Verteilungsfunktion (stochastisch)

Aus MM*Stat

Version vom 14. September 2018, 11:47 Uhr von Siskosth (Diskussion | Beiträge)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Zufallsvariable

Zufallsvariable • Wahrscheinlichkeitsfunktion • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion • Verteilungsfunktion (stochastisch) • Randverteilung (stochastisch) • Bedingte Verteilung (stochastisch) • Stochastische Unabhängigkeit • Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch) • Parameter zweidimensionaler Verteilungen (stochastisch) • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Bedingte Dichtefunktion • Bedingte Verteilungsfunktion • Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion • Dichtefunktion (eindimensional) • Dichtefunktion (zweidimensional) • Diskrete Zufallsvariable • Erwartungswert • Erwartungswert (diskret) • Erwartungswert (stetig) • Korrelationskoeffizient (stochastisch) • Kovarianz (stochastisch) • Marginaldichte • Marginale Verteilung (stochastisch) • Randdichte • Randverteilungsfunktion • Realisation • Standardabweichung (stochastisch) • Standardisierung • Stetige Zufallsvariable • Tschebyschev-Ungleichung • Unabhängigkeit (stochastisch) • Varianz (stochastisch) • Varianz (stochastisch, diskret) • Varianz (stochastisch, stetig) • Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional) • Verteilungsfunktion (stochastisch, zweidimensional) • Verteilungsfunktion der Randverteilung • Wahrscheinlichkeitsdichte (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsdichte (zweidimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (zweidimensional) • Verteilung (stochastisch) • Wahrscheinlichkeitsverteilung

Grundbegriffe

Verteilungsfunktion eindimensionaler Zufallsvariablen

Als Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariablen X bezeichnet man die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.

Diskrete Verteilungsfunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen

Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

 F(x)=P(X\leq x)=\sum\nolimits_{x_{i}\leq x}f(x_{i})

Grafisch kann die Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X als eine Treppenfunktion dargestellt werden, bei der sich die Funktion jeweils in den Realisationen x_{i} um den Betrag f(x_{i}) erhöht und zwischen den einzelnen möglichen Realisationen konstant verläuft.

Mittels der Verteilungsfunktion lassen sich andere Wahrscheinlichkeiten gemäß

 P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)

bzw.

\,P(X>a)=1-F(a)

berechnen.

Stetige Verteilungsfunktion von eindimensionalen Zufallsvariablen

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

\, F(x) \, = P(-\infty <X\leq x) \, = \int\nolimits_{-\infty }^{x}f(t)\,dt

Der Wert der Verteilungsfunktion F(x) entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion f(t) für -\infty <X\leq x.

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen hängen mathematisch in der folgenden Weise zusammen: Die Dichtefunktion ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, also

\frac{\partial F(x)}{\partial x}=F^{\prime }(x)=f(x)\mbox{.}

Verteilungsfunktion zweidimensionaler Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion zweidimensionaler Zufallsvariablen gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable X höchstens den Wert x und gleichzeitig die Zufallsvariable Y höchstens den Wert y annimmt.

Diskrete Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen

Seien X und Y zwei diskrete Zufallsvariablen. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

F(x,y)=P(X\leq x,\,Y\leq y)=\sum\nolimits_{x_{i}\leq x}\sum\nolimits_{y_{j}\leq y}f(x_{i},y_{j})

Stetige Verteilungsfunktion von zweidimensionalen Zufallsvariablen

Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen. Dann ist die Verteilungsfunktion definiert durch:

F(x,y)=\int\nolimits_{-\infty }^{y}\int\nolimits_{-\infty }^{x}f(u,v)\,du\,dv

Beispiele

Münzwurf

Beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze ist das Interesse auf die Anzahl des Auftretens der Ausprägung "Zahl (Z)" gerichtet.

Die zugehörige Zufallsvariable  X ist:

X = \{ \mbox{Anzahl von 'Zahl' beim dreimaligen Werfen einer idealen Münze} \} mit den Realisationen x_{1}=0;\; x_{2}=1;\; x_{3}=2; und \,x_{4}=3.

