Zeitreihen/Lösungen

Abschreibung

Zeitpunkt $t$ (Beginn des Jahres) $t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow$ Zeiträume: 7
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:$x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}$$\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166$mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132
zur Kontrolle:

		Abschreibung (EUR)
$t$		im Jahre $t-1$
0
1	$50000,00$	$\cdot0,2132=$	$10660,00$	39340,00
2	$10660,00$	$\cdot0,2132=$	$2272,71$	8387,29
3	$2272,71$	$\cdot0,2132=$	$484,54$	1788,17
4	$484,54$	$\cdot0,2132=$	$103,30$	381,24
5	$103,30$	$\cdot0,2132=$	$22,02$	81,28
6	$22,02$	$\cdot0,2132=$	$4,70$	17,32
7	$4,70$	$\cdot0,2132=$	$1,00$	3,70

Anzahl der Beschäftigten

• nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; $t = 0$ $\widehat{=}$ 1987; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1988
• Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.

Arbeitslosenquoten

Zeitpunkte $t=0,\ldots,T=3$ $\sum_{t=0}^3t=6; \sum_{t=0}^4x_t=45,2; \sum_{t=0}^4tx_t=71,5; \sum_{t=0}^4t^2=14$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\ &=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\ \hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\ \end{aligned}

Bauhauptgewerbe

Jahresumsätze:
$x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700$
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:$i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391$

Benutzer des Dial-In-Service

$t=0,\ldots,T=3$
$\sum_{t=0}^3t=6; \sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734; \sum_{t=0}^4t^2=14$
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\ \hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\ \end{aligned}

Bruttosozialprodukt von Deutschland

• $\widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 1980; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1981
• $\widehat{x}_{89}$ = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands

Eheschließungen

$t=0,\ldots,T=4$
$\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\ \hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{aligned}

Eheschließungen und Ehescheidungen

Datei:Eheschliessungen und scheidungen.xlsx

• Eheschließungen:
  

$\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t$ mit $t = -1$ $\widehat{=}$ 1983; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1984
$\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t$ mit $t = -1$ $\widehat{=}$ 1965; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1970
Ehescheidungen:
$\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t$ mit $t = -1$ $\widehat{=}$ 1983; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1984
$\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t$ mit $t = -1$ $\widehat{=}$ 1965; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1970

• Eheschließungen: $s$ = 4,17, $v$ = 0,01135; $s$ = 26,89, $v$ = 0,06
  

Ehescheidungen: $s$ = 6, $v$ = 0,05; $s$ = 17,98, $v$ = 0,221

• Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284
  

Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075

Gecrashte Festplatte

Zu bestimmen ist $\hat{y}_{43}^{ZRM}$ anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:
$b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}$,$a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}$

$R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}$

$\hat{y}_{43}=a+b\cdot43$, bzw. $\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3$, bzw. $\hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3$

$a$	$-2,738462$
$b$	0,530769
	keine	additiv	multiplikativ
$R^2$	0,80	0,81	0,48
$\hat{y}^{ZRM}_{43}$

Haushalte eines Landes

$a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9$
$b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9$

Hausschlachtungen von Schweinen

Datei:Hausschlachtung von schweinen.xlsx

$\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}$ = (9,5 - 0,15 $t$) + $\overline{s}_{j}$; $\overline{s}_{1}$ = 3,58; $\overline{s}_{2}$ = -3,27; $\overline{s}_{3}$ = -4,45; $\overline{s}_{4}$ = 4,03;
mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 4.Quartal 1989; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1.Quartal 1990

Haushalte eines Landes 2

$x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5$
$i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094$

Indizes der Aktienkurse

• -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -
  

-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -

• $\widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 0.Monat; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1.Monat

Maschinenzeitfondsauslastungen

• $\widehat{x}_{t}$ = 68,1111 + 2,967$t$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 0.Monat; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1.Monat
  

$\widehat{x}_{t}$ = 68,766$\cdot$1,03722$^{t}$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 0.Monat; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1.Monat

• $R^2$(lin. Trend) = 0,9377;
  

$R^2$(exp. Trend) = 0,9214

• 103,715 % (!, Interpretation)

Mikroprozessoren

Datei:Mikroprozessoren.xlsx

• Zeitreihe
• $i_{G}$ = 1,19
• exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;
  

$\widehat{x}_{t}$ = 92396,57$\cdot$1,1867$^{t}$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 1985; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1986

• Basis $i_{G}$: $\widehat{x}_{92}$ = 311 542 Stück;
  

Basis exp. Trend: $\widehat{x}_{92}$ = 306216,26 Stück

Quartalsproduktion

Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;
Jahresproduktion: 10 000 000

Quartalsproduktion 2

Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;
Jahresproduktion: 13 744 066,875

Souvenirhändler

• –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)
• $\widehat{x}_{t}$ = 50$\cdot$2$^{t}$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ Februar 1992; $t = +1$ $\widehat{=}$ März 1992
• $\widehat{x}_{Januar}$ = 25; $\widehat{x}_{Juli}$ = 1600

Speiseeis

• $\widehat{x}_{t}$ = 138,44 + 9,67 $t$ mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 1.1.1989; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1.7.1989
• $\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}$ = (140 + 10 $t$)$\overline{s}_{j}$; $\overline{s}_{1}$ = 0,9; $\overline{s}_{2}$ = 1,1 mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 1.1.1989; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1.7.1989
• $\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}$ = (60 + 20 $t$)$\overline{s}_{j}$; $\overline{s}_{1}$ = 0,9; $\overline{s}_{2}$ = 1,1 mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 1.1.1985; $t = 1$ $\widehat{=}$ 1.1.1986
• 209 kg

Telefonkosten

$\hat{x}_t=a+bt$; Zeitcodierung: $t=0$ 1990; $t=1$ 1991;…$t=5$ 1995
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\ & = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\ & = & 1545/50\\ & = & 30,9\end{aligned}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\ & = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\ & = & 195/50\\ & = & 3,9\end{aligned}

$\hat{x}_t=30,9+3,9t$

Telefonkosten 2

Begründung für Funktionsform:
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:
$\hat{x_t}=a+bt$
Berechnungen:
Gegeben: $T=10$; $\sum x_t=28$; $b=0,125$
Entweder:
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade $\rightarrow$ Zeitcodierung:

$t=0 \rightarrow$ 1980 $t=1 \rightarrow$ 1981 ... $t=10 \rightarrow$ 1991

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{aligned}
Trendfunktion:
$x_t=2,1125+0,125t$ mit $t=0 <math>\rightarrow$ 1980 =1980</math>, $t=1=1981$
Oder:
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: $b=0,125/2=0,0625$
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:
$t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990$
$a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}$
Trendfunktion:
$x_t=2,8+0,0625t$ mit $t=-1=1985;t=1=1986$

Transportleistung

• Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:
  

$\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}$, $\overline{s}_{1}$ = 1,637; $\overline{s}_{2}$ = -2,507; $\overline{s}_{3}$ = -1,65; $\overline{s}_{4}$ = 2,54;
mit $t = 0$ $\widehat{=}$ 4.Quartal 1989; $t = +1$ $\widehat{=}$ 1.Quartal 1990

• $s$ = 0,50
• 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10$^{3}$tkm

Trendfunktion

• 2740,047 Mio. Personen

Wachstum des Bruttoinlandsprodukts

Geometrisches Mittel:$i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%$

Warenausfuhr

• $i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}}$ = 1,0662
• $x_{92}$ = 84,391 Mrd. EUR
• $T =$4,65; also im Jahre 1995