Verteilungsmodelle/Lösungen

Aus MM*Stat

Version vom 25. April 2019, 12:10 Uhr von Siskosth (Diskussion | Beiträge)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Abendessen

Gewicht der Apfel-Schale
Gewicht des Mandarinen-Netzes
Gesamtgewicht: , da .
Also:

Bäcker Backfrisch

  • ;

Betriebe der chemischen Industrie

  • ist approximativ –verteilt.

Bogenschütze



: Anzahl der Treffer bei einem Schuß kann nur die Werte 1 (Treffer) oder 0 (kein Treffer) annehmen; dichotome Grundgesamtheit
; ; Wahrscheinlichkeiten konstant.
Da Grundgesamtheit unendlich groß ist, kann Modell mit Zurücklegen als Stichprobentechnik unterstellt werden sind unabhängig voneinander. Die Bedingungen eines Bernoulli–Experiments sind erfüllt.

  • Treffer

oder ;

Briefmarkenschalter

, . Vor dem Schalter hat sich nach einer Minute eine Schlange gebildet, wenn in diesem Zeitraum mehr als 5 Kunden eingetroffen sind.

Computernetzwerk

:Wartezeit bis zum nächsten Defekt; X ist exponentialverteilt mit (Tage bis zum nächsten Defekt); .

Dichtefunktion

Die Verteilung ist eine Exponentialverteilung mit –Parameter 2. Da der Erwartungswert von 0,5 ist, ist die Varianz von gesucht, , also 0,25.

Eier

: “Anzahl der faulen Eier bei n=3 abhängigen Ziehungen”;

: “Anzahl der guten Eier in Lieferung von 20 Eiern”
ist approximativ verteilt.
: “Anzahl der faulen Eier in Lieferung von 20 Eiern”
ist approximativ verteilt.

Elektronisches Bauteil

: “Anzahl der Ausfälle pro Stunde”;

  • : “Wartezeit auf den nächsten Ausfall (in Std.)”;
  • Wahrscheinlichkeit, dass bis zum nächsten Ausfall mehr als eine, aber höchstens zwei Stunden vergehen.

Fahrtkostenzuschuss


Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung, für alle


Formfehler

: “Anzahl der Formfehler bei Belegen”

Gaststätte

  • : Anzahl der am Sonntagabend pro Stunde kommenden Gäste [Auftreten von unabhängigen Ereignissen in einem Kontinuum]

Gäste/Stunde;

(Oder unter Verwendung der Tabelle der Verteilungsfunktion der Poisson–Verteilung:
)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der ersten Stunde genau ein Gast erscheint, beträgt 3,37%.

  • : Wartezeit auf den nächsten Gast am Sonntagabend;

am Sonntagabend (5 Stunden60 Minuten) d.h. Minuten Stunden
Im Mittel vergehen am Sonntagabend 12 Minuten zwischen der Ankunft zweier Gäste.


(2 mögliche Ereignisse: ;
;
; unabhängige Versuche)

  • ;

(aus Tabelle der Verteilungsfunktion der )
Die Kapatitätsgrenze ist bei 15 Nachbestellungen erreicht.

Gemeindegröße

Allgemein gilt mit dem –Quantil der Standardnormalverteilung und dem –Quantil der Normalverteilung der Gemeindegröße. Aus den Angaben ergeben sich zwei Gleichungen:


mit
Durch Auflösen der beiden Gleichungen nach ergibt sich:

Geschirr

Zwei mögliche Ereignisse:

;
Unabhängigkeit des Eintretens der Ereignisse von Tag zu Tag;
;
oder unter Verwendung der Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung:


Gleichverteilung

stetige Gleichverteilung



Jahresrendite

Zur Berechnung des Jahresendvermögens ist der Anlagewert mit dem zufälligen Jahreswachstumsfaktor zu multiplizieren. Letzterer ergibt sich aus der in Prozent angegebenen Rendite, indem sie durch 100 dividiert und anschließend zur Zahl 1 addiert wird:
Jahresendvermögen:

Varianz der Rendite R:
da Rendite als gleichverteilt zwischen 6 und 8% angenommen wurde

Damit resultiert:

EUR

Kommode

Hypergeometrische Verteilung mit , und ;
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für

Kornflakes

  • genau 3 Poster: ;

höchstens 4 Poster: ;
genau 6 Poster: ;
höchstens 1 Poster:

  • Packungen mit Coupons

Landwirtschaftsexperte

Ereignis Ereignis
und
sehr große Gesamtheit (europäischer Rinderbestand), so dass mit oder ohne Zurücklegen keine Rolle spielt

Wertebereich:
mit und unbekanntem
Gegeben:
Ermittlung von :



Es muss also mindestens gewählt werden.
Kontrolle:

wird nicht eingehalten

eingehalten.

