Unabhängige Ereignisse/Beispiel: Corona-Risiko

Die Fragen sind, wie

1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von $n$ Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?

2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?

Es sei

• $A_i$ das Ereignis, das Person $i$ infiziert ist, $P(A_i)$ ist die Wahrscheinlichkeit das Person $i$ infiziert ist und
• $I_k$ das Ereignis ist das genau $k$ von $n$ Personen infiziert sind und $P(I_k)$ die Wahrscheinlichkeit dafür.
  
  

Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass gilt

• $P(A_1)=P(A_2)=\ldots=P(A_n)=P(A)$ und
• die Infektionen treten uanabhängig voneinander auf.
  
  

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann $P(I_1)+\ldots+P(I_n)=1-P(I_0)$.

Des Weiteren gilt wegen der Unabhängigkeit: $P(I_0)=P(\bar{A}_1 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) = P(\bar{A}_1)\cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n)$.

Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als $1-(1-P(A))^n$.

Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von tausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich

$1-(1-0,001)^{20000}=0,999999998 \equiv 99,9999998\%$

also mit 99,9999998% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.

Diese Berechnung hat jedoch eine Haken: die Bestimmung von $P(A)$. Eine Schätzung wäre

$\frac{\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}=\frac{400}{3.769.000}\approx \frac{1}{10.000}=0,0001$

dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer berücksichtigt.