Zeitreihen/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

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===Haushalte eines Landes 2===
 
 
<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br />
 
<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br />
 
 
===Haushalte eines Landes===
 
===Haushalte eines Landes===
  
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<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br />
 
<math>\widehat{x}_{t,j}^{ZRM}</math> = (9,5 - 0,15 <math>t</math>) + <math>\overline{s}_{j}</math>; <math>\overline{s}_{1}</math> = 3,58; <math>\overline{s}_{2}</math> = -3,27; <math>\overline{s}_{3}</math> = -4,45; <math>\overline{s}_{4}</math> = 4,03;<br />
 
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990
 
mit <math>t = 0 </math> <math>\widehat{=}</math> 4.Quartal 1989; <math>t = +1</math> <math>\widehat{=}</math> 1.Quartal 1990
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===Haushalte eines Landes 2===
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<math>x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5</math><br />
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<math>i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094</math><br />
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===Indizes der Aktienkurse===
 
===Indizes der Aktienkurse===

Version vom 14. April 2019, 13:54 Uhr

Abschreibung

Zeitpunkt t (Beginn des Jahres) t=0,1,2,3,4,5,6,7\rightarrow Zeiträume: 7
Anwendung des geometrischen Mittels, da nach mittleren relativen Veränderungen gefragt:x_5=1\mbox{ EUR}\qquad x_0=50000\mbox{ EUR}\overline{i}_G=\sqrt[7]{\frac{x_n}{x_0}}=\sqrt[7]{\frac{1}{50000}}=\sqrt[7]{0,00002}=0,213166mittlerer Abschreibungssatz: 0,2132
zur Kontrolle:

Abschreibung (EUR)
t im Jahre t-1
0
1 50000,00 \cdot0,2132= 10660,00 39340,00
2 10660,00 \cdot0,2132= 2272,71 8387,29
3 2272,71 \cdot0,2132= 484,54 1788,17
4 484,54 \cdot0,2132= 103,30 381,24
5 103,30 \cdot0,2132= 22,02 81,28
6 22,02 \cdot0,2132= 4,70 17,32
7 4,70 \cdot0,2132= 1,00 3,70

Anzahl der Beschäftigten

  • nein; Angabe des Nullpunktes fehlt; t = 0 \widehat{=} 1987; t = 1 \widehat{=} 1988
  • Durchschnittlich sinkt die Anzahl der Beschäftigten um 9 Beschäftige pro Jahr.

Arbeitslosenquoten

Zeitpunkte t=0,\ldots,T=3 \sum_{t=0}^3t=6; 
      \sum_{t=0}^4x_t=45,2;
      \sum_{t=0}^4tx_t=71,5;
      \sum_{t=0}^4t^2=14
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\ &=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\ \hat{x}_4&=&10,19+0,74\cdot4=13,15\\ \end{aligned}

Bauhauptgewerbe

Jahresumsätze:
x_{1991}=x_0=260,\quad x_{1992}=x_1=410,\quad x_{1993}=x_2=580,\quad x_{1994}=x_3=700
Anwendung des geometrischen Mittels in Form des mittleren Entwicklungstempos:i_G=\sqrt[n]{\frac{x_n}{x_0}};\quad i_G=\sqrt[3]{\frac{700}{260}}=1,391

Benutzer des Dial-In-Service

t=0,\ldots,T=3

 \sum_{t=0}^3t=6;
 \sum_{t=0}^4x_t=10097;\sum_{t=0}^4tx_t=17734;
 \sum_{t=0}^4t^2=14
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{4\cdot17734-10097\cdot6}{4\cdot14-6^2}=517,7\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=2524,25-517,7\cdot1,5=1747,7\\ \hat{x}_5&=&1747,7+517,7\cdot5=4336,2\approx4337\\ \end{aligned}

Bruttosozialprodukt von Deutschland

  • \widehat{x}_{t} = 1444,737 + 28,413 t mit t = 0 \widehat{=} 1980; t = +1 \widehat{=} 1981
  • \widehat{x}_{89} = 1700,454 Mrd. EUR; 1990 Vorhersage auf der Basis dieses Trends sehr fragwürdig wegen Vereinigung Deutschlands

Eheschließungen

t=0,\ldots,T=4
\sum_{t=0}^4t=10;\quad\sum_{t=0}^4x_t=40,7;\quad\sum_{t=0}^4tx_t=69,2;\quad\sum_{t=0}^4t^2=30 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}=\frac{5\cdot69,2-40,7\cdot10}{5\cdot30-10^2}=-1,22\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=8,14+1,22\cdot2=10,58\\ \hat{x}_5&=&10,58-1,22\cdot5=4,48\\\end{aligned}

