */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===15 Cent===<br />
<br />
* <math>A = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}<br /><br />
<math> P(A) = 3/8</math><br />
* <math>B = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}<br /><br />
<math>P(B) = 0,333</math><br />
<br />
===1950–2000===<br />
<br />
<math>E_{0}</math> = {keine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
<math>E_{1}</math> = {eine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
…<br /><br />
<math>E_{10}</math> = {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}<br /><br />
<math>A = E_{2}</math>, <math>B_{1} = \{E_{2}, E_{3},\ldots, E_{10}\}</math>, <math>B_{2} = E_{1}</math><br /><br />
<math>A \cap B_{2} = \emptyset</math> und <math>B_{1} \cap B_{2} = \emptyset</math><br /><br />
===Altbauwohnung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Wir betrachten die Ereignisse:</p><br />
<ul><br />
<li><p>F: Wasserzufuhr friert ein</p></li><br />
<li><p>S: Strom fällt aus</p></li><br />
<li><p>W: Es ist Winterzeit.</p></li></ul><br />
<br />
<p>Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:</p><br />
<ol><br />
<li><p>''Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.'' <math>P(F\cap S|W) = P(F|W)\cdot P(S|W) \mbox{ und } P(F\cap S|\overline{W}) = P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W})</math></p></li><br />
<li><p>''So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.'' <math>P(F|W) = 0,8 \mbox{ und } P(F|\overline{W}) = 0</math></p></li><br />
<li><p>''Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.'' <math>P(S|\overline{W}) = 0,4 \mbox{ und } P(\overline{S}|W) = 0,4</math></p></li><br />
<li><p>''Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.'' <math>P(W) = 0,3</math></p></li></ol><br />
</li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F)</math>. Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(F) &= P(F\cap W) + P(F\cap\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)P(W)+P(F|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,8 \cdot 0,3 +0 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,24. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(S)</math>. Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit <math>\begin{align}<br />
P(S) &= P(S\cap W) + P(S\cap\overline{W})\\<br />
&= P(S|W)P(W)+P(S|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,46. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F\cap S)</math>: <math>\begin{align}<br />
P(F\cap S) &=P(F\cap S|W) P(W)+ P(F\cap S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)\cdot P(S|W)\cdot P(W) + P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&=0,8\cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,6 \cdot 0,7\\<br />
&=0,144 \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(F|S)</math>. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen: <math>\begin{align}<br />
P(F|S)&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,46}\approx 0,313.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S|F)</math>. Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P(S|F)]&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,24}=0,6.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S\cup F)</math>. Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben <math>\begin{align}<br />
P(S\cup F) &= P(S)+P(F)-P(S\cap F)\\<br />
&=0,24+0,46-0,144 \\<br />
&=0,556.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline{S\cap F})</math>. Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten <math>\begin{align}<br />
P(\overline{S\cap F}) &=1-P(S\cap F)\\<br />
&=1-0,144 \\<br />
&=0,856. \end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Alter===<br />
<br />
<math>A = </math>{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; <math>P(A) = 0,82277</math><br /><br />
<math>B = </math>{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; <math>P(B) = 0,37977</math><br /><br />
<math>P(B|A) = 0,4616</math>; (<math>B \subset A</math> !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit<br /><br />
===Angler===<br />
<br />
<math>A_{i}</math> = {Angeln am See i}; <math>i = 1,2,3</math>; <math>P(A_{i}) = 1/3</math><br /><br />
<math>B = </math>{Angler hat etwas gefangen}; <math>P(B|A_{1}) = 2/3</math>; <math>P(B|A_{2}) = 3/4</math>;<br /><br />
<math>P(B|A_{3}) = 4/5 \rightarrow P(B) = 133/180</math>; Formel für totale Wahrscheinlichkeit<br /><br />
<math>P(A_{2}|B) = 0,3383</math>; Satz von Bayes<br /><br />
===Antriebswellen===<br />
<br />
* Für die Überprüfung der <math>i</math>-ten Welle, mit <math>i=1,\dots,10000</math>, bezeichne <br />
<math>x_i = {\left \{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{falls Welle i kein Ausschuss} \\<br />
1 & \text{falls Welle i Ausschuss}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
das Ergebnis des <math>i</math>-ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch <math>\begin{align}<br />
S=\{0,1\}<br />
\end{align}</math> mit den Elementarereignissen <math>\begin{align}<br />
\{0\} &= \text{``Kein Ausschuss wird produziert''}, \\<br />
\{1\} &= \text{``Ausschuss wird produziert''}.<br />
\end{align}</math> Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten <math>h</math> die relativen Häufigkeiten <math>\hat{f}</math> für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
h(0) &= \sum\limits_{i=1}^{10000}I(x_i = 0 ) = 4500 + 5200 = 9700, \\<br />
h(1) &= 10000 - h(0) = 300, \text{da alle } x_i \text{ binär} \\<br />
\hat{f}(0) &= \frac{h(0)}{10000} = 0.97 \approx P(\{0\}), \\<br />
\hat{f}(1) &= \frac{h(1)}{10000} = 0.03 \approx P(\{1\}) = P(\text{Ausschuss wird produziert}).<br />
\end{align}</math><br />
* Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: <math>\begin{align}<br />
P(\{0\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(0),\\<br />
P(\{1\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(1),<br />
\end{align}</math> wobei <math>\hat{f}_{n}</math> die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> angibt. Da hier <math>n=10000</math> relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.<br />
<br />
===Aufzug===<br />
<br />
* Ergebnisse: <math>(i,j,k)</math> mit Person 1 steigt in Etage <math>i</math> aus, Person 2 in Etage <math>j</math> und Person 3 in Etage <math>k</math><br />
* Elementarereignisse: <math>\{(i,j,k)\}</math> mit <math>2\leq i,j,k \leq 7</math><br />
* Ereignisraum: <math>S=\{(2,2,2), (2,2,3), \ldots, (7,7,7)\}</math><br />
* Anzahl der Elementarereignisse: <math>6\cdot6\cdot6=216</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V^W(6;3)=6^3=216</math><br />
* <math>A = \{(4,4,4)\} \rightarrow P(A) = 1/216</math><br />
* <math>B = \{(2,2,2), \ldots, (7,7,7)\}\Rightarrow P(B) = 6/216 = 1/36</math><br />
* <math>C = \{(2,3,4), (2,3,5), \ldots, (7, 6, 5) \}</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V(6;3)=\frac{6!}{3!}=120\Rightarrow P(C) = 120/216 = 5/9</math><br />
<br />
===Augenzahl eines Würfels===<br />
<br />
<math>A = \emptyset</math>, <math>B =\emptyset \quad {\rightarrow}</math> <math> A = B </math><br /><br />
===Ausschussteile===<br />
<br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(B)&=&P(B|C)P(C)+P(B|\overline{C})(1-P(C)) \\<br />
&=&0,95\cdot0,05+0,1\cdot0,95 \\<br />
&=&0,1425\\ \\<br />
P(B)&=&P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)P(A_2)&=&P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)&=&[P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)]/P(A_2)\\<br />
&=&(0,1425-0,8\cdot0,1-0,6\cdot0,05)/0,0422 \\<br />
&=&0,0325/0,0422=0,77014<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Banknoten===<br />
<br />
Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.<br /><br />
Gegeben: <math>P(E|\overline{B})=0,9</math>; <math>P(E|B)=0,05</math>; <math>P(\overline{B})=0,002</math>.<br /><br />
Gesucht: <math>P(B|E)</math><br /><br />
Anwendung des Satzes von Bayes:<br /><br />
<math>P(B|E)=\frac{P(B\cap B)}{P(E)}=\frac{P(E|B)\cdot P(B)}{P(E|B)\cdot P(B)+P(E|\overline{B})\cdot P(\overline{B})}</math> <math>=0,9652</math><br />
<br />
===Bauernwirtschaft===<br />
<br />
* Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher <math>S=\{e_1,...,e_9 \},</math> mit <math>e_{1}</math> = {0,0}, <math>e_{2}</math> = {0,1}, <math>e_{3}</math> = {0,2}, <math>e_{4}</math> = {1,0}, <math>e_{5}</math> = {1,1}, <math>e_{6}</math> = {1,2}, <math>e_{7}</math> = {2,0}, <math>e_{ 8}</math> = {2,1}, <math>e_{9} = \{2,2\} </math>.<br />
* Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden: <math>V^{W}(3,2) = 3^2= 9.</math><br />
* <math>A \cap B = \{1,1\} </math> Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.<br />
<br />
===Biergärten===<br />
<br />
'''Gegeben:'''<br /><br />
<br />
A= {Gast aus Biergarten A},<math>\quad P(A)=0,6</math><br /><br />
B= {Gast aus Biergarten B}, <math>\quad P(B)=0,3</math><br /><br />
C= {Gast aus Biergarten C}, <math>\quad P(C)=0,1</math><br /><br />
U= {unzufriedener Gast } mit<br /><br />
<math>P(U|A)=0,1;\;P(U|B)=0,4;\;P(U|C)=0,7</math><br /><br />
'''Gesucht:'''<br /><br />
<math>P(B|U)</math><br /><br />
'''Theorem von Bayes:''' <math>P(B|U)=\frac{P(U|B)P(B)}{P(U|A)P(A)+P(U|B)P(B)+P(U|C)P(C)}</math><br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
P(U|A)P(A)&=0,1\cdot0,6=0,06\\<br />
P(U|B)P(B)&=0,4\cdot0,3=0,12\\<br />
P(U|C)P(C)&=0,7\cdot0,1=0,07\\<br />
\sum P(U|i)P(i)&=0,25\\<br />
P(B|U)&=0,12/0,25=0,48\\\end{align}</math><br />
<br />
===Blumen===<br />
<br />
<math>R = </math>{Rose, Rose}, <math>N = </math>{Narzisse, Narzisse}, <math>L = </math>{Lilie, Lilie}<br /><br />
<math>A = </math>{zwei Blumen gleicher Art}<math> = R \cup N \cup L</math><br /><br />
<math>P(A) = P(R \cup N \cup L) = P(R) + P(N) + P(L) = 6/66 + 15/66 + 1/66 = 1/3</math><br />
<br />
===Bus===<br />
<br />
<math>F =</math> {Besuch bei der Freundin}, <math>U =</math> {Erscheinen in der Universität}<br /><br />
<math>F = \overline{U}</math>, <math>P(U) = 1/10</math>, <math>P(F) = 1 - P(U) = 9/10</math><br /><br />
<math>U =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{U}</math> zur Universität als erster kommt}<br /><br />
<math>F =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{F}</math> zur Freundin als erster kommt}<br /><br />
<math>U =</math> {<math>m_{1}</math>, <math>m_{2}</math>, …, <math>m_{k}</math>} mit <math>m_{i}</math> für <math>B_{U}</math> günstige Minute<br /><br />
<math>P(U) = \frac{\mbox{Zahl der für Uni. günstigen Minuten}}{\mbox{Gesamtzahl der Minuten}}=\frac{k}{20} = \frac{1}{10}= \frac{2}{20}</math><br /><br />
<br /><br />
Abfahrtszeiten zur Universität sind somit <math>^{\underline{02}}</math>, <math>^{\underline{22}}</math> und <math>^{ \underline{42}}</math><br /><br />
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.<br /><br />
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus <math>B_{U}</math> <math>^{\underline{10}}</math>, <math>^{\underline{30}}</math> und <math>^{\underline{50}}</math> gegeben.<br />
<br />
===Eigener PKW===<br />
<br />
<math>A_1</math> = "Bürokraft ist weiblich"<br /><br />
<math>A_2</math> = "Bürokraft ist männlich"<br /><br />
<math>B</math> = "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit" <br /><br />
<math>P(A_1) = 0,6, \quad P(A_2) = 0,4, \quad P(B| A_1) = 0,7, \quad P(B| A_2) = 0,8;</math><br /><br />
<br />
<math>A_1\cap A_2 = \varnothing, \quad A_1\cup A_2 = S;</math><br /><br />
<br />
<math> P(A_1 \| B) = [P(B\| A_1)P(A_1)]/[P(B| A_1)P(A_1)+P(B| A_2)P(A_2)] = 0,42/0,74= 05676 \approx 0,57</math><br />
<br />
===Eignungstest===<br />
<br />
Die Ereignisse <math>A_1=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest}</math> und<br /><br />
<math>A_2=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest nicht}</math> bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums <math>S</math>. Gegeben ist <math>P(A_1)=0,25</math>. Aufgrund von <math>A_2=\overline{A_1}</math> folgt <math>P(A_2)=1-P(A_1)=0,75</math>.<br /><br />
Ferner sind ein zufälliges Ereignis <math>B=\mbox{Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet}</math> und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses <math>P(B|A_1)=0,95</math> und <math>P(B|A_2)</math>=0,10 gegeben.<br /><br />
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A_1|B)</math>. Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayes<math>P(A_1|B)=\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}</math>berechnen. Für <math>P(B)</math> resultiert:<math>P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)=0,3125</math><math>\rightarrow P(A_1|B)=0,76</math><br />
<br />
===Elemente eines Ereignisraumes===<br />
<br />
* Für eine Zerlegung von <math>S</math> muss u.a. gelten: <math>A_1\cup\ldots\cup A_n=S</math>, d.h. es müsste <math>A\cup B=S</math> sein und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).<br />
* Wenn <math>A</math> und <math>B</math> komplementär wären, müsste gelten: <math>A\cup B=S</math> und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht.<br />
* Für disjunkte Ereignisse gilt <math>A\cap B=\varnothing</math> und somit <math>P(A\cap B)=0</math> (Berechnung unter d).<br />
* <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1/2+1/2-3/4=1/4</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=1/2\cdot1/2=1/4</math><br /><br />
oder<br /><br />
<math>P(A|B)=P(A|\overline{B})</math> mit <math>P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=(1/4)/(1/2)=1/2</math> und <math>P(A|\overline{B})=P(A\cap B)/P(\overline{B})=(1/4)/(1/2)=1/2</math><br /><br />
Die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> sind unabhängig.<br />
<br />
===Entwicklungsabteilung===<br />
<br />
* <math>A_{1}</math> = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{2}</math> = {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{3}</math> = {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>P(A_{1} ) = 0,9</math>;<br /><br />
<math>P(A_{2}|A_{1}) = 0,7</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}_{3}|A_{1} \cap A_{2}) = 0,2</math>;<br /><br />
<math>P(A_{3}|A_{1} \cap \overline{A}_{2}) = 0,4</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P(A_{1})<br />
\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot[1 - P(\overline{A}_{3}|A_{1}<br />
\cap A_{2})] = 0,504</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{3}) = P(A_{1}\cap<br />
A_{2} \cap A_{3}) + P(A_{1} \cap<br />
\overline{A}_{2} \cap A_{ 3}) = 0,612</math><br />
<br />
===Ereignisoperationen===<br />
<br />
<math>A \cup A = A</math>; <math>A \cup \emptyset = A</math>; <math>A \cap A = A </math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>; <math>\emptyset \cap S = \emptyset</math><br /><br />
<math>A \cup S = S</math>; <math>A \cup \overline{A} = S</math>; <math>A \cap S = A</math>; <math>A \cap \overline{A} = \emptyset</math><br /><br />
===Ereignisraum===<br />
<br />
Allgemein gilt: <math>P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B)= \frac{1}{4}</math><br />
<br />
* falsch: <math>P(A \cup B)\neq 1</math> und <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(\overline{A})=P(B)</math> aber <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* richtig: <math>P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}=P(A)</math><br />
<br />
===Erregertest===<br />
<br />
I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)<br /><br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(E| I)=0,95</math><br />
* <math>P(E|\overline{I})=0,03 </math><br />
* <math>P(I)=0,02</math><br />
<br /><br />
Daraus ergeben sich:<br /><br />
<math>P(\overline{E}| I)=0,05; P(\overline{E}|\overline{I})=0,97; P(\overline{I})=0,98</math><br /><br />
Gesucht: <math>P(I| E)=P(E\cap I)/P(E)</math><br /><br />
<math>P(E\cap I)=P(E| I)P(I)=0,019</math><br /><br />
<math>P(E)=P(E\cap I)+P(E\cap\overline{I})=P(E|I)P(I)+P(E|\overline{I})P(\overline{I}) =0,0484</math><br /><br />
<math>P(I| E)=0,39256 \approx 0,3926</math><br />
<br />
===Fachbereichsrat===<br />
<br />
<math>A = </math>{drei Professoren werden gewählt}<br /><br />
Anzahl mögliche Fälle: <math>K(n,k) = K(8,3) = 56</math><br /><br />
Anzahl günstiger Fälle für <math>A</math>: <math>K(4,3) = 4</math><br /><br />
<math>P(A) = 4/56 = 1/14 </math><br /><br />
===Fahrrad oder Straßenbahn===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>A=\mbox{Fritzi braucht mehr als 30 Min. bis in die Uni}</math><br /><br />
<math>B_1=\mbox{Fritzi nimmt das Fahrrad}</math><br /><br />
<math>B_2=\mbox{Fritzi nimmt die Straßenbahn}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(B_1)=0,8</math><br />
* <math>P(B_2)=0,2 </math><br />
* <math>P(A|B_1)=0,3</math><br />
* <math>P(A|B_2)=0,6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(B_2|A)&=&\frac{P(A|B_2)\cdot P(B_2)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}\\<br />
&=& 0,\overline{333}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Felgen===<br />
<br />
* <math>P(4) = 24</math><br />
* <math>A</math> = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}<br />
<br />
===Fernschreiben===<br />
<br />
<math>A_{1}</math> = {Fehler bei 1. übertragung}; <math>A_{2}</math> = {Fehler bei 2. übertragung}<br /><br />
<math>A_{1}\cap A_{2}=</math>{Fehler bei 1. und 2. übertragung}; <math>P(A_{1})=0,01; P(A_{2}|A_{1}) = 0,1</math><br /><br />
<math>P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) = 0,001 </math><br /><br />
===Fernsehshow===<br />
<br />
<math>W=\{\mbox{weiße Kugel}\};\quad U_i= \{\mbox{Urne i}\}\quad i=1,2</math><br /><br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:<br /><br />
<math>P(W)=P(W|U_1)\cdot P(U_1)+P(W|U_2)\cdot P(U_2)</math><br /><br />
<math>P(U_1)=P(U_2)=1/2</math><br /><br />
1. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>2S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/8</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>10S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/16</math><br /><br />
<math>P(W)=6/8\cdot1/2+6/16\cdot1/2=9/16=0,5625</math><br /><br />
2. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/12</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/12</math><br /><br />
<math>P(W)=6/12\cdot1/2+6/12\cdot1/2=1/2=0,5</math><br /><br />
===Fußballmannschaft===<br />
<br />
<math>A = </math>{Gewinn beim 1. Spiel}; <math>B = </math>{Gewinn beim 2. Spiel}; <math>C = </math>{Gewinn beim 3. Spiel};<br /><br />
<math>P(A) = P(B) = P(C) = 0,7</math><br /><br />
<math>D = </math>{Gewinnspiele überwiegen} = <math>[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)<br />
\cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)] </math><br /><br />
<math>P(D) = 0,784</math><br /><br />
===Gangsterbande===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>D=\mbox{Donnerstag}</math>;<math>\overline{D}=\mbox{nicht Donnerstag}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Scotland Yard fasst Täter am selben Tag}</math>,<br /><br />
<math>H=\mbox{Sherlock Holmes fasst Täter am selben Tag}</math><br /><br />
<math>G=\mbox{Täter am selben Tag im Gefängnis}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
<math>P(Y)=P(Y|D)=P(Y|\overline{D})=0,25;\quad P(H|D)=0,00;\quad P(H|\overline{D})=0,35;</math><br /><br />
<math>P(D)=1/6;\quad P(\overline{D})=5/6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(G|D)&=&P(Y|D)=0,25\\<br />
P(G|\overline{D})&=&P(Y\cup H|\overline{D})\\<br />
&=&P(Y|\overline{D})+P(H|\overline{D})-P(Y\cap H|\overline{D})\\<br />
&=&0,25+0,35-0,25\cdot0,35=0,5125\\<br />
P(G)&=&P(G|D)\cdot P(D)+P(G|\overline{D})\cdot P(\overline{D})\\<br />
&=&0,25\cdot1/6+0,5125\cdot5/6=0,46875\approx0,47<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Garderobe===<br />
<br />
Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.<br /><br />
<math>A = </math>{jeder Mann bekommt seinen Hut}, <math>P(A) = 1/120 </math><br /><br />
===Geburtstag===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:</p><br />
<ul><br />
<li><p><math>A</math>: Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li><br />
<li><p><math>\overline{A}</math>: Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li></ul><br />
<br />
<p>Wenn die</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Wahrscheinlichkeitsrechnung/L%C3%B6sungen&diff=2322
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen
2020-07-15T13:18:57Z
<p>Petrescc: /* Ausschussteile */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===15 Cent===<br />
<br />
* <math>A = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}<br /><br />
<math> P(A) = 3/8</math><br />
* <math>B = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}<br /><br />
<math>P(B) = 0,333</math><br />
<br />
===1950–2000===<br />
<br />
<math>E_{0}</math> = {keine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
<math>E_{1}</math> = {eine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
…<br /><br />
<math>E_{10}</math> = {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}<br /><br />
<math>A = E_{2}</math>, <math>B_{1} = \{E_{2}, E_{3},\ldots, E_{10}\}</math>, <math>B_{2} = E_{1}</math><br /><br />
<math>A \cap B_{2} = \emptyset</math> und <math>B_{1} \cap B_{2} = \emptyset</math><br /><br />
===Altbauwohnung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Wir betrachten die Ereignisse:</p><br />
<ul><br />
<li><p>F: Wasserzufuhr friert ein</p></li><br />
<li><p>S: Strom fällt aus</p></li><br />
<li><p>W: Es ist Winterzeit.</p></li></ul><br />
<br />
<p>Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:</p><br />
<ol><br />
<li><p>''Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.'' <math>P(F\cap S|W) = P(F|W)\cdot P(S|W) \mbox{ und } P(F\cap S|\overline{W}) = P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W})</math></p></li><br />
<li><p>''So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.'' <math>P(F|W) = 0,8 \mbox{ und } P(F|\overline{W}) = 0</math></p></li><br />
<li><p>''Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.'' <math>P(S|\overline{W}) = 0,4 \mbox{ und } P(\overline{S}|W) = 0,4</math></p></li><br />
<li><p>''Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.'' <math>P(W) = 0,3</math></p></li></ol><br />
</li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F)</math>. Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(F) &= P(F\cap W) + P(F\cap\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)P(W)+P(F|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,8 \cdot 0,3 +0 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,24. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(S)</math>. Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit <math>\begin{align}<br />
P(S) &= P(S\cap W) + P(S\cap\overline{W})\\<br />
&= P(S|W)P(W)+P(S|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,46. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F\cap S)</math>: <math>\begin{align}<br />
P(F\cap S) &=P(F\cap S|W) P(W)+ P(F\cap S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)\cdot P(S|W)\cdot P(W) + P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&=0,8\cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,6 \cdot 0,7\\<br />
&=0,144 \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(F|S)</math>. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen: <math>\begin{align}<br />
P(F|S)&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,46}\approx 0,313.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S|F)</math>. Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P(S|F)]&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,24}=0,6.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S\cup F)</math>. Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben <math>\begin{align}<br />
P(S\cup F) &= P(S)+P(F)-P(S\cap F)\\<br />
&=0,24+0,46-0,144 \\<br />
&=0,556.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline{S\cap F})</math>. Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten <math>\begin{align}<br />
P(\overline{S\cap F}) &=1-P(S\cap F)\\<br />
&=1-0,144 \\<br />
&=0,856. \end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Alter===<br />
<br />
<math>A = </math>{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; <math>P(A) = 0,82277</math><br /><br />
<math>B = </math>{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; <math>P(B) = 0,37977</math><br /><br />
<math>P(B|A) = 0,4616</math>; (<math>B \subset A</math> !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit<br /><br />
===Angler===<br />
<br />
<math>A_{i}</math> = {Angeln am See i}; <math>i = 1,2,3</math>; <math>P(A_{i}) = 1/3</math><br /><br />
<math>B = </math>{Angler hat etwas gefangen}; <math>P(B|A_{1}) = 2/3</math>; <math>P(B|A_{2}) = 3/4</math>;<br /><br />
<math>P(B|A_{3}) = 4/5 \rightarrow P(B) = 133/180</math>; Formel für totale Wahrscheinlichkeit<br /><br />
<math>P(A_{2}|B) = 0,3383</math>; Satz von Bayes<br /><br />
===Antriebswellen===<br />
<br />
* Für die Überprüfung der <math>i</math>-ten Welle, mit <math>i=1,\dots,10000</math>, bezeichne <br />
<math>x_i = {\left \{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{falls Welle i kein Ausschuss} \\<br />
1 & \text{falls Welle i Ausschuss}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
das Ergebnis des <math>i</math>-ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch <math>\begin{align}<br />
S=\{0,1\}<br />
\end{align}</math> mit den Elementarereignissen <math>\begin{align}<br />
\{0\} &= \text{``Kein Ausschuss wird produziert''}, \\<br />
\{1\} &= \text{``Ausschuss wird produziert''}.<br />
\end{align}</math> Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten <math>h</math> die relativen Häufigkeiten <math>\hat{f}</math> für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
h(0) &= \sum\limits_{i=1}^{10000}I(x_i = 0 ) = 4500 + 5200 = 9700, \\<br />
h(1) &= 10000 - h(0) = 300, \text{da alle } x_i \text{ binär} \\<br />
\hat{f}(0) &= \frac{h(0)}{10000} = 0.97 \approx P(\{0\}), \\<br />
\hat{f}(1) &= \frac{h(1)}{10000} = 0.03 \approx P(\{1\}) = P(\text{Ausschuss wird produziert}).<br />
\end{align}</math><br />
* Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: <math>\begin{align}<br />
P(\{0\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(0),\\<br />
P(\{1\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(1),<br />
\end{align}</math> wobei <math>\hat{f}_{n}</math> die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> angibt. Da hier <math>n=10000</math> relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.<br />
<br />
===Aufzug===<br />
<br />
* Ergebnisse: <math>(i,j,k)</math> mit Person 1 steigt in Etage <math>i</math> aus, Person 2 in Etage <math>j</math> und Person 3 in Etage <math>k</math><br />
* Elementarereignisse: <math>\{(i,j,k)\}</math> mit <math>2\leq i,j,k \leq 7</math><br />
* Ereignisraum: <math>S=\{(2,2,2), (2,2,3), \ldots, (7,7,7)\}</math><br />
* Anzahl der Elementarereignisse: <math>6\cdot6\cdot6=216</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V^W(6;3)=6^3=216</math><br />
* <math>A = \{(4,4,4)\} \rightarrow P(A) = 1/216</math><br />
* <math>B = \{(2,2,2), \ldots, (7,7,7)\}\Rightarrow P(B) = 6/216 = 1/36</math><br />
* <math>C = \{(2,3,4), (2,3,5), \ldots, (7, 6, 5) \}</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V(6;3)=\frac{6!}{3!}=120\Rightarrow P(C) = 120/216 = 5/9</math><br />
<br />
===Augenzahl eines Würfels===<br />
<br />
<math>A = \emptyset</math>, <math>B =\emptyset \quad {\rightarrow}</math> <math> A = B </math><br /><br />
===Ausschussteile===<br />
<br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(B)&=&P(B|C)P(C)+P(B|\overline{C})(1-P(C)) \\<br />
&=&0,95\cdot0,05+0,1\cdot0,95 \\<br />
&=&0,1425\\ \\<br />
P(B)&=&P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)P(A_2)&=&P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)&=&[P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)]/P(A_2)\\<br />
&=&(0,1425-0,8\cdot0,1-0,6\cdot0,05)/0,0422 \\<br />
&=&0,0325/0,0422=0,77014<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Banknoten===<br />
<br />
Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.<br /><br />
Gegeben: <math>P(E|\overline{B})=0,9</math>; <math>P(E|B)=0,05</math>; <math>P(\overline{B})=0,002</math>.<br /><br />
Gesucht: <math>P(B|E)</math><br /><br />
Anwendung des Satzes von Bayes:<br /><br />
<math>P(B|E)=\frac{P(B\cap B)}{P(E)}=\frac{P(E|B)\cdot P(B)}{P(E|B)\cdot P(B)+P(E|\overline{B})\cdot P(\overline{B})}</math> <math>=0,9652</math><br />
<br />
===Bauernwirtschaft===<br />
<br />
* Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher <math>S=\{e_1,...,e_9 \},</math> mit <math>e_{1}</math> = {0,0}, <math>e_{2}</math> = {0,1}, <math>e_{3}</math> = {0,2}, <math>e_{4}</math> = {1,0}, <math>e_{5}</math> = {1,1}, <math>e_{6}</math> = {1,2}, <math>e_{7}</math> = {2,0}, <math>e_{ 8}</math> = {2,1}, <math>e_{9} = \{2,2\} </math>.<br />
* Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden: <math>V^{W}(3,2) = 3^2= 9.</math><br />
* <math>A \cap B = \{1,1\} </math> Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.<br />
<br />
===Biergärten===<br />
<br />
'''Gegeben:'''<br /><br />
<br />
A= {Gast aus Biergarten A},<math>\quad P(A)=0,6</math><br /><br />
B= {Gast aus Biergarten B}, <math>\quad P(B)=0,3</math><br /><br />
C= {Gast aus Biergarten C}, <math>\quad P(C)=0,1</math><br /><br />
U= {unzufriedener Gast } mit<br /><br />
<math>P(U|A)=0,1;\;P(U|B)=0,4;\;P(U|C)=0,7</math><br /><br />
'''Gesucht:'''<br /><br />
<math>P(B|U)</math><br /><br />
'''Theorem von Bayes:''' <math>P(B|U)=\frac{P(U|B)P(B)}{P(U|A)P(A)+P(U|B)P(B)+P(U|C)P(C)}</math><br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(U|A)P(A)&=0,1\cdot0,6=0,06\\<br />
P(U|B)P(B)&=0,4\cdot0,3=0,12\\<br />
P(U|C)P(C)&=0,7\cdot0,1=0,07\\<br />
\sum P(U|i)P(i)&=0,25\\<br />
P(B|U)&=0,12/0,25=0,48\\\end{aligned}</math><br />
<br />
===Blumen===<br />
<br />
<math>R = </math>{Rose, Rose}, <math>N = </math>{Narzisse, Narzisse}, <math>L = </math>{Lilie, Lilie}<br /><br />
<math>A = </math>{zwei Blumen gleicher Art}<math> = R \cup N \cup L</math><br /><br />
<math>P(A) = P(R \cup N \cup L) = P(R) + P(N) + P(L) = 6/66 + 15/66 + 1/66 = 1/3</math><br />
<br />
===Bus===<br />
<br />
<math>F =</math> {Besuch bei der Freundin}, <math>U =</math> {Erscheinen in der Universität}<br /><br />
<math>F = \overline{U}</math>, <math>P(U) = 1/10</math>, <math>P(F) = 1 - P(U) = 9/10</math><br /><br />
<math>U =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{U}</math> zur Universität als erster kommt}<br /><br />
<math>F =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{F}</math> zur Freundin als erster kommt}<br /><br />
<math>U =</math> {<math>m_{1}</math>, <math>m_{2}</math>, …, <math>m_{k}</math>} mit <math>m_{i}</math> für <math>B_{U}</math> günstige Minute<br /><br />
<math>P(U) = \frac{\mbox{Zahl der für Uni. günstigen Minuten}}{\mbox{Gesamtzahl der Minuten}}=\frac{k}{20} = \frac{1}{10}= \frac{2}{20}</math><br /><br />
<br /><br />
Abfahrtszeiten zur Universität sind somit <math>^{\underline{02}}</math>, <math>^{\underline{22}}</math> und <math>^{ \underline{42}}</math><br /><br />
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.<br /><br />
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus <math>B_{U}</math> <math>^{\underline{10}}</math>, <math>^{\underline{30}}</math> und <math>^{\underline{50}}</math> gegeben.<br />
<br />
===Eigener PKW===<br />
<br />
<math>A_1</math> = "Bürokraft ist weiblich"<br /><br />
<math>A_2</math> = "Bürokraft ist männlich"<br /><br />
<math>B</math> = "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit" <br /><br />
<math>P(A_1) = 0,6, \quad P(A_2) = 0,4, \quad P(B| A_1) = 0,7, \quad P(B| A_2) = 0,8;</math><br /><br />
<br />
<math>A_1\cap A_2 = \varnothing, \quad A_1\cup A_2 = S;</math><br /><br />
<br />
<math> P(A_1 \| B) = [P(B\| A_1)P(A_1)]/[P(B| A_1)P(A_1)+P(B| A_2)P(A_2)] = 0,42/0,74= 05676 \approx 0,57</math><br />
<br />
===Eignungstest===<br />
<br />
Die Ereignisse <math>A_1=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest}</math> und<br /><br />
<math>A_2=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest nicht}</math> bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums <math>S</math>. Gegeben ist <math>P(A_1)=0,25</math>. Aufgrund von <math>A_2=\overline{A_1}</math> folgt <math>P(A_2)=1-P(A_1)=0,75</math>.<br /><br />
Ferner sind ein zufälliges Ereignis <math>B=\mbox{Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet}</math> und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses <math>P(B|A_1)=0,95</math> und <math>P(B|A_2)</math>=0,10 gegeben.<br /><br />
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A_1|B)</math>. Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayes<math>P(A_1|B)=\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}</math>berechnen. Für <math>P(B)</math> resultiert:<math>P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)=0,3125</math><math>\rightarrow P(A_1|B)=0,76</math><br />
<br />
===Elemente eines Ereignisraumes===<br />
<br />
* Für eine Zerlegung von <math>S</math> muss u.a. gelten: <math>A_1\cup\ldots\cup A_n=S</math>, d.h. es müsste <math>A\cup B=S</math> sein und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).<br />
* Wenn <math>A</math> und <math>B</math> komplementär wären, müsste gelten: <math>A\cup B=S</math> und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht.<br />
* Für disjunkte Ereignisse gilt <math>A\cap B=\varnothing</math> und somit <math>P(A\cap B)=0</math> (Berechnung unter d).<br />
* <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1/2+1/2-3/4=1/4</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=1/2\cdot1/2=1/4</math><br /><br />
oder<br /><br />
<math>P(A|B)=P(A|\overline{B})</math> mit <math>P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=(1/4)/(1/2)=1/2</math> und <math>P(A|\overline{B})=P(A\cap B)/P(\overline{B})=(1/4)/(1/2)=1/2</math><br /><br />
Die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> sind unabhängig.<br />
<br />
===Entwicklungsabteilung===<br />
<br />
* <math>A_{1}</math> = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{2}</math> = {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{3}</math> = {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>P(A_{1} ) = 0,9</math>;<br /><br />
<math>P(A_{2}|A_{1}) = 0,7</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}_{3}|A_{1} \cap A_{2}) = 0,2</math>;<br /><br />
<math>P(A_{3}|A_{1} \cap \overline{A}_{2}) = 0,4</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P(A_{1})<br />
\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot[1 - P(\overline{A}_{3}|A_{1}<br />
\cap A_{2})] = 0,504</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{3}) = P(A_{1}\cap<br />
A_{2} \cap A_{3}) + P(A_{1} \cap<br />
\overline{A}_{2} \cap A_{ 3}) = 0,612</math><br />
<br />
===Ereignisoperationen===<br />
<br />
<math>A \cup A = A</math>; <math>A \cup \emptyset = A</math>; <math>A \cap A = A </math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>; <math>\emptyset \cap S = \emptyset</math><br /><br />
<math>A \cup S = S</math>; <math>A \cup \overline{A} = S</math>; <math>A \cap S = A</math>; <math>A \cap \overline{A} = \emptyset</math><br /><br />
===Ereignisraum===<br />
<br />
Allgemein gilt: <math>P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B)= \frac{1}{4}</math><br />
<br />
* falsch: <math>P(A \cup B)\neq 1</math> und <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(\overline{A})=P(B)</math> aber <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* richtig: <math>P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}=P(A)</math><br />
<br />
===Erregertest===<br />
<br />
I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)<br /><br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(E| I)=0,95</math><br />
* <math>P(E|\overline{I})=0,03 </math><br />
* <math>P(I)=0,02</math><br />
<br /><br />
Daraus ergeben sich:<br /><br />
<math>P(\overline{E}| I)=0,05; P(\overline{E}|\overline{I})=0,97; P(\overline{I})=0,98</math><br /><br />
Gesucht: <math>P(I| E)=P(E\cap I)/P(E)</math><br /><br />
<math>P(E\cap I)=P(E| I)P(I)=0,019</math><br /><br />
<math>P(E)=P(E\cap I)+P(E\cap\overline{I})=P(E|I)P(I)+P(E|\overline{I})P(\overline{I}) =0,0484</math><br /><br />
<math>P(I| E)=0,39256 \approx 0,3926</math><br />
<br />
===Fachbereichsrat===<br />
<br />
<math>A = </math>{drei Professoren werden gewählt}<br /><br />
Anzahl mögliche Fälle: <math>K(n,k) = K(8,3) = 56</math><br /><br />
Anzahl günstiger Fälle für <math>A</math>: <math>K(4,3) = 4</math><br /><br />
<math>P(A) = 4/56 = 1/14 </math><br /><br />
===Fahrrad oder Straßenbahn===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>A=\mbox{Fritzi braucht mehr als 30 Min. bis in die Uni}</math><br /><br />
<math>B_1=\mbox{Fritzi nimmt das Fahrrad}</math><br /><br />
<math>B_2=\mbox{Fritzi nimmt die Straßenbahn}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(B_1)=0,8</math><br />
* <math>P(B_2)=0,2 </math><br />
* <math>P(A|B_1)=0,3</math><br />
* <math>P(A|B_2)=0,6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(B_2|A)&=&\frac{P(A|B_2)\cdot P(B_2)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}\\<br />
&=& 0,\overline{333}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Felgen===<br />
<br />
* <math>P(4) = 24</math><br />
* <math>A</math> = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}<br />
<br />
===Fernschreiben===<br />
<br />
<math>A_{1}</math> = {Fehler bei 1. übertragung}; <math>A_{2}</math> = {Fehler bei 2. übertragung}<br /><br />
<math>A_{1}\cap A_{2}=</math>{Fehler bei 1. und 2. übertragung}; <math>P(A_{1})=0,01; P(A_{2}|A_{1}) = 0,1</math><br /><br />
<math>P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) = 0,001 </math><br /><br />
===Fernsehshow===<br />
<br />
