Verteilung der Stichprobenvarianz/Beispiele

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Beispiele

Arbeitsgang

Für die Beurteilung der Gleichmäßigkeit der benötigten Zeit von Arbeitsgängen wird vielfach die Streuung herangezogen.

Die von einem Arbeiter benötigte Zeit für einen bestimmten Arbeitsgang ist die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit.

sei normalverteilt mit und .

Es wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen.

Da die Grundgesamtheit aus allen möglichen Zeitmessungen für den gleichen Arbeitsgang, ausgeführt von demselben Arbeiter, besteht und deshalb als sehr groß angesehen werden kann, wird von der Realisierung einer einfachen Zufallsstichprobe ausgegangen.

Die Stichprobenvariablen "i-te Zeitmessung für den Arbeitsgang" sind somit unabhängig voneinander und identisch normalverteilt.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Es wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz Werte im Intervall annimmt?

Gesucht ist somit .

Zur Lösung wird jede Seite der Ungleichung mit erweitert:

Mit folgt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz Werte zwischen und annimmt, ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit, dass die transformierte Zufallsvariable Werte zwischen 7 und 21 annimmt.

Die Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden, so dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit mittels Tabellen der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung bzw. über Computerberechnungen bestimmt werden kann:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz Werte im Intervall annimmt, beträgt 0,8331.

Die folgende Grafik zeigt die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit , wobei repräsentiert.

<R output="display">

pdf(rpdf,height=7,width=7)

curve(from=0, to=35, dchisq(x, df=14), xaxt="n", , yaxt="n", ylab="f(y)", xlab="y", col="blue", ylim=c(0.0,0.09), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") axis( side=1, at=3.5*c(0:10), tick=TRUE) axis( side=2, at=0.03*c(0:3), tick=TRUE)

par(new=TRUE)

xx <-c(7:21, 21:7) yy <-c(c(dchisq(c(7:21), df=14)),c(rep(0,15))) polygon(xx, yy, col="palegreen", border=NA)

par(new=TRUE)

curve(from=0, to=35, dchisq(x, df=14), xaxt="n", , yaxt="n", ylab="f(y)", xlab="y", col="blue", ylim=c(0.0,0.09), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l")


abline(v=7, col="black", lwd=1, lty=2) abline(v=21, col="black", lwd=1, lty=2)

</R>

Zentrales Schwankungsintervall der Stichprobenvarianz

Es soll ein zentrales Schwankungsintervall für die Stichprobenvarianz mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit bestimmt werden, wenn die gleiche Grundgesamtheit vorausgesetzt und eine Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen wird.

Aufgrund von

und

findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden:

und .

Damit wird:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 nimmt die transformierte Zufallsvariable Werte im Intervall an.

Durch Umformung ergibt sich ein zentrales Schwankungsintervall für :

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 nimmt die Stichprobenvarianz Werte im Intervall an.

Die Grenzen des Intervalls können nur bestimmt werden, wenn die Varianz der Zufallsvariablen "benötigte Zeit für einen bestimmten Arbeitsgang" in der Grundgesamtheit bekannt ist.