Verteilung des Stichprobenmittelwertes

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Grundbegriffe

Verteilung des Stichprobenmittelwertes

Entscheidend für Aussagen über die Verteilung $F({\bar {X}})$ des Stichprobenmittelwertes ist die Verteilung $F(x)$ der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit und ob darüber Kenntnisse existieren oder nicht.

Normalverteilte Zufallsvariable in der Grundgesamtheit

Es wird angenommen, dass die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$ folgt:

$X\sim N(\mu ,\,\sigma ^{2})$

Die Varianz der Grundgesamtheit $\sigma ^{2}$ ist bekannt

Ist das Merkmal $X\;$ der Grundgesamtheit $N(\mu ,\;\sigma )$-verteilt und ist $\sigma ^{2}$ bekannt, so ist bei einer einfachen Zufallsstichprobe die Stichprobenfunktion ${\bar {X}}$ normalverteilt:

${\bar {X}}\sim N(\mu ,\;\sigma ({\bar {X}}))$

und die standardisierte Zufallsvariable

$Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

standardnormalverteilt: $Z\sim N(0;1)\;$.

Die Varianz der Grundgesamtheit $\sigma ^{2}$ ist unbekannt

Wenn $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit unbekannt ist, muss sie unter Verwendung der Stichprobenfunktion

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

aus der Stichprobe geschätzt werden.

Dann ist jedoch keine Aussage über die Verteilung von ${\bar {X}}$ möglich, sondern nur noch über die Verteilung der standardisierten Zufallsvariable

$T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S}}\cdot {\sqrt {n}}$

Die Zufallsvariable $T\;$ folgt bei einer einfachen Zufallsstichprobe einer t-Verteilung mit dem Parameter $f=n-1$:

$T\sim t\;(f=n-1)\;$

Der Parameter $f$ ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Zufallsvariablen $T$.

Die t-Verteilung konvergiert für $f\rightarrow \infty$ gegen die Standardnormalverteilung.

Für $f>30$ wird bereits eine relativ gute Näherung an die Standardnormalverteilung erreicht, so dass anstatt der t-Verteilung approximativ die Standardnormalverteilung verwendet werden kann:

$T\sim N(0;1)\;$ für $f>30$.

Beliebig verteilte Zufallsvariable in der Grundgesamtheit

Hierbei handelt es sich um den für die empirische Wirtschaftsforschung wesentlich relevanteren Fall, da viele interessierende Merkmale der Grundgesamtheit nicht einmal annähernd normalverteilt sind bzw. Unkenntnis über die Verteilung $F(x)$ der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit besteht.

Gegeben seien $n$ identisch, jedoch unbekannt verteilte Stichprobenvariablen $X_{i}\;(i=1,\dots ,n)$ mit $E[X_{i}]=\mu$ und $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$.

Auf Grund des zentralen Grenzwertsatzes können folgende Aussagen getroffen werden:

• Sind die Stichprobenvariablen unabhängig (Ziehung einer einfachen Zufallsstichprobe) und ist $\sigma ^{2}$ bekannt, dann ist die Zufallsvariable

$Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\cdot {\sqrt {n}}$

für genügend großen Stichprobenumfang $n$ approximativ standardnormalverteilt.

• Sind die Stichprobenvariablen unabhängig und ist $\sigma ^{2}$ unbekannt, dann ist die Zufallsvariable

$T={\frac {{\bar {x}}-\mu }{s}}\cdot {\sqrt {n}}$

für genügend großen Stichprobenumfang $n$ approximativ standardnormalverteilt.

• Sind die Stichprobenvariablen abhängig (Ziehung einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe), dann ist die Zufallsvariable

$Z={\cfrac {{\bar {X}}-\mu }{{\cfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\cdot {\sqrt {\cfrac {N-n}{N-1}}}}}$

bzw.

$Z={\cfrac {{\bar {X}}-\mu }{{\cfrac {S}{\sqrt {n}}}\cdot {\sqrt {\cfrac {N-n}{N-1}}}}}$

für hinreichend großen Umfang $N$ der Grundgesamtheit und genügend großen Stichprobenumfang $n$ approximativ standardnormalverteilt.

Als Faustregel für die Verwendung der Normalverteilung gilt: $n>30$.

Zusatzinformationen

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Ist ${\bar {X}}$ normalverteilt und sind $\mu$ und $\sigma ^{2}$ bekannt, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit,

• dass ${\bar {X}}$ Werte kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert ${\bar {x}}$ annimmt, berechnen als:

$\,P({\bar {X}}\leq {\bar {x}})=\phi \left({\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}\right)=\phi \left({\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma }}{\sqrt {n}}\right)=\phi (z)$

• dass ${\bar {X}}$ Werte in einem Intervall $[{\bar {x_{1}}},\;{\bar {x_{2}}}]$ annimmt, berechnen als:

$\,P({\bar {x_{1}}}\leq {\bar {X}}\leq {\bar {x_{2}}})=\phi \left({\frac {{\bar {x_{2}}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}\right)-\phi \left({\frac {{\bar {x_{1}}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}\right)=\phi (z_{2})-\phi (z_{1}),$

wobei $\phi \;$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung kennzeichnet.

Diese Wahrscheinlichkeitsberechnungen gelten approximativ, wenn $X\;$ beliebig verteilt und der Stichprobenumfang $n$ hinreichend groß ist.