<math>W=\{\mbox{weiße Kugel}\};\quad U_i= \{\mbox{Urne i}\}\quad i=1,2</math><br /><br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:<br /><br />
<math>P(W)=P(W|U_1)\cdot P(U_1)+P(W|U_2)\cdot P(U_2)</math><br /><br />
<math>P(U_1)=P(U_2)=1/2</math><br /><br />
1. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>2S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/8</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>10S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/16</math><br /><br />
<math>P(W)=6/8\cdot1/2+6/16\cdot1/2=9/16=0,5625</math><br /><br />
2. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/12</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/12</math><br /><br />
<math>P(W)=6/12\cdot1/2+6/12\cdot1/2=1/2=0,5</math><br /><br />
===Fußballmannschaft===<br />
<br />
<math>A = </math>{Gewinn beim 1. Spiel}; <math>B = </math>{Gewinn beim 2. Spiel}; <math>C = </math>{Gewinn beim 3. Spiel};<br /><br />
<math>P(A) = P(B) = P(C) = 0,7</math><br /><br />
<math>D = </math>{Gewinnspiele überwiegen} = <math>[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)<br />
\cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)] </math><br /><br />
<math>P(D) = 0,784</math><br /><br />
===Gangsterbande===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>D=\mbox{Donnerstag}</math>;<math>\overline{D}=\mbox{nicht Donnerstag}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Scotland Yard fasst Täter am selben Tag}</math>,<br /><br />
<math>H=\mbox{Sherlock Holmes fasst Täter am selben Tag}</math><br /><br />
<math>G=\mbox{Täter am selben Tag im Gefängnis}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
<math>P(Y)=P(Y|D)=P(Y|\overline{D})=0,25;\quad P(H|D)=0,00;\quad P(H|\overline{D})=0,35;</math><br /><br />
<math>P(D)=1/6;\quad P(\overline{D})=5/6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(G|D)&=&P(Y|D)=0,25\\<br />
P(G|\overline{D})&=&P(Y\cup H|\overline{D})\\<br />
&=&P(Y|\overline{D})+P(H|\overline{D})-P(Y\cap H|\overline{D})\\<br />
&=&0,25+0,35-0,25\cdot0,35=0,5125\\<br />
P(G)&=&P(G|D)\cdot P(D)+P(G|\overline{D})\cdot P(\overline{D})\\<br />
&=&0,25\cdot1/6+0,5125\cdot5/6=0,46875\approx0,47<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Garderobe===<br />
<br />
Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.<br /><br />
<math>A = </math>{jeder Mann bekommt seinen Hut}, <math>P(A) = 1/120 </math><br /><br />
===Geburtstag===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:</p><br />
<ul><br />
<li><p><math>A</math>: Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li><br />
<li><p><math>\overline{A}</math>: Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li></ul><br />
<br />
<p>Wenn die</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Wahrscheinlichkeitsrechnung/L%C3%B6sungen&diff=2321
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen
2020-07-15T13:18:44Z
<p>Petrescc: /* Antriebswellen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===15 Cent===<br />
<br />
* <math>A = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}<br /><br />
<math> P(A) = 3/8</math><br />
* <math>B = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}<br /><br />
<math>P(B) = 0,333</math><br />
<br />
===1950–2000===<br />
<br />
<math>E_{0}</math> = {keine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
<math>E_{1}</math> = {eine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
…<br /><br />
<math>E_{10}</math> = {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}<br /><br />
<math>A = E_{2}</math>, <math>B_{1} = \{E_{2}, E_{3},\ldots, E_{10}\}</math>, <math>B_{2} = E_{1}</math><br /><br />
<math>A \cap B_{2} = \emptyset</math> und <math>B_{1} \cap B_{2} = \emptyset</math><br /><br />
===Altbauwohnung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Wir betrachten die Ereignisse:</p><br />
<ul><br />
<li><p>F: Wasserzufuhr friert ein</p></li><br />
<li><p>S: Strom fällt aus</p></li><br />
<li><p>W: Es ist Winterzeit.</p></li></ul><br />
<br />
<p>Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:</p><br />
<ol><br />
<li><p>''Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.'' <math>P(F\cap S|W) = P(F|W)\cdot P(S|W) \mbox{ und } P(F\cap S|\overline{W}) = P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W})</math></p></li><br />
<li><p>''So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.'' <math>P(F|W) = 0,8 \mbox{ und } P(F|\overline{W}) = 0</math></p></li><br />
<li><p>''Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.'' <math>P(S|\overline{W}) = 0,4 \mbox{ und } P(\overline{S}|W) = 0,4</math></p></li><br />
<li><p>''Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.'' <math>P(W) = 0,3</math></p></li></ol><br />
</li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F)</math>. Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(F) &= P(F\cap W) + P(F\cap\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)P(W)+P(F|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,8 \cdot 0,3 +0 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,24. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(S)</math>. Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit <math>\begin{align}<br />
P(S) &= P(S\cap W) + P(S\cap\overline{W})\\<br />
&= P(S|W)P(W)+P(S|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,46. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F\cap S)</math>: <math>\begin{align}<br />
P(F\cap S) &=P(F\cap S|W) P(W)+ P(F\cap S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)\cdot P(S|W)\cdot P(W) + P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&=0,8\cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,6 \cdot 0,7\\<br />
&=0,144 \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(F|S)</math>. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen: <math>\begin{align}<br />
P(F|S)&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,46}\approx 0,313.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S|F)</math>. Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P(S|F)]&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,24}=0,6.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S\cup F)</math>. Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben <math>\begin{align}<br />
P(S\cup F) &= P(S)+P(F)-P(S\cap F)\\<br />
&=0,24+0,46-0,144 \\<br />
&=0,556.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline{S\cap F})</math>. Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten <math>\begin{align}<br />
P(\overline{S\cap F}) &=1-P(S\cap F)\\<br />
&=1-0,144 \\<br />
&=0,856. \end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Alter===<br />
<br />
<math>A = </math>{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; <math>P(A) = 0,82277</math><br /><br />
<math>B = </math>{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; <math>P(B) = 0,37977</math><br /><br />
<math>P(B|A) = 0,4616</math>; (<math>B \subset A</math> !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit<br /><br />
===Angler===<br />
<br />
<math>A_{i}</math> = {Angeln am See i}; <math>i = 1,2,3</math>; <math>P(A_{i}) = 1/3</math><br /><br />
<math>B = </math>{Angler hat etwas gefangen}; <math>P(B|A_{1}) = 2/3</math>; <math>P(B|A_{2}) = 3/4</math>;<br /><br />
<math>P(B|A_{3}) = 4/5 \rightarrow P(B) = 133/180</math>; Formel für totale Wahrscheinlichkeit<br /><br />
<math>P(A_{2}|B) = 0,3383</math>; Satz von Bayes<br /><br />
===Antriebswellen===<br />
<br />
* Für die Überprüfung der <math>i</math>-ten Welle, mit <math>i=1,\dots,10000</math>, bezeichne <br />
<math>x_i = {\left \{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{falls Welle i kein Ausschuss} \\<br />
1 & \text{falls Welle i Ausschuss}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
das Ergebnis des <math>i</math>-ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch <math>\begin{align}<br />
S=\{0,1\}<br />
\end{align}</math> mit den Elementarereignissen <math>\begin{align}<br />
\{0\} &= \text{``Kein Ausschuss wird produziert''}, \\<br />
\{1\} &= \text{``Ausschuss wird produziert''}.<br />
\end{align}</math> Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten <math>h</math> die relativen Häufigkeiten <math>\hat{f}</math> für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
h(0) &= \sum\limits_{i=1}^{10000}I(x_i = 0 ) = 4500 + 5200 = 9700, \\<br />
h(1) &= 10000 - h(0) = 300, \text{da alle } x_i \text{ binär} \\<br />
\hat{f}(0) &= \frac{h(0)}{10000} = 0.97 \approx P(\{0\}), \\<br />
\hat{f}(1) &= \frac{h(1)}{10000} = 0.03 \approx P(\{1\}) = P(\text{Ausschuss wird produziert}).<br />
\end{align}</math><br />
* Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: <math>\begin{align}<br />
P(\{0\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(0),\\<br />
P(\{1\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(1),<br />
\end{align}</math> wobei <math>\hat{f}_{n}</math> die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> angibt. Da hier <math>n=10000</math> relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.<br />
<br />
===Aufzug===<br />
<br />
* Ergebnisse: <math>(i,j,k)</math> mit Person 1 steigt in Etage <math>i</math> aus, Person 2 in Etage <math>j</math> und Person 3 in Etage <math>k</math><br />
* Elementarereignisse: <math>\{(i,j,k)\}</math> mit <math>2\leq i,j,k \leq 7</math><br />
* Ereignisraum: <math>S=\{(2,2,2), (2,2,3), \ldots, (7,7,7)\}</math><br />
* Anzahl der Elementarereignisse: <math>6\cdot6\cdot6=216</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V^W(6;3)=6^3=216</math><br />
* <math>A = \{(4,4,4)\} \rightarrow P(A) = 1/216</math><br />
* <math>B = \{(2,2,2), \ldots, (7,7,7)\}\Rightarrow P(B) = 6/216 = 1/36</math><br />
* <math>C = \{(2,3,4), (2,3,5), \ldots, (7, 6, 5) \}</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V(6;3)=\frac{6!}{3!}=120\Rightarrow P(C) = 120/216 = 5/9</math><br />
<br />
===Augenzahl eines Würfels===<br />
<br />
<math>A = \emptyset</math>, <math>B =\emptyset \quad {\rightarrow}</math> <math> A = B </math><br /><br />
===Ausschussteile===<br />
<br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{aligned}<br />
P(B)&=&P(B|C)P(C)+P(B|\overline{C})(1-P(C)) \\<br />
&=&0,95\cdot0,05+0,1\cdot0,95 \\<br />
&=&0,1425\\ \\<br />
P(B)&=&P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)P(A_2)&=&P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)&=&[P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)]/P(A_2)\\<br />
&=&(0,1425-0,8\cdot0,1-0,6\cdot0,05)/0,0422 \\<br />
&=&0,0325/0,0422=0,77014<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Banknoten===<br />
<br />
Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.<br /><br />
Gegeben: <math>P(E|\overline{B})=0,9</math>; <math>P(E|B)=0,05</math>; <math>P(\overline{B})=0,002</math>.<br /><br />
Gesucht: <math>P(B|E)</math><br /><br />
Anwendung des Satzes von Bayes:<br /><br />
<math>P(B|E)=\frac{P(B\cap B)}{P(E)}=\frac{P(E|B)\cdot P(B)}{P(E|B)\cdot P(B)+P(E|\overline{B})\cdot P(\overline{B})}</math> <math>=0,9652</math><br />
<br />
===Bauernwirtschaft===<br />
<br />
* Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher <math>S=\{e_1,...,e_9 \},</math> mit <math>e_{1}</math> = {0,0}, <math>e_{2}</math> = {0,1}, <math>e_{3}</math> = {0,2}, <math>e_{4}</math> = {1,0}, <math>e_{5}</math> = {1,1}, <math>e_{6}</math> = {1,2}, <math>e_{7}</math> = {2,0}, <math>e_{ 8}</math> = {2,1}, <math>e_{9} = \{2,2\} </math>.<br />
* Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden: <math>V^{W}(3,2) = 3^2= 9.</math><br />
* <math>A \cap B = \{1,1\} </math> Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.<br />
<br />
===Biergärten===<br />
<br />
'''Gegeben:'''<br /><br />
<br />
A= {Gast aus Biergarten A},<math>\quad P(A)=0,6</math><br /><br />
B= {Gast aus Biergarten B}, <math>\quad P(B)=0,3</math><br /><br />
C= {Gast aus Biergarten C}, <math>\quad P(C)=0,1</math><br /><br />
U= {unzufriedener Gast } mit<br /><br />
<math>P(U|A)=0,1;\;P(U|B)=0,4;\;P(U|C)=0,7</math><br /><br />
'''Gesucht:'''<br /><br />
<math>P(B|U)</math><br /><br />
'''Theorem von Bayes:''' <math>P(B|U)=\frac{P(U|B)P(B)}{P(U|A)P(A)+P(U|B)P(B)+P(U|C)P(C)}</math><br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(U|A)P(A)&=0,1\cdot0,6=0,06\\<br />
P(U|B)P(B)&=0,4\cdot0,3=0,12\\<br />
P(U|C)P(C)&=0,7\cdot0,1=0,07\\<br />
\sum P(U|i)P(i)&=0,25\\<br />
P(B|U)&=0,12/0,25=0,48\\\end{aligned}</math><br />
<br />
===Blumen===<br />
<br />
<math>R = </math>{Rose, Rose}, <math>N = </math>{Narzisse, Narzisse}, <math>L = </math>{Lilie, Lilie}<br /><br />
<math>A = </math>{zwei Blumen gleicher Art}<math> = R \cup N \cup L</math><br /><br />
<math>P(A) = P(R \cup N \cup L) = P(R) + P(N) + P(L) = 6/66 + 15/66 + 1/66 = 1/3</math><br />
<br />
===Bus===<br />
<br />
<math>F =</math> {Besuch bei der Freundin}, <math>U =</math> {Erscheinen in der Universität}<br /><br />
<math>F = \overline{U}</math>, <math>P(U) = 1/10</math>, <math>P(F) = 1 - P(U) = 9/10</math><br /><br />
<math>U =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{U}</math> zur Universität als erster kommt}<br /><br />
<math>F =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{F}</math> zur Freundin als erster kommt}<br /><br />
<math>U =</math> {<math>m_{1}</math>, <math>m_{2}</math>, …, <math>m_{k}</math>} mit <math>m_{i}</math> für <math>B_{U}</math> günstige Minute<br /><br />
<math>P(U) = \frac{\mbox{Zahl der für Uni. günstigen Minuten}}{\mbox{Gesamtzahl der Minuten}}=\frac{k}{20} = \frac{1}{10}= \frac{2}{20}</math><br /><br />
<br /><br />
Abfahrtszeiten zur Universität sind somit <math>^{\underline{02}}</math>, <math>^{\underline{22}}</math> und <math>^{ \underline{42}}</math><br /><br />
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.<br /><br />
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus <math>B_{U}</math> <math>^{\underline{10}}</math>, <math>^{\underline{30}}</math> und <math>^{\underline{50}}</math> gegeben.<br />
<br />
===Eigener PKW===<br />
<br />
<math>A_1</math> = "Bürokraft ist weiblich"<br /><br />
<math>A_2</math> = "Bürokraft ist männlich"<br /><br />
<math>B</math> = "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit" <br /><br />
<math>P(A_1) = 0,6, \quad P(A_2) = 0,4, \quad P(B| A_1) = 0,7, \quad P(B| A_2) = 0,8;</math><br /><br />
<br />
<math>A_1\cap A_2 = \varnothing, \quad A_1\cup A_2 = S;</math><br /><br />
<br />
<math> P(A_1 \| B) = [P(B\| A_1)P(A_1)]/[P(B| A_1)P(A_1)+P(B| A_2)P(A_2)] = 0,42/0,74= 05676 \approx 0,57</math><br />
<br />
===Eignungstest===<br />
<br />
Die Ereignisse <math>A_1=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest}</math> und<br /><br />
<math>A_2=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest nicht}</math> bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums <math>S</math>. Gegeben ist <math>P(A_1)=0,25</math>. Aufgrund von <math>A_2=\overline{A_1}</math> folgt <math>P(A_2)=1-P(A_1)=0,75</math>.<br /><br />
Ferner sind ein zufälliges Ereignis <math>B=\mbox{Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet}</math> und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses <math>P(B|A_1)=0,95</math> und <math>P(B|A_2)</math>=0,10 gegeben.<br /><br />
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A_1|B)</math>. Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayes<math>P(A_1|B)=\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}</math>berechnen. Für <math>P(B)</math> resultiert:<math>P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)=0,3125</math><math>\rightarrow P(A_1|B)=0,76</math><br />
<br />
===Elemente eines Ereignisraumes===<br />
<br />
* Für eine Zerlegung von <math>S</math> muss u.a. gelten: <math>A_1\cup\ldots\cup A_n=S</math>, d.h. es müsste <math>A\cup B=S</math> sein und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).<br />
* Wenn <math>A</math> und <math>B</math> komplementär wären, müsste gelten: <math>A\cup B=S</math> und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht.<br />
* Für disjunkte Ereignisse gilt <math>A\cap B=\varnothing</math> und somit <math>P(A\cap B)=0</math> (Berechnung unter d).<br />
* <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1/2+1/2-3/4=1/4</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=1/2\cdot1/2=1/4</math><br /><br />
oder<br /><br />
<math>P(A|B)=P(A|\overline{B})</math> mit <math>P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=(1/4)/(1/2)=1/2</math> und <math>P(A|\overline{B})=P(A\cap B)/P(\overline{B})=(1/4)/(1/2)=1/2</math><br /><br />
Die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> sind unabhängig.<br />
<br />
===Entwicklungsabteilung===<br />
<br />
* <math>A_{1}</math> = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{2}</math> = {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{3}</math> = {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>P(A_{1} ) = 0,9</math>;<br /><br />
<math>P(A_{2}|A_{1}) = 0,7</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}_{3}|A_{1} \cap A_{2}) = 0,2</math>;<br /><br />
<math>P(A_{3}|A_{1} \cap \overline{A}_{2}) = 0,4</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P(A_{1})<br />
\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot[1 - P(\overline{A}_{3}|A_{1}<br />
\cap A_{2})] = 0,504</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{3}) = P(A_{1}\cap<br />
A_{2} \cap A_{3}) + P(A_{1} \cap<br />
\overline{A}_{2} \cap A_{ 3}) = 0,612</math><br />
<br />
===Ereignisoperationen===<br />
<br />
<math>A \cup A = A</math>; <math>A \cup \emptyset = A</math>; <math>A \cap A = A </math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>; <math>\emptyset \cap S = \emptyset</math><br /><br />
<math>A \cup S = S</math>; <math>A \cup \overline{A} = S</math>; <math>A \cap S = A</math>; <math>A \cap \overline{A} = \emptyset</math><br /><br />
===Ereignisraum===<br />
<br />
Allgemein gilt: <math>P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B)= \frac{1}{4}</math><br />
<br />
* falsch: <math>P(A \cup B)\neq 1</math> und <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(\overline{A})=P(B)</math> aber <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* richtig: <math>P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}=P(A)</math><br />
<br />
===Erregertest===<br />
<br />
I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)<br /><br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(E| I)=0,95</math><br />
* <math>P(E|\overline{I})=0,03 </math><br />
* <math>P(I)=0,02</math><br />
<br /><br />
Daraus ergeben sich:<br /><br />
<math>P(\overline{E}| I)=0,05; P(\overline{E}|\overline{I})=0,97; P(\overline{I})=0,98</math><br /><br />
Gesucht: <math>P(I| E)=P(E\cap I)/P(E)</math><br /><br />
<math>P(E\cap I)=P(E| I)P(I)=0,019</math><br /><br />
<math>P(E)=P(E\cap I)+P(E\cap\overline{I})=P(E|I)P(I)+P(E|\overline{I})P(\overline{I}) =0,0484</math><br /><br />
<math>P(I| E)=0,39256 \approx 0,3926</math><br />
<br />
===Fachbereichsrat===<br />
<br />
<math>A = </math>{drei Professoren werden gewählt}<br /><br />
Anzahl mögliche Fälle: <math>K(n,k) = K(8,3) = 56</math><br /><br />
Anzahl günstiger Fälle für <math>A</math>: <math>K(4,3) = 4</math><br /><br />
<math>P(A) = 4/56 = 1/14 </math><br /><br />
===Fahrrad oder Straßenbahn===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>A=\mbox{Fritzi braucht mehr als 30 Min. bis in die Uni}</math><br /><br />
<math>B_1=\mbox{Fritzi nimmt das Fahrrad}</math><br /><br />
<math>B_2=\mbox{Fritzi nimmt die Straßenbahn}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(B_1)=0,8</math><br />
* <math>P(B_2)=0,2 </math><br />
* <math>P(A|B_1)=0,3</math><br />
* <math>P(A|B_2)=0,6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(B_2|A)&=&\frac{P(A|B_2)\cdot P(B_2)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}\\<br />
&=& 0,\overline{333}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Felgen===<br />
<br />
* <math>P(4) = 24</math><br />
* <math>A</math> = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}<br />
<br />
===Fernschreiben===<br />
<br />
<math>A_{1}</math> = {Fehler bei 1. übertragung}; <math>A_{2}</math> = {Fehler bei 2. übertragung}<br /><br />
<math>A_{1}\cap A_{2}=</math>{Fehler bei 1. und 2. übertragung}; <math>P(A_{1})=0,01; P(A_{2}|A_{1}) = 0,1</math><br /><br />
<math>P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) = 0,001 </math><br /><br />
===Fernsehshow===<br />
<br />
<math>W=\{\mbox{weiße Kugel}\};\quad U_i= \{\mbox{Urne i}\}\quad i=1,2</math><br /><br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:<br /><br />
<math>P(W)=P(W|U_1)\cdot P(U_1)+P(W|U_2)\cdot P(U_2)</math><br /><br />
<math>P(U_1)=P(U_2)=1/2</math><br /><br />
1. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>2S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/8</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>10S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/16</math><br /><br />
<math>P(W)=6/8\cdot1/2+6/16\cdot1/2=9/16=0,5625</math><br /><br />
2. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/12</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/12</math><br /><br />
<math>P(W)=6/12\cdot1/2+6/12\cdot1/2=1/2=0,5</math><br /><br />
===Fußballmannschaft===<br />
<br />
<math>A = </math>{Gewinn beim 1. Spiel}; <math>B = </math>{Gewinn beim 2. Spiel}; <math>C = </math>{Gewinn beim 3. Spiel};<br /><br />
<math>P(A) = P(B) = P(C) = 0,7</math><br /><br />
<math>D = </math>{Gewinnspiele überwiegen} = <math>[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)<br />
\cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)] </math><br /><br />
<math>P(D) = 0,784</math><br /><br />
===Gangsterbande===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>D=\mbox{Donnerstag}</math>;<math>\overline{D}=\mbox{nicht Donnerstag}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Scotland Yard fasst Täter am selben Tag}</math>,<br /><br />
<math>H=\mbox{Sherlock Holmes fasst Täter am selben Tag}</math><br /><br />
<math>G=\mbox{Täter am selben Tag im Gefängnis}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
<math>P(Y)=P(Y|D)=P(Y|\overline{D})=0,25;\quad P(H|D)=0,00;\quad P(H|\overline{D})=0,35;</math><br /><br />
<math>P(D)=1/6;\quad P(\overline{D})=5/6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(G|D)&=&P(Y|D)=0,25\\<br />
P(G|\overline{D})&=&P(Y\cup H|\overline{D})\\<br />
&=&P(Y|\overline{D})+P(H|\overline{D})-P(Y\cap H|\overline{D})\\<br />
&=&0,25+0,35-0,25\cdot0,35=0,5125\\<br />
P(G)&=&P(G|D)\cdot P(D)+P(G|\overline{D})\cdot P(\overline{D})\\<br />
&=&0,25\cdot1/6+0,5125\cdot5/6=0,46875\approx0,47<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Garderobe===<br />
<br />
Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.<br /><br />
<math>A = </math>{jeder Mann bekommt seinen Hut}, <math>P(A) = 1/120 </math><br /><br />
===Geburtstag===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:</p><br />
<ul><br />
<li><p><math>A</math>: Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li><br />
<li><p><math>\overline{A}</math>: Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li></ul><br />
<br />
<p>Wenn die</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Wahrscheinlichkeitsrechnung/L%C3%B6sungen&diff=2320
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Lösungen
2020-07-15T13:18:20Z
<p>Petrescc: /* Altbauwohnung */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===15 Cent===<br />
<br />
* <math>A = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen mit Zurücklegen}<br /><br />
<math> P(A) = 3/8</math><br />
* <math>B = </math>{weniger als 15 Cent bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen}<br /><br />
<math>P(B) = 0,333</math><br />
<br />
===1950–2000===<br />
<br />
<math>E_{0}</math> = {keine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
<math>E_{1}</math> = {eine Person erlebt das Jahr 2000}<br /><br />
…<br /><br />
<math>E_{10}</math> = {alle 10 Personen erleben das Jahr 2000}<br /><br />
<math>A = E_{2}</math>, <math>B_{1} = \{E_{2}, E_{3},\ldots, E_{10}\}</math>, <math>B_{2} = E_{1}</math><br /><br />
<math>A \cap B_{2} = \emptyset</math> und <math>B_{1} \cap B_{2} = \emptyset</math><br /><br />
===Altbauwohnung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Wir betrachten die Ereignisse:</p><br />
<ul><br />
<li><p>F: Wasserzufuhr friert ein</p></li><br />
<li><p>S: Strom fällt aus</p></li><br />
<li><p>W: Es ist Winterzeit.</p></li></ul><br />
<br />
<p>Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen entnehmen:</p><br />
<ol><br />
<li><p>''Sowohl im Winter (i.e. gegeben Winter) als auch im Sommer treten die beiden Missstände unabhängig voneinander auf.'' <math>P(F\cap S|W) = P(F|W)\cdot P(S|W) \mbox{ und } P(F\cap S|\overline{W}) = P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W})</math></p></li><br />
<li><p>''So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80%iger Wahrscheinlichkeit.'' <math>P(F|W) = 0,8 \mbox{ und } P(F|\overline{W}) = 0</math></p></li><br />
<li><p>''Der Strom fällt aber, selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40%iger Wahrscheinlichkeit aus. Das entspricht der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.'' <math>P(S|\overline{W}) = 0,4 \mbox{ und } P(\overline{S}|W) = 0,4</math></p></li><br />
<li><p>''Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30% der gesamten Jahreszeit ausmacht.'' <math>P(W) = 0,3</math></p></li></ol><br />
</li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F)</math>. Um diese unbekannte Wahrscheinlichkeit auf die bekannten zurückzuführen, verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{align}<br />
P(F) &= P(F\cap W) + P(F\cap\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)P(W)+P(F|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,8 \cdot 0,3 +0 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,24. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(S)</math>. Wieder verwenden wir den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit <math>\begin{align}<br />
P(S) &= P(S\cap W) + P(S\cap\overline{W})\\<br />
&= P(S|W)P(W)+P(S|\overline{W})P(\overline{W})\\<br />
&=0,6 \cdot 0,3 + 0,4 \cdot 0,7 \\<br />
&= 0,46. \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist <math>P(F\cap S)</math>: <math>\begin{align}<br />
P(F\cap S) &=P(F\cap S|W) P(W)+ P(F\cap S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&= P(F|W)\cdot P(S|W)\cdot P(W) + P(F|\overline{W})\cdot P(S|\overline{W}) P(\overline{W})\\<br />
&=0,8\cdot 0,6 \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,6 \cdot 0,7\\<br />
&=0,144 \end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(F|S)</math>. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die gerade berechneten Wahrscheinlichkeiten zurückführen: <math>\begin{align}<br />
P(F|S)&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,46}\approx 0,313.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S|F)</math>. Wieder mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt <math>\begin{align}<br />
P(S|F)]&=\dfrac{P(F\cap S)}{P(F)}\\<br />
&=\frac{0,144}{0,24}=0,6.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(S\cup F)</math>. Mit der Formel für die Vereinigung zweier Ereignisse gilt unter Verwendung der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben <math>\begin{align}<br />
P(S\cup F) &= P(S)+P(F)-P(S\cap F)\\<br />
&=0,24+0,46-0,144 \\<br />
&=0,556.\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit <math>P(\overline{S\cap F})</math>. Wir nutzen die Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit und erhalten <math>\begin{align}<br />
P(\overline{S\cap F}) &=1-P(S\cap F)\\<br />
&=1-0,144 \\<br />
&=0,856. \end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
===Alter===<br />
<br />
<math>A = </math>{ein Zehnjähriger wird 40 Jahre alt}; <math>P(A) = 0,82277</math><br /><br />
<math>B = </math>{ein Zehnjähriger wird 70 Jahre alt}; <math>P(B) = 0,37977</math><br /><br />
<math>P(B|A) = 0,4616</math>; (<math>B \subset A</math> !); Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit<br /><br />
===Angler===<br />
<br />
<math>A_{i}</math> = {Angeln am See i}; <math>i = 1,2,3</math>; <math>P(A_{i}) = 1/3</math><br /><br />
<math>B = </math>{Angler hat etwas gefangen}; <math>P(B|A_{1}) = 2/3</math>; <math>P(B|A_{2}) = 3/4</math>;<br /><br />
<math>P(B|A_{3}) = 4/5 \rightarrow P(B) = 133/180</math>; Formel für totale Wahrscheinlichkeit<br /><br />
<math>P(A_{2}|B) = 0,3383</math>; Satz von Bayes<br /><br />
===Antriebswellen===<br />
<br />
* Für die Überprüfung der <math>i</math>-ten Welle, mit <math>i=1,\dots,10000</math>, bezeichne <br />
<math>x_i = {\left \{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & \text{falls Welle i kein Ausschuss} \\<br />
1 & \text{falls Welle i Ausschuss}<br />
\end{array}<br />
\right .}</math><br />
<br />
das Ergebnis des <math>i</math>-ten Durchgangs des Zufallsexperiments. Damit ist die Menge aller Ergebnisse des Zufallsexperiments für die Überprüfung einer Welle gegeben durch <math>\begin{aligned}<br />
S=\{0,1\}<br />
\end{aligned}</math> mit den Elementarereignissen <math>\begin{aligned}<br />
\{0\} &= \text{``Kein Ausschuss wird produziert''}, \\<br />
\{1\} &= \text{``Ausschuss wird produziert''}.<br />
\end{aligned}</math> Nun bestimmen wir mithilfe der absoluten Häufigkeiten <math>h</math> die relativen Häufigkeiten <math>\hat{f}</math> für die beiden Ergebnisse “kein Auschuss” und “Auschuss” in unserer Stichprobe vom Umfang 10000. Die relativen Häufigkeiten ziehen wir heran, um die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen: <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
h(0) &= \sum\limits_{i=1}^{10000}I(x_i = 0 ) = 4500 + 5200 = 9700, \\<br />
h(1) &= 10000 - h(0) = 300, \text{da alle } x_i \text{ binär} \\<br />
\hat{f}(0) &= \frac{h(0)}{10000} = 0.97 \approx P(\{0\}), \\<br />
\hat{f}(1) &= \frac{h(1)}{10000} = 0.03 \approx P(\{1\}) = P(\text{Ausschuss wird produziert}).<br />
\end{aligned}</math><br />
* Von Mises, Pearson, Fisher, u. a., fassten Wahrscheinlichkeiten als den Grenzwert der relativen Häufigkeiten auf, wenn die Anzahl unabhängiger Wiederholungen des Zufallsexperiments gegen unendlich strebt (frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). In unserem Beispiel bedeutet dies: <math>\begin{aligned}<br />
P(\{0\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(0),\\<br />
P(\{1\}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f}_{n}(1),<br />
\end{aligned}</math> wobei <math>\hat{f}_{n}</math> die relative Häufigkeit in Bezug auf eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> angibt. Da hier <math>n=10000</math> relativ groß ist, gehen wir davon aus, dass die relativen Häufigkeiten annähernd den Wahrscheinlichkeiten entsprechen.<br />
<br />
===Aufzug===<br />
<br />
* Ergebnisse: <math>(i,j,k)</math> mit Person 1 steigt in Etage <math>i</math> aus, Person 2 in Etage <math>j</math> und Person 3 in Etage <math>k</math><br />
* Elementarereignisse: <math>\{(i,j,k)\}</math> mit <math>2\leq i,j,k \leq 7</math><br />
* Ereignisraum: <math>S=\{(2,2,2), (2,2,3), \ldots, (7,7,7)\}</math><br />
* Anzahl der Elementarereignisse: <math>6\cdot6\cdot6=216</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln mit Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V^W(6;3)=6^3=216</math><br />
* <math>A = \{(4,4,4)\} \rightarrow P(A) = 1/216</math><br />
* <math>B = \{(2,2,2), \ldots, (7,7,7)\}\Rightarrow P(B) = 6/216 = 1/36</math><br />
* <math>C = \{(2,3,4), (2,3,5), \ldots, (7, 6, 5) \}</math><br /><br />
Formal: Ziehe dreimal aus einer Urne mit sechs Kugeln ohne Wiederholung und die Anordnung spielt eine Rolle: <math>V(6;3)=\frac{6!}{3!}=120\Rightarrow P(C) = 120/216 = 5/9</math><br />
<br />
===Augenzahl eines Würfels===<br />
<br />
<math>A = \emptyset</math>, <math>B =\emptyset \quad {\rightarrow}</math> <math> A = B </math><br /><br />
===Ausschussteile===<br />
<br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit: <math>\begin{aligned}<br />
P(B)&=&P(B|C)P(C)+P(B|\overline{C})(1-P(C)) \\<br />
&=&0,95\cdot0,05+0,1\cdot0,95 \\<br />
&=&0,1425\\ \\<br />
P(B)&=&P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)P(A_2)&=&P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)\\<br />
\Leftrightarrow P(B|A_2)&=&[P(B)-P(B|A_1)P(A_1)-P(B|A_3)P(A_3)]/P(A_2)\\<br />
&=&(0,1425-0,8\cdot0,1-0,6\cdot0,05)/0,0422 \\<br />
&=&0,0325/0,0422=0,77014<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Banknoten===<br />
<br />
Es sei E: Bankangestellter erkennt gefälschte Banknote und B: Die Banknote ist echt.<br /><br />
Gegeben: <math>P(E|\overline{B})=0,9</math>; <math>P(E|B)=0,05</math>; <math>P(\overline{B})=0,002</math>.<br /><br />
Gesucht: <math>P(B|E)</math><br /><br />
Anwendung des Satzes von Bayes:<br /><br />
<math>P(B|E)=\frac{P(B\cap B)}{P(E)}=\frac{P(E|B)\cdot P(B)}{P(E|B)\cdot P(B)+P(E|\overline{B})\cdot P(\overline{B})}</math> <math>=0,9652</math><br />
<br />
===Bauernwirtschaft===<br />
<br />
* Wir interessieren uns dafür, ob ein Bauernhof 0, 1 oder 2 Traktoren und, ob er 0, 1 oder 2 Pflüge zur Verfügung hat. Gegeben die Interpretation des Ereignisraum als Menge der Ereignisse, die wir unterscheiden, definieren wir daher <math>S=\{e_1,...,e_9 \},</math> mit <math>e_{1}</math> = {0,0}, <math>e_{2}</math> = {0,1}, <math>e_{3}</math> = {0,2}, <math>e_{4}</math> = {1,0}, <math>e_{5}</math> = {1,1}, <math>e_{6}</math> = {1,2}, <math>e_{7}</math> = {2,0}, <math>e_{ 8}</math> = {2,1}, <math>e_{9} = \{2,2\} </math>.<br />
* Da wir ein karteisches Produkt zweier jeweils 3-elementiger Wahrscheinlichkeitsräume betrachten,und dementsprechend Reihenfolge und Wiederholung möglich ist, können wir die folgende Formel verwenden: <math>V^{W}(3,2) = 3^2= 9.</math><br />
* <math>A \cap B = \{1,1\} </math> Es sind genau ein Traktor und ein Pflug vorhanden.<br />
<br />
===Biergärten===<br />
<br />
'''Gegeben:'''<br /><br />
<br />
A= {Gast aus Biergarten A},<math>\quad P(A)=0,6</math><br /><br />
B= {Gast aus Biergarten B}, <math>\quad P(B)=0,3</math><br /><br />
C= {Gast aus Biergarten C}, <math>\quad P(C)=0,1</math><br /><br />
U= {unzufriedener Gast } mit<br /><br />
<math>P(U|A)=0,1;\;P(U|B)=0,4;\;P(U|C)=0,7</math><br /><br />
'''Gesucht:'''<br /><br />
<math>P(B|U)</math><br /><br />
'''Theorem von Bayes:''' <math>P(B|U)=\frac{P(U|B)P(B)}{P(U|A)P(A)+P(U|B)P(B)+P(U|C)P(C)}</math><br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(U|A)P(A)&=0,1\cdot0,6=0,06\\<br />
P(U|B)P(B)&=0,4\cdot0,3=0,12\\<br />
P(U|C)P(C)&=0,7\cdot0,1=0,07\\<br />
\sum P(U|i)P(i)&=0,25\\<br />
P(B|U)&=0,12/0,25=0,48\\\end{aligned}</math><br />
<br />
===Blumen===<br />
<br />
<math>R = </math>{Rose, Rose}, <math>N = </math>{Narzisse, Narzisse}, <math>L = </math>{Lilie, Lilie}<br /><br />
<math>A = </math>{zwei Blumen gleicher Art}<math> = R \cup N \cup L</math><br /><br />
<math>P(A) = P(R \cup N \cup L) = P(R) + P(N) + P(L) = 6/66 + 15/66 + 1/66 = 1/3</math><br />
<br />
===Bus===<br />
<br />
<math>F =</math> {Besuch bei der Freundin}, <math>U =</math> {Erscheinen in der Universität}<br /><br />
<math>F = \overline{U}</math>, <math>P(U) = 1/10</math>, <math>P(F) = 1 - P(U) = 9/10</math><br /><br />
<math>U =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{U}</math> zur Universität als erster kommt}<br /><br />
<math>F =</math> {Ankunft an der Bushaltestelle zu einer Minute, so dass der Bus <math>B_{F}</math> zur Freundin als erster kommt}<br /><br />
<math>U =</math> {<math>m_{1}</math>, <math>m_{2}</math>, …, <math>m_{k}</math>} mit <math>m_{i}</math> für <math>B_{U}</math> günstige Minute<br /><br />
<math>P(U) = \frac{\mbox{Zahl der für Uni. günstigen Minuten}}{\mbox{Gesamtzahl der Minuten}}=\frac{k}{20} = \frac{1}{10}= \frac{2}{20}</math><br /><br />
<br /><br />
Abfahrtszeiten zur Universität sind somit <math>^{\underline{02}}</math>, <math>^{\underline{22}}</math> und <math>^{ \underline{42}}</math><br /><br />
Die Universität hat somit nicht die gleiche Chance, da nur 2 Minuten Wartezeit auf den Bus zur Universität und bei allen anderen Minuten kommt der Bus zur Freundin zuerst.<br /><br />
Gleiche Chance wäre bei Abfahrtszeiten des Bus <math>B_{U}</math> <math>^{\underline{10}}</math>, <math>^{\underline{30}}</math> und <math>^{\underline{50}}</math> gegeben.<br />
<br />
===Eigener PKW===<br />
<br />
<math>A_1</math> = "Bürokraft ist weiblich"<br /><br />
<math>A_2</math> = "Bürokraft ist männlich"<br /><br />
<math>B</math> = "Bürokraft kommt mit dem PKW zur Arbeit" <br /><br />
<math>P(A_1) = 0,6, \quad P(A_2) = 0,4, \quad P(B| A_1) = 0,7, \quad P(B| A_2) = 0,8;</math><br /><br />
<br />
<math>A_1\cap A_2 = \varnothing, \quad A_1\cup A_2 = S;</math><br /><br />
<br />
<math> P(A_1 \| B) = [P(B\| A_1)P(A_1)]/[P(B| A_1)P(A_1)+P(B| A_2)P(A_2)] = 0,42/0,74= 05676 \approx 0,57</math><br />
<br />
===Eignungstest===<br />
<br />
Die Ereignisse <math>A_1=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest}</math> und<br /><br />
<math>A_2=\mbox{Bewerber besteht Eignungstest nicht}</math> bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraums <math>S</math>. Gegeben ist <math>P(A_1)=0,25</math>. Aufgrund von <math>A_2=\overline{A_1}</math> folgt <math>P(A_2)=1-P(A_1)=0,75</math>.<br /><br />
Ferner sind ein zufälliges Ereignis <math>B=\mbox{Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet}</math> und die bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Ereignisses <math>P(B|A_1)=0,95</math> und <math>P(B|A_2)</math>=0,10 gegeben.<br /><br />
Gesucht wird die bedingte Wahrscheinlichkeit <math>P(A_1|B)</math>. Diese lässt sich nach dem Theorem von Bayes<math>P(A_1|B)=\frac{P(A_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}</math>berechnen. Für <math>P(B)</math> resultiert:<math>P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)=0,3125</math><math>\rightarrow P(A_1|B)=0,76</math><br />
<br />
===Elemente eines Ereignisraumes===<br />
<br />
