Unabhängige Ereignisse/Beispiel: Corona-Risiko

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Die Fragen sind, wie

1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von n Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?

2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?

Es sei

  • A_i das Ereignis, das Person i infiziert ist, P(A_i) ist die Wahrscheinlichkeit das Person i infiziert ist und
  • I_k das Ereignis ist das genau k von n Personen infiziert sind und P(I_k) die Wahrscheinlichkeit dafür.

Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass gilt

  • P(A_1)=P(A_2)=\ldots=P(A_n)=P(A) und
  • die Infektionen treten uanabhängig voneinander auf.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann P(I_1)+\ldots+P(I_n)=1-P(I_0).

Des Weiteren gilt wegen der Unabhängigkeit: P(I_0)=P(\bar{A}_1 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) =  P(\bar{A}_1)\cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n).

Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als 1-(1-P(A))^n.

Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von tausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich

1-(1-0,001)^{20000}=0,999999998 \equiv 99,9999998\%

also mit 99,9999998% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.

Diese Berechnung hat jedoch eine Haken: die Bestimmung von P(A). Eine Schätzung wäre

\frac{\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}=\frac{400}{3.769.000}\approx \frac{1}{10.000}=0,0001

dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer berücksichtigt.