Verteilung des Stichprobenanteilswertes/Beispiel: Haushaltsgröße

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Beispiele

Haushaltsgröße

Laut Angaben des Statistischen Bundesamtes der Bundesrepublik Deutschland gab es im April 1996 in Deutschland 37,3 Millionen Privathaushalte, von denen rund 35% Einpersonenhaushalte waren.

Stichprobe vom Umfang n=10

Aus dieser Grundgesamtheit wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang entnommen.

Es liegt eine endliche Grundgesamtheit von Mio. Privathaushalten vor, von denen Mio. Einpersonenhaushalte sind.

Bei zehnmaliger Ziehung von Elementen aus der Grundgesamtheit erhält man 10 Zufallsvariablen (Stichprobenvariablen) , die den Wert annehmen, wenn ein Einpersonenhaushalt auftritt, und den Wert annehmen, wenn ein Mehrpersonenhaushalt auftritt.

Die Zufallsvariable als Summe der 10 Stichprobenvariablen beinhaltet die Anzahl der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe und die Zufallsvariable den Anteil der Einpersonenhaushalte in der Stichprobe.

Da bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe die Elemente ohne Zurücklegen entnommen werden, ist die Stichprobenfunktion hypergeometrisch verteilt:

.

Die Stichprobenfunktion weist die gleiche Wahrscheinlichkeitsfunktion wie auf.

Da zum einen der Umfang der Grundgesamtheit sehr groß und zum anderen der Auswahlsatz ist, kann die Endlichkeit der Grundgesamtheit vernachlässigt und approximativ die Binomialverteilung mit verwendet werden, so dass gilt: .

Für gilt die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist .

Wegen und somit und , entspricht dies der Wahrscheinlichkeit .

und findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung .

Stichprobe vom Umfang n=2000

Aus der angegebenen Grundgesamtheit wird eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe vom Umfang entnommen.

Die Stichprobenfunktionen und sind wie bei der 1. Problemstellung definiert.

Da die Grundgesamtheit wie vorher sehr groß und der Auswahlsatz sehr klein ist, spielt es keine Rolle, ob die Elemente ohne Zurücklegen oder mit Zurücklegen entnommen werden, so dass approximativ von einer Binomialverteilung ausgegangen werden kann.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung: sind:

Für eine liegen keine Tabellen zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten vor. Per Computer wurde ermittelt:

Da der Stichprobenumfang jedoch sehr groß ist und die Kriterien und erfüllt sind, kann statt der Binomialverteilung approximativ die Normalverteilung verwendet werden:

Mit

folgt


Im Vergleich zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit über die exakte Verteilung ergibt sich durch die Approximation über die Normalverteilung ein vernachlässigbarer Fehler.