* Für eine Zerlegung von <math>S</math> muss u.a. gelten: <math>A_1\cup\ldots\cup A_n=S</math>, d.h. es müsste <math>A\cup B=S</math> sein und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht. Außerdem müssten die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> disjunkt sein, was nicht der Fall ist (siehe c).<br />
* Wenn <math>A</math> und <math>B</math> komplementär wären, müsste gelten: <math>A\cup B=S</math> und somit <math>P(A\cup B)=1</math>. Da <math>P(A\cup B)=3/4</math> ist, gilt diese Behauptung nicht.<br />
* Für disjunkte Ereignisse gilt <math>A\cap B=\varnothing</math> und somit <math>P(A\cap B)=0</math> (Berechnung unter d).<br />
* <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1/2+1/2-3/4=1/4</math><br /><br />
<math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=1/2\cdot1/2=1/4</math><br /><br />
oder<br /><br />
<math>P(A|B)=P(A|\overline{B})</math> mit <math>P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=(1/4)/(1/2)=1/2</math> und <math>P(A|\overline{B})=P(A\cap B)/P(\overline{B})=(1/4)/(1/2)=1/2</math><br /><br />
Die Ereignisse <math>A</math> und <math>B</math> sind unabhängig.<br />
<br />
===Entwicklungsabteilung===<br />
<br />
* <math>A_{1}</math> = {Entwicklungsabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{2}</math> = {Marketingabteilung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>A_{3}</math> = {Geschäftsleitung ist für Markteinführung des neuen Produkts}<br /><br />
<math>P(A_{1} ) = 0,9</math>;<br /><br />
<math>P(A_{2}|A_{1}) = 0,7</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}_{3}|A_{1} \cap A_{2}) = 0,2</math>;<br /><br />
<math>P(A_{3}|A_{1} \cap \overline{A}_{2}) = 0,4</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = P(A_{1})<br />
\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot[1 - P(\overline{A}_{3}|A_{1}<br />
\cap A_{2})] = 0,504</math><br />
* <math>P(A_{1} \cap A_{3}) = P(A_{1}\cap<br />
A_{2} \cap A_{3}) + P(A_{1} \cap<br />
\overline{A}_{2} \cap A_{ 3}) = 0,612</math><br />
<br />
===Ereignisoperationen===<br />
<br />
<math>A \cup A = A</math>; <math>A \cup \emptyset = A</math>; <math>A \cap A = A </math> <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>; <math>\emptyset \cap S = \emptyset</math><br /><br />
<math>A \cup S = S</math>; <math>A \cup \overline{A} = S</math>; <math>A \cap S = A</math>; <math>A \cap \overline{A} = \emptyset</math><br /><br />
===Ereignisraum===<br />
<br />
Allgemein gilt: <math>P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B)= \frac{1}{4}</math><br />
<br />
* falsch: <math>P(A \cup B)\neq 1</math> und <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(\overline{A})=P(B)</math> aber <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* falsch: <math>P(A \cap B)\neq \varnothing </math><br />
* richtig: <math>P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}=P(A)</math><br />
<br />
===Erregertest===<br />
<br />
I: Mit Bazillus infiziert; E: Erkennen des Bazillus durch Test (positiver Befund)<br /><br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(E| I)=0,95</math><br />
* <math>P(E|\overline{I})=0,03 </math><br />
* <math>P(I)=0,02</math><br />
<br /><br />
Daraus ergeben sich:<br /><br />
<math>P(\overline{E}| I)=0,05; P(\overline{E}|\overline{I})=0,97; P(\overline{I})=0,98</math><br /><br />
Gesucht: <math>P(I| E)=P(E\cap I)/P(E)</math><br /><br />
<math>P(E\cap I)=P(E| I)P(I)=0,019</math><br /><br />
<math>P(E)=P(E\cap I)+P(E\cap\overline{I})=P(E|I)P(I)+P(E|\overline{I})P(\overline{I}) =0,0484</math><br /><br />
<math>P(I| E)=0,39256 \approx 0,3926</math><br />
<br />
===Fachbereichsrat===<br />
<br />
<math>A = </math>{drei Professoren werden gewählt}<br /><br />
Anzahl mögliche Fälle: <math>K(n,k) = K(8,3) = 56</math><br /><br />
Anzahl günstiger Fälle für <math>A</math>: <math>K(4,3) = 4</math><br /><br />
<math>P(A) = 4/56 = 1/14 </math><br /><br />
===Fahrrad oder Straßenbahn===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>A=\mbox{Fritzi braucht mehr als 30 Min. bis in die Uni}</math><br /><br />
<math>B_1=\mbox{Fritzi nimmt das Fahrrad}</math><br /><br />
<math>B_2=\mbox{Fritzi nimmt die Straßenbahn}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
* <math>P(B_1)=0,8</math><br />
* <math>P(B_2)=0,2 </math><br />
* <math>P(A|B_1)=0,3</math><br />
* <math>P(A|B_2)=0,6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(B_2|A)&=&\frac{P(A|B_2)\cdot P(B_2)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}\\<br />
&=& 0,\overline{333}\end{aligned}</math><br />
<br />
===Felgen===<br />
<br />
* <math>P(4) = 24</math><br />
* <math>A</math> = {(2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1)}<br />
<br />
===Fernschreiben===<br />
<br />
<math>A_{1}</math> = {Fehler bei 1. übertragung}; <math>A_{2}</math> = {Fehler bei 2. übertragung}<br /><br />
<math>A_{1}\cap A_{2}=</math>{Fehler bei 1. und 2. übertragung}; <math>P(A_{1})=0,01; P(A_{2}|A_{1}) = 0,1</math><br /><br />
<math>P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}|A_{1}) = 0,001 </math><br /><br />
===Fernsehshow===<br />
<br />
<math>W=\{\mbox{weiße Kugel}\};\quad U_i= \{\mbox{Urne i}\}\quad i=1,2</math><br /><br />
Anwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit auf jedes Verfahren:<br /><br />
<math>P(W)=P(W|U_1)\cdot P(U_1)+P(W|U_2)\cdot P(U_2)</math><br /><br />
<math>P(U_1)=P(U_2)=1/2</math><br /><br />
1. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>2S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/8</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>10S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/16</math><br /><br />
<math>P(W)=6/8\cdot1/2+6/16\cdot1/2=9/16=0,5625</math><br /><br />
2. Verfahren:<br /><br />
<math>U_1</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_1)=6/12</math><br /><br />
<math>U_2</math>: <math>6W</math>, <math>6S \quad \Rightarrow P(W|U_2)=6/12</math><br /><br />
<math>P(W)=6/12\cdot1/2+6/12\cdot1/2=1/2=0,5</math><br /><br />
===Fußballmannschaft===<br />
<br />
<math>A = </math>{Gewinn beim 1. Spiel}; <math>B = </math>{Gewinn beim 2. Spiel}; <math>C = </math>{Gewinn beim 3. Spiel};<br /><br />
<math>P(A) = P(B) = P(C) = 0,7</math><br /><br />
<math>D = </math>{Gewinnspiele überwiegen} = <math>[(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C)<br />
\cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)] </math><br /><br />
<math>P(D) = 0,784</math><br /><br />
===Gangsterbande===<br />
<br />
Ereignisse:<br /><br />
<math>D=\mbox{Donnerstag}</math>;<math>\overline{D}=\mbox{nicht Donnerstag}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Scotland Yard fasst Täter am selben Tag}</math>,<br /><br />
<math>H=\mbox{Sherlock Holmes fasst Täter am selben Tag}</math><br /><br />
<math>G=\mbox{Täter am selben Tag im Gefängnis}</math><br />
<br />
Gegeben:<br /><br />
<math>P(Y)=P(Y|D)=P(Y|\overline{D})=0,25;\quad P(H|D)=0,00;\quad P(H|\overline{D})=0,35;</math><br /><br />
<math>P(D)=1/6;\quad P(\overline{D})=5/6</math><br />
<br />
Gesucht:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(G|D)&=&P(Y|D)=0,25\\<br />
P(G|\overline{D})&=&P(Y\cup H|\overline{D})\\<br />
&=&P(Y|\overline{D})+P(H|\overline{D})-P(Y\cap H|\overline{D})\\<br />
&=&0,25+0,35-0,25\cdot0,35=0,5125\\<br />
P(G)&=&P(G|D)\cdot P(D)+P(G|\overline{D})\cdot P(\overline{D})\\<br />
&=&0,25\cdot1/6+0,5125\cdot5/6=0,46875\approx0,47<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Garderobe===<br />
<br />
Es gibt 5! Möglichkeiten, jedem Mann einen Hut zuzuordnen. Eine davon ist im Sinne der Aufgabe nur günstig.<br /><br />
<math>A = </math>{jeder Mann bekommt seinen Hut}, <math>P(A) = 1/120 </math><br /><br />
===Geburtstag===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Dafür muss man die Gegenwahrscheinlichkeit benutzen:</p><br />
<ul><br />
<li><p><math>A</math>: Min. ein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li><br />
<li><p><math>\overline{A}</math>: Kein Gast hat an meinem Geburtstag Geburtstag</p></li></ul><br />
<br />
<p>Wenn die</div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2319
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:17:26Z
<p>Petrescc: /* XXmega */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{align}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{align}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{align}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{align}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{align}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{align}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{align}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{align}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{align}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{align}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2318
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:17:14Z
<p>Petrescc: /* Wartungen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{align}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{align}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{align}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{align}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{align}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{align}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{align}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{align}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{align}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2317
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:16:53Z
<p>Petrescc: /* Unfallmeldungen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{align}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{align}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{align}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{align}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{align}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{align}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{align}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2316
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:16:12Z
<p>Petrescc: /* Tulpenzwiebeln */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{align}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{align}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{align}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{align}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{aligned}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{aligned}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{aligned}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2315
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:15:59Z
<p>Petrescc: /* Traineeprogramm */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{align}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{align}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{align}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{aligned}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{aligned}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{aligned}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2314
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:15:46Z
<p>Petrescc: /* Supermarkt */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{align}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{aligned}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{aligned}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{aligned}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2313
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:15:30Z
<p>Petrescc: /* Radrennen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{align}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{align}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{aligned}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{aligned}</math> <math>\begin{aligned}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{aligned}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{aligned}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{aligned}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{aligned}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2312
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:15:17Z
<p>Petrescc: /* Pizza– und Kuchenverkauf */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{align}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{align}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{aligned}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{aligned}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{aligned}</math> <math>\begin{aligned}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{aligned}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{aligned}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{aligned}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{aligned}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Verteilungsmodelle/L%C3%B6sungen&diff=2311
Verteilungsmodelle/Lösungen
2020-07-15T13:15:01Z
<p>Petrescc: /* Abendessen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===Abendessen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;20)</math> Gewicht der Apfel-Schale<br /><br />
<math>Y\sim N(1000,15)</math> Gewicht des Mandarinen-Netzes<br /><br />
Gesamtgewicht: <math>G=X+Y\sim N(2000;25)</math>, da <math>Var(G)=400+225=625=25^2</math>.<br /><br />
Also: <br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(G>1950)&=P\Big(\frac{G-2000}{25} > \frac{1950-2000}{25}\Big)\\<br />
&=1-\Phi(-50/25)=1-\{1-\Phi(50/25)\}\\<br />
&=\Phi(2)=0,97725\approx0,977<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
===Bäcker Backfrisch===<br />
<br />
<math>X \sim N(150;4)</math><br />
<br />
* <math>Y \sim N(600;8)</math><br />
* <math>P(Y = 600) = 0</math>; <math>P(594 \leq Y \leq 606) = 0,546746</math><br />
<br />
===Betriebe der chemischen Industrie===<br />
<br />
* <math>Y \sim B(750;0,01) </math><br />
* <math>E(Y) = 7,5</math><br />
* <math>Y</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(7,5)</math>–verteilt.<br />
* <math>P(Y < 8) = 0,5246 </math><br />
* <math>P(Y \leq 5) = 0,2414</math><br />
<br />
===Bogenschütze===<br />
<br />
* <math>X_i\sim \mbox{Bernoulli}(p)\mbox{ bzw. }B(1;p)=B(1;0,6)</math><br /><br />
<math>Y=\sum_iX_i\sim B(n;p)=B(8;0,6)</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit<br /><br />
<math>P(X_i=1)=3/5=0,6</math>; <math>P(X_i=0)=1-p=1-0,6=0,4</math>; Wahrscheinlichkeiten konstant.<br /><br />
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden <math>\rightarrow X_i (i=1,\dots,8)</math> sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.<br />
* <math>E(Y)=n\cdot p=8\cdot 0,6=4,8</math> Treffer<br />
* <math>P(Y=3)=\binom{8}{3}\cdot0,6^3\cdot0,4^5=56\cdot0,216\cdot0,01024=0,1239</math><br /><br />
oder <math>P(Y=y)=F(n-y;n;1-p)-F(n-y-1;n;1-p)</math>;<br /><br />
<math>P(Y=3)=F(5;8;0,4)-F(4;8;0,4)=0,9502-0,8263=0,1239</math><br />
<br />
===Briefmarkenschalter===<br />
<br />
<math>X\sim PO(\lambda)</math>, <math>\lambda=4</math>. Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.<br /><br />
<math>P(X>5)=1-P(X\leq5)=1-0,7851\mbox{ (aus Tafel)}=0,2149</math><br />
<br />
===Computernetzwerk===<br />
<br />
<math>X</math>:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit <math>E(X)=1/\lambda=10</math> (Tage bis zum nächsten Defekt); <math>\lambda=1/10</math>. <math>P(X>21)=\mbox{exp}(-21/10)=\mbox{exp}(-2,1)=0,122</math><br /><br />
===Dichtefunktion===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math>–Parameter 2. Da der Erwartungswert von <math>X</math> 0,5 ist, ist die Varianz von <math>X</math> gesucht, <math>1/\lambda^2</math>, also 0,25.<br />
<br />
===Eier===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;<br /><br />
<math>X \sim H(6;2;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 1) = 0,6</math><br />
* <math>P(X \leq 1) = 0,8</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0</math><br />
* <math>E(X)= 1</math><br />
<br />
<math>Y</math>: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Y</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,8)</math> verteilt.<br /><br />
<math>Z</math>: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”<br /><br />
<math>Z</math> ist approximativ <math>(20n \leq N)</math> <math>B(20;0,2)</math> verteilt.<br />
<br />
* <math>P(Z > 2) = 0,7939 </math><br />
* <math>E(Y) = 16 </math><br />
* <math>P(Z = 16) = 0</math><br />
<br />
===Elektronisches Bauteil===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”; <math>X \sim PO(2)</math><br />
<br />
* <math>Y</math>: “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”; <math>Y \sim EX(2)</math><br />
* <math>P(Y > 2) = 0,01832</math><br />
* Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.<br />
* <math>P[(Y_{1} > 2) \cap (Y_{2} > 2)] = 0,000335</math><br />
<br />
===Fahrtkostenzuschuss===<br />
<br />
<math>X_i=\mbox{täglicher Arbeitsweg eines Mitarbeiters}; X_i\sim N(\mu=50;\sigma^2=32); i=1,\ldots,50</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Zahlung des Unternehmens an die Mitarbeiter je Tag};</math> <br />
<br />
Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, <math>a=0,1</math> für alle <br />
<math>i=1,\ldots,50</math> <math>Y=\sum_{i=1}^naX_i\sim N\left(\sum_{i=1}^na\mu,\sqrt{\sum_{i=1}^na^2\sigma^2}\right)</math><math>\mu_y=na\mu=50\cdot0,1\cdot50=250,\;\sigma_y^2=na^2\sigma^2=50\cdot0,1^2\cdot32=16</math><br /><br />
<math>P(Y>255)=1-P(Y\leq255)=1-P(Z\leq(255-250)/4)</math><br /><br />
<math>=1-P(Z\leq1,25)=1-0,89435=0,10565</math><br /><br />
<br />
===Formfehler===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Formfehler bei <math>n = 10</math> Belegen”<br />
<br />
* <math>X \sim B(10;0,1)</math><br />
* <math>P(X > 1) = 0,2639</math><br />
<br />
===Gaststätte===<br />
<br />
* <math>X</math>: Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]<br /><br />
<math>E(X)=\lambda=25\mbox{(Gäste)}/5\mbox{(Stunden)}=5</math> Gäste/Stunde; <math>X\sim PO(5)</math><br /><br />
<math>P(X=1)=(\lambda^X\cdot e^{-\lambda})/x!=5^1\cdot e^{-5}/1!=0,03369\approx0,0337</math><br /><br />
(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:<br /><br />
<math>P(X=1)=F_{PO}(1;5)-F_{PO}(0;5)=0,0404-0,0067=0,0337</math>)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.<br />
* <math>Y</math>: Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend; <math>Y\sim EX(\lambda)=EX(25)</math><br /><br />
<math>E(Y)=1/\lambda=1/25</math> am Sonntagabend (5 Stunden<math>\cdot</math>60 Minuten) d.h. <math>300/25=12</math> Minuten <math>=0,2</math> Stunden<br /><br />
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.<br />
* <math>X\sim B(n;p)=B(25;0,3)</math><br /><br />
(2 mögliche Ereignisse: <math>A=\mbox{ Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>\overline{A}=\mbox{ keine Nachbestellung }</math>;<br /><br />
<math>P(\overline{A}=0,7\rightarrow P(A)=0,3</math>; unabhängige Versuche)<br />
* <math>P(X>x)=0,0005</math>; <math>P(X\leq x)=0,9995</math><br /><br />
<math>x=15</math> (aus Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,3)</math>)<br /><br />
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.<br />
<br />
===Gemeindegröße===<br />
<br />
Allgemein gilt <math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math> mit <math>q_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Standardnormalverteilung und <math>x_\alpha</math> dem <math>\alpha</math>–Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:<br /><br />
<math>q_\alpha=(x_\alpha-\mu)/\sigma</math><br /><br />
<math>q_{1-\beta}=(x_{1-\beta}-\mu)/\sigma</math><br /><br />
mit <math>\alpha=0,033626;\quad\beta=0,008894;\quad1-\beta=1-0,008894=0,991106</math><br /><br />
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach <math>\sigma</math> ergibt sich:<math>\sigma=\frac{x_{1-\beta}-x_\alpha}{q_{1-\beta}-q_\alpha}</math><math>x_{1-\beta}-x_{\alpha}=100-1=99;\quad q_{1-\beta}-q_{\alpha}=2,37-(-1,83)=4,2;\quad\sigma=99/4,2=23,57143</math><br />
<br />
===Geschirr===<br />
<br />
Zwei mögliche Ereignisse:<br /><br />
<math>A:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag kaputt und }</math><br /><br />
<math>\overline{A}:\mbox{Geschirr geht an einem bestimmten Tag nicht kaputt}</math>;<br /><br />
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;<br /><br />
<math>X:\mbox{Anzahl der Tage, an denen Geschirr kaputt geht bei insgesamt 5 Tagen}</math>;<br /><br />
<math>\quad X\sim B(n;p)\quad n=5;\quad p=0,7;\quad\mbox{gefragt: }P(X=2)=?</math><math>P(X=2)=\binom{5}{2}0,7^2\cdot0,3^3=10\cdot0,49\cdot0,027=0,1323</math> oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:<br /><br />
<br /><br />
<math>n=5;\quad p^*=1-p=0,3;\quad y=n-x=5-2=3</math><br /><br />
<math>f(y;n;p^*)=f(3;5;0,3)=F(3;5;0,3)-F(2;5;0,3)=0,9692-0,8369=0,1323</math><br />
<br />
===Gleichverteilung===<br />
<br />
stetige Gleichverteilung<br /><br />
<math>E(X)=(a+b)/2=16;\;a+b=32</math><br /><br />
<math>Var(X)=(b-a)^2/12=12;\;(b-a)^2=12^2;\;b-a=12;\;a=b-12;\;b=12+a</math><br /><br />
<math>b-12+b=32;\;b=22;\;a+12+a=32;\;a=10</math><br /><br />
===Jahresrendite===<br />
<br />
Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:<br /><br />
Jahresendvermögen: <math>J=150000(1+R/100)</math><br /><br />
<math>Var(J)=Var[150000(1+R/100)]=Var(150000+1500\cdot R)=Var(1500\cdot R)=1500^2\cdot Var(R)</math><br /><br />
Varianz der Rendite R:<br /><br />
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde<br /><br />
<math>Var(R)=(b-a)^2/12=(8-6)^2/12=1/3</math><br /><br />
Damit resultiert:<br /><br />
<math>Var(J)=1500^2\cdot Var(R)=1500^2\cdot1/3=750000</math><br /><br />
<math>\sigma=866,0254\approx866</math> EUR<br />
<br />
===Kommode===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=20</math>, <math>M=10</math> und <math>n=2</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=\frac{9}{38}\approx0,2368</math><br />
<br />
===Kornflakes===<br />
<br />
* <math>X \sim B(26;0,75)</math><br />
* genau 3 Poster: <math>P(12 \leq X \leq 15) = 0,0397</math>;<br /><br />
höchstens 4 Poster: <math>P(X \leq 19) = 0,4846</math>;<br /><br />
genau 6 Poster: <math>P(X \geq 24) = 0,0258</math>;<br /><br />
höchstens 1 Poster: <math>P(X \leq 7) = 0</math><br />
* <math>E(X) = 19,5</math> Packungen mit Coupons<br />
<br />
===Landwirtschaftsexperte===<br />
<br />
Ereignis <math>A:\mbox{BSE--verseuchtes Rind}</math>Ereignis <math>\overline{A}:\mbox{BSE-freies Rind}</math><br /><br />
<math>P(A)=p=0,10</math> und <math>P(\overline{A})=1-p=0,90</math><br /><br />
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl des Auftretens BSE--verseuchter Rinder bei n Ziehungen}</math><br /><br />
Wertebereich: <math>0,1,2,\ldots,n</math><br /><br />
<math>X\sim B(n;p)</math> mit <math>p=0,10</math> und unbekanntem <math>n</math><br /><br />
Gegeben: <math>P(X\geq1)\geq0,95</math><br /><br />
Ermittlung von <math>n</math>:<br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=0,95</math><br /><br />
<math>P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\displaystyle\binom{n}{0}\cdot0,10^0\cdot(0,90)^{n-0}=1-0,90^n=0,95</math><br /><br />
<math>\rightarrow 0,90^n=0,05;\qquad n=\ln 0,05/\ln 0,9=28,4332</math><br /><br />
Es muss also mindestens <math>n=29</math> gewählt werden.<br /><br />
Kontrolle:<br /><br />
<math>X\sim B(28;0,10):\qquad P(x\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0523=0,9477</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> wird nicht eingehalten<br /><br />
<math>X\sim B(29;0,10):\qquad P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,0471=0,9529</math><br /><br />
<math>\rightarrow P(X\geq1)\geq0,95</math> eingehalten.<br /><br />
<br />
===Miss–Wahl===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer <math>B(25;0,55)</math>. Gesucht ist <math>P(X=12)</math>. <math>\binom{25}{15}\cdot0,55^{12}\cdot0,45^{13}=0,1236</math>Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der <math>B(25;0,45)</math>:<br /><br />
<math>f_B(x;n;p)=F_B(n-x;n;1-p)-F_B(n-x-1;n;1-p)</math><math>B(13;25;0,45)-B(12;25;0,45)=0,8173-0,6937=0,1236</math><br />
<br />
===Mittagszeit===<br />
<br />
* <math>U</math>: “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”; <math>U \sim PO(8)</math><br />
** <math>U_{1} \sim EX(8) </math><br />
** <math>P(U_{1}) > 1/4) = 0,1353</math><br />
** <math>P(U_{1} > 1/4 + 1/8|U_{1} > 1/4) = 0,3679</math><br />
* ** <math>U_{2}</math> ist stetig gleichverteilt in <math>[0,3]</math><br />
** <math>P(U_{2} \leq 1 + 1/2|U_{2} > 1) = 0,25</math><br />
<br />
===Parkplaketten===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Anzahl der gewonnenen Parkplaketten bei } n=3 \mbox{ Versuchen}</math>;<br /><br />
<math>X\sim B(n;p)=B(3;0,4)</math><br /><br />
<math>P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-P(X\leq1)=1-F_B(1;3;0,4)=0,352</math><br /><br />
<br />
===Pizza– und Kuchenverkauf===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl der Kuchen-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(4)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl der Pizza-Kunden in 20 Minuten}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>T_A=\mbox{Wartezeit auf ersten Kuchen-Kunden}\sim \mbox{Exp}(4)</math><br /><br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit auf ersten Pizza-Kunden}\sim \mbox{Exp}(1)</math><br /><br />
Da: <math>\begin{aligned}<br />
P(T_A>0,5)&=&1-P(T_A\leq0,5)=1-\{1-\mbox{exp}(-4\cdot0,5)\}\\<br />
&=&\mbox{exp}(-2)=0,1353\\<br />
P(T_B\leq0,5)&=&1-\mbox{exp}(-1\cdot0,5)=1-\mbox{exp}(-0,5)=0,3935\end{aligned}</math>folgt<math>P(T_A>0,5\cap T_B\leq0,5)=P(T_A>0,5)\cdot P(T_B\leq0,5)=0,1353\cdot0,3935=0,0532</math><br />
<br />
===Polizeistation===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Zeit bis zur ersten Unfallmeldung}\sim\mbox{EX}(0,5)</math><br /><br />
<math>F(x)=1-e^{-\lambda x}</math> für <math>x\geq0</math> und <math>\lambda=0,5</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-(1-e^{-0,5\cdot2})=e^{-0,5\cdot2}=0,36788</math><br />
<br />
===Produktionsanlage===<br />
<br />
X: Anzahl der Ausschußstücke<br /><br />
Wegen p klein und n groß ist <math>X\sim PO(x;\lambda)</math> mit <math>\lambda=np=500\cdot0,002=1</math><br /><br />
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht <math>(X=0)\cup(X=1)=(X\leq1)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=0,7358</math> (aus Tabelle der Poisson–Verteilung)<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter <math>n=500</math> Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.<br /><br />
<br /><br />
Bzw. ohne Approximation:<br /><br />
<math>X\sim B(500;0,002)</math><br /><br />
<math>P(X\leq1)=f(0)+f(1)=0,998^{500}+0,998^{499}=0,998^{499}(1+0,998)=0,7358</math><br />
<br />
===Prüfgebiete===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=6</math>, <math>M=4</math> und <math>n=3</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=2</math><math>f_H(x;N,M,n)=0,6</math><br />
<br />
===Prüfungsfragen===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei <math>n = 3</math> abhängigen Ziehungen”; <math>X \sim H(10;4;3)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 3) = 0,0333</math><br />
* <math>P(X \geq 1) = 0,8333</math><br />
<br />
===Radrennen===<br />
<br />
Geamtzahl der Fahrer: <math>10\cdot3=30</math><br /><br />
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:<br /><br />
<math>K(30,4)=27405</math> Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:<math>K(27,1)=27</math>Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:<math>\frac{K(27,1)}{K(30,4)}=0,000985221\approx0,0010</math>Oder über die hypergeometrische Verteilung: <math>\begin{aligned}<br />
f_H(x;N,M,n)=\displaystyle\frac{\binom{27}{1}\cdot\binom{30-27}{4-1}}{\binom{30}{4}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27!}{1!26!}\cdot\displaystyle\frac{3!}{3!0!}}{\displaystyle\frac{30!}{4!26!}}=0,000985221\approx0,0010<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Radrennfahrer===<br />
<br />
Ereignisse:<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
A&=\mbox{Unfall bei Anton}, P(A)=1/12000 \\<br />
B&=\mbox{Unfall bei Bertram}, P(B)=1/10000<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Unfälle von Anton in zwei Wochen}</math><br /><br />
<math>Y=\mbox{Anzahl der Unfälle von Bertram in zwei Wochen}</math><br /><br />
In beiden Fällen:<br /><br />
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,<br /><br />
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl <math>n</math> der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:<br /><br />
<math>n(\mbox{Anton})=14(\mbox{Tage})\cdot180(\mbox{km/Tag})=2520\mbox{ km};n(\mbox{Bertram})=14(\mbox{Tage})\cdot210(\mbox{km/Tag})=2940\mbox{ km}</math><br /><br />
mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:<br /><br />
<math>\lambda_x=2520/12000=0,21\quad \lambda_y=2940/10000=0,294</math><br /><br />
<math>X\sim\mbox{PO}(\lambda=0,21)=f_{PO}(x;\lambda)=(\lambda^x/x!)e^{-\lambda};\;Y\sim\mbox{PO}(\lambda=0,294)</math><br /><br />
Da <math>X</math> und <math>Y</math> unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:<br /><br />
<math>Z=X+Y\sim\mbox{PO}(\lambda_x+\lambda_y)=\mbox{PO}(0,21+0,294)=\mbox{PO}(0,504)</math><br /><br />
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:<br /><br />
<math>P(Z\leq1|\lambda_z=0,504)=P(Z=0|\lambda_z=0,504)+P(Z=1|\lambda_z=0,504)</math><br /><br />
<math>\displaystyle=\frac{0,504^0}{0!}e^{-0,504}+\frac{0,504^1}{1!}e^{-0,504}=e^{-0,504}+0,504\cdot e^{-0,504}=1,504\cdot e^{-0,504}</math><br /><br />
<math>=0,90858\approx0,909</math><br /><br />
<br />
===Rückversicherungsgesellschaft===<br />
<br />
Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter <math>\lambda=1</math> gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von <math>1\mbox{ Jahr}=12\mbox{ Monate}=3\cdot4\mbox{ Monate}</math>.<br /><br />
Für das Intervall von 1 Jahr ist <math>\lambda=1\cdot3=3</math>.<br /><br />
<math>X=\mbox{Anzahl von Großschäden in einem Jahr}\sim\mbox{PO}(3)</math><br /><br />
Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:<br /><br />
<math>P(X\geq5)=1-P(X\leq4)=1-F_{PO}(4)=1-0,8153=0,1847</math><br /><br />
mit <math>F_{PO}(4)</math> aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)<br />
<br />
===Samstagslotto===<br />
<br />
Hypergeometrische Verteilung mit <math>N=49</math>, <math>M=24</math>, <math>n=6</math>;<br /><br />
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math>x=3</math><math>f_H(x;N,M,n)= 0,3328991</math><br />
<br />
===Serum===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;<br /><br />
<math>X \sim B(20 000;0,0001)</math><br /><br />
<math>X</math> ist approximativ <math>(n > 50; p \leq 0,1; np < 10)</math> <math>PO(2)</math>–verteilt.<br />
<br />
* <math>P(X = 0) = 0,1353</math><br />
* <math>P(X = 1) = 0,2707</math><br />
* <math>P(X = 6) = 0,0121</math><br />
* <math>P(X > 4) = 0,0527</math><br />
<br />
===Stahlstifte===<br />
<br />
<math>X_{1} \sim N(6;0,4)</math><br />
<br />
* <math>P[(X_{1} < \mu_{1} - 0,12) \cup (X_{1} >\mu_{1} + 0,12) = 0,764178</math><br />
* <math>P(X_{1} = 6) = 0</math><br />
* <math>P(X_{1} \leq x_{1}) \leq 0,85 \Rightarrow x_{1} = 6,412</math> mm<br />
* <math>X_{2} \sim N(6,05;0,3)</math>; <math>P(X_{2} < 6) = 0,432505</math><br />
* <math>Y = X_{2} - X_{1}; Y \sim N(0,05;0,5)</math><br />
* <math>P(Y \leq 0) = 0,460172</math><br />
<br />
===Straßenmusikant===<br />
<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.<br />
* <math>E(X)\cdot4\cdot60=48</math> Geldstücke<br /><br />
<math>\rightarrow(48/5)\cdot3\mbox{ EUR}=28,80</math> EUR<br />
* <math>X\sim PO(\lambda)</math> mit <math>\lambda=1/5</math><br /><br />
<math>\rightarrow T:\mbox{ Wartezeit zwischen zwei Ereignissen }T\sim EX(\lambda)</math><br /><br />
<math>E(T)=1/\lambda=1/(1/5)=\mbox{5 Minuten Wartezeit}</math><br />
* <math>P(T>t)=1-F_{EX}(t;\lambda)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}</math><br /><br />
<math>P(T>3)=1-F_{EX}(3;0,2)=e^{-0,2\cdot3}=0,5488</math><br />
<br />
===Supermarkt===<br />
<br />
<math>T_B=\mbox{Wartezeit am Backstand}\sim \mbox{Exp}(1/5)</math><br /><br />
<math>T_K=\mbox{Wartezeit am Käsestand}\sim \mbox{Exp}(1/4)</math> <math>\begin{aligned}<br />
&P(T_B>10)=1-P(T_B\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/5)\}=\mbox{exp}(-10/5)=0,135\\<br />
&P(T_K>10)=1-P(T_K\leq10)=1-\{1-\mbox{exp}(-10/4)\}=\mbox{exp}(-10/4)=0,082\end{aligned}</math> <math>\begin{aligned}<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=P(T_B>10)+P(T_K>10)-P(T_B>10\cap T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cap T_K>10)=P(T_B>10)\cdot P(T_K>10)\\<br />
&P(T_B>10\cup T_K>10)=0,135+0,082-0,135\cdot0,082=0,206\end{aligned}</math><br />
<br />
===Suppe mit Fleischeinlage===<br />
<br />
125 l <math>\widehat{=}</math> 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel <math>\lambda=400/500=0,8</math> Fleischstückchen.<br /><br />
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ; <math>X</math> <math>\sim PO(\lambda=0,8)</math><br /><br />
<math>P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-0,9526\mbox{ (aus Tabelle der Poisson-Verteilung)}=0,0474</math><br />
<br />
===Taschenrechner===<br />
<br />
<math>X \sim N(30;3)</math>; <math>Y \sim N(35;4)</math><br />
<br />
* <math>P(15 \leq X \leq 27) = 0,158655</math><br />
* <math>P(Y \leq y) = 0,853141 \quad\Rightarrow\quad y = 39,2</math> Std.<br />
* <math>P[(X > 24) \cap (Y > 24)] = 0,9743378</math><br />
* <math>P(X < Y) = P(X - Y < 0) = ?</math><br /><br />
<math>X - Y \sim N(-5;5) \Rightarrow P(X - Y < 0) = 0,841345</math><br />
<br />
===Telefongespräche===<br />
<br />
* <math>X \sim PO(2,5)</math><br />
* <math>P(X = 0) = 0,0821</math>; <math>P(X < 3) = 0,5438</math>; <math>P(X \geq 4) = 0,2424</math><br />
<br />
===Telefonzentrale===<br />
<br />
# <math>X</math>: “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”<br /><br />
<math>E(X) = 0,5\cdot6 = 3</math>; <math>X \sim PO(3)</math><br />
#* <math>P(X = 0) = 0,0498 </math><br />
#* <math>P(X \geq 3) = 0,5768 </math><br />
#* <math>P(X \leq 7) = 0,9881</math><br />
# <math>T</math>: “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [<math>t = 1</math> Std.]<br /><br />
<math>T \sim EX(0,5)</math><br />
#* <math>P(T \leq 1) = 0,3935 </math><br />
#* <math>P(T > 2) = 0,3679</math><br />
#* <math>P(T \leq 5+1|T > 5) = P(T \leq 1) = 0,3935</math><br />
# <math>P(T \leq t) = 0,95 \quad\Rightarrow\quad t = 5,99</math><br />
<br />
===Traineeprogramm===<br />
<br />
Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet <math>P(X\geq20)</math>. Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung. <math>\binom{23}{20}0,9^{20}\cdot0,1^3+\binom{23}{21}0,9^{21}\cdot0,1^2+\binom{23}{22}0,9^{22}\cdot0,1^1+\binom{23}{23}0,9^{23}\cdot0,1^0</math> <math>0,21531+0,27683+0,2265+0,08863=0,80727\approx0,8073</math><br /><br />
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable <math>Y=n-X</math>(Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:<br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
&P(X\geq20)=P(-X\leq-20)=P(23-X\leq23-20)\\<br />
&=P(Y\leq3)=F_{B(23;0,1)}(3)=0,8073 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Tulpenzwiebeln===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nicht blühenden Tulpenzwiebeln};~X \sim B(10;0,05)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P(X>1)&=&1-P(X\leq1)=1-P(X=0)-P(X=1)\\<br />
&=&1-\binom{10}{0}\cdot0,05^0\cdot0,95^{10}-\binom{10}{1}\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,95^{10}-10\cdot0,05^1\cdot0,95^9\\<br />
&=&1-0,5987-0,3151=0,0862 \end{aligned}</math><br />
<br />
===Unfallmeldungen===<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
X= (\text{Zeitspanne, die zwischen zwei Unfallmeldungen} \\<br />
\text{in einer Polizeistation vergeht})\end{aligned}</math><br />
<br />
Wegen <math>E(X)=1/\lambda=160</math> folgt <math>\lambda=1/160</math> und somit <math>X\sim \mbox{EX}(1/160)</math>. <math>\begin{aligned}<br />
P(60<X\leq160)&=F_{EX}(160;1/160)-F_{EX}(60;1/160) \\<br />
&=1-e^{-160/160}-(1-e^{-60/160})\\<br />
&=1-0,3679-(1-0,6873)=0,3194\end{aligned}</math><br />
<br />
===Varianz===<br />
<br />
Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf <math>[a,b]=[-1,1]</math>;<br />
<br />
<math><br />
f(x)=F^\prime(x)=\left\{<br />
\begin{array}{rrr}<br />
0 & -\infty <x \leq -1, \\<br />
\frac{1}{2} & -1<x<1, \\<br />
0 & 1\leq x<\infty \\<br />
\end{array} <br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Damit ist <math>Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}=4/12</math><br />
<br />
===Vier Kinder===<br />
<br />
<math>X</math>: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”, <math>X \sim B(4;0,5)</math><br />
<br />
* <math>P(X = 2) = 0,375</math><br />
* <math>P(X = 3) = 0,25</math><br />
* <math>P(X = 4) = 0,0625</math><br />
<br />
===Wartungen===<br />
<br />
<math>X_A=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine A in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(1)</math><br /><br />
<math>X_B=\mbox{Anzahl Wartungen für Maschine B in 8 Stunden}\sim \mbox{Poisson}(2)</math><br /><br />
<math>\begin{aligned}<br />
P(X_A=0)&=&e^{-1\cdot1}=e^{-1}=0,3679\\<br />
P(X_B=0)&=&e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0,1353\\<br />
P(\mbox{keine Wartung})&=&P(X_A=0\cap X_B=0)\\<br />
&=&0,3679\cdot0,1353\\<br />
&=&0,04977687=4,98\%\end{aligned}</math><br />
<br />
===Wertpapierkurse===<br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
X &:\mbox{Wartezeit auf die nächste Anfrage},\quad \\<br />
E(X)&=1/\lambda=20;\quad X\sim\mbox{EX}(\lambda=1/20)<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P(X>30)&=1-P(X\leq30)=1-F(30) \\<br />
