Quelltext der Seite Unabhängige Ereignisse/Beispiel: Corona-Risiko

Die Fragen sind, wie 

1, wahrscheinlich ist es, dass sich in einer Gruppe von <math>n</math> Personen mindestens ein Corona-Infizierter dabei ist?

2. wahrscheinlich ist es, dass sich jemand aus der Gruppe infiziert?
<br><br>
Es sei

* <math>A_i</math> das Ereignis, das Person <math>i</math> infiziert ist, <math>P(A_i)</math> ist die Wahrscheinlichkeit das Person <math>i</math> infiziert ist und 
*  <math>I_k</math> das Ereignis ist das genau <math>k</math> von <math>n</math> Personen infiziert sind und <math>P(I_k)</math> die Wahrscheinlichkeit dafür.<br><br>

Zur Vereinfachung gehen wir davon aus, dass gilt 

* <math>P(A_1)=P(A_2)=\ldots=P(A_n)=P(A)</math> und
* die Infektionen treten uanabhängig voneinander auf.<br><br>

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann <math>P(I_1)+\ldots+P(I_n)=1-P(I_0)</math>.<br><br>
Des Weiteren gilt wegen der Unabhängigkeit: <math>P(I_0)=P(\bar{A}_1 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) =  P(\bar{A}_1)\cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n)</math>.<br><br>
Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit als <math>1-(1-P(A))^n</math>.<br><br>

Für eine konkrete Berechnung betrachten wir die Anti-Corona-Demonstration vom 01.08.2020 mit ca. 20.000 Teilnehmern. Geht man davon aus, dass einer von tausend Menschen infiziert ist, dann ergibt sich<br><br>

<math>1-(1-0,001)^{20000}=0,999999998 \equiv 99,9999998\%</math><br><br>

also mit 99,9999998% Wahrscheinlichkeit befand sich ein oder mehrere Corona-Infzierte auf der Demonstration.<br><br>

Diese Berechnung hat jedoch eine Haken: die Bestimmung von <math>P(A)</math>. Eine Schätzung wäre <br><br>

<math>\frac{\mbox{aktive Fälle in Berlin}}{\mbox{Bevölkerung in Berlin}}=\frac{400}{3.769.000}\approx \frac{1}{10.000}=0,0001</math><br><br>
dabei wird aber z.B. keine Dunkelziffer berücksichtigt.