Zentrales Schwankungsintervall

Ein zentrales Schwankungsintervall um den bekannten Erwartungswert $\mu$ des Stichprobenmittelwertes ist ein Bereich mit festen Grenzen

$\left[\mu -c\leq {\bar {X}}\leq \mu +c\right]$,

in dem ${\bar {X}}$ Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit $1-\alpha$ annimmt:

$P\left[\mu -c\leq {\bar {X}}\leq \mu +c\right]=1-\alpha$

Mit dem Übergang zur standardisierten Zufallsvariablen $Z$ folgt:

$P\left(\mu -c\leq {\bar {X}}\leq \mu +c\right)$	$\,=1-\alpha$
$P\left(-c\leq {\bar {X}}-\mu \leq c\right)$	$\,=1-\alpha$
$P\left({\frac {-c}{\sigma ({\bar {X}})}}\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma ({\bar {X}})}}\leq {\frac {c}{\sigma ({\bar {X}})}}\right)$	$\,=1-\alpha$
$P\left({\frac {-c}{\sigma ({\bar {X}})}}\leq Z\leq {\frac {c}{\sigma ({\bar {X}})}}\right)$	$\,=1-\alpha$
$P\left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)$	$\,=1-\alpha$

und

${\frac {c}{\sigma ({\bar {X}})}}$	$=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$
$\,c$	$=z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot \sigma ({\bar {X}})$

Die Abweichung $c$ von $\mu$ wird somit als Vielfaches der Standardabweichung $\sigma ({\bar {X}})$ bestimmt.

Setzt man $\sigma ({\bar {X}})$ ein, so erhält man für das zentrale Schwankungsintervall

$\left[\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\bar {X}}\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]$ mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit

$P\left(\mu -z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq {\bar {X}}\leq \mu +z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

Sind $\mu$ und $\sigma$ bekannt und ist die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit normalverteilt, so kann das zentrale Schwankungsintervall zur vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit $1-\alpha$ bestimmt werden, indem $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der $N(0;1)$ entnommen wird.

Die Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ gilt approximativ, wenn $X\;$ beliebig verteilt und der Stichprobenumfang $n$ genügend groß ist.

Herleitung bei normalverteilter Zufallsvariable in der Grundgesamtheit

Es sei eine Grundgesamtheit mit der Verteilung $F(x)$, dem Erwartungswert $E[X]=\mu$ und der Varianz $Var(X)=\sigma ^{2}$ vorausgesetzt.

Die Stichprobenvariablen $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ besitzen alle die gleiche Verteilung $F(x_{i})=F(x)$, den Erwartungswert $E[X_{i}]=\mu$ und die Varianz $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$.

Es wird angenommen, dass die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $\sigma ^{2}$ folgt:

$X\sim N(\mu ,\;\sigma ^{2})$.

Dann sind die Stichprobenvariablen $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ ebenfalls identisch normalverteilt:

$X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\;$ für alle $i=1,\ldots ,n$.

Die Summe von $n$ unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen ist aufgrund der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung auch normalverteilt:

$\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim N(n\cdot \mu ,{\sqrt {n\cdot \sigma ^{2}}})\;$

Der Stichprobenmittelwert ${\bar {X}}$ unterscheidet sich nur um den konstanten Faktor ${\frac {1}{n}}$ von der Summe $\sum \nolimits _{i}X_{i}$, so dass er ebenfalls normalverteilt ist:

${\bar {X}}\sim N(\mu ,\sigma ({\bar {X}}))\;$.

Da jedoch nur die Standardnormalverteilung tabelliert vorliegt, geht man zur standardisierten Zufallsvariablen

$z={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma ({\bar {x}})}}={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma }}$

über, die dann standardnormalverteilt ist: $Z\sim N(0,1)\;$.

Wie ersichtlich, setzt die Verwendung der Standardnormalverteilung die Kenntnis der Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit voraus, um die standardisierte Zufallsvariable $Z\;$ bestimmen zu können.

Die Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit ist unbekannt:

Die unbekannte Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit wird mittels der Stichprobenfunktion

$s^{2}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$

geschätzt. Dividiert man beide Seiten durch $\sigma ^{2}$, folgt

${\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\cdot {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}$

Dies ist äquivalent zu:

${\frac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot s^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{\sigma }}\right)^{2}$

Zur Vereinfachung sei $y={\frac {(n-1)\cdot s^{2}}{\sigma ^{2}}}$ gesetzt.

Bei einer einfachen Zufallsstichprobe sind die Stichprobenvariablen $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ unabhängig voneinander, so dass $Y\;$ die Summe von quadrierten unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist.

Eine derartig definierte Zufallsvariable folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit dem Parameter $f=n-1$.

Bildet man unter Verwendung der obigen standardisierten Zufallsvariablen $Z\;$ das Verhältnis

$T={\cfrac {Z}{\sqrt {\cfrac {Y}{f}}}}$,

so folgt die Zufallsvariable $T\;$ einer t-Verteilung mit dem Parameter $f=n-1$, da im Zähler eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und im Nenner eine von $Z\;$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable gegeben ist.

Nach Einsetzen von $Z\;$, $Y\;$ und $f$ sowie einigen Umformungen erhält man:

$T={\cfrac {{\sqrt {n}}\cdot {\cfrac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}}{\sqrt {{\cfrac {1}{n-1}}\cdot \left({\cfrac {n-1}{\sigma ^{2}}}\cdot S^{2}\right)}}}={\sqrt {n}}\cdot {\cfrac {{\bar {X}}-\mu }{S}}$