&=1-[1-e^{-\lambda x}] \\<br />
&=e^{-30/20} \\<br />
&=e^{-1,5}=0,2231<br />
\end{align}<br />
</math><br /><br />
<br />
===XXmega===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der Gewinner},\quad P(\mbox{Gewinn})=\pi=0,6 \quad X\sim B(30;\pi)=B(30;0,6)</math> <math>\begin{aligned}<br />
P\left(X<\frac{30}{3}\right)&=&P(X<10)=P(x\leq9)\\<br />
&=&\sum_{k=0}^9\binom{30}{k}\pi^k(1-\pi)^{30-k}=\sum_{k=21}^{30}\binom{30}{k}\pi^{30-k}(1-\pi)^k\\<br />
&=&P(\tilde{X}\geq21), \quad \tilde{X}\sim B(30;1-\pi)\\<br />
&=&1-P(\tilde{X}\leq20), \quad\tilde{X}\sim B(30;0,4)\\<br />
&=&1-0,9991=0,0009<br />
\end{aligned}</math><br />
<br />
===Zug nach Brandenburg===<br />
<br />
<math>X:\mbox{Wartezeit auf den Regionalzug nach Brandenburg}</math><br /><br />
<math>x=1\mbox{ (Stunde)}\quad a=0\quad b=3\mbox{ (Stunden)}</math><br /><br />
Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)<br /><br />
<br />
<math><br />
F(X)=\left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
0 & \text{ für } x<a \\<br />
\frac{x-a}{b-a} & \text{ für } a\leq x<b \\<br />
1 & \text{ für } b\leq x<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
<math>F(x\leq1)=1/3=0,3333</math><br /><br />
mindestens 1 Stunde warten: <math>1-F(x\leq1)=1-0,3333=0,6667</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2310
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:14:08Z
<p>Petrescc: /* Zugkraft eines Drahtseiles */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{align}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{align}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{align}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2309
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:13:52Z
<p>Petrescc: /* Werbeaktion */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{align}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{align}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2308
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:13:33Z
<p>Petrescc: /* Kaffee Packungen */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{align}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{align}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2307
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:13:09Z
<p>Petrescc: /* Kaffee Packungen 2 */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{align}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{align}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2306
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:12:52Z
<p>Petrescc: /* Grönländische Bohrlochkerne */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{align}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2305
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:12:37Z
<p>Petrescc: /* Gewinnspiel–Automat */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2304
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:12:21Z
<p>Petrescc: /* Fachgebiete */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{align}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{align}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2303
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:12:05Z
<p>Petrescc: /* Batterien Lebensdauer */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{align}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{align}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{aligned}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Testtheorie/L%C3%B6sungen&diff=2302
Testtheorie/Lösungen
2020-07-15T13:11:43Z
<p>Petrescc: /* Arbeitsproduktivität */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===1000g–Portionen===<br />
<br />
<math>X\sim N(1000;25),\quad\overline{X}\sim N(1000;5),\quad n=25</math><br /><br />
<math>\alpha=0,05=P(\overline{X}>1000+c\mbox{ oder }\overline{X}<1000-c)=1-P(1000-c\leq\overline{X}\leq1000+c)</math><br /><br />
<math>U=(\overline{X}-1000)/5\sim N(0;1)</math><br /><br />
<math>0,05=P(-c/5\leq U\leq c/5)=\Phi(c/5)-\Phi(-c/5)</math><br /><br />
d.h. <math>c/5</math> ist das <math>1-\alpha/2=0,975</math> Quantil der <math>N(0;1)\rightarrow c/5=z_{0,975}=1,96;\quad c=9,8</math><br /><br />
===Anzahl der Kinder===<br />
<br />
<math>H_0:P(\mbox{Junge})=P(\mbox{Mädchen})\quad H_1:P(\mbox{Junge})\neq P(\mbox{Mädchen})</math><math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math>Unter <math>H_0</math> gilt:<br />
<br />
<math>P(3\mbox{J},0\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>P(2\mbox{J},1\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(1\mbox{J},2\mbox{M})=0,125\cdot3=3/8</math><br /><br />
<math>P(0\mbox{J},3\mbox{M})=0,125=1/8</math><br /><br />
<math>h_j</math> – beobachtete absolute Häufigkeit<math>np_i</math> – unter <math>H_0</math> erwartete absolute Häufigkeit<br /><br />
<math>np_i>1</math> für alle <math>i</math> und <math>np_i\geq5</math> für mindestens 80% der erwarteten Häufigkeiten erfüllt.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>h_j</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_j-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_j-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>\chi^2=(h_j-np_i)^2/np_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| <math>-9</math><br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 3,24<br />
|-<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| <math>-15</math><br />
|align="right"| 225<br />
|align="right"| 3,00<br />
|-<br />
|align="right"| 92<br />
|align="right"| 75<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 289<br />
|align="right"| 3,853333<br />
|-<br />
|align="right"| 32<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,96<br />
|}<br />
<br />
<math>v=12,053333\quad f=I-1-k=4-1=3;\quad k=0</math> (kein Parameter war zu schätzen)<br /><br />
aus Tabelle der Chi–Quadrat–Verteilung für <math>f=3</math>:<br /><br />
<math>1-\alpha:0,99\quad\chi^2=11,35\quad1-\alpha:0,995\quad\chi^2=12,84</math><br /><br />
signifikant zum 1%–Niveau<br />
<br />
===Arbeitsproduktivität===<br />
<br />
<math>X</math>: “Arbeitsproduktivität”,Verteilung unbekannt,<math>\sigma=0,8</math> Stück/Stunde<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Arbeitsproduktivität bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=64</math>”<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> (Begründung: Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=64>30</math>);<br /><br />
<math>\sigma/\sqrt{n}=0,8/8=0,1;\quad \mu_0=5,5;\quad\alpha=0,05\quad z_{0,975}=1,96;\quad H_0:\mu=5,5;\quad H_1:\mu\neq5,5;\quad\mu_1=5,1</math> <math>\begin{align}<br />
\beta(\mu)&=&1-G(\mu)\\<br />
G(\mu)&=&1-\left[P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\right]\\<br />
\beta(\mu)&=&P\left(V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)-P\left(V<-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}\right)\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&P(V\leq1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&-&P(V<-1,96-(5,6-5,5)/0,1)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-P(V\leq-2,96)\\<br />
&=&P(V\leq0,96)-[1-P(V\leq2,96)]\\<br />
&=&0,831472-[1-0,998462]\\<br />
&=&0,831472-0,001538=0,829934\\<br />
\beta(\mu_1=5,6)&=&0,8299\end{align}</math><br />
<br />
===Ausfallsicherheit===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Ausfallzeit eines Servers in Stunden}\sim N(\mu,\sigma)</math><br /><br />
Betriebszeit eines Servers: <math>365\mbox{ Tage}\cdot24\mbox{ Stunden}=8760\mbox{ Stunden}</math><br /><br />
maximale mittlere Ausfallzeit lt. Hersteller: 1% von <math>8760=87,6</math> Stunden<br /><br />
Der Hersteller will seine Behauptung statistisch untermauern, wobei er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten will. Da nur Abweichungen von <math>\mu_0</math> nach einer Seite von Bedeutung sind, wird ein einseitiger Test durchgeführt. Die Behauptung des Herstellers wird als Alternativhypothese formuliert, womit ein linksseitiger Test resultiert<br /><br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=87,6</math> Stunden<math>H_1:\mu<\mu_0=87,6</math> Stunden<br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art <math>P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_0)</math> ist das Signifikanzniveau <math>\alpha</math>, mit dessen Vorgabe das Risiko eines derartigen Fehlers gering gehalten werden kann. Damit wird die Zielstellung des Herstellers bei der Durchführung des Tests eingehalten. Da <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt ist, folgt die Teststatistik unter <math>H_0</math> einer t–Verteilung mit <math>f=n-1=24</math> Freiheitsgraden. Kritischer Wert: <math>t_{0,95;24}=-1,711</math><math>v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{84,2-87,6}{10}\sqrt{25}=-1,70</math>Da <math>v>t_{0,95;24}</math> ist und damit in den Nichtablehnungsbereich von <math>H_0</math> fällt, besteht keine Veranlassung <math>H_0</math> abzulehnen.<br /><br />
===Ausgaben für Urlaubsreisen===<br />
<br />
Auswahlsatz <math>n/N=10000/2500000=0,04<0,05\rightarrow</math> Endlichkeitskorrektur kann vernachlässigt werden;<math>\sigma</math> der Grundgesamtheit unbekannt;<math>N=2500000</math>;<br /><br />
hypothetischer Wert der Gesamtausgaben: <math>10000000000\rightarrow\mu_0=10000000000/2500000=4000</math><math>n=10000;\quad\overline{x}=3780;\quad s=2290</math><br /><br />
Teststatistik:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S}\sqrt{n}</math>Wert der Teststatistik für die Stichprobe:<math>v=\frac{3780-4000}{2290}\sqrt{10000}=-9,606987\approx-9,61</math><br />
<br />
===Batterien Lebensdauer===<br />
<br />
* <math>\chi^2</math>–Anpassungstest<br />
* <math>H_0</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist normalverteilt<br /><br />
<math>H_1</math>: Die Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien ist nicht normalverteilt<br />
* X: Lebensdauer einer Batterie<math>V=\sum_{i=1}^I\frac{(h_i-np_i)^2}{np_i}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=I-1-k</math> Freiheitsgraden, wenn für alle <math>i</math> <math>np_i\geq5</math> gilt (I – Anzahl der Klassen, k – Anzahl der zu schätzenden Parameter)<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i </math><br />
! <math> \overline{x}_i </math><br />
! <math> h_i\overline{x}_i </math><br />
! <math> p_i </math><br />
! <math> np_i </math><br />
|-<br />
| align="right" | 1<br />
| align="right" | -300<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 160<br />
| align="right" | 1600<br />
| align="right" | 0.16<br />
| align="right" | 16<br />
|-<br />
| align="right" | 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| align="right" | 10<br />
| align="right" | 320<br />
| align="right" | 3200<br />
| align="right" | 0.12<br />
| align="right" | 12<br />
|-<br />
| align="right" | 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| align="right" | 60<br />
| align="right" | 400<br />
| align="right" | 24000<br />
| align="right" | 0.45<br />
| align="right" | 45<br />
|-<br />
| align="right" | 4<br />
| align="left" | 460-<br />
| align="right" | 20<br />
| align="right" | 560<br />
| align="right" | 11200<br />
| align="right" | 0.27<br />
| align="right" | 27<br />
|-<br />
|<br />
|100<br />
|<br />
|40000<br />
|<br />
|<br />
|}<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math> i </math><br />
! Klassen<br />
! <math> h_i - np_i </math><br />
! <math> (h_i - np_i)^2 </math><br />
! <math> \frac{(h_i - np_i)^2}{np_i} </math><br />
|-<br />
| 1<br />
| align="right" | -300<br />
| -6<br />
| 36<br />
| 2.25<br />
|-<br />
| 2<br />
| align="center" | 300-340<br />
| -2<br />
| 4<br />
| 0.33<br />
|-<br />
| 3<br />
| align="center" | 340-460<br />
| 15<br />
| 225<br />
| 5.00<br />
|-<br />
| 4<br />
| align="left" | 460<br />
| -7<br />
| 49<br />
| 1.82<br />
|-<br />
|<br />
|<br />
|<br />
| <math> v=9.40 </math><br />
|<br />
|}<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_ix_ih_j=\frac{1}{100}\cdot40000=400\\ s&=100\\<br />
p_1 & = P(V\leq300)=P\left(Z\leq\displaystyle\frac{300-400}{100}\right)\\ <br />
& = P(Z\leq-1)=1-P(Z\leq1)=1-0,841345\approx0,16\\<br />
p_2 & = P(300\leq V\leq340)=P\left(\displaystyle\frac{300-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{340-400}{100}\right)=\\<br />
& = P(-1\leq Z\leq-0,6)= P(Z\leq1)-P(Z\leq0,6)\\<br />
& = 0,841345-0,725747\approx0,12\\<br />
p_3 & =P(340\leq V\leq460)=P\left(\displaystyle\frac{340-400}{100}\leq Z\leq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =P(-0,6\leq Z\leq0,6)=2\cdot P(Z\leq0,6)-1\\<br />
&=2\cdot0,725747-1\approx0,45\\<br />
p_4 & = P(V\geq460)=P\left(Z\geq\displaystyle\frac{460-400}{100}\right)\\<br />
& =1-P(Z\leq0,6)=1-0,725747\approx0,27\end{aligned}</math><br />
<br />
Approximationsbedingung erfüllt; <math>f=4-1-2=1</math>; <math>\alpha=0,01</math><br /><br />
Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq6,63\}</math><br /><br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>6,63\}</math><br />
<br />
* <math>v=9,4\in\mbox{Ablehnungsbereich} \rightarrow </math> " <math>H_1</math> " <br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass es sich bei der Stichprobenverteilung der Lebensdauer der Batterien nicht um eine Normalverteilung handelt.<br />
* Weiß man nicht; wir hoffen nicht!<br />
<br />
===Benzinverbrauch Test===<br />
<br />
<math>\mu_0=6;\;H_0:\mu=6;\;H_1:\mu\neq6,\;</math>zweiseitiger Test, da Abweichungen von der Behauptung, also nach beiden Seiten; <math>X\sim N(\mu_0=6;\sigma^2),\;\sigma^2</math> unbekannt;<br /><br />
<math>\overline{x}=\sum_ix_i/n=97,6/16=6,1</math><br /><br />
<math>s^2=\sum_i(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,6615/15=0,0441;\;s=0,21</math><br /><br />
<math>\displaystyle v=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s}\sqrt{n}=\frac{6,1-6}{0,21}\cdot4=1,90476\approx1,905</math><br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;n-1}=t_{0,975;15}=2,132</math><br />
<br />
===Chininhaltige Limonade===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Es wird importiert” <math>|</math> Kunden werden krank<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(30; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0424</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 30</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Anteil der Flaschen, die den Vorschriften nicht entsprechen, kleiner als 10% ist, d.h. der Großhändler sucht sich einen neuen Importeur.<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0424</math>; <math>G(\pi<br />
= 0,2) = 0,0012</math><br />
<br />
===Dicke der Fahrbahndecke===<br />
<br />
<math>H_0:\mu\geq\mu_0=3,5 \quad H_1:\mu<\mu_0=3,5</math><br /><br />
Der Bauunternehmer muss nachweisen, dass die Fahrbahndecke zu dünn ist, da er nur dann Abzüge hinnehmen muss.<br /><br />
Risikobetrachtung:<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=\mbox{Fahrbahndecke zu dünn, muss Abzüge hinnehmen }</math>|Fahrbahndecke o.k., müsste keine Abzüge hinnehmen<br /><br />
Dies ist für den Bauunternehmer das größere Risiko, das gleich dem Fehler 1. Art ist, für den die Wahrscheinlichkeit mit <math>\alpha</math> vorgegeben ist.<br /><br />
<br />
===Durchmesser von Wellen===<br />
<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -1,96 \mbox{ oder } v > 1,96\}</math><br />
* <math>v = 0,8 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = 4 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}'' </math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Durchschnittsgewicht===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Gewicht des i-ten Hähnchens”; <math>i = 1,...,25</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 1400</math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 1400</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Angebot zurückweisen” <math>|</math> gutes Geschäft vermasselt<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(1400; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt<br />
* <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> t–verteilt mit <math>f=24</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,711\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 1,711\}</math><br />
* <math>v = - 0,9 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* <math>v = - 1,9 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
* Fehler 1. Art<br />
<br />
===Fachgebiete===<br />
<br />
Anwendung des Chi-Quadrat-Anpassungstests zur Prüfung der Hypothese, ob die von Bärbel beobachtete Verteilung (<math>h_{Stat}=5, h_{VWL}=35, h_{BWL}=50, h_{WI}=10</math>) mit der theoretisch erwarteten Verteilung (Gerdas Behauptung: <math>nf_{Stat}=10, nf_{VWL}=30, nf_{BWL}=40, nf_{WI}=20</math>) übereinstimmt. Beide Approximationsbedingungen sind erfüllt.<br /><br />
Prüfwert: <math>\begin{aligned}<br />
v&=&\sum_i[(h_i-np_i)^2/np_i]\\<br />
&=&(5-10)^2/10+(35-30)^2/30+(50-40)^2/40+(10-20)^2/20\\<br />
&=&25/10+25/30+100/40+100/20=(300+100+300+600)/120\\<br />
&=&1300/120=10,83\approx10,8\end{aligned}</math><br />
<br />
===FKK===<br />
<br />
Anwendung des <math>\chi^2</math>–Unabhängigkeitstests, weil die Beziehung zwischen zwei nominalskalierten Zufallsvariablen zu prüfen ist.<br /><br />
<math>X</math>: Neigung zu FKK; <math>Y</math>: Region<br /><br />
<math>H_0</math>: X und Y sind unabhängig; <math>H_1</math>: X und Y sind nicht unabhängig<br /><br />
<math>\alpha=0,01</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! XY<br />
! alt<br />
! neu<br />
! <math>h_i.</math><br />
|-<br />
| für<br />
| 20 (26,7)<br />
| 20 (13,3)<br />
| 40<br />
|-<br />
| gegen<br />
| 80 (73,3)<br />
| 30 (36,7)<br />
| 110<br />
|-<br />
| <math>h_{.j}</math><br />
| 100<br />
| 50<br />
| 150<br />
|}<br />
<br />
(in Klammern die erwarteten <math>\tilde{h}_{ij}</math>)<br /><br />
<math>V=\displaystyle\sum^{I=2}_{i=1}\sum_{j=1}^{J=2}\displaystyle\frac{(h_{ij}-\tilde{h}_{ij})^2}{\tilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f=(I-1)(J-1)=1</math> Freiheitsgrad.<br /><br />
<math>c=\chi^2_{0,99;1}=6,63</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:{<math>v|v>6,63</math>}<br /><br />
<math>v=1,7+3,4+0,6+1,2=6,9</math><br /><br />
<math>v=6,9\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow</math> <math>H_1</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von 1% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=150</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Neigung zu FKK von der Region der Befragten abhängig ist.<br />
<br />
===Gewinnspiel–Automat===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Ertrag pro Spiel}</math>, <math>i=1,\ldots,n=50</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n=-0,58</math>, <math>S^2=\sum(U_i-\overline{U})^2/(n-1)=0,82</math><br /><br />
<math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq0; \quad H_1:\mu<0</math><br /><br />
asymptotisch<br />
<math><br />
V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0,1)<br />
</math><br />
<br />
daher für <br />
<br />
<math>\mu_0=0</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
0,05 &= P(V\leq c|H_0) \\<br />
&= P\Big( \frac{\overline{U} - \mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \leq <br />
\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}} \sqrt{n} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
0,95 &= 1-\Phi\Big( \frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
&= \Phi\Big( -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} \Big) \\<br />
\\<br />
1,64 &= -\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2} \sqrt{n}} = - \frac{c-0}{\sqrt{0.82}} \sqrt{50}<br />
\end{aligned}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow c=-1,64\cdot\sqrt{0,82}/\sqrt{50}=-0,21</math><br /><br />
<br />
===Grönländische Bohrlochkerne===<br />
<br />
Gegeben: <math>\mu_0=-25</math>C;<math>n=100;\quad\alpha=0,025;\quad\overline{x}=-24</math>C;<math>s=1,5</math>C (diese Stichprobenergebnisse werden nicht benötigt);<math>\mu=-24,8</math>C<br /><br />
Da die Forscher nachweisen wollen, dass eine Erwärmung des Eises stattgefunden hat wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt:<br /><br />
<math>H_0:\mu\leq\mu_0\;(=-25</math>C) gegen <math>H_1:\mu>\mu_0\;(=-25</math>C). Daher <math>z_{0,975}=1,96</math>.<br /><br />
Es ist der Wert der Gütefunktion <math>G(\mu=-24,8</math>C) zu berechnen, denn<br />
<br />
* die Gütefunktion <math>G(\mu)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von <math>H_0</math> in Abhängigkeit vom Parameter <math>\mu</math> an: <math>G(\mu)=P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu);</math><br />
* für alle zulässigen Werte von <math>\mu>\mu_0</math> gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung der Nullhypothese wird eine richtige Entscheidung getroffen; das ist hier wegen <math>\mu(=-24,8</math>C<math>)>\mu_0(=-25</math>C<math>)</math> gegeben;<br />
* es ist <math>P(V\in \mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu>\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math>.<br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=-24,8)&=&1-P\left(V\leq z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)\\<br />
&=&1-P\left(V\leq1,96-\frac{-24,8-(-25)}{2}\sqrt{100}\right)\\<br />
&=&1-P(V\leq0,96)=1-0,831482=0,168518\approx0,17\end{aligned}</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen 2===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X=\mbox{Füllgewicht}</math>, Verteilung von <math>X</math> unbekannt, <math>\sigma=15</math>, Grundgesamtheit kann als sehr groß angesehen werden, mittleres Füllgewicht <math>\mu</math> unbekannt<br /><br />
hypothetischer Wert: <math>\mu_0=500</math><br /><br />
einfache Zufallsstichprobe: <math>n=100</math>, Stichprobenvariablen sind i.i.d.<br /><br />
linksseitiger Test auf <math>\mu:H_0:\mu\geq\mu_0</math> und <math>H_1:\mu<\mu_0</math><br /><br />
Teststatistik <math>V</math>:<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}</math><math>\alpha=0,05;\quad z_{1-\alpha}=z_{0,95}=1,64</math> aus Tabelle der Verteilungsfunktion <math>N(0;1)</math>, da aufgrund des großen Stichprobenumfangs und des ZGS die Verteilung von <math>X</math> approximativ normalverteilt ist; kritischer Wert: <math>-z_{1-\alpha}=-z_{0,95}=-1,64</math> (wegen Symmetrie der Normalverteilung)<br /><br />
<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v<-z_{1-\alpha}\}=\{v|v<-1,64\}</math><br />
|-<br />
| Nichtablehnungsbereich der <math>H_0</math>:<br />
| <math>\{v|v\geq-z_{1-\alpha}\}=\{v|v\geq-1,64\}</math><br />
|}<br />
<br />
<br /><br />
Fehler 2. Art: fälschliche Beibehaltung der <math>H_0</math>, d.h. “<math>H_0</math>”<math>|H_1</math>; <math>P(</math>“<math>H_0</math>”|<math>H_1)=\beta</math><br /><br />
Inhalt der Gütefunktion:<br />
<br />
<math>G(\mu)=\left\{<br />
\begin{array}{lc}<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0) \leq \alpha & \text{ für alle } \mu \geq \mu_0 \\<br />
P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1) = 1-\beta & \text{ für alle } \mu < \mu_0.\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
Es ist (wahr) <math>\mu=497<\mu_0=500</math>; es gilt in Wirklichkeit die Alternativhypothese und mit der Ablehnung von <math>H_0</math> wird eine richtige Entscheidung getroffen. Es ist <math>P(V\in\mbox{Ablehnungsbereich der }H_0|\mu<\mu_0)=P(</math>“<math>H_1</math>”<math>|H_1)=1-\beta</math><br /><br />
Berechnung der Gütefunktion: <math>\begin{aligned}<br />
G(\mu)&=&P\left(V\leq-z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=P\left(V\leq-1,64-\frac{497-500}{15/\sqrt{100}}\right)\\<br />
&=&P\left(V\leq-1,64-\frac{-3}{1,5}\right)=P(V\leq-1,64+2)=P(V\leq0,36)\\<br />
&=& 1-\beta=0,64058\end{aligned}</math> <math>\rightarrow \beta=0,35942\approx0,36</math><br />
<br />
===Kaffee Packungen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_0:\mu\leq\mu_0=500</math> g<math>H_1:\mu>\mu_0=500</math> g<br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math> Abfüllmenge o.k.|ärger mit dem Kunden<br /><br />
<math>P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha=0,02275\rightarrow</math> klein halten</p></li><br />
<li><p><math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Füllmenge einer Kaffeepackung in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i</math>: Füllmenge der i–ten Kaffeepackung; <math>i=1,\ldots,25</math><br /><br />
<math>X_i\sim N(\mu;10)</math> für alle i, unabhängig<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(\mu_0;\sigma/\sqrt{n})=N(500;2)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>V=\displaystyle\frac{\overline{X}-\mu_0}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{\overline{X}-500}{2}</math> ist unter <math>H_0</math> <math>N(0;1)</math>–verteilt.</p></li><br />
<li><p><math>c</math> für <math>1-\alpha=0,97725</math> aus Tabelle der <math>N(0;1)\rightarrow c=2</math><br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v>2\}</math><br />
|-<br />
| Nicht–Ablehnungsbereich:<br />
| <math>\{v|v\leq2\}</math><br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>v=(504,5-500)/2=2,25\in</math> Ablehnungsbereiches <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,02275</math> und basierend auf einem Stichprobenumfang von <math>n=25</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die wahre durchschnittliche Füllmenge einer Packung bei der neuen Kaffeebohnensorte der Norm entspricht.</p></li><br />
<li><p><br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
\beta & = 1-G(\mu=501)=1-P(\overline{X}>\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P(\overline{X}\leq\overline{x}_c|\mu=501)\\<br />
& = P\Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)\\<br />
& = P\Big( V\leq2-\frac{501-500}{2} \Big)\\<br />
& = P(V\leq1,5)=0,933193\end{aligned}<br />
</math><br />
</p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist 93,32%, wenn in Wahrheit die mittlere Abfüllmenge <math>\mu=501</math> g beträgt.</p></li><br />
<li><p><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu=499) & = 1-P \Big( V\leq c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \Big)=1-P\Big( V \leq 2-\frac{499-500}{2} \Big)\\<br />
& = 1-P(V\leq2,5)=1-0,99379=0,00621\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_0)=\alpha(\mu=499)\end{aligned}</math></p><br />
<p>Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (unberechtigte Annahme der <math>H_1</math>) beträgt <math>\alpha=0,00621</math>, wenn das wahre <math>\mu=499</math> ist. <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
G(\mu=502) & = 1-P\Big(V\leq2-\frac{502-500}{2}\Big)=1-P(V\leq1)\\<br />
& = 1-0,841345=0,158655\\<br />
& = P(\text{“} H_1 \text{”}|H_1)=1-\beta(\mu=502)<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
Die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Annahme der <math>H_1</math>, wenn das wahre <math>\mu=502</math> ist, beträgt 15,8655%.</p></li></ul><br />
<br />
===Lagerhaltungsprobleme===<br />
<br />
<math>X=\mbox{Anzahl der nachgefragten Produkte pro Tag}</math><br /><br />
Chi-Quadrat-Anpassungstest bei Wahl der hypothetischen Verteilung <math>F_0(x)=</math> Poisson-Verteilung. Der Parameter <math>\lambda=E(X)</math> ist unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden: <math>\hat{\lambda}=200/100=2,0</math>. Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung PO(2,0) lassen sich die unter <math>H_0</math> gültigen Wahrscheinlichkeiten <math>p_i=P(X=x_i)</math> ermitteln. (5. Spalte der folgenden Tabelle). Für alle Klassen ist die Voraussetzung <math>n\cdot p_i\geq5</math> erfüllt. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Chi–Quadrat–Anpassungstests beträgt <math>f=I-1-k</math> mit <math>I</math> der Anzahl der Klassen und <math>k</math> der Anzahl der aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter. Damit resultiert: <math>f=6-1-1=4</math>.<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="center"| <math>i</math><br />
!align="center"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>x_ih_i</math><br />
!align="center"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
|-<br />
|align="center"| 1<br />
|align="center"| 0<br />
|align="right"| 17<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,1353<br />
|align="right"| 13,53<br />
|-<br />
|align="center"| 2<br />
|align="center"| 1<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 3<br />
|align="center"| 2<br />
|align="right"| 27<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,2707<br />
|align="right"| 27,07<br />
|-<br />
|align="center"| 4<br />
|align="center"| 3<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 54<br />
|align="center"| 0,1804<br />
|align="right"| 18,04<br />
|-<br />
|align="center"| 5<br />
|align="center"| 4<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 72<br />
|align="center"| 0,0902<br />
|align="right"| 9,02<br />
|-<br />
|align="center"| 6<br />
|align="center"| 5 und mehr<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="center"| 0,0527<br />
|align="right"| 5,27<br />
|-<br />
|align="center"| <math>\sum</math><br />
|align="center"|<br />
<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 200<br />
|align="center"| 1,0000<br />
|align="right"| 100<br />
|}<br />
<br />
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi–Quadrat–Verteilung findet man:<br /><br />
<math>\chi^2_{0,95;4}=9,49</math><br /><br />
===Mietpreisbindung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\chi^{2}</math>–Anpassungstest</p></li><br />
<li><p><math>X</math>: “Mietpreissteigerung [in %]”<br /><br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in <math>[a,b]</math><br /><br />
<math>b = 5</math> [%]; <math>(a+b)/2 = 2,5</math> [%] <math>\Rightarrow</math> <math>a = 0</math> [%]</p></li><br />
<li><p><math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math></p></li><br />
<li><p><math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i} \geq 5</math> für alle <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 4</math> Freiheitsgraden</p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,86\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,86\}</math></p></li><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0-1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1-2<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -20<br />
|align="right"| 400<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2-3<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3-4<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 5<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4-5<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,2<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 60<br />
|align="right"| 3600<br />
|align="right"| 180<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5-<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
<p><math>v = 230 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li><br />
<li><p>Auf einem Signifikanzniveau von 0,5% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner Gleichverteilung im Bereich <math>[0;5]</math> folgt.</p></li></ul><br />
<br />
===Münzen===<br />
<br />
<math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung stimmt nicht mit der vermuteten Verteilung überein<br />
<br />
8 mögliche Ereignisse: <math>ZZZ</math>; <math>KZZ</math>; <math>ZKZ</math>; <math>ZZK</math>; <math>KKZ</math>; <math>KZK</math>; <math>ZKK</math>; <math>KKK</math><br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <span><math>h_i</math></span><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <span><math>np_i</math></span><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -6<br />
|align="right"| 36<br />
|align="right"| 1,2<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 108<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 324<br />
|align="right"| 3,6<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 85<br />
|align="right"| 3/8<br />
|align="right"| 90<br />
|align="right"| -5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,277<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 23<br />
|align="right"| 1/8<br />
|align="right"| 30<br />
|align="right"| -7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 1,633<br />
|}<br />
<br />
Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 7,81\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 7,81\}</math><br /><br />
<math>v = 6,71 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
<br />
===Neues Präparat===<br />
<br />
* <math>H_0:\pi\leq\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><math>H_1:\pi>\pi_0</math> <math>(=0,35)</math><br /><br />
<math>H_1</math>|<math>H_0=</math>Einführung des Präparates|Hersteller lügt; Krankenkassen zahlen, obwohl Heilungsquote minimal<br />
* <math>V=X:</math> Anzahl der Patienten, bei denen Heilerfolg eintritt, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=19</math><br /><br />
<math>V=\sum_{i=1}^nX_i</math><br /><br />
<math>X_i=\mbox{Heilerfolg beim i-ten Patienten}</math><br />
* V ist unter <math>H_0</math> <math>B.V.(n;\pi_0)\sim B.V.(19;0,35)</math><br />
* Nicht-Ablehnungsbereich: <math>\{v|v\leq12\}</math>; Ablehnungsbereich: <math>\{v|v>12\}</math><br /><br />
<math>\alpha_{exakt}=0,0031</math><br />
* *# <math>P(\text{“} H_0 \text{”}|\pi_0=0,5\in H_1)=\beta_{(\pi_0=0,5)}=0,9165</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (unberechtigte Annahme von <math>H_0</math>) beträgt 91,65%, wenn die wahre Heilungsquote 50% beträgt.<br />
*# 2. <math>P(\text{“} H_1 \text{”}|\pi_0=0,4\in H_1)=1-\beta_{(\pi_0=0,4)}=1-0,9884=0,0116</math><br /><br />
Die Wahrscheinlichkeit für eine berechtigte Annahme der <math>H_1</math> beträgt 1,16%, wenn die wahre Heilungsquote 40% beträgt.<br />
<br />
===Paketversandfirma===<br />
<br />
<math>V=\displaystyle\frac{\hat{\pi}-\pi_0}{\sqrt{\displaystyle\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}</math>V ist unter <math>H_0</math> approximativ <math>[n\pi_0>9;n(1-\pi_0)>9;n>30]</math> <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>\alpha=0,0359</math>; <math>1-\alpha=0,9641</math>; <math>c=1,8</math><br /><br />
Ablehnungsbereich der <math>H_0:\{v|v>1,8\}</math><br /><br />
<math>n=900</math>; <math>p=828/900=0,92</math>; <math>v=(0,92-0,9)/0,01=2</math><br /><br />
<math>v=2\in</math> Ablehnungsbereich <math>\rightarrow \text{“} H_1 \text{”}</math><br /><br />
Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,0359</math> und basierend auf einer Stichprobe vom Umfang <math>n=900</math> konnte statistisch gezeigt werden, dass mehr als 90% der Pakete den Empfänger innerhalb einer Woche erreichen. Das Unternehmen beauftragt die Versandfirma mit dem Versand ihrer Pakete.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel (Gütefunktion)===<br />
<br />
Der Verlauf der Gütefunktion ist ''nicht abhängig'' vom Stichprobenergebnis, aber ''abhängig'' vom Stichprobenumfang.<br />
<br />
===Phosphatgehalt der Waschmittel===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Phosphatgehalt des i-ten Paketes”; <math>i = 1,...,36</math><br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X) = \mu</math>; <math>Var(X_{i}) = 36</math>g<math>^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \leq \mu_{0} = 18</math>, <math>H_{1}: \mu > \mu_{0} = 18</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Phosphatgehalt zu hoch” <math>|</math> Phosphatgehalt stimmt; dies ist aus Sicht des Fabrikanten die schlimmere Fehlentscheidung.<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 36</math>”<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(\mu_{0};\sigma/\sqrt{n})<br />
= N(18;1)</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
* <math>V = (\overline{X} - \mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 3,09\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 3,09\}</math><br />
* <math>v = 2 \in</math> Nicht–Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Es konnte statistisch bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird (der <math>H_{0}</math>!). <math>\alpha</math> ist sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d.h. nur bei einem ganz extrem großen Stichprobenwert von <math>\overline{X}</math> muss die Firma das Produkt vom Markt nehmen (<math>''H_{1}''</math>).<br />
* Wenn der wahre Wert des mittleren Phosphatgehalts 21,09g ist, würden 50% der Stichproben einen Mittelwert unter 21,09g und der Rest einen Mittelwert über 21,09g ergeben. Bei <math>\overline{X}=21,09</math> nimmt der Prüfwert den Wert <math>\frac{21,09-18}{\sqrt{36}/\sqrt{36}}=3,09</math> an, was genau der Grenze des Ablehnungsbereiches entspricht. Im Fall von 50% der möglichen Stichproben bekommt man also einen Prüfwert, der nicht zum Ablehnungsbereich gehört.<br /><br />
<math>\Rightarrow P(''H_{0}''|\mu=21,09) = 0,5</math><br />
<br />
===Schlampiges Gepäck-Handling===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"|<br />
<br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 460<br />
|align="right"| 0,449<br />
|align="right"| 449<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| 121<br />
|align="right"| 0,269<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 350<br />
|align="right"| 0,360<br />
|align="right"| 360<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 0,278<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 135<br />
|align="right"| 0,144<br />
|align="right"| 144<br />
|align="right"| -9<br />
|align="right"| 81<br />
|align="right"| 0,563<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 40<br />
|align="right"| 0,038<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,105<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 0,008<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 49<br />
