Unabhängige Ereignisse/Beispiel: Corona-Risiko: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Frage ist, wie wahrscheinlich ist es dass sich in einer Gruppe von <math>n</math> Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?
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Die Fragen sind, wie  
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1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von <math>n</math> Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?
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2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?
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Es sei
 
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* <math>P_i</math> das Ereignis, das Person <math>i</math> infiziert ist, <math>P(A_i)</math> ist die Wahrscheinlichkeit das Person <math>i</math> infiziert ist und  
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* <math>A_i</math> das Ereignis, das Person <math>i</math> infiziert ist, <math>P(A_i)</math> ist die Wahrscheinlichkeit das Person <math>i</math> infiziert ist und  
 
*  <math>I_k</math> das Ereignis ist das genau <math>k</math> von <math>n</math> Personen infiziert sind und <math>P(I_k)</math> die Wahrscheinlichkeit dafür.<br><br>
 
*  <math>I_k</math> das Ereignis ist das genau <math>k</math> von <math>n</math> Personen infiziert sind und <math>P(I_k)</math> die Wahrscheinlichkeit dafür.<br><br>
  
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Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als <math>1-(1-P(A))^n</math>.<br><br>
 
Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als <math>1-(1-P(A))^n</math>.<br><br>
  
Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von tausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich<br><br>
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Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von zehntausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich<br><br>
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<math>1-(1-0,0001)^{20000}=0,8647 \widehat{=} 86,47\%</math><br><br>
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also mit 86,47% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.<br><br>
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Diese Berechnung hat jedoch mehrere Haken:
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* die Bestimmung von <math>P(A)</math>. Eine mögliche Schätzung wäre<br><br>
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<math>\frac{\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}=\frac{400}{3.769.000}\approx \frac{1}{10.000}=0,0001</math><br><br>
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dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer (Anzahl der gemeldeten Fälle durch Anzahl aller Fälle) berücksichtigt. Wir wissen nur, dass die Dunkelziffer <math>P(A)</math> vergrößern wird.<br><br>
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* die Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math>, dass jemand infiziert ist wird bei den Anti-Corona-Demonstranten vermutlich höher sein als im Bevölkerungsdurchschnitt, da sie sich aufgrund ihres Verhaltens einem größerem Infektionsrisiko aussetzen.
  
<math>1-(1-0,001)^{20000}=0,999999998 \equiv 99,9999998\%</math><br><br>
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=== Frage 2 ===
  
also mit 99,9999998\% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehr Corona-Infzierte auf der Demonstration.
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Die Frage 2 kann nicht beantwortet werden, da die Infektionswahrscheinlichkeit unbekannt ist. Zum jetzigen Zeitpunkt (August 2020) kann niemand angeben wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion ist wenn man sich im Freien befindet. Bekannt ist nur, dass die Infektionswahrscheinlichkeit deutlich geringer ist als wenn man sich in geschlossenen Räume ohne Ventilation aufhält.

Aktuelle Version vom 7. August 2020, 09:07 Uhr

Fragen

Die Fragen sind, wie

1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von n Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?

2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?

Frage 1

Es sei

  • A_i das Ereignis, das Person i infiziert ist, P(A_i) ist die Wahrscheinlichkeit das Person i infiziert ist und
  • I_k das Ereignis ist das genau k von n Personen infiziert sind und P(I_k) die Wahrscheinlichkeit dafür.

Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass gilt

  • P(A_1)=P(A_2)=\ldots=P(A_n)=P(A) und
  • die Infektionen treten uanabhängig voneinander auf.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann P(I_1)+\ldots+P(I_n)=1-P(I_0).

Des Weiteren gilt wegen der Unabhängigkeit: P(I_0)=P(\bar{A}_1 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) =  P(\bar{A}_1)\cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n).

Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als 1-(1-P(A))^n.

Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von zehntausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich

1-(1-0,0001)^{20000}=0,8647 \widehat{=} 86,47\%

also mit 86,47% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.

Diese Berechnung hat jedoch mehrere Haken:

  • die Bestimmung von P(A). Eine mögliche Schätzung wäre

\frac{\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}=\frac{400}{3.769.000}\approx \frac{1}{10.000}=0,0001

dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer (Anzahl der gemeldeten Fälle durch Anzahl aller Fälle) berücksichtigt. Wir wissen nur, dass die Dunkelziffer P(A) vergrößern wird.

  • die Wahrscheinlichkeit P(A), dass jemand infiziert ist wird bei den Anti-Corona-Demonstranten vermutlich höher sein als im Bevölkerungsdurchschnitt, da sie sich aufgrund ihres Verhaltens einem größerem Infektionsrisiko aussetzen.

Frage 2

Die Frage 2 kann nicht beantwortet werden, da die Infektionswahrscheinlichkeit unbekannt ist. Zum jetzigen Zeitpunkt (August 2020) kann niemand angeben wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion ist wenn man sich im Freien befindet. Bekannt ist nur, dass die Infektionswahrscheinlichkeit deutlich geringer ist als wenn man sich in geschlossenen Räume ohne Ventilation aufhält.