Eheschließungen und Ehescheidungen

  • Eheschließungen:

\widehat{x}_{t} = 367,25 + 1,25 t mit t = -1 \widehat{=} 1983; t = +1 \widehat{=} 1984
\widehat{x}_{t} = 446,25 - 12,774 t mit t = -1 \widehat{=} 1965; t = +1 \widehat{=} 1970
Ehescheidungen:
\widehat{x}_{t} = 119,5 + 2,012 t mit t = -1 \widehat{=} 1983; t = +1 \widehat{=} 1984
\widehat{x}_{t} = 81,375 + 4,3 t mit t = -1 \widehat{=} 1965; t = +1 \widehat{=} 1970

  • Eheschließungen: s = 4,17, v = 0,01135; s = 26,89, v = 0,06

Ehescheidungen: s = 6, v = 0,05; s = 17,98, v = 0,221

  • Eheschließungen: Basis 1980-1987 383 500; Basis 1950-1985 331 284

Ehescheidungen: Basis 1980-1987 145 656; Basis 1950-1985 120 075

Gecrashte Festplatte

Zu bestimmen ist \hat{y}_{43}^{ZRM} anhand des geringsten Bestimmtheitsmaßes. Zu berechnen:
b=\displaystyle\frac{T\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2},a=\displaystyle\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}

R^2=1-\displaystyle\frac{\sum_i(y_i-\hat{y}^{ZRM}_i)^2}{\sum_i(y_i-\overline{y})^2}

\hat{y}_{43}=a+b\cdot43, bzw. \hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}+\overline{s}_3, bzw. \hat{y}^{ZRM}_{43}=\hat{y}_{43}\cdot \overline{s}_3

a -2,738462
b 0,530769
keine additiv multiplikativ
R^2 0,80 0,81 0,48
\hat{y}^{ZRM}_{43}

Haushalte eines Landes

a = (213\cdot 55 - 15\cdot 678)/(5\cdot 55 - 15^2) = 1545/50 = 30,9
b = (5\cdot678 - 213\cdot 15)/(5\cdot 55 - 15^2) = 195/50 = 3,9

Hausschlachtungen von Schweinen

\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (9,5 - 0,15 t) + \overline{s}_{j}; \overline{s}_{1} = 3,58; \overline{s}_{2} = -3,27; \overline{s}_{3} = -4,45; \overline{s}_{4} = 4,03;
mit t = 0 \widehat{=} 4.Quartal 1989; t = +1 \widehat{=} 1.Quartal 1990

Haushalte eines Landes 2

x_{1993} = 50\cdot 1,53 = 76,5
i_G = \displaystyle\sqrt[9]{\frac{\displaystyle76,5}{\displaystyle34}} = 1,094287\approx 1,094


Indizes der Aktienkurse

  • -; 84,8; 85; 85,1; 84,9; 82,7; 80,9; 79,1; 77,6; 76,3; 77,3; -

-; -; 85,1; 84,9; 84; 82,8; 81,1; 79; 77,7; 77,3; -; -

  • \widehat{x}_{t} = 87,3 - 0,89 t mit t = 0 \widehat{=} 0.Monat; t = +1 \widehat{=} 1.Monat

Maschinenzeitfondsauslastungen

  • \widehat{x}_{t} = 68,1111 + 2,967t mit t = 0 \widehat{=} 0.Monat; t = 1 \widehat{=} 1.Monat

\widehat{x}_{t} = 68,766\cdot1,03722^{t} mit t = 0 \widehat{=} 0.Monat; t = 1 \widehat{=} 1.Monat

  • R^2(lin. Trend) = 0,9377;

R^2(exp. Trend) = 0,9214

  • 103,715 % (!, Interpretation)

Mikroprozessoren

  • Zeitreihe
  • i_{G} = 1,19
  • exponentieller Trend; weist eine kleinere Streuung als der lineare Trend auf;

\widehat{x}_{t} = 92396,57\cdot1,1867^{t} mit t = 0 \widehat{=} 1985; t = 1 \widehat{=} 1986

  • Basis i_{G}: \widehat{x}_{92} = 311 542 Stück;

Basis exp. Trend: \widehat{x}_{92} = 306216,26 Stück

Quartalsproduktion 2

Multiplikatives Zeitreihenmodell; 2 277 000; 5 528 050; 4 015 110; 1 923 906,875;
Jahresproduktion: 13 744 066,875