|align="right"| 5,125<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| <math>></math>4<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,001<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|}<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poisson-Verteilung,<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer Poisson-Verteilung<br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für <math>80\%</math> der <math>i</math> ) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 4</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math> \{v|v > 13,28\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 13,28\}</math><br />
* <math>L(x _{1},...,x _{n} |\lambda )<br />
=\frac{\lambda ^{x _{1}+...+x _{n}}}{x_{1}! \cdot ... \cdot x _{n}!}\,<br />
e^{-n \lambda} \to \max \quad\Rightarrow\quad \widehat\lambda = 0,8</math><br />
* siehe obige Tabelle <math>v = 7,34 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* <math>H_{0}</math> läßt sich statistisch nicht beweisen! Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 1000</math> konnte lediglich statistisch bewiesen werden, dass es sich um eine Poisson-Verteilung handelt.<br />
<br />
===Schwergewichtsboxer===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \leq \pi_{0} = 0,5 </math>, <math>H_{1}: \pi > \pi_{0} = 0,5</math> <math>\Rightarrow</math> das will er beweisen<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der von J.Knockout gewonnenen Kämpfe bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 11</math>”<br />
* <math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(11; 0,5)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x > 8\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \leq 8\}</math><br />
* <math>x = 8 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.}=0,0327</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=11</math> Kämpfen konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass J. Knockout der bessere Boxer ist.<br />
<br />
===Skirennen (Gütefunktion)===<br />
<br />
* <math>G(\pi = 0) = 1</math>; <math>G(\pi = 0,1) = 0,0985</math>; <math>G(\pi = 0,2) = 0,0074</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Skirennen===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \pi \geq \pi_{0} = 0,1 </math>, <math>H_{1}: \pi < \pi_{0} = 0,1</math><br /><br />
<math>''H_{1}''|H_{0}</math> = “Hang bleibt wie gesteckt” <math>|</math> Krankenhaus überfüllt<br />
* <math>X</math>: “Anzahl der Gäste, die ausscheiden, bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math>”<br /><br />
<math>X</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>B(22; 0,1)</math>–verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{x < 1\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{x \geq 1\}</math><br />
* <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math><br />
* <math>x = 1 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha_{ex.} = 0,0985</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 22</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Ausfallquote kleiner als 10% ist.<br />
<br />
===Sollwerte===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu = \mu_{0} (= 300)</math>, <math>H_{1}: \mu \ne \mu_{0} (= 300)</math></p><br />
<p><math>X_{i}</math>: “Füllgewicht der i-ten Konserve”; <math>i = 1,...,100</math>; <math>X_{i} \sim N(\mu;\sigma)</math></p><br />
<p><math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Füllgewicht einer Konserve bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”</p><br />
<p><math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(300; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt <math>\sigma</math> unbekannt, aber <math>n > 30</math> <math>\Rightarrow</math> Verwendung der Normalverteilung <math>V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{ 0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math>–verteilt</p><br />
<p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 1,96 oderv > 1,96\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|-1,96 \leq v \leq 1,96\}</math><br /><br />
<math>v = 2 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math>; Produktionsprozeß stoppen.</p></li><br />
<li><p><math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 300 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 300</math> (das will Abnehmer beweisen!)</p></li></ul><br />
<br />
===Spezialgefrierschränke (Gütefunktion)===<br />
<br />
* ** <math>G(\mu_{1} = -24,8) = 0,00135</math><br />
** <math>G(\mu_{2} = -25,8) = 0,97725</math><br />
** <math>G(\mu_{3} = -29) = 1</math><br />
* Die Skizze ist in den Lösungen nicht enthalten.<br />
<br />
===Spezialgefrierschränke===<br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = - 25^{o}</math>C, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = - 25^{o}</math>C<br /><br />
<math>P(''H_{1}''|H_{0}) = P(</math> “Kunden zufrieden?” <math>|</math> Ruin <math>) = \alpha</math><br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Temperatur eines Spezialgefrierschrankes bei einer Zufallsstichprobe <math>n = 100</math>” <math>X_{i}</math>: “Temperatur des <math>i</math>–ten Spezialgefrierschrankes”; <math>i=1,\ldots,100</math> <math>X_{i} \sim N(\mu;2)</math>; <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(-25;0,2)</math>–verteilt<br />
* <math>V = (\overline{X} -<br />
\mu_{0})/(\sigma/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> <math>N(0;1)</math>-verteilt<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < -2\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq -2\}</math><br />
* ** <math>v = - 5 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit keine Produktionsveränderung notwendig.<br />
* ** <math>v = - 1,5 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
** Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur der Geräte unter -25<math>^{o}</math>C liegt. Somit Produktionsveränderung notwendig.<br />
** Fehler 2. Art<br />
** Frage kann nicht beantwortet werden; Fehler ist unterlaufen oder nicht.<br />
** <math>P(''H_{0}''|H_{1}:\mu=-29) = 0</math><br />
* <math>P(''H_{1}''|H_{0})=\alpha</math> ist an der Nahtstelle der Hypothesen stets am größten<br />
<br />
===Testfunktion===<br />
<br />
Für den Ablehnungsbereich <math>\{v|v>c\}</math> gilt <math>P(V>c)=\alpha</math>.<br /><br />
Für jedes <math>v\leq c</math> ist <math>P(V>v)>P(V>c)</math>, d.h. das vorgegebene Signifikanzniveau wird nicht eingehalten.<br /><br />
Oder: <math>P(V>c)=\alpha</math>; <math>P(V>v)=\gamma</math>,<br /><br />
<math>P(V>v|v\leq c)=[P(V\leq c)-P(V\leq v)]+P(V>c)</math><br /><br />
<math>\gamma=\delta+\alpha</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha</math> für <math>v=c</math>, <math>\delta=0</math>; <math>\gamma>\alpha</math> für <math>v<c</math>, <math>\delta>0</math>.<br /><br />
<math>P(V>v|v>c)=P(V>c)-[P(V\leq v)-P(V\leq c)]</math><br /><br />
<math>\gamma=\alpha-\delta</math><br /><br />
<math>\gamma<\alpha</math> für <math>v>c</math>, <math>\delta>0</math>.<br />
<br />
===Torerfolge===<br />
<br />
<math>X</math>: “Torerfolge pro Spiel”<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>i</math><br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i</math><br />
!align="right"| <math>p_i</math><br />
!align="right"| <math>np_i</math><br />
!align="right"| <math>h_i-np_i</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2</math><br />
!align="right"| <math>(h_i-np_i)^2/(np_i)</math><br />
|-<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 18<br />
|align="right"| 0,0334<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 64<br />
|align="right"| 6,40<br />
|-<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 24<br />
|align="right"| 0,1134<br />
|align="right"| 34<br />
|align="right"| -10<br />
|align="right"| 100<br />
|align="right"| 2,94<br />
|-<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 2<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 0,1929<br />
|align="right"| 58<br />
|align="right"| -2<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 0,07<br />
|-<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 3<br />
|align="right"| 63<br />
|align="right"| 0,2187<br />
|align="right"| 66<br />
|align="right"| -3<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 0,14<br />
|-<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 61<br />
|align="right"| 0,1858<br />
|align="right"| 56<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 0,45<br />
|-<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 39<br />
|align="right"| 0,1263<br />
|align="right"| 38<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,03<br />
|-<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 26<br />
|align="right"| 0,0716<br />
|align="right"| 21<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 25<br />
|align="right"| 1,19<br />
|-<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 7<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 0,0348<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| -4<br />
|align="right"| 16<br />
|align="right"| 1,60<br />
|-<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 0,0148<br />
|align="right"| 4<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,25<br />
|-<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| (2)2<br />
|align="right"| 0,0056<br />
|align="right"| (3)2<br />
|align="right"| -1<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"| 0,33<br />
|-<br />
|align="right"| 11<br />
|align="right"| <math>></math>9<br />
|align="right"| 0<br />
|align="right"| 0,0027<br />
|align="right"| 1<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|align="right"|<br />
<br />
|}<br />
<br />
Werte in Klammern, wenn alle Werte mit <math>x_i\geq 9</math> in einer Klasse.<br />
<br />
* <math>H_{0}</math>: Stichprobenverteilung entspricht einer <math>PO(3,4)</math><br /><br />
<math>H_{1}</math>: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer <math>PO(3,4)</math><br />
* <math>V= \sum _{i=1} ^I \frac{(h _{i}-n \cdot p _{i})<br />
^{2}}{n \cdot p _{i}}</math> <math>V</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ (<math>np_{i}\geq 1</math> für alle <math>i</math>, <math>np_{i}\geq 5</math> für mindestens <math>80\%</math> der <math>i</math>) <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = I - 1 - k = 10 - 1 - 0 = 9</math> Freiheitsgraden<br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 14,68\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 14,68\}</math><br />
* <math>v = 13,40 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,1</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 300</math> konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Torfolge nicht einer <math>PO(3,4)</math> entspricht.<br />
<br />
===Werbeaktion===<br />
<br />
<math>U_i=\mbox{Umsatz pro Kunde}</math>, <math>i=1,\dots,n=900</math>, <math>n>30</math><br /><br />
<math>\overline{U}=(\sum_{i=1}^nU_i)/n</math>, <math>E(U_i)=\mu</math>, <math>Var(U_i)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>H_0:\mu\geq165</math>;<math>H_1:\mu<165</math><br /><br />
asymptotisch:<math>V=\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\sqrt{n}\approx\frac{\overline{U}-\mu}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\sim N(0;1)</math>daher für <math>\mu_0=165</math> <br />
<br />
<math>\begin{aligned}<br />
0,05 =& P(V\leq c|H_0)=P\Bigg(\frac{\overline{U}-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\leq\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Bigg)=\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)\\<br />
0,95 =&1-\Phi\Big(\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\Big)=\Phi\Big(-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}\big)\\<br />
1,64=&-\frac{c-\mu_0}{\sqrt{S^2}}\sqrt{n}=-\frac{c-165}{\sqrt{900}}\sqrt{900}<br />
\end{aligned}<br />
</math> <br />
<br />
<math>\rightarrow c=165-1,64=163,36</math><br />
<br />
===Wetterlage und Geschäftslage===<br />
<br />
<math>X</math>: “Wetterlage”; <math>Y</math>: “Geschäftslage”<br />
<br />
<ul><br />
<li><br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 5<br />
|align="right"| 10<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
</li><br />
<li><p><math>H_{0}</math>: Wetter und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig<br /><br />
<math>H_{1}</math>: Wetter und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig</p></li><br />
<li><p>ja, da alle <math>\widetilde{h}_{ij} \geq 5</math> <math>V= \sum _{i=1} ^I \sum _{j=1} ^J<br />
\frac{(h _{ij}-\widetilde{h}_{ij})^{2}}{\widetilde{h}_{ij}}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>\chi^2</math>–verteilt mit <math>f = 2</math> Freiheitsgraden.</p></li><br />
<li><p>Tabelle mit <math>\widetilde{h}_{ij}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>X</math> <math>\backslash</math> <math>Y</math><br />
!align="right"| <math>y_{1}</math>=gut<br />
!align="right"| <math>y_{2}</math>=normal<br />
!align="right"| <math>y_{3}</math>=schlecht<br />
!align="right"|<br />
<br />
|-<br />
| <math>x_{1}</math>=Regentag<br />
|align="right"| 8<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 6<br />
|align="right"| 20<br />
|-<br />
| <math>x_{2}</math>=Sonnentag<br />
|align="right"| 12<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 9<br />
|align="right"| 30<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|align="right"| 20<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 15<br />
|align="right"| 50<br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 9,21\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 9,21\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math></p></li><br />
<li><p>Ablehnungsbereich: <math>\{v|v > 5,99\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \leq 5,99\}</math><br /><br />
<math>v = 6,597 \in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{1}''</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p>(i) Fehler 2. Art, (ii) Fehler 1. Art</p></li></ul><br />
<br />
===Wocheneinkommen===<br />
<br />
X:Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, Verteilung unbekannt, <math>\sigma=20</math> EUR;<br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Durchschnittliches Wocheneinkommen in diesem Stadtteil, <math>\overline{X}</math> ist approximativ (Zentraler Grenzwertsatz, <math>n=100>30)</math> <math>N \sim(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> mit <math>\sigma/\sqrt{n}=20/10=2</math><br /><br />
<math>\mu_0=400</math>, <math>\alpha=0,050503</math>, <math>z_{0,949497}=1,64</math>, <math>\mu_1=406</math>, <math>H_0:\mu\leq400\quad H_1:\mu>400</math> <br />
<br />
<math>G(\mu_1)=1-P\big(V\leq c-\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\big)</math> <br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
G(\mu_1=406) &= 1-P(V\leq1,64-(406-400)/2) \\<br />
&= 1-P(V\leq-1,36) \\<br />
&= 1-(1-P(V\leq1,36)) \\<br />
&= P(V\leq1,36) \\<br />
&= 0,913085<br />
\end{align}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>\beta=1-G(\mu_1)=1-0,913085=0,086915\approx0,087</math><br /><br />
<br />
===Zigarettenpreis===<br />
<br />
<math>X_{i}</math>: “Zigarettenkonsum des <math>i</math>–ten Rauchers pro Tag”; <math>i = 1,...,100</math>;<br />
<br />
<math>X_{i}</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X_{i})<br />
= \mu</math> und <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math><br />
<br />
* <math>H_{0}: \mu \geq \mu_{0} = 16 </math>, <math>H_{1}: \mu < \mu_{0} = 16</math> <math>\Rightarrow</math> das will der Prokurist beweisen<br />
* <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Zigarettenkonsum eines Rauchers pro Tag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math>”<br />
* <math>\overline{X}</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(16; \sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt wegen Zentralem Grenzwertsatz und <math>n > 30</math><br />
* <math> V=(\overline{X}-\mu_{0})/(S/\sqrt{n})</math> ist unter <math>H_{0}</math> approximativ <math>N(0;1)</math><br />
* Ablehnungsbereich: <math>\{v|v < - 2,33\}</math>, Nicht–Ablehnungsbereich: <math>\{v|v \geq - 2,33\}</math>,<br /><br />
<math>v = - 2 \not\in</math> Ablehnungsbereich <math>\Rightarrow</math> <math>''H_{0}''</math><br />
* Fehler 2. Art<br />
* Auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,01</math> und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 100</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass sich der durchschnittliche Zigarettenkonsum verringert hat.<br />
<br />
===Zugkraft eines Drahtseiles===<br />
<br />
<math>n=49>30; \overline{X}\mbox{ approximativ normalverteilt}</math><br /><br />
<math>\mu_0=15</math>; <math>\mu=14,8</math>; <math>\sigma=0,4964</math>; <math>\alpha=0,07927</math>; <math>c_{0,92073}=1,41</math>; <math>\beta=1-G(\mu)</math><br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{aligned}<br />
G(\mu) &= P\Big( V\leq-c-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\Big)\\<br />
G(14,8) &= P\Big( V\leq-1,41-\frac{14,8-15}{0,4964}\sqrt{49} \Big)\\<br />
&= P(V\leq-1,41+2,82)\\<br />
&= P(V\leq1,41)\\<br />
&= 0,92073\\<br />
\beta &= 1-0,92073=0,07927\end{aligned}</math></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Sch%C3%A4tztheorie/L%C3%B6sungen&diff=2301
Schätztheorie/Lösungen
2020-07-15T13:10:04Z
<p>Petrescc: /* Studienmotivation */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===500 Haushalte===<br />
<br />
<math>X:</math> Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=2,73</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=1,58</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
, <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[2,73-1,96\cdot\sqrt{1,58/500};2,73+1,96\cdot\sqrt{1,58/500}]\approx[2,620;2,840]</math><br />
<br />
===Absolventen der Fakultät===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\quad z_{0,975}=1,96;\quad e=0,2;\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/4e^2;\quad n\geq1,96^2/4\cdot0,2^2=3,8416/0,16=24,01\rightarrow n\geq25</math><br /><br />
===Antibiotikumtabletten===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X</math>: “Wirkstoffgehalt je Tablette”; <math>X\sim N(\mu;10)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math>”; <math>\overline{X}\sim N(\mu;10/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-2\leq\mu\leq\overline{X}+2)=P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n})=0,98</math><br /><br />
<math>z_{0,99}=2,33;\quad n\geq(\sigma z/e)^2=(10\cdot2,33/2)^2=11,65^2=135,7225\rightarrow n\geq136</math><br />
<br />
===Apfelsinen===<br />
<br />
* <math>X:</math> “Gewicht der Apfelsinen” <math>\sim N(\mu; \sigma=20g)</math><br />
* Einfache Zufallsstichprobe mit <math>n=25</math><br />
* Summe des Gewichts: <math>7500g \Rightarrow \bar{x}=\frac{7500}{25}=300g</math><br />
<br />
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math><br />
<br />
Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>1-\alpha=80,64\% \Rightarrow 1-\alpha/2=90,32\% \Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,9032 \Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,3</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[300-1,3\frac{20}{\sqrt{25}}; 300+1,3\frac{20}{\sqrt{25}}\right]= \left[294,8; 305,2\right]</math><br />
<br />
Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und <math>\sigma=20</math>g bekannt; <math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>, <math>\overline{X}\sim N(\mu; \sigma/\sqrt{n})</math>; <math>P(\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math>; <math>\overline{x}=300\mbox{ g}</math>; <math>z_{0,9032}=1,3</math><br /><br />
<math>[300-1,3\cdot20/5;300+1,3\cdot20/5]=[294,8;305,2]</math><br />
<br />
===Brikett===<br />
<br />
<math>X:\mbox{ Gewicht eines Briketts }X\sim N(500;50)</math><br /><br />
<math>\overline{X}:\mbox{ Durchschnittliches Gewicht eines Briketts bei einer Zufallsstichprobe }n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(500;10)</math>; <math>z=(\overline{X}-\mu_0)\sqrt{n}/\sigma</math>; <math>z=(510-500)5/50=1</math>; <math>P(Z\leq1)=0,841345</math>; <math>1-P(Z\leq1)=1-0,841345=0,158655</math><br />
<br />
===Dichotome Grundgesamtheit===<br />
<br />
<math>Q(\pi) = 3\pi^{2} - 2\pi + 1</math>; <math>\widehat{\pi} =<br />
1/3</math><br />
<br />
===Dioxinausstoß===<br />
<br />
<math>X</math>: Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1/3)</math><br />
<br />
* Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P(4\leq\overline{X}\leq6)=1-\alpha=</math>?<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\displaystyle\frac{4-5}{1}\sqrt{9}\leq\overline{X}\leq\displaystyle\frac{6-5}{1}\sqrt{9}\right)=P(-3\leq Z\leq3)=2\cdot P(Z\leq3)-1</math><br /><br />
<math>=2\cdot0,99865-1=0,9973</math><br /><br />
<br /><br />
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang <math>n=9</math> zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.<br />
* symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(5-\displaystyle\frac{c}{3}\leq\overline{X}\leq5+\displaystyle\frac{c}{3}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>c_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\left[5-\displaystyle\frac{1,96}{3};5+\displaystyle\frac{1,96}{3}\right]=[4,347;5,653]</math><br />
* <math>n\geq\displaystyle\frac{\sigma^2\cdot z_{1-\alpha/2}^2}{e^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\Leftrightarrow n\geq\displaystyle\frac{1\cdot1,96^2}{0,5^2}=15,37\approx16</math><br /><br />
<br /><br />
Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.<br />
* <math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98</math>; <math>1-\alpha/2=0,99</math>; <math>c=2,33</math>; <math>\overline{x}=63/9=7</math> kg/min; <math>\sigma=1</math><br /><br />
<math>[7-2,33/3;7+2,33/3]=[6,22;7,78]</math><br />
<br />
===Eintagsfliegen===<br />
<br />
<math>X:</math> Lebensdauer von Eintagsfliegen<math>\sim N(\mu;\sigma^2)</math>, <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> unbekannt<br /><br />
<math>n=16</math> (kleine Stichprobe); <math>\overline{x}=1440</math>; <math>s^2=57600</math>, <math>s=240</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\left[ \overline{x} \text{ ± } t_{n-1; 1-\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right] <br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot \frac{240}{\sqrt{16}} \right] \\<br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot 60 \right] \\<br />
&= \left[ 1263.12; 1616.88 \right]<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
1616,88 &= 1440+t_{15;1-\alpha/2}\cdot 60;\quad t_{15;1-\alpha/2} \\<br />
&=2,948;\quad 1-\alpha/2=0,995<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
(aus t-Verteilung);<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99</math><br /><br />
<br />
===Erwartungstreue===<br />
<br />
* <math>X_1, X_2, X_3</math> einfache Zufallsstichprobe<br />
* <math>X_{i} \sim(\mu;\sigma^2)</math><br />
* <math>X_{i}</math> unabhängig<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{2}) &= E \left(\frac14(2X_1 + 2X_2)\right)=\\<br />
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\<br />
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{2}) &= Var \left(\frac14(2X_1 + 2X_3)\right)\\<br />
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{align}</math></p><br />
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul><br />
<br />
* alle drei, führen Sie den Beweis !<br />
* <math>Var(\widehat{\theta}_{1}) = \sigma^{2}/3<br />
< Var(\widehat{\theta}_{2}) = \sigma^{2}/2<br />
< Var(\widehat{\theta}_{3}) = 5\sigma^{2}/9<br />
\Rightarrow \widehat{\theta}_{1}</math><br />
<br />
===Fahrradschläuche===<br />
<br />
<math>X</math>: “Durchmesser eines Fahrradschlauches”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Mittlerer Durchmesser eines Fahrradschlauches bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
<br />
* <math>P( \overline{X}-c \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 24</math>: <math>c = 1,711</math><br />
* <math>[39,9734;42,0266]</math><br />
* <math>n \geq 293</math><br />
<br />
===Faktenmagazin===<br />
<br />
Konfidenzintervall für den Erwartungswert <math>\mu</math>:<math>\ \left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math><math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[74000-2,797\cdot10000/5;74000+2,797\cdot10000/5]=[68406;79594]</math><br />
<br />
===Finanzamt===<br />
<br />
* <math>L(\lambda) = \lambda^{3}\cdot e-^{9\lambda} </math><br />
* <math>\widehat\lambda = 1/3</math> <math>\Rightarrow</math> Frau Hurtig<br />
<br />
===Fluggesellschaft===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,995;\quad z_{0,995}=2,58</math><br /><br />
<math>0,9\pm2,58\sqrt{\displaystyle\frac{0,9\cdot0,1}{200}}</math><br /><br />
<math>[84,5\%;95,5\%]</math><br /><br />
===Gasverbrauch===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\bar{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>n=36</math>; <math>\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_f \approx N(0;1)</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[5-1,96\cdot2/6;5+1,96\cdot2/6]=[5-0,6533;5+0,6533]=[4,3467;5,5633]</math><br />
<br />
===Glücksspiel===<br />
<br />
<math>X:</math> Ertrag , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Ertrag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=50</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\quad\overline{x}=-0,58,\quad s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,82</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq \mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[-0,58-1,96\cdot\sqrt{0,0164};-0,58+1,96\cdot\sqrt{0,0164}]\approx[-0,831;-0,329]</math><br /><br />
===Handybesitzer===<br />
<br />
Da keine Information über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe oder anderweitig gegeben ist, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95;\quad z_{0,975}=1,96\quad \ell=0,06</math><br /><br />
<math>n=z^2_{1-\alpha/2}/\ell^2=1,96^2/0,06^2=3,8416/0,0036=1067,11\rightarrow n=1068</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 2===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\mu=25, \sigma</math> unbekannt, <math>s^2=80</math>, <math>n=20, f=19, 1-\alpha=0,95, t_{1-0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math>;<br /><br />
<math>\left[25-2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}};25+2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}}\right]=[25-4,186;25+4,186]=[20,814;29,186]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 3===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>,<math>\sigma</math> unbekannt, <math>s^2=90,25</math>, <math>n=100</math>, <math>\overline{X}</math> ist approximativ normalverteilt (<math>n \geq 30</math>)<br /><br />
Konfidenzniveau <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
Schätzintervall:<math>\left[25\pm1,96\cdot\sqrt{\frac{90,25}{100}}\right]=[25\pm1,96\cdot0,95]=[25\pm1,862]=[23,138;26,862]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung===<br />
<br />
* <math>\left[\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math>, so dass<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br />
* <math>\left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math><br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>; <math>s^2=80</math>; <math>n=20</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>t_{0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>\left[25-2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}};25+2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}}\right]</math><br /><br />
<math>=[25-4,186;25+4,186]</math><br /><br />
<math>=[20,814\mbox{ (}1000\mbox{ km)};29,186\mbox{ (}1000\mbox{ km)}]</math><br />
<br />
===Kaltwasserverbrauch===<br />
<br />
X: Kaltwasserverbrauch pro Spülgang; <math>X\sim N(\mu;\sigma)=N(\mu;2)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Kaltwasserverbrauch in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;2/\sqrt{n})</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,95</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math>;<br /><br />
<math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>e=z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}</math>; <math>e=0,5=1,96\cdot2/\sqrt{n}</math>; <math>n=2^2\cdot1,96^2/0,5^2=15,3664/0,25=61,4656</math>; <math>n\geq62</math><br />
<br />
===Kilometerleistung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>n=49</math>, <math>\bar{x}=50</math> km, <math>\sigma=7</math> km bekannt</p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,975 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,96\end{align}</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[50-1,96\frac{7}{\sqrt{49}}; 50+1,96\frac{7}{\sqrt{49}}\right]= \left[48,04; 51,96\right]</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit, Breite fix, <math>n</math> variabel <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[v_u; v_o\right]</math> Breite: <math>\begin{align}<br />
v_o-v_u &=& \left(50+1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)- \left(50-1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)\\<br />
2\text{ km }&=& \frac{2\cdot1,96\cdot7\text{ km}}{\sqrt{n}}\\<br />
\sqrt{n}&=& 13,72 \Rightarrow n=188,23 \text{ also } n\geq189\\\end{align}</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p><math>Y:</math> “Anzahl der ADAC Mitglieder” <math>\sim B(200;\pi)</math></p><br />
<p>Approximationsbedingung: <math>\hat{\pi}=\frac{40}{200}=0,2 \Rightarrow n\pi(1-\pi)\approx 200\cdot0,2\cdot0,8=32>9</math></p><br />
<p><math>\begin{align}<br />
Y&\approx& N\left(\mu=n\pi;\sigma=\sqrt{n\pi(1-\pi)}\right)\\<br />
\hat{\pi}=\frac{Y}{n}&\approx& N\left(\mu=\pi;\sigma=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right)\end{align}</math></p><br />
<p>'''Konfidenzintervall''' <math>P\left(\frac{Y}{n}-c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}} \leq \pi \leq \frac{Y}{n}+c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}\right)=1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p><br />
<p>'''Schätzintervall''' <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=99\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=99,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,995 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 2,58\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&\left[0,2-2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}; 0,2+2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}\right]\\<br />
&= [0,12703; 0,27297]\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>X_i\sim N(\mu; \sigma) \Longrightarrow \bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu; \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n})</math> <math>\begin{align}<br />
n&=&5\\<br />
\bar{x}&=& \frac{0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}=0,2\\<br />
s^2 %&=& \frac{(0,18-0,2)^2+(0,25-0,2)^2+(0,12-0,2)^2+(0,20-0,2)^2+(0,25-0,2)^2}{4}\\<br />
&=& \frac{0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}=0,00295\\\end{align}</math></p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>t_{n-1}</math>, da <math>\sigma</math> unbekannt <math>\Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow t_{n-1;1-\alpha/2} = 2,776\end{align}</math> <math>\left[0,2-2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}; 0,2+2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}\right] = [0,1326; 0,2674]</math></p></li></ul><br />
</li></ul><br />
<br />
* <math>X_{i}</math>: “Fahrleistung eines PKW’s”; <math>i = 1,...,49</math>; <math>X_{i}</math> beliebig verteilt mit <math>E(X_{i} = \mu</math>, <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Fahrleistung eines PKW’s bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 49</math>”;<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> – Zentraler Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
** <math>P\left( \overline{X}-c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}} \leq<br />
\mu \leq \overline{X}+c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}}\right)=1-<br />
\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 1,96</math><br />
** <math>[48,04;51,96] </math><br />
** <math>n \geq 189</math><br />
* <math>Y</math>: “Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallsstichprobe <math>n=200</math>” <math>Y \sim B(200;\pi)</math>; wegen Erfüllung der Approximationsbedingungen folgt: <math>Y</math> ist approximativ<br /><br />
<math>N(n\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)})</math> und <math>Y/n</math> ist approximativ <math>N(\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)}/n)</math> verteilt <math>P \left (\frac{Y}{n}-c \cdot<br />
\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\leq\pi\leq<br />
\frac{Y}{n}+c \cdot \sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\right )=1- \alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 2,58</math>; <math>[0,127;0,273]</math><br />
* <math>X</math>: “Füllmenge eines Bechers”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Füllmenge eines Bechers bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 5</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
** <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 4</math>; <math>c = 2,776</math><br />
** <math>[0,1326;0,2674]</math><br />
<br />
===Konfidenzniveau 2===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=2,1</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(2,1+5,9)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot10/10=2,1</math>; <math>f=99</math>; <math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=1,9</math>; <math>1-\alpha/2=0,971283</math>; <math>\alpha/2=0,028717</math>; <math>\alpha=0,057434</math>; <math>1-\alpha=0,942566</math><br /><br />
===Konfidenzniveau===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=1,6</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(6,4+1,6)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot 10/10=1,6</math>; <math>f=99</math>;<br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=2,4</math>; <math>1-\alpha/2=0,991802</math>; <math>\alpha/2=0,008198</math>; <math>\alpha=0,016396</math>;<br /><br />
<math>1-\alpha=0,983604</math><br /><br />
===Konzentration des Stoffes E===<br />
<br />
X: Konzentration von E im Wasser; <math>X\sim N(\mu;\sigma)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Mittlere Konzentration von E im Wasser bei Zufallsstichprobe <math>n=9</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>\sigma</math> unbekannt, mittels <math>S^2=\sum(X_i-\overline{X})^2/(n-1)</math> schätzen<br /><br />
<math>T=(\overline{X}-\mu)\sqrt{n}/S</math> ist t-verteilt mit <math>f=n-1</math> Freiheitsgraden<br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P[\overline{X}-t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}] &=1-\alpha=0,9 \\<br />
\overline{x}&=90/9=10<br />
\end{align}<br />
</math>; <math>s^2=(0+4+0+4+81+25+1+9+4)/8=128/8=16</math>; <math>s=4</math>; <math>t_{8;0,95}=1,86</math><br /><br />
<math>[10-1,86\cdot4/3;10+1,86\cdot4/3]=[7,520;12,480]</math><br /><br />
<br />
===Kugelschreiber===<br />
<br />
Gewicht der Schreibminen: <math>M\sim N(\mu_M;\sigma_M)=N(\mu_M;0,4)</math>; Gewicht der Metallfedern: <math>F\sim N(\mu_F;\sigma_F)=N(\mu_F;0,2)</math>; Gewicht der Kunststoffhüllen: <math>H\sim N(\mu_H;\sigma_H)=N(\mu_H;0,4)</math><br /><br />
Gesamtgewicht eines Kugelschreibers: <math>X=M+F+H</math>; <math>X\sim N(\mu_X;\sigma_X)=N(\mu_X;0,6)</math><br /><br />
<math>\sigma_X^2=\sigma_M^2+\sigma_F^2+\sigma_H^2=0,4^2+0,2^2+0,4^2=0,36</math> (wegen Unabhängigkeit von M, F und H)<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht eines Kugelschreibers in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;0,12)</math>; <math>\sigma/\sqrt{n}=0,6/5=0,12</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>z_{0,9032}=1,3</math>; <math>\overline{x}=375/25=15</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>[15-1,3\cdot0,12; 15+1,3\cdot0,12]=[14,844; 15,156]</math><br /><br />
===Lampen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe”<br /><br />
<math>X \sim B(n;\pi)</math> mit <math>\pi<br />
= d/N</math><br /><br />
“Intuitive” Schätzfunktion: <math>\widehat{\theta} = N/n \cdot X = 50X</math><br /><br />
<math>E(\widehat{\theta}) = N/n\cdot E(X) = N/n\cdot n\cdot d/N=d</math></p></li><br />
<li><p><math>\vartheta = 150</math></p></li><br />
<li><p>Die einfache Zufallsstichprobe wird durch ein Ziehen mit Zurücklegen realisiert, d.h. mit geringer Wahrscheinlichkeit wird die gleiche Lampe zweimal gezogen. Sinnvoller wäre hier ein Ziehen ohne Zurücklegen, d.h. eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.</p><br />
<p>An dem Ergebnis in a) ändert sich nichts, da <math>X\sim Hyp(N,d,n)\approx B(n, \pi=d/n)</math> ist (<math>n/N=0,002<0,05</math>).</p></li></ul><br />
<br />
===Langlebensdauergarantie===<br />
<br />
<math>X:</math> Brenndauer, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Brenndauer bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=1300</math>, <math>s=100</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,99}=2,33</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,98</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\approx[1300-2,33\cdot100/\sqrt{100};1300+2,33\cdot100/\sqrt{100}]\approx[1276,7;1323,3]</math><br /><br />
===Likelihood-Funktion===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Likelihood-Funktion: <math>\begin{align}<br />
L(\lambda;x_1,x_2,x_3,x_4)&=&f(x_1|\lambda)\cdot f(x_2|\lambda)\cdot f(x_3|\lambda)\cdot f(x_4|\lambda)\\<br />
&=&\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^6}{6!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{15}}{2!4!6!3!}e^{-4\lambda}\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>ML-Schätzwert für <math>\lambda</math>:<br /><br />