Elementarereignis

\,E_{j}

Wahrscheinlichkeit

\,P(E_{j})

Zufallsvariable X

Realisationen x_{i}\,

Wahrscheinlichkeitsfunktion

\,P(X=x_{i})=f(x_{i})

\, E_{1}=\{hhh\} \, P(E_{1})=0,125 \, x_{1}=0 \, f(x_{1})=0,125
\,E_{2}=\{hho\} \,P(E_{2})=0,125
\,E_{3}=\{hoh\} \,P(E_{3})=0,125 \,x_{2}=1 \,f(x_{2})=0,375
\,E_{4}=\{ohh\} \,P(E_{4})=0,125
\,E_{5}=\{hoo\} \,P(E_{5})=0,125
\,E_{6}=\{oho\} \,P(E_{6})=0,125 \,x_{3}=2 \,f(x_{3})=0,375
\,E_{7}=\{ooh\} \,P(E_{7})=0,125
\,E_{8}=\{ooo\} \,P(E_{8})=0,125 \,x_{4}=3 \,f(x_{4})=0,125

Die Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten P(E_{j}) beruht auf dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Verteilungsfunktion ergibt sich als sukzessives Aufsummieren der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Realisationen der Zufallsvariablen X.

Zum Beispiel:

F(1)=f(0)+f(1)=0,125+0,375=0,5

Insgesamt erhält man:

F(x)=\begin{cases}0\, & \mbox{, wenn } x<0 \\
0,125\, & \mbox{, wenn } 0\leq x<1 \\
0,500\, & \mbox{, wenn } 1\leq x<2 \\
0,875\, & \mbox{, wenn } 2\leq x<3 \\
1,000\, & \mbox{, wenn } 3\leq x
\end{cases}

Folglich kann die Verteilungsfunktion auch grafisch dargestellt werden:

Haushaltsgröße

Aus "Statistisches Jahrbuch 1998", herausgegeben vom Statistischen Landesamt Berlin, Kulturbuch-Verlag Berlin, S. 61, können nachstehende Angaben über die Größe von Privathaushalten in Berlin für April 1998 entnommen werden:

Anzahl der im Haushalt lebenden Personen Anzahl der Privathaushalte (in 1000)
1 820,7
2 564,7
3 222,9
4 und mehr 195,8
Summe 1804.1

Wenn X die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen eines zufällig ausgewählten Berliner Privathaushaltes im April 1998 (kurz: Haushaltsgröße) ist, dann bedeuten::

 x_{1}=1 Einpersonenhaushalt
x_{2}=2 Zweipersonenhaushalt
x_{3}=3 Dreipersonenhaushalt
x_{4}=4 Vier- und Mehrpersonenhaushalt.

Vor der zufälligen Auswahl des Privathaushaltes liegt die Haushaltsgröße noch nicht konkret vor; sie kann jedoch die angegebenen möglichen Realisationen annehmen.

 X = \{ \mbox{Haushaltsgröße} \} ist somit eine Zufallsvariable. Sie ist diskret, da der zulässige Wertebereich nur die ganzzahligen Werte 1,2,3,4 umfasst.

Die relativen Häufigkeiten für die Gesamtheit der Privathaushalte in Berlin ergeben die theoretischen Wahrscheinlichkeiten der möglichen Realisationen von  X , wobei hier auf die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit zurückgegriffen wird.

Die gemeinsame Auflistung der Realisationen von  X und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ergibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Haushaltsgröße x_{j} f(x_{j})
1 0,4549
2 0,3130
3 0,1236
4 0,1085
Summe 1,0000

Als Verteilungsfunktion mit F(x) = P(X \leq x) folgt:

Haushaltsgröße x_{j} F(x)
1 0,4549
2 0,7679
3 0,8915
4 1,0000

Aus der Verteilungsfunktion kann z.B. abgelesen werden:

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt höchstens 2 Personen leben (X \leq 2), beträgt 0,7679.

Mittels der Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. der Verteilungsfunktion lassen sich weitere Wahrscheinlichkeiten ermitteln, z.B.

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt mehr als 2 Personen (X > 2) leben, ist:
P(X>2)=1-F(2)=1-0,7679=0,2321
oder
P(X>2)=f(3)+f(4)=0,1236+0,1085=0,2321.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem im April 1998 in Berlin zufällig ausgewählten Privathaushalt mehr als 1 Person, jedoch höchstens 3 Personen leben, ist:
P(1<X\leq 3)=F(3)-F(1)=0,8915-0,4549=0,4366
oder
P(1<X\leq 3)=f(2)+f(3)=0,3130+0,1236=0,4366.