Quartalsproduktion

Additives Zeitreihenmodell; 2 305 000; 2 520 000; 2 565 000; 2 610 000;
Jahresproduktion: 10 000 000

Souvenirhändler

  • –; 50; 100; 200; 400; 800; – (3.Ordnung)
  • \widehat{x}_{t} = 50\cdot2^{t} mit t = 0 \widehat{=} Februar 1992; t = +1 \widehat{=} März 1992
  • \widehat{x}_{Januar} = 25; \widehat{x}_{Juli} = 1600

Speiseeis

  • \widehat{x}_{t} = 138,44 + 9,67 t mit t = 0 \widehat{=} 1.1.1989; t = 1 \widehat{=} 1.7.1989
  • \widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (140 + 10 t)\overline{s}_{j}; \overline{s}_{1} = 0,9; \overline{s}_{2} = 1,1 mit t = 0 \widehat{=} 1.1.1989; t = 1 \widehat{=} 1.7.1989
  • \widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (60 + 20 t)\overline{s}_{j}; \overline{s}_{1} = 0,9; \overline{s}_{2} = 1,1 mit t = 0 \widehat{=} 1.1.1985; t = 1 \widehat{=} 1.1.1986
  • 209 kg

Telefonkosten

\hat{x}_t=a+bt; Zeitcodierung: t=0 1990; t=1 1991;…t=5 1995
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} a & = & \frac{\sum x\sum t^2-\sum t\sum x_tt}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\ & = & (213\cdot55-15\cdot678)/(5\cdot55-15^2)\\ & = & 1545/50\\ & = & 30,9\end{aligned}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b & = & \frac{T\sum x_tt-\sum x_t\sum t}{T\sum t^2-(\sum t)^2}\\ & = & (5\cdot678-213\cdot15)/5\cdot55-15^2)\\ & = & 195/50\\ & = & 3,9\end{aligned}

\hat{x}_t=30,9+3,9t

Telefonkosten 2

Begründung für Funktionsform:
Lineare Trendfunktion, da absoluter Zuwachs (in EUR) gegeben ist:
\hat{x_t}=a+bt
Berechnungen:
Gegeben: T=10; \sum x_t=28; b=0,125
Entweder:
jährlicher Zuwachs gegeben, T gerade \rightarrow Zeitcodierung:

t=0 \rightarrow 1980 t=1 \rightarrow 1981 ... t=10 \rightarrow 1991

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} a&=&\overline{x}-b\overline{t}\\&=&\frac{\sum x_t}{T}-b\frac{\sum t}{T}\\&=&\frac{28}{10}-0,125\frac{55}{10}\\&=&2,8-0,6875\\&=&2,1125\mbox{ Mill. EUR}\end{aligned}
Trendfunktion:
x_t=2,1125+0,125t mit t=0            <math>\rightarrow 1980 =1980</math>, t=1=1981
Oder:
Es wird der halbjährliche Zuwachs genommen: b=0,125/2=0,0625
Zeitcodierung kann dann gewählt werden:
t=-9=1981;\dots;t=-1=1985;t=1=1986;\dots;t=9=1990
a=\overline{x}=\frac{\sum x_t}{T}=\frac{28}{10}=2,8\mbox{ Mill. EUR}
Trendfunktion:
x_t=2,8+0,0625t mit t=-1=1985;t=1=1986


Transportleistung

  • Die Anpassungsunterschiede zwischen einem additiven Zeitreihenmodell mit linearem Trend und einem multiplikativen Zeitreihenmodell mit linearem Trend sind sehr gering, deshalb wird ersteres gewählt:

\widehat{x}_{t,j}^{ZRM} = (10,6363 + 0,479 t) + \overline{s}_{j}, \overline{s}_{1} = 1,637; \overline{s}_{2} = -2,507; \overline{s}_{3} = -1,65; \overline{s}_{4} = 2,54;
mit t = 0 \widehat{=} 4.Quartal 1989; t = +1 \widehat{=} 1.Quartal 1990

  • s = 0,50
  • 18,52; 14,85; 16,19; 20,86; gesamt: 70,42 10^{3}tkm

Trendfunktion

  • 2740,047 Mio. Personen

Wachstum des Bruttoinlandsprodukts

Geometrisches Mittel:i_G=\sqrt[4]{1,027\cdot1,018\cdot1,014\cdot1,022}=\sqrt[4]{1,083446}=1,020239=102,0239\%

Warenausfuhr

  • i_{G}= \sqrt[5]{{\frac{74,237}{53,892}}} = 1,0662
  • x_{92} = 84,391 Mrd. EUR
  • T = 4,65; also im Jahre 1995