<br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Poisson-Verteilung:<br />
| Log-Likelihood-Funktion:<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|<br />
<br />
|-<br />
| <math>\displaystyle f_{PO}(x;\lambda)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}</math><br />
| <math>\displaystyle \ln L(\lambda)=15\ln\lambda-\ln(2!4!6!3!)-4\lambda</math><br />
|}<br />
<br />
<p><br /><br />
<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{\delta\ln L(\lambda)}{\delta\lambda}=\frac{15}{\hat{\lambda}}-4=0</math><br /><br />
<math>\displaystyle\hat{\lambda}=\frac{15}{4}=3,75</math><br /><br />
</p></li></ul><br />
<br />
===Love–Parade===<br />
<br />
<math>X:</math> Ausgaben,<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Ausgaben bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=350</math>, <math>s=24</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]=[350-1,96\cdot24/\sqrt{n};350+1,96\cdot24/\sqrt{n}] = [345,296;354,704]</math><br />
<br />
===Mietverein 2===<br />
<br />
* <math>X</math>: Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung<br /><br />
<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung bei einer Zufallsstichprobe von <math>n=36</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\sigma^2</math> ist unbekannt und wird mittels der Stichprobenfunktion <math>S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> geschätzt.<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math>; <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98\rightarrow c=2,33</math>; <math>\overline{x}=950</math>; <math>s=180</math><br /><br />
<math>[950-2,33\cdot180/6;950+2,33\cdot180/6]=[950-69,9;950+69,9]=[880,1;1019,9]</math><br />
<br />
===Mietverein===<br />
<br />
<math>X\sim N(\mu;\sigma=180\mbox{ EUR})</math>; <math>\ell=120</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>n\geq(4\sigma^2z_{1-\alpha/2}^2)\ell^2</math><br /><br />
<math>n\geq(4\cdot180^2\cdot1,96^2)/120^2=(4\cdot32400\cdot3,8416)/14400=497871,36/14400=34,5744</math><br /><br />
<math>n\geq35</math><br /><br />
===Milchfettgehalt===<br />
<br />
X:Milchfettgehalt, <math>\mu=3,7352</math>, <math>\sigma^2=0,0081</math>, <math>X\sim N(3,7352;0,09)</math> <br />
<br />
<math><br />
P(X>x)=P\left(\frac{X-3,7352}{0,09} > \frac{x-3,7352}{0,09} \right)=P(Z>z)=0,61</math> Aus der vorliegenden Tabelle der Standardnormalverteilung findet man für <math>P(Z\leq z)=0,61</math> den Wert <math>z=0,28</math>, so dass der gesuchte Wert <math>z=-0,28</math> ist.<br /><br />
<math>(x-3,7352)/0,09=-0,28;\quad\textbf{x=3,71}</math><br /><br />
<br />
===Mittelwert und Varianz===<br />
<br />
<math>\overline{x} = 3</math> als Schätzwert für <math>\mu</math>; <math>s^{2} = 2,22</math> als Schätzwert für <math>\sigma^{2}</math><br /><br />
===Notwendiger Stichprobenumfang===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99;\quad z_{0,995}=2,58;\quad \ell=0,05;</math><br /><br />
<math>\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/\ell^2=2,58^2/0,05^2=2662,56\rightarrow n\geq 2663</math><br />
<br />
===PKWs in Berlin===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}\cdot(1-\hat{\pi})</math> maximal ist. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>I=0,06</math>; <math>n=z_{1-\alpha/2}^2/I^2=1,96^2/0,06^2=1067,11</math>;<math>\rightarrow n\geq1068</math>.<br /><br />
===Schwankungsintervall===<br />
<br />
Zentrales Schwankungsintervall:<br /><br />
<br /><br />
<math> \left[ \mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}};\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}} \right] </math><br /><br />
<br /><br />
Sicherheitswahrscheinlichkeit:<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}<\overline{X}<\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\;c=1,96</math><br /><br />
<math>\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354-1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\displaystyle\sqrt{81}}=354-1,96\cdot2,5=354-4,9=349,1</math><br /><br />
<math>\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354+1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\sqrt{\displaystyle81}}=354+1,96\cdot2,5=354+4,9=358,9</math><br /><br />
===Schweinemäster===<br />
<br />
<math>X</math>: “Gewicht eines Schweins”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Schweins bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 6</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n}) </math><br />
<br />
* <math>\overline{X} = 100</math>; <math>s^{2} = 6</math><br />
* <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 5</math>: <math>c = 2,571</math><br />
* <math>[97,429;102,571]</math><br />
* Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung “unendlich oft” durchgeführt, so kann man mit (durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen; d.h. Schätzintervallen, in denen der unbekannte Wert enthalten ist.<br />
* durch die Wahl von <math>n</math> bzw. <math>\alpha</math><br />
* Intervall wird kleiner: statt <math>c = 2,571</math> aus t–Verteilung ist <math>c=1,96</math> aus <math>N(0;1)</math> zu verwenden.<br />
<br />
===Spielautomat===<br />
<br />
* Beim 1. Spiel Verlust von 1 EUR; beim 2. Spiel Gewinn von 1 EUR; ...<br />
* <math>P(X=0) = p</math>; <math>P(X=-1) = p</math>; P<math>(X= 1) = 1 - 2p</math><br />
* <math>f(X=0) = 1/6</math>; <math>f(X=-1) = 2/6</math>; <math>f(X= 1) = 3/6</math><br />
* <math>L(x_{1},..., x_{6}|p) = p^{3}\cdot(1 - 2p)^{3}</math><br />
* <math>v</math> - Anzahl der verlorenen Spiele;<br /><br />
<math>u</math> - Anzahl der unentschiedenen Spiele;<br /><br />
<math>g</math> - Anzahl der gewonnenen Spiele;<br /><br />
<math>n = v + u + g</math> <math>\widehat{p}= (v + u)/2n</math><br />
* <math>\widehat{p}= 1/4</math><br />
* <math>\widehat{p}= 5/18</math><br />
<br />
===Sportliche Betätigung===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,99506\quad z_{0,99506}=2,58\quad\hat{\pi}=180/200=0,9</math><br /><br />
Da <math>n</math> sehr groß, Schätzfunktion <math>\hat{\pi}=X/n</math> approx. normalverteilt.<math>\left[\hat{\pi}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right]</math><br /><br />
<math>=0,9\pm2,58\sqrt{\frac{0,9\cdot0,1}{200}}=0,9\pm2,58\cdot0,0212132=0,9\pm0,05473</math><math>[0,845;0,955]</math><br />
<br />
===Startprobleme===<br />
<br />
* <math>L(p) = (1 - p)^{8}\cdot p^{2}</math><br />
* <math>\widehat{p} = 0,2</math><br />
<br />
===Stichprobenmittelwert===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>; <math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>n=25</math>; <math>f=24</math>; <math>1-\alpha=0,99</math>; <math>1-\alpha/2=0,995</math>; <math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[5-2,797\cdot2/5;5+2,797\cdot2/5]=5-1,1188;5+1,1188]=[3,8812;6,1188]</math><br /><br />
===Studienmotivation===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i = x)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
E(X_{i}) &=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&E \left(\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} (2X_i - X_i^2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2E(X_i) - E(X_i^2) \right)\end{align}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x^2</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i^2 = x^2)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{align}<br />
\displaystyle E(X_{i}^2)&=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2(\pi_1 + 2\pi_2) - (\pi_1 + 4\pi_2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \pi_1 = \pi_1\\<br />
E(\widehat{\pi}_{2}) &=& E \left(\frac1{20} \sum_{i=1}^{10}(X_i^2 - X_i)\right)= \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left (E(X_i^2) - E(X_i) \right)\\<br />
&=& \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left((\pi_1 + 4\pi_2) - (\pi_1 + 2\pi_2) \right) =\frac1{20} \sum_{i=1}^{10} 2\pi_2=\pi_2\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzfunktion: <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math></p><br />
<p><math>\begin{align}<br />
E(\widehat{\pi}_{0}) &=& E(1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - E(\widehat{\pi}_{1}) - E(\widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - \pi_{1} - \pi_{2} = \pi_{0}\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>Stichprobe:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>i</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>3</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>5</math><br />
!align="right"| <math>6</math><br />
!align="right"| <math>7</math><br />
!align="right"| <math>8</math><br />
!align="right"| <math>9</math><br />
!align="right"| <math>10</math><br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>2x_i-x_i^2</math><br />
!align="right"| <math>x_i^2-x_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>0 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>1 </math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>2 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{align}<br />
\widehat{\pi}_{1} &=& \frac1{10}\sum_{i=1}^{10} (2x_i-x_i^2) = \frac{0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}=0,2\\<br />
\widehat{\pi}_{2} &=& \frac1{20}\sum_{i=1}^{10} (x_i^2-x_i) = \frac{0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}=0,4\\<br />
\widehat{\pi}_{0} &=& 1-0,2-0,4=0,4\\\end{align}</math></p></li></ul><br />
<br />
* ja, führen Sie den Beweis!<br />
* <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math>; <math>E(\widehat{\pi}_{0}) = 1 - \pi_{1} - \pi_{2}</math>; <math> \widehat{\pi}_{0}=\frac{1}{10} \sum\limits _{i=1} ^{10}(1-\frac32 X_i<br />
+\frac12 X _{i} ^{2})</math><br />
* <math>p_{1} = 0,2</math>; <math>p_{2} = 0,4</math>; <math>p_{0} = 0,4</math><br />
<br />
===Trinkwasserverbrauch===<br />
<br />
<math>X:</math> Wasserverbrauch, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Wasserverbrauch bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=12</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=5</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[12-1,96\cdot5/\sqrt{100};12+1,96\cdot5/\sqrt{100}]\approx[11,02;12,98]</math><br /><br />
===Unfallhäufigkeit===<br />
<br />
* <math>L_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 0,00196</math>; <math>L_{Pol.}(0,2,0,2,1)= 0,001</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Versicherungsgesellschaft<br />
* <math>Q_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 5,25</math>; <math>Q_{Pol.}(0,2,0,2,1) = 4,8</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Polizei<br />
<br />
===Weizenhektarerträge===<br />
<br />
Grundgesamtheit sind alle Hektarflächen in Deutschland, auf denen 1996 Weizen angebaut wurde; <math>X</math>: “Hektarertrag für Weizen”; Verteilung von X unbekannt; <math>\sigma^2=324</math> [dt/ha]<math>^2</math>. <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Hektarertrag für Weizen in Deutschland bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=144</math>”<br /><br />
Verteilung von <math>\overline{X}</math> unbekannt. Da aber der Stichprobenumfang <math>n>30</math> ist, kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Normalverteilung verwendet werden:<br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n});\quad P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math><br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,9032;\quad z_{0,9032}=1,3</math> aus <math>N(0;1);\quad n=144;\quad \sigma=18</math><br /><br />
Stichprobenmittelwert für Deutschland:<br /><br />
<math>\overline{x}=(60,4\cdot48+68,8\cdot96)/144=(2899,2+6604,8)/144=66</math> dt/ha;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[66-1,3\cdot18/12;66+1,3\cdot18/12]=[66-1,95;66+1,95]=[64,05;67,95]</math><br /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Sch%C3%A4tztheorie/L%C3%B6sungen&diff=2300
Schätztheorie/Lösungen
2020-07-15T13:09:34Z
<p>Petrescc: /* Likelihood-Funktion */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===500 Haushalte===<br />
<br />
<math>X:</math> Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=2,73</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=1,58</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
, <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[2,73-1,96\cdot\sqrt{1,58/500};2,73+1,96\cdot\sqrt{1,58/500}]\approx[2,620;2,840]</math><br />
<br />
===Absolventen der Fakultät===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\quad z_{0,975}=1,96;\quad e=0,2;\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/4e^2;\quad n\geq1,96^2/4\cdot0,2^2=3,8416/0,16=24,01\rightarrow n\geq25</math><br /><br />
===Antibiotikumtabletten===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X</math>: “Wirkstoffgehalt je Tablette”; <math>X\sim N(\mu;10)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math>”; <math>\overline{X}\sim N(\mu;10/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-2\leq\mu\leq\overline{X}+2)=P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n})=0,98</math><br /><br />
<math>z_{0,99}=2,33;\quad n\geq(\sigma z/e)^2=(10\cdot2,33/2)^2=11,65^2=135,7225\rightarrow n\geq136</math><br />
<br />
===Apfelsinen===<br />
<br />
* <math>X:</math> “Gewicht der Apfelsinen” <math>\sim N(\mu; \sigma=20g)</math><br />
* Einfache Zufallsstichprobe mit <math>n=25</math><br />
* Summe des Gewichts: <math>7500g \Rightarrow \bar{x}=\frac{7500}{25}=300g</math><br />
<br />
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math><br />
<br />
Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>1-\alpha=80,64\% \Rightarrow 1-\alpha/2=90,32\% \Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,9032 \Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,3</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[300-1,3\frac{20}{\sqrt{25}}; 300+1,3\frac{20}{\sqrt{25}}\right]= \left[294,8; 305,2\right]</math><br />
<br />
Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und <math>\sigma=20</math>g bekannt; <math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>, <math>\overline{X}\sim N(\mu; \sigma/\sqrt{n})</math>; <math>P(\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math>; <math>\overline{x}=300\mbox{ g}</math>; <math>z_{0,9032}=1,3</math><br /><br />
<math>[300-1,3\cdot20/5;300+1,3\cdot20/5]=[294,8;305,2]</math><br />
<br />
===Brikett===<br />
<br />
<math>X:\mbox{ Gewicht eines Briketts }X\sim N(500;50)</math><br /><br />
<math>\overline{X}:\mbox{ Durchschnittliches Gewicht eines Briketts bei einer Zufallsstichprobe }n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(500;10)</math>; <math>z=(\overline{X}-\mu_0)\sqrt{n}/\sigma</math>; <math>z=(510-500)5/50=1</math>; <math>P(Z\leq1)=0,841345</math>; <math>1-P(Z\leq1)=1-0,841345=0,158655</math><br />
<br />
===Dichotome Grundgesamtheit===<br />
<br />
<math>Q(\pi) = 3\pi^{2} - 2\pi + 1</math>; <math>\widehat{\pi} =<br />
1/3</math><br />
<br />
===Dioxinausstoß===<br />
<br />
<math>X</math>: Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1/3)</math><br />
<br />
* Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P(4\leq\overline{X}\leq6)=1-\alpha=</math>?<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\displaystyle\frac{4-5}{1}\sqrt{9}\leq\overline{X}\leq\displaystyle\frac{6-5}{1}\sqrt{9}\right)=P(-3\leq Z\leq3)=2\cdot P(Z\leq3)-1</math><br /><br />
<math>=2\cdot0,99865-1=0,9973</math><br /><br />
<br /><br />
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang <math>n=9</math> zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.<br />
* symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(5-\displaystyle\frac{c}{3}\leq\overline{X}\leq5+\displaystyle\frac{c}{3}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>c_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\left[5-\displaystyle\frac{1,96}{3};5+\displaystyle\frac{1,96}{3}\right]=[4,347;5,653]</math><br />
* <math>n\geq\displaystyle\frac{\sigma^2\cdot z_{1-\alpha/2}^2}{e^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\Leftrightarrow n\geq\displaystyle\frac{1\cdot1,96^2}{0,5^2}=15,37\approx16</math><br /><br />
<br /><br />
Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.<br />
* <math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98</math>; <math>1-\alpha/2=0,99</math>; <math>c=2,33</math>; <math>\overline{x}=63/9=7</math> kg/min; <math>\sigma=1</math><br /><br />
<math>[7-2,33/3;7+2,33/3]=[6,22;7,78]</math><br />
<br />
===Eintagsfliegen===<br />
<br />
<math>X:</math> Lebensdauer von Eintagsfliegen<math>\sim N(\mu;\sigma^2)</math>, <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> unbekannt<br /><br />
<math>n=16</math> (kleine Stichprobe); <math>\overline{x}=1440</math>; <math>s^2=57600</math>, <math>s=240</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\left[ \overline{x} \text{ ± } t_{n-1; 1-\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right] <br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot \frac{240}{\sqrt{16}} \right] \\<br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot 60 \right] \\<br />
&= \left[ 1263.12; 1616.88 \right]<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
1616,88 &= 1440+t_{15;1-\alpha/2}\cdot 60;\quad t_{15;1-\alpha/2} \\<br />
&=2,948;\quad 1-\alpha/2=0,995<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
(aus t-Verteilung);<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99</math><br /><br />
<br />
===Erwartungstreue===<br />
<br />
* <math>X_1, X_2, X_3</math> einfache Zufallsstichprobe<br />
* <math>X_{i} \sim(\mu;\sigma^2)</math><br />
* <math>X_{i}</math> unabhängig<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{2}) &= E \left(\frac14(2X_1 + 2X_2)\right)=\\<br />
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\<br />
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{2}) &= Var \left(\frac14(2X_1 + 2X_3)\right)\\<br />
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{align}</math></p><br />
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul><br />
<br />
* alle drei, führen Sie den Beweis !<br />
* <math>Var(\widehat{\theta}_{1}) = \sigma^{2}/3<br />
< Var(\widehat{\theta}_{2}) = \sigma^{2}/2<br />
< Var(\widehat{\theta}_{3}) = 5\sigma^{2}/9<br />
\Rightarrow \widehat{\theta}_{1}</math><br />
<br />
===Fahrradschläuche===<br />
<br />
<math>X</math>: “Durchmesser eines Fahrradschlauches”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Mittlerer Durchmesser eines Fahrradschlauches bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
<br />
* <math>P( \overline{X}-c \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 24</math>: <math>c = 1,711</math><br />
* <math>[39,9734;42,0266]</math><br />
* <math>n \geq 293</math><br />
<br />
===Faktenmagazin===<br />
<br />
Konfidenzintervall für den Erwartungswert <math>\mu</math>:<math>\ \left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math><math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[74000-2,797\cdot10000/5;74000+2,797\cdot10000/5]=[68406;79594]</math><br />
<br />
===Finanzamt===<br />
<br />
* <math>L(\lambda) = \lambda^{3}\cdot e-^{9\lambda} </math><br />
* <math>\widehat\lambda = 1/3</math> <math>\Rightarrow</math> Frau Hurtig<br />
<br />
===Fluggesellschaft===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,995;\quad z_{0,995}=2,58</math><br /><br />
<math>0,9\pm2,58\sqrt{\displaystyle\frac{0,9\cdot0,1}{200}}</math><br /><br />
<math>[84,5\%;95,5\%]</math><br /><br />
===Gasverbrauch===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\bar{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>n=36</math>; <math>\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_f \approx N(0;1)</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[5-1,96\cdot2/6;5+1,96\cdot2/6]=[5-0,6533;5+0,6533]=[4,3467;5,5633]</math><br />
<br />
===Glücksspiel===<br />
<br />
<math>X:</math> Ertrag , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Ertrag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=50</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\quad\overline{x}=-0,58,\quad s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,82</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq \mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[-0,58-1,96\cdot\sqrt{0,0164};-0,58+1,96\cdot\sqrt{0,0164}]\approx[-0,831;-0,329]</math><br /><br />
===Handybesitzer===<br />
<br />
Da keine Information über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe oder anderweitig gegeben ist, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95;\quad z_{0,975}=1,96\quad \ell=0,06</math><br /><br />
<math>n=z^2_{1-\alpha/2}/\ell^2=1,96^2/0,06^2=3,8416/0,0036=1067,11\rightarrow n=1068</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 2===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\mu=25, \sigma</math> unbekannt, <math>s^2=80</math>, <math>n=20, f=19, 1-\alpha=0,95, t_{1-0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math>;<br /><br />
<math>\left[25-2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}};25+2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}}\right]=[25-4,186;25+4,186]=[20,814;29,186]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 3===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>,<math>\sigma</math> unbekannt, <math>s^2=90,25</math>, <math>n=100</math>, <math>\overline{X}</math> ist approximativ normalverteilt (<math>n \geq 30</math>)<br /><br />
Konfidenzniveau <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
Schätzintervall:<math>\left[25\pm1,96\cdot\sqrt{\frac{90,25}{100}}\right]=[25\pm1,96\cdot0,95]=[25\pm1,862]=[23,138;26,862]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung===<br />
<br />
* <math>\left[\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math>, so dass<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br />
* <math>\left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math><br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>; <math>s^2=80</math>; <math>n=20</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>t_{0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>\left[25-2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}};25+2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}}\right]</math><br /><br />
<math>=[25-4,186;25+4,186]</math><br /><br />
<math>=[20,814\mbox{ (}1000\mbox{ km)};29,186\mbox{ (}1000\mbox{ km)}]</math><br />
<br />
===Kaltwasserverbrauch===<br />
<br />
X: Kaltwasserverbrauch pro Spülgang; <math>X\sim N(\mu;\sigma)=N(\mu;2)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Kaltwasserverbrauch in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;2/\sqrt{n})</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,95</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math>;<br /><br />
<math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>e=z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}</math>; <math>e=0,5=1,96\cdot2/\sqrt{n}</math>; <math>n=2^2\cdot1,96^2/0,5^2=15,3664/0,25=61,4656</math>; <math>n\geq62</math><br />
<br />
===Kilometerleistung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>n=49</math>, <math>\bar{x}=50</math> km, <math>\sigma=7</math> km bekannt</p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,975 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,96\end{align}</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[50-1,96\frac{7}{\sqrt{49}}; 50+1,96\frac{7}{\sqrt{49}}\right]= \left[48,04; 51,96\right]</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit, Breite fix, <math>n</math> variabel <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[v_u; v_o\right]</math> Breite: <math>\begin{align}<br />
v_o-v_u &=& \left(50+1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)- \left(50-1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)\\<br />
2\text{ km }&=& \frac{2\cdot1,96\cdot7\text{ km}}{\sqrt{n}}\\<br />
\sqrt{n}&=& 13,72 \Rightarrow n=188,23 \text{ also } n\geq189\\\end{align}</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p><math>Y:</math> “Anzahl der ADAC Mitglieder” <math>\sim B(200;\pi)</math></p><br />
<p>Approximationsbedingung: <math>\hat{\pi}=\frac{40}{200}=0,2 \Rightarrow n\pi(1-\pi)\approx 200\cdot0,2\cdot0,8=32>9</math></p><br />
<p><math>\begin{align}<br />
Y&\approx& N\left(\mu=n\pi;\sigma=\sqrt{n\pi(1-\pi)}\right)\\<br />
\hat{\pi}=\frac{Y}{n}&\approx& N\left(\mu=\pi;\sigma=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right)\end{align}</math></p><br />
<p>'''Konfidenzintervall''' <math>P\left(\frac{Y}{n}-c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}} \leq \pi \leq \frac{Y}{n}+c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}\right)=1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p><br />
<p>'''Schätzintervall''' <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=99\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=99,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,995 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 2,58\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&\left[0,2-2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}; 0,2+2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}\right]\\<br />
&= [0,12703; 0,27297]\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>X_i\sim N(\mu; \sigma) \Longrightarrow \bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu; \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n})</math> <math>\begin{align}<br />
n&=&5\\<br />
\bar{x}&=& \frac{0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}=0,2\\<br />
s^2 %&=& \frac{(0,18-0,2)^2+(0,25-0,2)^2+(0,12-0,2)^2+(0,20-0,2)^2+(0,25-0,2)^2}{4}\\<br />
&=& \frac{0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}=0,00295\\\end{align}</math></p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>t_{n-1}</math>, da <math>\sigma</math> unbekannt <math>\Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow t_{n-1;1-\alpha/2} = 2,776\end{align}</math> <math>\left[0,2-2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}; 0,2+2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}\right] = [0,1326; 0,2674]</math></p></li></ul><br />
</li></ul><br />
<br />
* <math>X_{i}</math>: “Fahrleistung eines PKW’s”; <math>i = 1,...,49</math>; <math>X_{i}</math> beliebig verteilt mit <math>E(X_{i} = \mu</math>, <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Fahrleistung eines PKW’s bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 49</math>”;<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> – Zentraler Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
** <math>P\left( \overline{X}-c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}} \leq<br />
\mu \leq \overline{X}+c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}}\right)=1-<br />
\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 1,96</math><br />
** <math>[48,04;51,96] </math><br />
** <math>n \geq 189</math><br />
* <math>Y</math>: “Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallsstichprobe <math>n=200</math>” <math>Y \sim B(200;\pi)</math>; wegen Erfüllung der Approximationsbedingungen folgt: <math>Y</math> ist approximativ<br /><br />
<math>N(n\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)})</math> und <math>Y/n</math> ist approximativ <math>N(\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)}/n)</math> verteilt <math>P \left (\frac{Y}{n}-c \cdot<br />
\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\leq\pi\leq<br />
\frac{Y}{n}+c \cdot \sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\right )=1- \alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 2,58</math>; <math>[0,127;0,273]</math><br />
* <math>X</math>: “Füllmenge eines Bechers”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Füllmenge eines Bechers bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 5</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
** <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 4</math>; <math>c = 2,776</math><br />
** <math>[0,1326;0,2674]</math><br />
<br />
===Konfidenzniveau 2===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=2,1</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(2,1+5,9)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot10/10=2,1</math>; <math>f=99</math>; <math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=1,9</math>; <math>1-\alpha/2=0,971283</math>; <math>\alpha/2=0,028717</math>; <math>\alpha=0,057434</math>; <math>1-\alpha=0,942566</math><br /><br />
===Konfidenzniveau===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=1,6</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(6,4+1,6)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot 10/10=1,6</math>; <math>f=99</math>;<br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=2,4</math>; <math>1-\alpha/2=0,991802</math>; <math>\alpha/2=0,008198</math>; <math>\alpha=0,016396</math>;<br /><br />
<math>1-\alpha=0,983604</math><br /><br />
===Konzentration des Stoffes E===<br />
<br />
X: Konzentration von E im Wasser; <math>X\sim N(\mu;\sigma)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Mittlere Konzentration von E im Wasser bei Zufallsstichprobe <math>n=9</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>\sigma</math> unbekannt, mittels <math>S^2=\sum(X_i-\overline{X})^2/(n-1)</math> schätzen<br /><br />
<math>T=(\overline{X}-\mu)\sqrt{n}/S</math> ist t-verteilt mit <math>f=n-1</math> Freiheitsgraden<br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P[\overline{X}-t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}] &=1-\alpha=0,9 \\<br />
\overline{x}&=90/9=10<br />
\end{align}<br />
</math>; <math>s^2=(0+4+0+4+81+25+1+9+4)/8=128/8=16</math>; <math>s=4</math>; <math>t_{8;0,95}=1,86</math><br /><br />
<math>[10-1,86\cdot4/3;10+1,86\cdot4/3]=[7,520;12,480]</math><br /><br />
<br />
===Kugelschreiber===<br />
<br />
Gewicht der Schreibminen: <math>M\sim N(\mu_M;\sigma_M)=N(\mu_M;0,4)</math>; Gewicht der Metallfedern: <math>F\sim N(\mu_F;\sigma_F)=N(\mu_F;0,2)</math>; Gewicht der Kunststoffhüllen: <math>H\sim N(\mu_H;\sigma_H)=N(\mu_H;0,4)</math><br /><br />
Gesamtgewicht eines Kugelschreibers: <math>X=M+F+H</math>; <math>X\sim N(\mu_X;\sigma_X)=N(\mu_X;0,6)</math><br /><br />
<math>\sigma_X^2=\sigma_M^2+\sigma_F^2+\sigma_H^2=0,4^2+0,2^2+0,4^2=0,36</math> (wegen Unabhängigkeit von M, F und H)<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht eines Kugelschreibers in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;0,12)</math>; <math>\sigma/\sqrt{n}=0,6/5=0,12</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>z_{0,9032}=1,3</math>; <math>\overline{x}=375/25=15</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>[15-1,3\cdot0,12; 15+1,3\cdot0,12]=[14,844; 15,156]</math><br /><br />
===Lampen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe”<br /><br />
<math>X \sim B(n;\pi)</math> mit <math>\pi<br />
= d/N</math><br /><br />
“Intuitive” Schätzfunktion: <math>\widehat{\theta} = N/n \cdot X = 50X</math><br /><br />
<math>E(\widehat{\theta}) = N/n\cdot E(X) = N/n\cdot n\cdot d/N=d</math></p></li><br />
<li><p><math>\vartheta = 150</math></p></li><br />
<li><p>Die einfache Zufallsstichprobe wird durch ein Ziehen mit Zurücklegen realisiert, d.h. mit geringer Wahrscheinlichkeit wird die gleiche Lampe zweimal gezogen. Sinnvoller wäre hier ein Ziehen ohne Zurücklegen, d.h. eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.</p><br />
<p>An dem Ergebnis in a) ändert sich nichts, da <math>X\sim Hyp(N,d,n)\approx B(n, \pi=d/n)</math> ist (<math>n/N=0,002<0,05</math>).</p></li></ul><br />
<br />
===Langlebensdauergarantie===<br />
<br />
<math>X:</math> Brenndauer, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Brenndauer bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=1300</math>, <math>s=100</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,99}=2,33</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,98</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\approx[1300-2,33\cdot100/\sqrt{100};1300+2,33\cdot100/\sqrt{100}]\approx[1276,7;1323,3]</math><br /><br />
===Likelihood-Funktion===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Likelihood-Funktion: <math>\begin{align}<br />
L(\lambda;x_1,x_2,x_3,x_4)&=&f(x_1|\lambda)\cdot f(x_2|\lambda)\cdot f(x_3|\lambda)\cdot f(x_4|\lambda)\\<br />
&=&\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^6}{6!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{15}}{2!4!6!3!}e^{-4\lambda}\end{align}</math></p></li><br />
<li><p>ML-Schätzwert für <math>\lambda</math>:<br /><br />
<br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Poisson-Verteilung:<br />
| Log-Likelihood-Funktion:<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|<br />
<br />
|-<br />
| <math>\displaystyle f_{PO}(x;\lambda)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}</math><br />
| <math>\displaystyle \ln L(\lambda)=15\ln\lambda-\ln(2!4!6!3!)-4\lambda</math><br />
|}<br />
<br />
<p><br /><br />
<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{\delta\ln L(\lambda)}{\delta\lambda}=\frac{15}{\hat{\lambda}}-4=0</math><br /><br />
<math>\displaystyle\hat{\lambda}=\frac{15}{4}=3,75</math><br /><br />
</p></li></ul><br />
<br />
===Love–Parade===<br />
<br />
<math>X:</math> Ausgaben,<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Ausgaben bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=350</math>, <math>s=24</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]=[350-1,96\cdot24/\sqrt{n};350+1,96\cdot24/\sqrt{n}] = [345,296;354,704]</math><br />
<br />
===Mietverein 2===<br />
<br />
* <math>X</math>: Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung<br /><br />
<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung bei einer Zufallsstichprobe von <math>n=36</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\sigma^2</math> ist unbekannt und wird mittels der Stichprobenfunktion <math>S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> geschätzt.<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math>; <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98\rightarrow c=2,33</math>; <math>\overline{x}=950</math>; <math>s=180</math><br /><br />
<math>[950-2,33\cdot180/6;950+2,33\cdot180/6]=[950-69,9;950+69,9]=[880,1;1019,9]</math><br />
<br />
===Mietverein===<br />
<br />
<math>X\sim N(\mu;\sigma=180\mbox{ EUR})</math>; <math>\ell=120</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>n\geq(4\sigma^2z_{1-\alpha/2}^2)\ell^2</math><br /><br />
<math>n\geq(4\cdot180^2\cdot1,96^2)/120^2=(4\cdot32400\cdot3,8416)/14400=497871,36/14400=34,5744</math><br /><br />
<math>n\geq35</math><br /><br />
===Milchfettgehalt===<br />
<br />
X:Milchfettgehalt, <math>\mu=3,7352</math>, <math>\sigma^2=0,0081</math>, <math>X\sim N(3,7352;0,09)</math> <br />
<br />
<math><br />
P(X>x)=P\left(\frac{X-3,7352}{0,09} > \frac{x-3,7352}{0,09} \right)=P(Z>z)=0,61</math> Aus der vorliegenden Tabelle der Standardnormalverteilung findet man für <math>P(Z\leq z)=0,61</math> den Wert <math>z=0,28</math>, so dass der gesuchte Wert <math>z=-0,28</math> ist.<br /><br />
<math>(x-3,7352)/0,09=-0,28;\quad\textbf{x=3,71}</math><br /><br />
<br />
===Mittelwert und Varianz===<br />
<br />
<math>\overline{x} = 3</math> als Schätzwert für <math>\mu</math>; <math>s^{2} = 2,22</math> als Schätzwert für <math>\sigma^{2}</math><br /><br />
===Notwendiger Stichprobenumfang===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99;\quad z_{0,995}=2,58;\quad \ell=0,05;</math><br /><br />
<math>\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/\ell^2=2,58^2/0,05^2=2662,56\rightarrow n\geq 2663</math><br />
<br />
===PKWs in Berlin===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}\cdot(1-\hat{\pi})</math> maximal ist. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>I=0,06</math>; <math>n=z_{1-\alpha/2}^2/I^2=1,96^2/0,06^2=1067,11</math>;<math>\rightarrow n\geq1068</math>.<br /><br />
===Schwankungsintervall===<br />
<br />
Zentrales Schwankungsintervall:<br /><br />
<br /><br />
<math> \left[ \mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}};\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}} \right] </math><br /><br />
<br /><br />
Sicherheitswahrscheinlichkeit:<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}<\overline{X}<\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\;c=1,96</math><br /><br />
<math>\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354-1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\displaystyle\sqrt{81}}=354-1,96\cdot2,5=354-4,9=349,1</math><br /><br />
<math>\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354+1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\sqrt{\displaystyle81}}=354+1,96\cdot2,5=354+4,9=358,9</math><br /><br />
===Schweinemäster===<br />
<br />
<math>X</math>: “Gewicht eines Schweins”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Schweins bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 6</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n}) </math><br />
<br />
* <math>\overline{X} = 100</math>; <math>s^{2} = 6</math><br />
* <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 5</math>: <math>c = 2,571</math><br />
* <math>[97,429;102,571]</math><br />
* Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung “unendlich oft” durchgeführt, so kann man mit (durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen; d.h. Schätzintervallen, in denen der unbekannte Wert enthalten ist.<br />
* durch die Wahl von <math>n</math> bzw. <math>\alpha</math><br />
* Intervall wird kleiner: statt <math>c = 2,571</math> aus t–Verteilung ist <math>c=1,96</math> aus <math>N(0;1)</math> zu verwenden.<br />
<br />
===Spielautomat===<br />
<br />
* Beim 1. Spiel Verlust von 1 EUR; beim 2. Spiel Gewinn von 1 EUR; ...<br />
* <math>P(X=0) = p</math>; <math>P(X=-1) = p</math>; P<math>(X= 1) = 1 - 2p</math><br />
* <math>f(X=0) = 1/6</math>; <math>f(X=-1) = 2/6</math>; <math>f(X= 1) = 3/6</math><br />