Miss–Wahl

Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Kandidatinnen. Die Zufallsvariable X genügt einer . Gesucht ist . Oder aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der :

Mittagszeit

  • : “Anzahl der zwischen 13 und 15 Uhr eintreffenden Kunden”;
  • ** ist stetig gleichverteilt in

Parkplaketten

;


Pizza– und Kuchenverkauf





Da: folgt

Polizeistation


für und

Produktionsanlage

X: Anzahl der Ausschußstücke
Wegen p klein und n groß ist mit
Mindestens 499 Stück normgerecht entspricht
(aus Tabelle der Poisson–Verteilung)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter Stück mindestens 499 Stück normgerecht sind, beträgt 73,58%.

Bzw. ohne Approximation:

Prüfgebiete

Hypergeometrische Verteilung mit , und ;
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für

Prüfungsfragen

: “Anzahl des Auftretens einer beantwortbaren Frage bei abhängigen Ziehungen”;

Radrennen

Geamtzahl der Fahrer:
Auswahl von 4 Fahrern aus 30 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung:
Auswahl von 4 Fahrern aus 30, wobei 3 vom eigenen Team sind = Auswahl von einem Fahrer aus 27:Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Fahrer vom eigenen Team ausgewählt werden:Oder über die hypergeometrische Verteilung:

Radrennfahrer

Ereignisse:




In beiden Fällen:
Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des Ereignisses (Unfall) sehr klein,
d.h. seltene Ereignisse und Anzahl der unabhängigen Versuche (gefahrene Kilometer in zwei Wochen) sehr groß:

mittlere Anzahl der Unfälle in zwei Wochen:


Da und unabhängig voneinander sind, gilt aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Poisson-Verteilung:

Gesuchte Wahrscheinlichkeit:



Rückversicherungsgesellschaft

Bei den beschriebenen Großschäden handelt es sich um zufällige Ereignisse, die in einem Kontinuum (Zeit) vorgegebener Größe (4 Monate) auftreten. Der Parameter gibt die mittlere Anzahl von Großschäden in diesem Intervall an. Frage richtet sich auf ein Intervall von .
Für das Intervall von 1 Jahr ist .

Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr mindestens 5 derartige Großschadensfälle auftreten:

mit aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der PO(3)

Samstagslotto

Hypergeometrische Verteilung mit , , ;
Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion für

Serum

: “Anzahl der Impfschäden bei n=20 000 Impfungen”;

ist approximativ –verteilt.

Stahlstifte

  • mm
  • ;

Straßenmusikant

  • mit

X beinhaltet das Auftreten eines Ereignisses in einem Kontinuum.

  • Geldstücke

EUR

  • mit



Supermarkt


Suppe mit Fleischeinlage

125 l 500 Portionen. Die Fleischstückchen sind in der Suppe zufällig verteilt. 1/4 l Suppe (1 Portion) enthält im Mittel Fleischstückchen.
X: Anzahl der Fleischstückchen je Portion ;

Taschenrechner

;

  • Std.

Telefongespräche

  • ; ;

Telefonzentrale

  1. : “Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Alarmmeldungen”

;

  1. : “Wartezeit bis zum ersten Alarm” [ Std.]

Traineeprogramm

Es bezeichne X die Anzahl der geeigneten Bewerber. Die Frage lautet . Die Zufallsvariable X genügt einer B(23;0,9) Verteilung.
Um jedoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit den Tabellen der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung entnehmen zu können, kann auch die Zufallsvariable (Anzahl der ungeeigneten Trainees), die B(23;0,1)–verteilt ist, verwendet werden:

Tulpenzwiebeln

Unfallmeldungen

Wegen folgt und somit .

Varianz

Die Verteilung ist eine Gleichverteilung auf ;

Damit ist

Vier Kinder

: “Anzahl der Jungen in einer vierköpfigen Familie”,

Wartungen



Wertpapierkurse



XXmega

Zug nach Brandenburg



Anwendung der stetigen Gleichverteilung (regelmäßig im 3-Stunden-Takt, nicht im Mittel alle 3 Stunden)


mindestens 1 Stunde warten: