Unabhängige Ereignisse/Beispiel: Corona-Risiko

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Fragen

Die Fragen sind, wie

1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von n Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?

2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?

Frage 1

Es sei

  • A_i das Ereignis, das Person i infiziert ist, P(A_i) ist die Wahrscheinlichkeit das Person i infiziert ist und
  • I_k das Ereignis ist das genau k von n Personen infiziert sind und P(I_k) die Wahrscheinlichkeit dafür.

Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass gilt

  • P(A_1)=P(A_2)=\ldots=P(A_n)=P(A) und
  • die Infektionen treten uanabhängig voneinander auf.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann P(I_1)+\ldots+P(I_n)=1-P(I_0).

Des Weiteren gilt wegen der Unabhängigkeit: P(I_0)=P(\bar{A}_1 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) =  P(\bar{A}_1)\cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n).

Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als 1-(1-P(A))^n.

Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von zehntausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich

1-(1-0,0001)^{20000}=0,8647 \equiv 86,47\%

also mit 86,47% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.

Diese Berechnung hat jedoch eine Haken: die Bestimmung von P(A). Eine mögliche Schätzung wäre

\frac{\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}=\frac{400}{3.769.000}\approx \frac{1}{10.000}=0,0001

dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer berücksichtigt.

Frage 2

Die Frage 2 kann nicht beantwortet werden, da die Infektionswahrscheinlichkeit unbekannt ist. Zum jetzigen Zeitpunkt (August 2020) kann niemand angeben wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion ist wenn man sich im Freien befindet. Bekannt ist nur, dass die Infektionswahrscheinlichkeit deutlich geringer ist als wenn man sich in geschlossenen Räume ohne Ventilation aufhält.