* <math>L(x_{1},..., x_{6}|p) = p^{3}\cdot(1 - 2p)^{3}</math><br />
* <math>v</math> - Anzahl der verlorenen Spiele;<br /><br />
<math>u</math> - Anzahl der unentschiedenen Spiele;<br /><br />
<math>g</math> - Anzahl der gewonnenen Spiele;<br /><br />
<math>n = v + u + g</math> <math>\widehat{p}= (v + u)/2n</math><br />
* <math>\widehat{p}= 1/4</math><br />
* <math>\widehat{p}= 5/18</math><br />
<br />
===Sportliche Betätigung===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,99506\quad z_{0,99506}=2,58\quad\hat{\pi}=180/200=0,9</math><br /><br />
Da <math>n</math> sehr groß, Schätzfunktion <math>\hat{\pi}=X/n</math> approx. normalverteilt.<math>\left[\hat{\pi}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right]</math><br /><br />
<math>=0,9\pm2,58\sqrt{\frac{0,9\cdot0,1}{200}}=0,9\pm2,58\cdot0,0212132=0,9\pm0,05473</math><math>[0,845;0,955]</math><br />
<br />
===Startprobleme===<br />
<br />
* <math>L(p) = (1 - p)^{8}\cdot p^{2}</math><br />
* <math>\widehat{p} = 0,2</math><br />
<br />
===Stichprobenmittelwert===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>; <math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>n=25</math>; <math>f=24</math>; <math>1-\alpha=0,99</math>; <math>1-\alpha/2=0,995</math>; <math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[5-2,797\cdot2/5;5+2,797\cdot2/5]=5-1,1188;5+1,1188]=[3,8812;6,1188]</math><br /><br />
===Studienmotivation===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i = x)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{aligned}<br />
E(X_{i}) &=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&E \left(\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} (2X_i - X_i^2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2E(X_i) - E(X_i^2) \right)\end{aligned}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x^2</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i^2 = x^2)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
\displaystyle E(X_{i}^2)&=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2(\pi_1 + 2\pi_2) - (\pi_1 + 4\pi_2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \pi_1 = \pi_1\\<br />
E(\widehat{\pi}_{2}) &=& E \left(\frac1{20} \sum_{i=1}^{10}(X_i^2 - X_i)\right)= \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left (E(X_i^2) - E(X_i) \right)\\<br />
&=& \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left((\pi_1 + 4\pi_2) - (\pi_1 + 2\pi_2) \right) =\frac1{20} \sum_{i=1}^{10} 2\pi_2=\pi_2\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzfunktion: <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math></p><br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
E(\widehat{\pi}_{0}) &=& E(1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - E(\widehat{\pi}_{1}) - E(\widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - \pi_{1} - \pi_{2} = \pi_{0}\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>Stichprobe:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>i</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>3</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>5</math><br />
!align="right"| <math>6</math><br />
!align="right"| <math>7</math><br />
!align="right"| <math>8</math><br />
!align="right"| <math>9</math><br />
!align="right"| <math>10</math><br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>2x_i-x_i^2</math><br />
!align="right"| <math>x_i^2-x_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>0 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>1 </math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>2 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
\widehat{\pi}_{1} &=& \frac1{10}\sum_{i=1}^{10} (2x_i-x_i^2) = \frac{0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}=0,2\\<br />
\widehat{\pi}_{2} &=& \frac1{20}\sum_{i=1}^{10} (x_i^2-x_i) = \frac{0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}=0,4\\<br />
\widehat{\pi}_{0} &=& 1-0,2-0,4=0,4\\\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
* ja, führen Sie den Beweis!<br />
* <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math>; <math>E(\widehat{\pi}_{0}) = 1 - \pi_{1} - \pi_{2}</math>; <math> \widehat{\pi}_{0}=\frac{1}{10} \sum\limits _{i=1} ^{10}(1-\frac32 X_i<br />
+\frac12 X _{i} ^{2})</math><br />
* <math>p_{1} = 0,2</math>; <math>p_{2} = 0,4</math>; <math>p_{0} = 0,4</math><br />
<br />
===Trinkwasserverbrauch===<br />
<br />
<math>X:</math> Wasserverbrauch, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Wasserverbrauch bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=12</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=5</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[12-1,96\cdot5/\sqrt{100};12+1,96\cdot5/\sqrt{100}]\approx[11,02;12,98]</math><br /><br />
===Unfallhäufigkeit===<br />
<br />
* <math>L_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 0,00196</math>; <math>L_{Pol.}(0,2,0,2,1)= 0,001</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Versicherungsgesellschaft<br />
* <math>Q_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 5,25</math>; <math>Q_{Pol.}(0,2,0,2,1) = 4,8</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Polizei<br />
<br />
===Weizenhektarerträge===<br />
<br />
Grundgesamtheit sind alle Hektarflächen in Deutschland, auf denen 1996 Weizen angebaut wurde; <math>X</math>: “Hektarertrag für Weizen”; Verteilung von X unbekannt; <math>\sigma^2=324</math> [dt/ha]<math>^2</math>. <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Hektarertrag für Weizen in Deutschland bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=144</math>”<br /><br />
Verteilung von <math>\overline{X}</math> unbekannt. Da aber der Stichprobenumfang <math>n>30</math> ist, kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Normalverteilung verwendet werden:<br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n});\quad P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math><br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,9032;\quad z_{0,9032}=1,3</math> aus <math>N(0;1);\quad n=144;\quad \sigma=18</math><br /><br />
Stichprobenmittelwert für Deutschland:<br /><br />
<math>\overline{x}=(60,4\cdot48+68,8\cdot96)/144=(2899,2+6604,8)/144=66</math> dt/ha;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[66-1,3\cdot18/12;66+1,3\cdot18/12]=[66-1,95;66+1,95]=[64,05;67,95]</math><br /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Sch%C3%A4tztheorie/L%C3%B6sungen&diff=2299
Schätztheorie/Lösungen
2020-07-15T13:08:41Z
<p>Petrescc: /* Kilometerleistung */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===500 Haushalte===<br />
<br />
<math>X:</math> Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=2,73</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=1,58</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
, <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[2,73-1,96\cdot\sqrt{1,58/500};2,73+1,96\cdot\sqrt{1,58/500}]\approx[2,620;2,840]</math><br />
<br />
===Absolventen der Fakultät===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\quad z_{0,975}=1,96;\quad e=0,2;\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/4e^2;\quad n\geq1,96^2/4\cdot0,2^2=3,8416/0,16=24,01\rightarrow n\geq25</math><br /><br />
===Antibiotikumtabletten===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X</math>: “Wirkstoffgehalt je Tablette”; <math>X\sim N(\mu;10)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math>”; <math>\overline{X}\sim N(\mu;10/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-2\leq\mu\leq\overline{X}+2)=P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n})=0,98</math><br /><br />
<math>z_{0,99}=2,33;\quad n\geq(\sigma z/e)^2=(10\cdot2,33/2)^2=11,65^2=135,7225\rightarrow n\geq136</math><br />
<br />
===Apfelsinen===<br />
<br />
* <math>X:</math> “Gewicht der Apfelsinen” <math>\sim N(\mu; \sigma=20g)</math><br />
* Einfache Zufallsstichprobe mit <math>n=25</math><br />
* Summe des Gewichts: <math>7500g \Rightarrow \bar{x}=\frac{7500}{25}=300g</math><br />
<br />
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math><br />
<br />
Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>1-\alpha=80,64\% \Rightarrow 1-\alpha/2=90,32\% \Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,9032 \Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,3</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[300-1,3\frac{20}{\sqrt{25}}; 300+1,3\frac{20}{\sqrt{25}}\right]= \left[294,8; 305,2\right]</math><br />
<br />
Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und <math>\sigma=20</math>g bekannt; <math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>, <math>\overline{X}\sim N(\mu; \sigma/\sqrt{n})</math>; <math>P(\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math>; <math>\overline{x}=300\mbox{ g}</math>; <math>z_{0,9032}=1,3</math><br /><br />
<math>[300-1,3\cdot20/5;300+1,3\cdot20/5]=[294,8;305,2]</math><br />
<br />
===Brikett===<br />
<br />
<math>X:\mbox{ Gewicht eines Briketts }X\sim N(500;50)</math><br /><br />
<math>\overline{X}:\mbox{ Durchschnittliches Gewicht eines Briketts bei einer Zufallsstichprobe }n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(500;10)</math>; <math>z=(\overline{X}-\mu_0)\sqrt{n}/\sigma</math>; <math>z=(510-500)5/50=1</math>; <math>P(Z\leq1)=0,841345</math>; <math>1-P(Z\leq1)=1-0,841345=0,158655</math><br />
<br />
===Dichotome Grundgesamtheit===<br />
<br />
<math>Q(\pi) = 3\pi^{2} - 2\pi + 1</math>; <math>\widehat{\pi} =<br />
1/3</math><br />
<br />
===Dioxinausstoß===<br />
<br />
<math>X</math>: Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1/3)</math><br />
<br />
* Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P(4\leq\overline{X}\leq6)=1-\alpha=</math>?<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\displaystyle\frac{4-5}{1}\sqrt{9}\leq\overline{X}\leq\displaystyle\frac{6-5}{1}\sqrt{9}\right)=P(-3\leq Z\leq3)=2\cdot P(Z\leq3)-1</math><br /><br />
<math>=2\cdot0,99865-1=0,9973</math><br /><br />
<br /><br />
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang <math>n=9</math> zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.<br />
* symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(5-\displaystyle\frac{c}{3}\leq\overline{X}\leq5+\displaystyle\frac{c}{3}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>c_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\left[5-\displaystyle\frac{1,96}{3};5+\displaystyle\frac{1,96}{3}\right]=[4,347;5,653]</math><br />
* <math>n\geq\displaystyle\frac{\sigma^2\cdot z_{1-\alpha/2}^2}{e^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\Leftrightarrow n\geq\displaystyle\frac{1\cdot1,96^2}{0,5^2}=15,37\approx16</math><br /><br />
<br /><br />
Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.<br />
* <math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98</math>; <math>1-\alpha/2=0,99</math>; <math>c=2,33</math>; <math>\overline{x}=63/9=7</math> kg/min; <math>\sigma=1</math><br /><br />
<math>[7-2,33/3;7+2,33/3]=[6,22;7,78]</math><br />
<br />
===Eintagsfliegen===<br />
<br />
<math>X:</math> Lebensdauer von Eintagsfliegen<math>\sim N(\mu;\sigma^2)</math>, <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> unbekannt<br /><br />
<math>n=16</math> (kleine Stichprobe); <math>\overline{x}=1440</math>; <math>s^2=57600</math>, <math>s=240</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\left[ \overline{x} \text{ ± } t_{n-1; 1-\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right] <br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot \frac{240}{\sqrt{16}} \right] \\<br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot 60 \right] \\<br />
&= \left[ 1263.12; 1616.88 \right]<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
1616,88 &= 1440+t_{15;1-\alpha/2}\cdot 60;\quad t_{15;1-\alpha/2} \\<br />
&=2,948;\quad 1-\alpha/2=0,995<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
(aus t-Verteilung);<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99</math><br /><br />
<br />
===Erwartungstreue===<br />
<br />
* <math>X_1, X_2, X_3</math> einfache Zufallsstichprobe<br />
* <math>X_{i} \sim(\mu;\sigma^2)</math><br />
* <math>X_{i}</math> unabhängig<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{2}) &= E \left(\frac14(2X_1 + 2X_2)\right)=\\<br />
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\<br />
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{2}) &= Var \left(\frac14(2X_1 + 2X_3)\right)\\<br />
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{align}</math></p><br />
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul><br />
<br />
* alle drei, führen Sie den Beweis !<br />
* <math>Var(\widehat{\theta}_{1}) = \sigma^{2}/3<br />
< Var(\widehat{\theta}_{2}) = \sigma^{2}/2<br />
< Var(\widehat{\theta}_{3}) = 5\sigma^{2}/9<br />
\Rightarrow \widehat{\theta}_{1}</math><br />
<br />
===Fahrradschläuche===<br />
<br />
<math>X</math>: “Durchmesser eines Fahrradschlauches”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Mittlerer Durchmesser eines Fahrradschlauches bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
<br />
* <math>P( \overline{X}-c \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 24</math>: <math>c = 1,711</math><br />
* <math>[39,9734;42,0266]</math><br />
* <math>n \geq 293</math><br />
<br />
===Faktenmagazin===<br />
<br />
Konfidenzintervall für den Erwartungswert <math>\mu</math>:<math>\ \left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math><math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[74000-2,797\cdot10000/5;74000+2,797\cdot10000/5]=[68406;79594]</math><br />
<br />
===Finanzamt===<br />
<br />
* <math>L(\lambda) = \lambda^{3}\cdot e-^{9\lambda} </math><br />
* <math>\widehat\lambda = 1/3</math> <math>\Rightarrow</math> Frau Hurtig<br />
<br />
===Fluggesellschaft===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,995;\quad z_{0,995}=2,58</math><br /><br />
<math>0,9\pm2,58\sqrt{\displaystyle\frac{0,9\cdot0,1}{200}}</math><br /><br />
<math>[84,5\%;95,5\%]</math><br /><br />
===Gasverbrauch===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\bar{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>n=36</math>; <math>\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_f \approx N(0;1)</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[5-1,96\cdot2/6;5+1,96\cdot2/6]=[5-0,6533;5+0,6533]=[4,3467;5,5633]</math><br />
<br />
===Glücksspiel===<br />
<br />
<math>X:</math> Ertrag , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Ertrag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=50</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\quad\overline{x}=-0,58,\quad s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,82</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq \mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[-0,58-1,96\cdot\sqrt{0,0164};-0,58+1,96\cdot\sqrt{0,0164}]\approx[-0,831;-0,329]</math><br /><br />
===Handybesitzer===<br />
<br />
Da keine Information über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe oder anderweitig gegeben ist, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95;\quad z_{0,975}=1,96\quad \ell=0,06</math><br /><br />
<math>n=z^2_{1-\alpha/2}/\ell^2=1,96^2/0,06^2=3,8416/0,0036=1067,11\rightarrow n=1068</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 2===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\mu=25, \sigma</math> unbekannt, <math>s^2=80</math>, <math>n=20, f=19, 1-\alpha=0,95, t_{1-0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math>;<br /><br />
<math>\left[25-2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}};25+2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}}\right]=[25-4,186;25+4,186]=[20,814;29,186]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 3===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>,<math>\sigma</math> unbekannt, <math>s^2=90,25</math>, <math>n=100</math>, <math>\overline{X}</math> ist approximativ normalverteilt (<math>n \geq 30</math>)<br /><br />
Konfidenzniveau <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
Schätzintervall:<math>\left[25\pm1,96\cdot\sqrt{\frac{90,25}{100}}\right]=[25\pm1,96\cdot0,95]=[25\pm1,862]=[23,138;26,862]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung===<br />
<br />
* <math>\left[\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math>, so dass<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br />
* <math>\left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math><br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>; <math>s^2=80</math>; <math>n=20</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>t_{0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>\left[25-2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}};25+2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}}\right]</math><br /><br />
<math>=[25-4,186;25+4,186]</math><br /><br />
<math>=[20,814\mbox{ (}1000\mbox{ km)};29,186\mbox{ (}1000\mbox{ km)}]</math><br />
<br />
===Kaltwasserverbrauch===<br />
<br />
X: Kaltwasserverbrauch pro Spülgang; <math>X\sim N(\mu;\sigma)=N(\mu;2)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Kaltwasserverbrauch in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;2/\sqrt{n})</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,95</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math>;<br /><br />
<math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>e=z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}</math>; <math>e=0,5=1,96\cdot2/\sqrt{n}</math>; <math>n=2^2\cdot1,96^2/0,5^2=15,3664/0,25=61,4656</math>; <math>n\geq62</math><br />
<br />
===Kilometerleistung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>n=49</math>, <math>\bar{x}=50</math> km, <math>\sigma=7</math> km bekannt</p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,975 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,96\end{align}</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[50-1,96\frac{7}{\sqrt{49}}; 50+1,96\frac{7}{\sqrt{49}}\right]= \left[48,04; 51,96\right]</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit, Breite fix, <math>n</math> variabel <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[v_u; v_o\right]</math> Breite: <math>\begin{align}<br />
v_o-v_u &=& \left(50+1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)- \left(50-1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)\\<br />
2\text{ km }&=& \frac{2\cdot1,96\cdot7\text{ km}}{\sqrt{n}}\\<br />
\sqrt{n}&=& 13,72 \Rightarrow n=188,23 \text{ also } n\geq189\\\end{align}</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p><math>Y:</math> “Anzahl der ADAC Mitglieder” <math>\sim B(200;\pi)</math></p><br />
<p>Approximationsbedingung: <math>\hat{\pi}=\frac{40}{200}=0,2 \Rightarrow n\pi(1-\pi)\approx 200\cdot0,2\cdot0,8=32>9</math></p><br />
<p><math>\begin{align}<br />
Y&\approx& N\left(\mu=n\pi;\sigma=\sqrt{n\pi(1-\pi)}\right)\\<br />
\hat{\pi}=\frac{Y}{n}&\approx& N\left(\mu=\pi;\sigma=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right)\end{align}</math></p><br />
<p>'''Konfidenzintervall''' <math>P\left(\frac{Y}{n}-c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}} \leq \pi \leq \frac{Y}{n}+c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}\right)=1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p><br />
<p>'''Schätzintervall''' <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=99\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=99,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,995 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 2,58\end{align}</math> <math>\begin{align}<br />
&\left[0,2-2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}; 0,2+2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}\right]\\<br />
&= [0,12703; 0,27297]\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>X_i\sim N(\mu; \sigma) \Longrightarrow \bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu; \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n})</math> <math>\begin{align}<br />
n&=&5\\<br />
\bar{x}&=& \frac{0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}=0,2\\<br />
s^2 %&=& \frac{(0,18-0,2)^2+(0,25-0,2)^2+(0,12-0,2)^2+(0,20-0,2)^2+(0,25-0,2)^2}{4}\\<br />
&=& \frac{0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}=0,00295\\\end{align}</math></p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>t_{n-1}</math>, da <math>\sigma</math> unbekannt <math>\Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall <math>\begin{align}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow t_{n-1;1-\alpha/2} = 2,776\end{align}</math> <math>\left[0,2-2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}; 0,2+2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}\right] = [0,1326; 0,2674]</math></p></li></ul><br />
</li></ul><br />
<br />
* <math>X_{i}</math>: “Fahrleistung eines PKW’s”; <math>i = 1,...,49</math>; <math>X_{i}</math> beliebig verteilt mit <math>E(X_{i} = \mu</math>, <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Fahrleistung eines PKW’s bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 49</math>”;<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> – Zentraler Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
** <math>P\left( \overline{X}-c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}} \leq<br />
\mu \leq \overline{X}+c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}}\right)=1-<br />
\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 1,96</math><br />
** <math>[48,04;51,96] </math><br />
** <math>n \geq 189</math><br />
* <math>Y</math>: “Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallsstichprobe <math>n=200</math>” <math>Y \sim B(200;\pi)</math>; wegen Erfüllung der Approximationsbedingungen folgt: <math>Y</math> ist approximativ<br /><br />
<math>N(n\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)})</math> und <math>Y/n</math> ist approximativ <math>N(\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)}/n)</math> verteilt <math>P \left (\frac{Y}{n}-c \cdot<br />
\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\leq\pi\leq<br />
\frac{Y}{n}+c \cdot \sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\right )=1- \alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 2,58</math>; <math>[0,127;0,273]</math><br />
* <math>X</math>: “Füllmenge eines Bechers”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Füllmenge eines Bechers bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 5</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
** <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 4</math>; <math>c = 2,776</math><br />
** <math>[0,1326;0,2674]</math><br />
<br />
===Konfidenzniveau 2===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=2,1</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(2,1+5,9)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot10/10=2,1</math>; <math>f=99</math>; <math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=1,9</math>; <math>1-\alpha/2=0,971283</math>; <math>\alpha/2=0,028717</math>; <math>\alpha=0,057434</math>; <math>1-\alpha=0,942566</math><br /><br />
===Konfidenzniveau===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=1,6</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(6,4+1,6)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot 10/10=1,6</math>; <math>f=99</math>;<br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=2,4</math>; <math>1-\alpha/2=0,991802</math>; <math>\alpha/2=0,008198</math>; <math>\alpha=0,016396</math>;<br /><br />
<math>1-\alpha=0,983604</math><br /><br />
===Konzentration des Stoffes E===<br />
<br />
X: Konzentration von E im Wasser; <math>X\sim N(\mu;\sigma)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Mittlere Konzentration von E im Wasser bei Zufallsstichprobe <math>n=9</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>\sigma</math> unbekannt, mittels <math>S^2=\sum(X_i-\overline{X})^2/(n-1)</math> schätzen<br /><br />
<math>T=(\overline{X}-\mu)\sqrt{n}/S</math> ist t-verteilt mit <math>f=n-1</math> Freiheitsgraden<br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P[\overline{X}-t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}] &=1-\alpha=0,9 \\<br />
\overline{x}&=90/9=10<br />
\end{align}<br />
</math>; <math>s^2=(0+4+0+4+81+25+1+9+4)/8=128/8=16</math>; <math>s=4</math>; <math>t_{8;0,95}=1,86</math><br /><br />
<math>[10-1,86\cdot4/3;10+1,86\cdot4/3]=[7,520;12,480]</math><br /><br />
<br />
===Kugelschreiber===<br />
<br />
Gewicht der Schreibminen: <math>M\sim N(\mu_M;\sigma_M)=N(\mu_M;0,4)</math>; Gewicht der Metallfedern: <math>F\sim N(\mu_F;\sigma_F)=N(\mu_F;0,2)</math>; Gewicht der Kunststoffhüllen: <math>H\sim N(\mu_H;\sigma_H)=N(\mu_H;0,4)</math><br /><br />
Gesamtgewicht eines Kugelschreibers: <math>X=M+F+H</math>; <math>X\sim N(\mu_X;\sigma_X)=N(\mu_X;0,6)</math><br /><br />
<math>\sigma_X^2=\sigma_M^2+\sigma_F^2+\sigma_H^2=0,4^2+0,2^2+0,4^2=0,36</math> (wegen Unabhängigkeit von M, F und H)<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht eines Kugelschreibers in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;0,12)</math>; <math>\sigma/\sqrt{n}=0,6/5=0,12</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>z_{0,9032}=1,3</math>; <math>\overline{x}=375/25=15</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>[15-1,3\cdot0,12; 15+1,3\cdot0,12]=[14,844; 15,156]</math><br /><br />
===Lampen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe”<br /><br />
<math>X \sim B(n;\pi)</math> mit <math>\pi<br />
= d/N</math><br /><br />
“Intuitive” Schätzfunktion: <math>\widehat{\theta} = N/n \cdot X = 50X</math><br /><br />
<math>E(\widehat{\theta}) = N/n\cdot E(X) = N/n\cdot n\cdot d/N=d</math></p></li><br />
<li><p><math>\vartheta = 150</math></p></li><br />
<li><p>Die einfache Zufallsstichprobe wird durch ein Ziehen mit Zurücklegen realisiert, d.h. mit geringer Wahrscheinlichkeit wird die gleiche Lampe zweimal gezogen. Sinnvoller wäre hier ein Ziehen ohne Zurücklegen, d.h. eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.</p><br />
<p>An dem Ergebnis in a) ändert sich nichts, da <math>X\sim Hyp(N,d,n)\approx B(n, \pi=d/n)</math> ist (<math>n/N=0,002<0,05</math>).</p></li></ul><br />
<br />
===Langlebensdauergarantie===<br />
<br />
<math>X:</math> Brenndauer, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Brenndauer bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=1300</math>, <math>s=100</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,99}=2,33</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,98</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\approx[1300-2,33\cdot100/\sqrt{100};1300+2,33\cdot100/\sqrt{100}]\approx[1276,7;1323,3]</math><br /><br />
===Likelihood-Funktion===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Likelihood-Funktion: <math>\begin{aligned}<br />
L(\lambda;x_1,x_2,x_3,x_4)&=&f(x_1|\lambda)\cdot f(x_2|\lambda)\cdot f(x_3|\lambda)\cdot f(x_4|\lambda)\\<br />
&=&\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^6}{6!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{15}}{2!4!6!3!}e^{-4\lambda}\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>ML-Schätzwert für <math>\lambda</math>:<br /><br />
<br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Poisson-Verteilung:<br />
| Log-Likelihood-Funktion:<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|<br />
<br />
|-<br />
| <math>\displaystyle f_{PO}(x;\lambda)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}</math><br />
| <math>\displaystyle \ln L(\lambda)=15\ln\lambda-\ln(2!4!6!3!)-4\lambda</math><br />
|}<br />
<br />
<p><br /><br />
<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{\delta\ln L(\lambda)}{\delta\lambda}=\frac{15}{\hat{\lambda}}-4=0</math><br /><br />
<math>\displaystyle\hat{\lambda}=\frac{15}{4}=3,75</math><br /><br />
</p></li></ul><br />
<br />
===Love–Parade===<br />
<br />
<math>X:</math> Ausgaben,<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Ausgaben bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=350</math>, <math>s=24</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]=[350-1,96\cdot24/\sqrt{n};350+1,96\cdot24/\sqrt{n}] = [345,296;354,704]</math><br />
<br />
===Mietverein 2===<br />
<br />
* <math>X</math>: Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung<br /><br />
<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung bei einer Zufallsstichprobe von <math>n=36</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\sigma^2</math> ist unbekannt und wird mittels der Stichprobenfunktion <math>S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> geschätzt.<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math>; <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98\rightarrow c=2,33</math>; <math>\overline{x}=950</math>; <math>s=180</math><br /><br />
<math>[950-2,33\cdot180/6;950+2,33\cdot180/6]=[950-69,9;950+69,9]=[880,1;1019,9]</math><br />
<br />
===Mietverein===<br />
<br />
<math>X\sim N(\mu;\sigma=180\mbox{ EUR})</math>; <math>\ell=120</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>n\geq(4\sigma^2z_{1-\alpha/2}^2)\ell^2</math><br /><br />
<math>n\geq(4\cdot180^2\cdot1,96^2)/120^2=(4\cdot32400\cdot3,8416)/14400=497871,36/14400=34,5744</math><br /><br />
<math>n\geq35</math><br /><br />
===Milchfettgehalt===<br />
<br />
X:Milchfettgehalt, <math>\mu=3,7352</math>, <math>\sigma^2=0,0081</math>, <math>X\sim N(3,7352;0,09)</math> <br />
<br />
<math><br />
P(X>x)=P\left(\frac{X-3,7352}{0,09} > \frac{x-3,7352}{0,09} \right)=P(Z>z)=0,61</math> Aus der vorliegenden Tabelle der Standardnormalverteilung findet man für <math>P(Z\leq z)=0,61</math> den Wert <math>z=0,28</math>, so dass der gesuchte Wert <math>z=-0,28</math> ist.<br /><br />
<math>(x-3,7352)/0,09=-0,28;\quad\textbf{x=3,71}</math><br /><br />
<br />
===Mittelwert und Varianz===<br />
<br />
<math>\overline{x} = 3</math> als Schätzwert für <math>\mu</math>; <math>s^{2} = 2,22</math> als Schätzwert für <math>\sigma^{2}</math><br /><br />
===Notwendiger Stichprobenumfang===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99;\quad z_{0,995}=2,58;\quad \ell=0,05;</math><br /><br />
<math>\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/\ell^2=2,58^2/0,05^2=2662,56\rightarrow n\geq 2663</math><br />
<br />
===PKWs in Berlin===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}\cdot(1-\hat{\pi})</math> maximal ist. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>I=0,06</math>; <math>n=z_{1-\alpha/2}^2/I^2=1,96^2/0,06^2=1067,11</math>;<math>\rightarrow n\geq1068</math>.<br /><br />
===Schwankungsintervall===<br />
<br />
Zentrales Schwankungsintervall:<br /><br />
<br /><br />
<math> \left[ \mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}};\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}} \right] </math><br /><br />
<br /><br />
Sicherheitswahrscheinlichkeit:<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}<\overline{X}<\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\;c=1,96</math><br /><br />
<math>\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354-1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\displaystyle\sqrt{81}}=354-1,96\cdot2,5=354-4,9=349,1</math><br /><br />
<math>\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354+1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\sqrt{\displaystyle81}}=354+1,96\cdot2,5=354+4,9=358,9</math><br /><br />
===Schweinemäster===<br />
<br />
<math>X</math>: “Gewicht eines Schweins”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Schweins bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 6</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n}) </math><br />
<br />
* <math>\overline{X} = 100</math>; <math>s^{2} = 6</math><br />
* <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 5</math>: <math>c = 2,571</math><br />
* <math>[97,429;102,571]</math><br />
* Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung “unendlich oft” durchgeführt, so kann man mit (durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen; d.h. Schätzintervallen, in denen der unbekannte Wert enthalten ist.<br />
* durch die Wahl von <math>n</math> bzw. <math>\alpha</math><br />
* Intervall wird kleiner: statt <math>c = 2,571</math> aus t–Verteilung ist <math>c=1,96</math> aus <math>N(0;1)</math> zu verwenden.<br />
<br />
===Spielautomat===<br />
<br />
* Beim 1. Spiel Verlust von 1 EUR; beim 2. Spiel Gewinn von 1 EUR; ...<br />
* <math>P(X=0) = p</math>; <math>P(X=-1) = p</math>; P<math>(X= 1) = 1 - 2p</math><br />
* <math>f(X=0) = 1/6</math>; <math>f(X=-1) = 2/6</math>; <math>f(X= 1) = 3/6</math><br />
* <math>L(x_{1},..., x_{6}|p) = p^{3}\cdot(1 - 2p)^{3}</math><br />
* <math>v</math> - Anzahl der verlorenen Spiele;<br /><br />
<math>u</math> - Anzahl der unentschiedenen Spiele;<br /><br />
<math>g</math> - Anzahl der gewonnenen Spiele;<br /><br />
<math>n = v + u + g</math> <math>\widehat{p}= (v + u)/2n</math><br />
* <math>\widehat{p}= 1/4</math><br />
* <math>\widehat{p}= 5/18</math><br />
<br />
===Sportliche Betätigung===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,99506\quad z_{0,99506}=2,58\quad\hat{\pi}=180/200=0,9</math><br /><br />
Da <math>n</math> sehr groß, Schätzfunktion <math>\hat{\pi}=X/n</math> approx. normalverteilt.<math>\left[\hat{\pi}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right]</math><br /><br />
<math>=0,9\pm2,58\sqrt{\frac{0,9\cdot0,1}{200}}=0,9\pm2,58\cdot0,0212132=0,9\pm0,05473</math><math>[0,845;0,955]</math><br />
<br />
===Startprobleme===<br />
<br />
* <math>L(p) = (1 - p)^{8}\cdot p^{2}</math><br />
* <math>\widehat{p} = 0,2</math><br />
<br />
===Stichprobenmittelwert===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>; <math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>n=25</math>; <math>f=24</math>; <math>1-\alpha=0,99</math>; <math>1-\alpha/2=0,995</math>; <math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[5-2,797\cdot2/5;5+2,797\cdot2/5]=5-1,1188;5+1,1188]=[3,8812;6,1188]</math><br /><br />
===Studienmotivation===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i = x)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{aligned}<br />
E(X_{i}) &=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&E \left(\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} (2X_i - X_i^2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2E(X_i) - E(X_i^2) \right)\end{aligned}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x^2</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i^2 = x^2)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
\displaystyle E(X_{i}^2)&=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2(\pi_1 + 2\pi_2) - (\pi_1 + 4\pi_2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \pi_1 = \pi_1\\<br />
E(\widehat{\pi}_{2}) &=& E \left(\frac1{20} \sum_{i=1}^{10}(X_i^2 - X_i)\right)= \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left (E(X_i^2) - E(X_i) \right)\\<br />
&=& \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left((\pi_1 + 4\pi_2) - (\pi_1 + 2\pi_2) \right) =\frac1{20} \sum_{i=1}^{10} 2\pi_2=\pi_2\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzfunktion: <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math></p><br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
E(\widehat{\pi}_{0}) &=& E(1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - E(\widehat{\pi}_{1}) - E(\widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - \pi_{1} - \pi_{2} = \pi_{0}\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>Stichprobe:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>i</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>3</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>5</math><br />
!align="right"| <math>6</math><br />
!align="right"| <math>7</math><br />
!align="right"| <math>8</math><br />
!align="right"| <math>9</math><br />
!align="right"| <math>10</math><br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>2x_i-x_i^2</math><br />
!align="right"| <math>x_i^2-x_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>0 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>1 </math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>2 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
\widehat{\pi}_{1} &=& \frac1{10}\sum_{i=1}^{10} (2x_i-x_i^2) = \frac{0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}=0,2\\<br />
\widehat{\pi}_{2} &=& \frac1{20}\sum_{i=1}^{10} (x_i^2-x_i) = \frac{0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}=0,4\\<br />
\widehat{\pi}_{0} &=& 1-0,2-0,4=0,4\\\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
* ja, führen Sie den Beweis!<br />
* <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math>; <math>E(\widehat{\pi}_{0}) = 1 - \pi_{1} - \pi_{2}</math>; <math> \widehat{\pi}_{0}=\frac{1}{10} \sum\limits _{i=1} ^{10}(1-\frac32 X_i<br />
+\frac12 X _{i} ^{2})</math><br />
* <math>p_{1} = 0,2</math>; <math>p_{2} = 0,4</math>; <math>p_{0} = 0,4</math><br />
<br />
===Trinkwasserverbrauch===<br />
<br />
<math>X:</math> Wasserverbrauch, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Wasserverbrauch bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=12</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=5</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[12-1,96\cdot5/\sqrt{100};12+1,96\cdot5/\sqrt{100}]\approx[11,02;12,98]</math><br /><br />
===Unfallhäufigkeit===<br />
<br />
* <math>L_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 0,00196</math>; <math>L_{Pol.}(0,2,0,2,1)= 0,001</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Versicherungsgesellschaft<br />
* <math>Q_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 5,25</math>; <math>Q_{Pol.}(0,2,0,2,1) = 4,8</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Polizei<br />
<br />
===Weizenhektarerträge===<br />
<br />
