Zufallsvariable/Video

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Zufallsvariable

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Bedingte Dichtefunktion • Bedingte Verteilungsfunktion • Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion • Dichtefunktion (eindimensional) • Dichtefunktion (zweidimensional) • Diskrete Zufallsvariable • Erwartungswert • Erwartungswert (diskret) • Erwartungswert (stetig) • Korrelationskoeffizient (stochastisch) • Kovarianz (stochastisch) • Marginaldichte • Marginale Verteilung (stochastisch) • Randdichte • Randverteilungsfunktion • Realisation • Standardabweichung (stochastisch) • Standardisierung • Stetige Zufallsvariable • Tschebyschev-Ungleichung • Unabhängigkeit (stochastisch) • Varianz (stochastisch) • Varianz (stochastisch, diskret) • Varianz (stochastisch, stetig) • Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional) • Verteilungsfunktion (stochastisch, zweidimensional) • Verteilungsfunktion der Randverteilung • Wahrscheinlichkeitsdichte (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsdichte (zweidimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (zweidimensional) • Verteilung (stochastisch) • Wahrscheinlichkeitsverteilung

Dichtefunktion

Gegeben sei die Funktion f(x)= {\left \{
      \begin{array}{ll}
        \frac{3}{8} (4-4x+x^{2}) &, \quad 0 \leq x \leq 2 \\
         0 &, \quad \mbox{sonst}
      \end{array}
      \right .}

  • Zeigen Sie, dass f(x) die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X sein kann.
  • Wie lautet die Verteilungsfunktion von X?
  • Bestimmen Sie den Erwartungswert E[X] und die Varianz Var(X).

Es sei f eine durch folgende Formel beschriebene Dichtefunktion der Zufallsvariablen X gegeben. Fehler beim Parsen (Lexikalischer Fehler): f(x)=\begin{cases} 0 & \text{f\"ur} -\infty<x<0\\ 2e^{-2x}& \text{f\"ur} \qquad 0\leq x<\infty \end{cases}

Bestimmen Sie den Erwartungswert von (X-0,5)^2.


Diskrete Zufallsvariable

Eine diskrete Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)={\left \{
   \begin{array}{ll}
      (x ^{2}+4)/50 & \quad \mbox{für} \quad x=0,1,2,3,4 \\
      0 & \quad \mbox{sonst}
   \end{array}
   \right. }
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

  • a) P[\{X = 2\}]
  • b) P[\{X < 2\}]
  • c) P[\{X \leq 2\}]
  • d) P[\{X > 3\}]
  • e) P[\{X < 5\}]