Grundgesamtheit sind alle Hektarflächen in Deutschland, auf denen 1996 Weizen angebaut wurde; <math>X</math>: “Hektarertrag für Weizen”; Verteilung von X unbekannt; <math>\sigma^2=324</math> [dt/ha]<math>^2</math>. <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Hektarertrag für Weizen in Deutschland bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=144</math>”<br /><br />
Verteilung von <math>\overline{X}</math> unbekannt. Da aber der Stichprobenumfang <math>n>30</math> ist, kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Normalverteilung verwendet werden:<br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n});\quad P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math><br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,9032;\quad z_{0,9032}=1,3</math> aus <math>N(0;1);\quad n=144;\quad \sigma=18</math><br /><br />
Stichprobenmittelwert für Deutschland:<br /><br />
<math>\overline{x}=(60,4\cdot48+68,8\cdot96)/144=(2899,2+6604,8)/144=66</math> dt/ha;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[66-1,3\cdot18/12;66+1,3\cdot18/12]=[66-1,95;66+1,95]=[64,05;67,95]</math><br /></div>
Petrescc
https://wikis.hu-berlin.de/mmstat/w/index.php?title=Sch%C3%A4tztheorie/L%C3%B6sungen&diff=2298
Schätztheorie/Lösungen
2020-07-15T13:07:37Z
<p>Petrescc: /* Erwartungstreue */</p>
<hr />
<div>[[Kategorie:Aufgaben]]<br />
===500 Haushalte===<br />
<br />
<math>X:</math> Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=2,73</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=1,58</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
, <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[2,73-1,96\cdot\sqrt{1,58/500};2,73+1,96\cdot\sqrt{1,58/500}]\approx[2,620;2,840]</math><br />
<br />
===Absolventen der Fakultät===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\quad z_{0,975}=1,96;\quad e=0,2;\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/4e^2;\quad n\geq1,96^2/4\cdot0,2^2=3,8416/0,16=24,01\rightarrow n\geq25</math><br /><br />
===Antibiotikumtabletten===<br />
<br />
Grundgesamtheit: <math>X</math>: “Wirkstoffgehalt je Tablette”; <math>X\sim N(\mu;10)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n</math>”; <math>\overline{X}\sim N(\mu;10/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-2\leq\mu\leq\overline{X}+2)=P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot10/\sqrt{n})=0,98</math><br /><br />
<math>z_{0,99}=2,33;\quad n\geq(\sigma z/e)^2=(10\cdot2,33/2)^2=11,65^2=135,7225\rightarrow n\geq136</math><br />
<br />
===Apfelsinen===<br />
<br />
* <math>X:</math> “Gewicht der Apfelsinen” <math>\sim N(\mu; \sigma=20g)</math><br />
* Einfache Zufallsstichprobe mit <math>n=25</math><br />
* Summe des Gewichts: <math>7500g \Rightarrow \bar{x}=\frac{7500}{25}=300g</math><br />
<br />
Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math><br />
<br />
Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit: <math>1-\alpha=80,64\% \Rightarrow 1-\alpha/2=90,32\% \Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,9032 \Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,3</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[300-1,3\frac{20}{\sqrt{25}}; 300+1,3\frac{20}{\sqrt{25}}\right]= \left[294,8; 305,2\right]</math><br />
<br />
Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und <math>\sigma=20</math>g bekannt; <math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>, <math>\overline{X}\sim N(\mu; \sigma/\sqrt{n})</math>; <math>P(\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math>; <math>\overline{x}=300\mbox{ g}</math>; <math>z_{0,9032}=1,3</math><br /><br />
<math>[300-1,3\cdot20/5;300+1,3\cdot20/5]=[294,8;305,2]</math><br />
<br />
===Brikett===<br />
<br />
<math>X:\mbox{ Gewicht eines Briketts }X\sim N(500;50)</math><br /><br />
<math>\overline{X}:\mbox{ Durchschnittliches Gewicht eines Briketts bei einer Zufallsstichprobe }n=25</math><br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(500;10)</math>; <math>z=(\overline{X}-\mu_0)\sqrt{n}/\sigma</math>; <math>z=(510-500)5/50=1</math>; <math>P(Z\leq1)=0,841345</math>; <math>1-P(Z\leq1)=1-0,841345=0,158655</math><br />
<br />
===Dichotome Grundgesamtheit===<br />
<br />
<math>Q(\pi) = 3\pi^{2} - 2\pi + 1</math>; <math>\widehat{\pi} =<br />
1/3</math><br />
<br />
===Dioxinausstoß===<br />
<br />
<math>X</math>: Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min], <math>X\sim N(5;1/3)</math><br />
<br />
* Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P(4\leq\overline{X}\leq6)=1-\alpha=</math>?<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\displaystyle\frac{4-5}{1}\sqrt{9}\leq\overline{X}\leq\displaystyle\frac{6-5}{1}\sqrt{9}\right)=P(-3\leq Z\leq3)=2\cdot P(Z\leq3)-1</math><br /><br />
<math>=2\cdot0,99865-1=0,9973</math><br /><br />
<br /><br />
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang <math>n=9</math> zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.<br />
* symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\overline{X}\leq\mu+c\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(5-\displaystyle\frac{c}{3}\leq\overline{X}\leq5+\displaystyle\frac{c}{3}\right)=0,95</math><br /><br />
<br /><br />
<math>c_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\left[5-\displaystyle\frac{1,96}{3};5+\displaystyle\frac{1,96}{3}\right]=[4,347;5,653]</math><br />
* <math>n\geq\displaystyle\frac{\sigma^2\cdot z_{1-\alpha/2}^2}{e^2}</math><br /><br />
<br /><br />
<math>\Leftrightarrow n\geq\displaystyle\frac{1\cdot1,96^2}{0,5^2}=15,37\approx16</math><br /><br />
<br /><br />
Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.<br />
* <math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98</math>; <math>1-\alpha/2=0,99</math>; <math>c=2,33</math>; <math>\overline{x}=63/9=7</math> kg/min; <math>\sigma=1</math><br /><br />
<math>[7-2,33/3;7+2,33/3]=[6,22;7,78]</math><br />
<br />
===Eintagsfliegen===<br />
<br />
<math>X:</math> Lebensdauer von Eintagsfliegen<math>\sim N(\mu;\sigma^2)</math>, <math>\mu</math> und <math>\sigma^2</math> unbekannt<br /><br />
<math>n=16</math> (kleine Stichprobe); <math>\overline{x}=1440</math>; <math>s^2=57600</math>, <math>s=240</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
\left[ \overline{x} \text{ ± } t_{n-1; 1-\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right] <br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot \frac{240}{\sqrt{16}} \right] \\<br />
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot 60 \right] \\<br />
&= \left[ 1263.12; 1616.88 \right]<br />
\end{align}<br />
</math><br />
<br />
<math><br />
\begin{align}<br />
1616,88 &= 1440+t_{15;1-\alpha/2}\cdot 60;\quad t_{15;1-\alpha/2} \\<br />
&=2,948;\quad 1-\alpha/2=0,995<br />
\end{align}<br />
</math> <br />
<br />
(aus t-Verteilung);<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99</math><br /><br />
<br />
===Erwartungstreue===<br />
<br />
* <math>X_1, X_2, X_3</math> einfache Zufallsstichprobe<br />
* <math>X_{i} \sim(\mu;\sigma^2)</math><br />
* <math>X_{i}</math> unabhängig<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{2}) &= E \left(\frac14(2X_1 + 2X_2)\right)=\\<br />
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\<br />
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\<br />
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{align}</math></p></li><br />
<li><p><math>\begin{align}<br />
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{2}) &= Var \left(\frac14(2X_1 + 2X_3)\right)\\<br />
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\<br />
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\<br />
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{align}</math></p><br />
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul><br />
<br />
* alle drei, führen Sie den Beweis !<br />
* <math>Var(\widehat{\theta}_{1}) = \sigma^{2}/3<br />
< Var(\widehat{\theta}_{2}) = \sigma^{2}/2<br />
< Var(\widehat{\theta}_{3}) = 5\sigma^{2}/9<br />
\Rightarrow \widehat{\theta}_{1}</math><br />
<br />
===Fahrradschläuche===<br />
<br />
<math>X</math>: “Durchmesser eines Fahrradschlauches”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Mittlerer Durchmesser eines Fahrradschlauches bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 25</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
<br />
* <math>P( \overline{X}-c \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 24</math>: <math>c = 1,711</math><br />
* <math>[39,9734;42,0266]</math><br />
* <math>n \geq 293</math><br />
<br />
===Faktenmagazin===<br />
<br />
Konfidenzintervall für den Erwartungswert <math>\mu</math>:<math>\ \left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;f}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]</math><math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[74000-2,797\cdot10000/5;74000+2,797\cdot10000/5]=[68406;79594]</math><br />
<br />
===Finanzamt===<br />
<br />
* <math>L(\lambda) = \lambda^{3}\cdot e-^{9\lambda} </math><br />
* <math>\widehat\lambda = 1/3</math> <math>\Rightarrow</math> Frau Hurtig<br />
<br />
===Fluggesellschaft===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,995;\quad z_{0,995}=2,58</math><br /><br />
<math>0,9\pm2,58\sqrt{\displaystyle\frac{0,9\cdot0,1}{200}}</math><br /><br />
<math>[84,5\%;95,5\%]</math><br /><br />
===Gasverbrauch===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\bar{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>n=36</math>; <math>\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_f \approx N(0;1)</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[5-1,96\cdot2/6;5+1,96\cdot2/6]=[5-0,6533;5+0,6533]=[4,3467;5,5633]</math><br />
<br />
===Glücksspiel===<br />
<br />
<math>X:</math> Ertrag , ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Ertrag bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=50</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\quad\overline{x}=-0,58,\quad s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=0,82</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq \mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[-0,58-1,96\cdot\sqrt{0,0164};-0,58+1,96\cdot\sqrt{0,0164}]\approx[-0,831;-0,329]</math><br /><br />
===Handybesitzer===<br />
<br />
Da keine Information über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe oder anderweitig gegeben ist, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95;\quad z_{0,975}=1,96\quad \ell=0,06</math><br /><br />
<math>n=z^2_{1-\alpha/2}/\ell^2=1,96^2/0,06^2=3,8416/0,0036=1067,11\rightarrow n=1068</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 2===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\mu=25, \sigma</math> unbekannt, <math>s^2=80</math>, <math>n=20, f=19, 1-\alpha=0,95, t_{1-0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>;<br /><br />
<math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math>;<br /><br />
<math>\left[25-2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}};25+2,093\cdot\sqrt{\displaystyle\frac{80}{20}}\right]=[25-4,186;25+4,186]=[20,814;29,186]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung 3===<br />
<br />
<math>X:</math> Jährliche Fahrleistung , <math>X</math> ist normalverteilt<br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>,<math>\sigma</math> unbekannt, <math>s^2=90,25</math>, <math>n=100</math>, <math>\overline{X}</math> ist approximativ normalverteilt (<math>n \geq 30</math>)<br /><br />
Konfidenzniveau <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
Schätzintervall:<math>\left[25\pm1,96\cdot\sqrt{\frac{90,25}{100}}\right]=[25\pm1,96\cdot0,95]=[25\pm1,862]=[23,138;26,862]</math><br /><br />
===Jährliche Fahrleistung===<br />
<br />
* <math>\left[\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math>, so dass<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle S}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br />
* <math>\left[\overline{x}-t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}};\overline{x}+t_{1-\alpha/2;n-1}\cdot\frac{\displaystyle s}{\displaystyle\sqrt{n}}\right]</math><br /><br />
<math>\overline{x}=25</math>; <math>s^2=80</math>; <math>n=20</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>t_{0,975;19}=2,093</math><br /><br />
<math>\left[25-2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}};25+2,093\displaystyle\sqrt{\frac{\displaystyle80}{\displaystyle20}}\right]</math><br /><br />
<math>=[25-4,186;25+4,186]</math><br /><br />
<math>=[20,814\mbox{ (}1000\mbox{ km)};29,186\mbox{ (}1000\mbox{ km)}]</math><br />
<br />
===Kaltwasserverbrauch===<br />
<br />
X: Kaltwasserverbrauch pro Spülgang; <math>X\sim N(\mu;\sigma)=N(\mu;2)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Kaltwasserverbrauch in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;2/\sqrt{n})</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,95</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math>;<br /><br />
<math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>e=z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}</math>; <math>e=0,5=1,96\cdot2/\sqrt{n}</math>; <math>n=2^2\cdot1,96^2/0,5^2=15,3664/0,25=61,4656</math>; <math>n\geq62</math><br />
<br />
===Kilometerleistung===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>n=49</math>, <math>\bar{x}=50</math> km, <math>\sigma=7</math> km bekannt</p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>\begin{aligned}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,975 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,96\end{aligned}</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[50-1,96\frac{7}{\sqrt{49}}; 50+1,96\frac{7}{\sqrt{49}}\right]= \left[48,04; 51,96\right]</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit, Breite fix, <math>n</math> variabel <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[v_u; v_o\right]</math> Breite: <math>\begin{aligned}<br />
v_o-v_u &=& \left(50+1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)- \left(50-1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)\\<br />
2\text{ km }&=& \frac{2\cdot1,96\cdot7\text{ km}}{\sqrt{n}}\\<br />
\sqrt{n}&=& 13,72 \Rightarrow n=188,23 \text{ also } n\geq189\\\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
</li><br />
<li><p><math>Y:</math> “Anzahl der ADAC Mitglieder” <math>\sim B(200;\pi)</math></p><br />
<p>Approximationsbedingung: <math>\hat{\pi}=\frac{40}{200}=0,2 \Rightarrow n\pi(1-\pi)\approx 200\cdot0,2\cdot0,8=32>9</math></p><br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
Y&\approx& N\left(\mu=n\pi;\sigma=\sqrt{n\pi(1-\pi)}\right)\\<br />
\hat{\pi}=\frac{Y}{n}&\approx& N\left(\mu=\pi;\sigma=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right)\end{aligned}</math></p><br />
<p>'''Konfidenzintervall''' <math>P\left(\frac{Y}{n}-c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}} \leq \pi \leq \frac{Y}{n}+c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}\right)=1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p><br />
<p>'''Schätzintervall''' <math>\begin{aligned}<br />
1-\alpha=99\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=99,5\% \\<br />
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,995 \\<br />
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 2,58\end{aligned}</math> <math>\begin{aligned}<br />
&\left[0,2-2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}; 0,2+2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}\right]\\<br />
&= [0,12703; 0,27297]\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p><math>X_i\sim N(\mu; \sigma) \Longrightarrow \bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu; \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n})</math> <math>\begin{aligned}<br />
n&=&5\\<br />
\bar{x}&=& \frac{0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}=0,2\\<br />
s^2 %&=& \frac{(0,18-0,2)^2+(0,25-0,2)^2+(0,12-0,2)^2+(0,20-0,2)^2+(0,25-0,2)^2}{4}\\<br />
&=& \frac{0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}=0,00295\\\end{aligned}</math></p><br />
<ul><br />
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>t_{n-1}</math>, da <math>\sigma</math> unbekannt <math>\Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha/2}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzintervall <math>\begin{aligned}<br />
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\<br />
&\Rightarrow t_{n-1;1-\alpha/2} = 2,776\end{aligned}</math> <math>\left[0,2-2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}; 0,2+2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}\right] = [0,1326; 0,2674]</math></p></li></ul><br />
</li></ul><br />
<br />
* <math>X_{i}</math>: “Fahrleistung eines PKW’s”; <math>i = 1,...,49</math>; <math>X_{i}</math> beliebig verteilt mit <math>E(X_{i} = \mu</math>, <math>Var(X_{i}) = \sigma^{2}</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Fahrleistung eines PKW’s bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 49</math>”;<br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math> – Zentraler Grenzwertsatz, <math>n > 30</math><br />
** <math>P\left( \overline{X}-c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}} \leq<br />
\mu \leq \overline{X}+c \cdot \frac{\sigma}{ \sqrt{n}}\right)=1-<br />
\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 1,96</math><br />
** <math>[48,04;51,96] </math><br />
** <math>n \geq 189</math><br />
* <math>Y</math>: “Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallsstichprobe <math>n=200</math>” <math>Y \sim B(200;\pi)</math>; wegen Erfüllung der Approximationsbedingungen folgt: <math>Y</math> ist approximativ<br /><br />
<math>N(n\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)})</math> und <math>Y/n</math> ist approximativ <math>N(\pi;\sqrt{n\pi(1-\pi)}/n)</math> verteilt <math>P \left (\frac{Y}{n}-c \cdot<br />
\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\leq\pi\leq<br />
\frac{Y}{n}+c \cdot \sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}<br />
\right )=1- \alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>; <math>c = 2,58</math>; <math>[0,127;0,273]</math><br />
* <math>X</math>: “Füllmenge eines Bechers”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math> <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliche Füllmenge eines Bechers bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 5</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br />
** <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 4</math>; <math>c = 2,776</math><br />
** <math>[0,1326;0,2674]</math><br />
<br />
===Konfidenzniveau 2===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=2,1</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(2,1+5,9)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot10/10=2,1</math>; <math>f=99</math>; <math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=1,9</math>; <math>1-\alpha/2=0,971283</math>; <math>\alpha/2=0,028717</math>; <math>\alpha=0,057434</math>; <math>1-\alpha=0,942566</math><br /><br />
===Konfidenzniveau===<br />
<br />
<math>\overline{x}-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}=1,6</math>; <math>s=10</math>; <math>\overline{x}=(6,4+1,6)/2=4</math>; <math>4-t_{1-\alpha/2;f}\cdot 10/10=1,6</math>; <math>f=99</math>;<br /><br />
<math>t_{1-\alpha/2;f}=z_{1-\alpha/2}=2,4</math>; <math>1-\alpha/2=0,991802</math>; <math>\alpha/2=0,008198</math>; <math>\alpha=0,016396</math>;<br /><br />
<math>1-\alpha=0,983604</math><br /><br />
===Konzentration des Stoffes E===<br />
<br />
X: Konzentration von E im Wasser; <math>X\sim N(\mu;\sigma)</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>:Mittlere Konzentration von E im Wasser bei Zufallsstichprobe <math>n=9</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math><br /><br />
<math>\sigma</math> unbekannt, mittels <math>S^2=\sum(X_i-\overline{X})^2/(n-1)</math> schätzen<br /><br />
<math>T=(\overline{X}-\mu)\sqrt{n}/S</math> ist t-verteilt mit <math>f=n-1</math> Freiheitsgraden<br /><br />
<math><br />
\begin{align}<br />
P[\overline{X}-t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+t_{f;1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}] &=1-\alpha=0,9 \\<br />
\overline{x}&=90/9=10<br />
\end{align}<br />
</math>; <math>s^2=(0+4+0+4+81+25+1+9+4)/8=128/8=16</math>; <math>s=4</math>; <math>t_{8;0,95}=1,86</math><br /><br />
<math>[10-1,86\cdot4/3;10+1,86\cdot4/3]=[7,520;12,480]</math><br /><br />
<br />
===Kugelschreiber===<br />
<br />
Gewicht der Schreibminen: <math>M\sim N(\mu_M;\sigma_M)=N(\mu_M;0,4)</math>; Gewicht der Metallfedern: <math>F\sim N(\mu_F;\sigma_F)=N(\mu_F;0,2)</math>; Gewicht der Kunststoffhüllen: <math>H\sim N(\mu_H;\sigma_H)=N(\mu_H;0,4)</math><br /><br />
Gesamtgewicht eines Kugelschreibers: <math>X=M+F+H</math>; <math>X\sim N(\mu_X;\sigma_X)=N(\mu_X;0,6)</math><br /><br />
<math>\sigma_X^2=\sigma_M^2+\sigma_F^2+\sigma_H^2=0,4^2+0,2^2+0,4^2=0,36</math> (wegen Unabhängigkeit von M, F und H)<br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittsgewicht eines Kugelschreibers in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=25</math>; <math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})=N(\mu;0,12)</math>; <math>\sigma/\sqrt{n}=0,6/5=0,12</math><br /><br />
Konfidenzniveau: <math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math>; <math>z_{1-\alpha/2}</math> aus <math>N(0;1)</math><br /><br />
<math>z_{0,9032}=1,3</math>; <math>\overline{x}=375/25=15</math><br /><br />
Schätzintervall:<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>[15-1,3\cdot0,12; 15+1,3\cdot0,12]=[14,844; 15,156]</math><br /><br />
===Lampen===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>X</math>: “Anzahl der defekten Lampen in der Stichprobe”<br /><br />
<math>X \sim B(n;\pi)</math> mit <math>\pi<br />
= d/N</math><br /><br />
“Intuitive” Schätzfunktion: <math>\widehat{\theta} = N/n \cdot X = 50X</math><br /><br />
<math>E(\widehat{\theta}) = N/n\cdot E(X) = N/n\cdot n\cdot d/N=d</math></p></li><br />
<li><p><math>\vartheta = 150</math></p></li><br />
<li><p>Die einfache Zufallsstichprobe wird durch ein Ziehen mit Zurücklegen realisiert, d.h. mit geringer Wahrscheinlichkeit wird die gleiche Lampe zweimal gezogen. Sinnvoller wäre hier ein Ziehen ohne Zurücklegen, d.h. eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.</p><br />
<p>An dem Ergebnis in a) ändert sich nichts, da <math>X\sim Hyp(N,d,n)\approx B(n, \pi=d/n)</math> ist (<math>n/N=0,002<0,05</math>).</p></li></ul><br />
<br />
===Langlebensdauergarantie===<br />
<br />
<math>X:</math> Brenndauer, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Brenndauer bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=1300</math>, <math>s=100</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,99}=2,33</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,98</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\approx[1300-2,33\cdot100/\sqrt{100};1300+2,33\cdot100/\sqrt{100}]\approx[1276,7;1323,3]</math><br /><br />
===Likelihood-Funktion===<br />
<br />
<ul><br />
<li><p>Likelihood-Funktion: <math>\begin{aligned}<br />
L(\lambda;x_1,x_2,x_3,x_4)&=&f(x_1|\lambda)\cdot f(x_2|\lambda)\cdot f(x_3|\lambda)\cdot f(x_4|\lambda)\\<br />
&=&\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^6}{6!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{15}}{2!4!6!3!}e^{-4\lambda}\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>ML-Schätzwert für <math>\lambda</math>:<br /><br />
<br /><br />
</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
| Poisson-Verteilung:<br />
| Log-Likelihood-Funktion:<br />
|-<br />
|<br />
<br />
|<br />
<br />
|-<br />
| <math>\displaystyle f_{PO}(x;\lambda)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}</math><br />
| <math>\displaystyle \ln L(\lambda)=15\ln\lambda-\ln(2!4!6!3!)-4\lambda</math><br />
|}<br />
<br />
<p><br /><br />
<br /><br />
<math>\displaystyle\frac{\delta\ln L(\lambda)}{\delta\lambda}=\frac{15}{\hat{\lambda}}-4=0</math><br /><br />
<math>\displaystyle\hat{\lambda}=\frac{15}{4}=3,75</math><br /><br />
</p></li></ul><br />
<br />
===Love–Parade===<br />
<br />
<math>X:</math> Ausgaben,<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittliche Ausgaben bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=350</math>, <math>s=24</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]=[350-1,96\cdot24/\sqrt{n};350+1,96\cdot24/\sqrt{n}] = [345,296;354,704]</math><br />
<br />
===Mietverein 2===<br />
<br />
* <math>X</math>: Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung<br /><br />
<math>X</math> ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Mietpreis einer 80m<math>^2</math>–Altbauwohnung bei einer Zufallsstichprobe von <math>n=36</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;\sigma/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\sigma^2</math> ist unbekannt und wird mittels der Stichprobenfunktion <math>S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math> geschätzt.<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\overline{X}-c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X}+c\cdot\displaystyle\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math>; <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math><br />
* <math>1-\alpha=0,98\rightarrow c=2,33</math>; <math>\overline{x}=950</math>; <math>s=180</math><br /><br />
<math>[950-2,33\cdot180/6;950+2,33\cdot180/6]=[950-69,9;950+69,9]=[880,1;1019,9]</math><br />
<br />
===Mietverein===<br />
<br />
<math>X\sim N(\mu;\sigma=180\mbox{ EUR})</math>; <math>\ell=120</math>; <math>1-\alpha=0,95</math>; <math>1-\alpha/2=0,975</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>n\geq(4\sigma^2z_{1-\alpha/2}^2)\ell^2</math><br /><br />
<math>n\geq(4\cdot180^2\cdot1,96^2)/120^2=(4\cdot32400\cdot3,8416)/14400=497871,36/14400=34,5744</math><br /><br />
<math>n\geq35</math><br /><br />
===Milchfettgehalt===<br />
<br />
X:Milchfettgehalt, <math>\mu=3,7352</math>, <math>\sigma^2=0,0081</math>, <math>X\sim N(3,7352;0,09)</math> <br />
<br />
<math><br />
P(X>x)=P\left(\frac{X-3,7352}{0,09} > \frac{x-3,7352}{0,09} \right)=P(Z>z)=0,61</math> Aus der vorliegenden Tabelle der Standardnormalverteilung findet man für <math>P(Z\leq z)=0,61</math> den Wert <math>z=0,28</math>, so dass der gesuchte Wert <math>z=-0,28</math> ist.<br /><br />
<math>(x-3,7352)/0,09=-0,28;\quad\textbf{x=3,71}</math><br /><br />
<br />
===Mittelwert und Varianz===<br />
<br />
<math>\overline{x} = 3</math> als Schätzwert für <math>\mu</math>; <math>s^{2} = 2,22</math> als Schätzwert für <math>\sigma^{2}</math><br /><br />
===Notwendiger Stichprobenumfang===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}(1-\hat{\pi)}</math> maximal wird. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,99;\quad z_{0,995}=2,58;\quad \ell=0,05;</math><br /><br />
<math>\quad n\geq z_{1-\alpha/2}^2/\ell^2=2,58^2/0,05^2=2662,56\rightarrow n\geq 2663</math><br />
<br />
===PKWs in Berlin===<br />
<br />
Da keine Informationen über <math>\pi</math> in Form einer Vorstichprobe gegeben sind, wird der ungünstigste Fall angenommen und <math>\hat{\pi}</math> so gewählt, dass die Varianz <math>\sigma^2_{\hat{\pi}}=\hat{\pi}\cdot(1-\hat{\pi})</math> maximal ist. Dieser ungünstigste Fall tritt bei <math>\hat{\pi}=0,5</math> ein.<br /><br />
<math>1-\alpha=0,95</math>; <math>z_{0,975}=1,96</math>; <math>I=0,06</math>; <math>n=z_{1-\alpha/2}^2/I^2=1,96^2/0,06^2=1067,11</math>;<math>\rightarrow n\geq1068</math>.<br /><br />
===Schwankungsintervall===<br />
<br />
Zentrales Schwankungsintervall:<br /><br />
<br /><br />
<math> \left[ \mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}};\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}} \right] </math><br /><br />
<br /><br />
Sicherheitswahrscheinlichkeit:<br /><br />
<br /><br />
<math>P\left(\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}<\overline{X}<\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}\right)=1-\alpha</math><br /><br />
<br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,975;\;c=1,96</math><br /><br />
<math>\mu-c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354-1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\displaystyle\sqrt{81}}=354-1,96\cdot2,5=354-4,9=349,1</math><br /><br />
<math>\mu+c\cdot\frac{\displaystyle\sigma}{\displaystyle\sqrt{n}}=354+1,96\cdot\frac{\displaystyle22,5}{\sqrt{\displaystyle81}}=354+1,96\cdot2,5=354+4,9=358,9</math><br /><br />
===Schweinemäster===<br />
<br />
<math>X</math>: “Gewicht eines Schweins”; <math>X \sim N(\mu;\sigma)</math><br />
<br />
<math>\overline{X}</math>: “Durchschnittliches Gewicht eines Schweins bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n = 6</math>”; <math>\overline{X} \sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n}) </math><br />
<br />
* <math>\overline{X} = 100</math>; <math>s^{2} = 6</math><br />
* <math>P(\overline{X}-c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}} \leq \mu<br />
\leq \overline{X}+c \cdot \frac{S}{ \sqrt{n}})=1- \alpha</math> <math>c</math> aus t–Verteilung mit <math>f = 5</math>: <math>c = 2,571</math><br />
* <math>[97,429;102,571]</math><br />
* Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung “unendlich oft” durchgeführt, so kann man mit (durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen; d.h. Schätzintervallen, in denen der unbekannte Wert enthalten ist.<br />
* durch die Wahl von <math>n</math> bzw. <math>\alpha</math><br />
* Intervall wird kleiner: statt <math>c = 2,571</math> aus t–Verteilung ist <math>c=1,96</math> aus <math>N(0;1)</math> zu verwenden.<br />
<br />
===Spielautomat===<br />
<br />
* Beim 1. Spiel Verlust von 1 EUR; beim 2. Spiel Gewinn von 1 EUR; ...<br />
* <math>P(X=0) = p</math>; <math>P(X=-1) = p</math>; P<math>(X= 1) = 1 - 2p</math><br />
* <math>f(X=0) = 1/6</math>; <math>f(X=-1) = 2/6</math>; <math>f(X= 1) = 3/6</math><br />
* <math>L(x_{1},..., x_{6}|p) = p^{3}\cdot(1 - 2p)^{3}</math><br />
* <math>v</math> - Anzahl der verlorenen Spiele;<br /><br />
<math>u</math> - Anzahl der unentschiedenen Spiele;<br /><br />
<math>g</math> - Anzahl der gewonnenen Spiele;<br /><br />
<math>n = v + u + g</math> <math>\widehat{p}= (v + u)/2n</math><br />
* <math>\widehat{p}= 1/4</math><br />
* <math>\widehat{p}= 5/18</math><br />
<br />
===Sportliche Betätigung===<br />
<br />
<math>1-\alpha/2=0,99506\quad z_{0,99506}=2,58\quad\hat{\pi}=180/200=0,9</math><br /><br />
Da <math>n</math> sehr groß, Schätzfunktion <math>\hat{\pi}=X/n</math> approx. normalverteilt.<math>\left[\hat{\pi}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{\pi}(1-\hat{\pi})}{n}}\right]</math><br /><br />
<math>=0,9\pm2,58\sqrt{\frac{0,9\cdot0,1}{200}}=0,9\pm2,58\cdot0,0212132=0,9\pm0,05473</math><math>[0,845;0,955]</math><br />
<br />
===Startprobleme===<br />
<br />
* <math>L(p) = (1 - p)^{8}\cdot p^{2}</math><br />
* <math>\widehat{p} = 0,2</math><br />
<br />
===Stichprobenmittelwert===<br />
<br />
<math>P(\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}\leq\overline{X}\leq\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n})=1-\alpha</math>; <math>[\mu-t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n};\mu+t_{1-\alpha/2;f}\cdot s/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>\mu=5</math>; <math>s=2</math>; <math>n=25</math>; <math>f=24</math>; <math>1-\alpha=0,99</math>; <math>1-\alpha/2=0,995</math>; <math>t_{0,995;24}=2,797</math><br /><br />
<math>[5-2,797\cdot2/5;5+2,797\cdot2/5]=5-1,1188;5+1,1188]=[3,8812;6,1188]</math><br /><br />
===Studienmotivation===<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i = x)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<ul><br />
<li><p><math>\begin{aligned}<br />
E(X_{i}) &=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 2 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&E \left(\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} (2X_i - X_i^2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2E(X_i) - E(X_i^2) \right)\end{aligned}</math></p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>x^2</math><br />
!align="right"| <math>0</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>\sum</math><br />
|-<br />
| <math>P(X_i^2 = x^2)</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{1}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{2}</math><br />
|align="right"| <math>\pi_{0}+\pi_{1}+\pi_{2}=1</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
\displaystyle E(X_{i}^2)&=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}\\<br />
E(\widehat{\pi}_{1})&=&\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2(\pi_1 + 2\pi_2) - (\pi_1 + 4\pi_2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \pi_1 = \pi_1\\<br />
E(\widehat{\pi}_{2}) &=& E \left(\frac1{20} \sum_{i=1}^{10}(X_i^2 - X_i)\right)= \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left (E(X_i^2) - E(X_i) \right)\\<br />
&=& \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left((\pi_1 + 4\pi_2) - (\pi_1 + 2\pi_2) \right) =\frac1{20} \sum_{i=1}^{10} 2\pi_2=\pi_2\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>Schätzfunktion: <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math></p><br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
E(\widehat{\pi}_{0}) &=& E(1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - E(\widehat{\pi}_{1}) - E(\widehat{\pi}_{2})\\<br />
&=& 1 - \pi_{1} - \pi_{2} = \pi_{0}\end{aligned}</math></p></li><br />
<li><p>Stichprobe:</p><br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
! <math>i</math><br />
!align="right"| <math>1</math><br />
!align="right"| <math>2</math><br />
!align="right"| <math>3</math><br />
!align="right"| <math>4</math><br />
!align="right"| <math>5</math><br />
!align="right"| <math>6</math><br />
!align="right"| <math>7</math><br />
!align="right"| <math>8</math><br />
!align="right"| <math>9</math><br />
!align="right"| <math>10</math><br />
|-<br />
| <math>x_i</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!align="right"| <math>x_i</math><br />
!align="right"| <math>2x_i-x_i^2</math><br />
!align="right"| <math>x_i^2-x_i</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>0 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>1 </math><br />
|align="right"| <math>1</math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|-<br />
|align="right"| <math>2 </math><br />
|align="right"| <math>0</math><br />
|align="right"| <math>2</math><br />
|}<br />
<br />
<p><math>\begin{aligned}<br />
\widehat{\pi}_{1} &=& \frac1{10}\sum_{i=1}^{10} (2x_i-x_i^2) = \frac{0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}=0,2\\<br />
\widehat{\pi}_{2} &=& \frac1{20}\sum_{i=1}^{10} (x_i^2-x_i) = \frac{0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}=0,4\\<br />
\widehat{\pi}_{0} &=& 1-0,2-0,4=0,4\\\end{aligned}</math></p></li></ul><br />
<br />
* ja, führen Sie den Beweis!<br />
* <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math>; <math>E(\widehat{\pi}_{0}) = 1 - \pi_{1} - \pi_{2}</math>; <math> \widehat{\pi}_{0}=\frac{1}{10} \sum\limits _{i=1} ^{10}(1-\frac32 X_i<br />
+\frac12 X _{i} ^{2})</math><br />
* <math>p_{1} = 0,2</math>; <math>p_{2} = 0,4</math>; <math>p_{0} = 0,4</math><br />
<br />
===Trinkwasserverbrauch===<br />
<br />
<math>X:</math> Wasserverbrauch, ist beliebig verteilt mit <math>E(X)=\mu</math> und <math>Var(X)=\sigma^2</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math>: Durchschnittlicher Wasserverbrauch bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=100</math><br /><br />
<math>\overline{X}</math> ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; <math>n>30</math>) <math>N(\mu;s/\sqrt{n})</math>–verteilt.<br /><br />
<math>\overline{x}=12</math>, <math>s^2=\sum(x_i-\overline{x})^2/(n-1)=5</math>, <math>z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}=1,96</math><br /><br />
<math>P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot S/\sqrt{n})\approx1-\alpha=0,95</math>;<br /><br />
<math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}]\approx[12-1,96\cdot5/\sqrt{100};12+1,96\cdot5/\sqrt{100}]\approx[11,02;12,98]</math><br /><br />
===Unfallhäufigkeit===<br />
<br />
* <math>L_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 0,00196</math>; <math>L_{Pol.}(0,2,0,2,1)= 0,001</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Versicherungsgesellschaft<br />
* <math>Q_{Vers.}(0,2,0,2,1) = 5,25</math>; <math>Q_{Pol.}(0,2,0,2,1) = 4,8</math><br /><br />
<math>\Rightarrow</math> Polizei<br />
<br />
===Weizenhektarerträge===<br />
<br />
Grundgesamtheit sind alle Hektarflächen in Deutschland, auf denen 1996 Weizen angebaut wurde; <math>X</math>: “Hektarertrag für Weizen”; Verteilung von X unbekannt; <math>\sigma^2=324</math> [dt/ha]<math>^2</math>. <math>\overline{X}</math>: “Durchschnittlicher Hektarertrag für Weizen in Deutschland bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang <math>n=144</math>”<br /><br />
Verteilung von <math>\overline{X}</math> unbekannt. Da aber der Stichprobenumfang <math>n>30</math> ist, kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes approximativ die Normalverteilung verwendet werden:<br /><br />
<math>\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n});\quad P(\overline{X}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}\leq\mu\leq\overline{X}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n})=0,8064</math><br /><br />
Schätzintervall: <math>[\overline{x}-z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n};\overline{x}+z_{1-\alpha/2}\cdot\sigma/\sqrt{n}]</math><br /><br />
<math>1-\alpha/2=0,9032;\quad z_{0,9032}=1,3</math> aus <math>N(0;1);\quad n=144;\quad \sigma=18</math><br /><br />
Stichprobenmittelwert für Deutschland:<br /><br />
<math>\overline{x}=(60,4\cdot48+68,8\cdot96)/144=(2899,2+6604,8)/144=66</math> dt/ha;<br /><br />
Schätzintervall: <math>[66-1,3\cdot18/12;66+1,3\cdot18/12]=[66-1,95;66+1,95]=[64,05;67,95]</math><br /></div>
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