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Aktuelle Version vom 7. April 2019, 15:33 Uhr

Zeitreihen

Zeitreihenanalyse • Trend • Periodische Schwankungen • Güte eines Zeitreihenmodells • Multiple Choice • Aufgaben • Lösungen
Additives Zeitreihenmodell • Bestimmtheitsmaß (Zeitreihe) • Exponentialtrend • Filter • Komponenten einer Zeitreihe • Lineare Trendfunktion • Methode der gleitenden Durchschnitte • Methode der kleinsten Quadrate (Zeitreihe) • Mittlere quadratische Streuung • Multiplikatives Zeitreihenmodell • Saisonkomponente • Saisonschwankung • Stützbereich • Symmetrischer Filter • Variationskoeffizient (Zeitreihe) • Zeitreihe

Grundbegriffe

Trend einer Zeitreihe

Die Zerlegung einer Zeitreihe beginnt mit der Extraktion der langfristigen Tendenz (Trend) aus den Beobachtungen.

Dazu stehen verschiedene Methoden, die jeweils zu unterschiedlichen Trendlinien für ein und diesselbe Reihe führen, zur Verfügung.

Die Auswahl einer dieser Methoden erfordert generell ein Abwägen zwischen Vor- und Nachteilen.

In diesem Abschnitt werden die Methode der gleitenden Durchschnitte und die Methode der kleinsten Quadrate vorgestellt.

Methode der gleitenden Durchschnitte

Filter

Der geschätzte Trend ist bei diesem Verfahren zu jedem Zeitpunkt ein gewichtetes Mittel aus den Originaldaten mehrerer Perioden:

mit

Die Gesamtheit der Gewichte nennt man Filter.

Die Wahl des Filters hängt von der Art saisonaler Schwankungen und der gewünschten Glättung ab. Meist werden symmetrische Filter, die (ausgehend von Periode ) Vergangenheit und Zukunft gleichgewichten, verwendet.

Filter, deren Gewichte für alle gleich sind, bilden sogenannte einfache gleitende Durchschnitte, alle anderen führen zu gewichteten gleitenden Durchschnitten.

Stützbereich

Der Bereich aus den Originaldaten, über den der gewichtete Durchschnitt gebildet wird, heisst Stützbereich.

Aus Prinzip kann die Reihe des geschätzten Trends höchstens so lang sein wie die Originalreihe (Gleichheit, wenn ).

Je größer man den Stützbereich wählt, umso weniger Trendwerte können berechnet werden und umso glatter wird die resultierende Trendreihe.

Symmetrischer Filter

Symmetrische Filter () werden meist so angegeben, dass die einzelnen Gewichte nebeneinander in eckigen Klammern stehen.

Die folgenden Filter finden bei der Glättung von saisonalen Zeitreihen Anwendung, weil sie für die Trendberechnung die periodischen Schwankungen aus den Originaldaten "herausfiltern".

  • Halbjahresdaten
  • Quartalsdaten
  • Monatsdaten

Methode der kleinsten Quadrate

Eine zweite Möglichkeit den Trend einer Zeitreihe zu ermitteln, bietet die Methode der kleinsten Quadrate, wie sie im Kapitel "Schätzung der Regressionsparameter" vorgestellt wurde.

Man wählt eine Familie von Funktionen, durch die der Trend in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben werden soll und schätzt dann deren Parameter.

Diese Parameterschätzer minimieren die Summe der quadratischen Abweichungen des Trends von den Originaldaten:

Exemplarisch werden im folgenden die Schätzer für eine einfache lineare Trendfunktion und für einen Exponentialtrend hergeleitet.

Lineare Trendfunktion

Unterstellt sei eine lineare Abhängigkeit der Variablen von der Zeit in der Form

Die Summe der Residuenquadrate in Abhängigkeit von den Parametern und ist

Die Minimierung ergibt die Parameterschätzer

Exponentialtrend

Unterstellt sei eine exponentielle Abhängigkeit der Variablen von der Zeit in der Form

bzw. in logarithmierter Form

Die Minimierung ergibt die Parameterschätzer

Zusatzinformationen

Informationen zur Ordnung des gleitenden Durchschnitts

Stützbereich: Anzahl der Werte, die in die Mittelwertberechnung eingehen.

  • Ungerade Ordnung
  • Gerade Ordnung
  • Beispiel für ungerade Ordnung:
--- ---
---
---
--- ---
  • Beispiel für gerade Ordnung:
--- ---
---
---
--- ---

Beispiele

Preisindex (Lineare Trendfunktion)

Preisindex für fremde Reparaturen und sonstige Dienstleistungen Berlin, 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989

entspricht dem 4. Quartal 1976.

STAT-Zeitreihe7.gif

Anzahl der Telefone (Exponentialtrend)

Anzahl der Telefone in den USA (in 1000) 1900-1970

entspricht 1899.

PKW (Symmetrischer Filter)

Zulassungszahl neuer PKW in Berlin 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989 (Quartalsdaten)

Filter:

rot: Originalzeitreihe

schwarz: geglättete Reihe (Trend)

Leistungsbilanzsalden

Die folgende Zeitreihe beschreibt die Entwicklung der Leistungsbilanzsalden (in Mio Mark) der Bundesrepublik Deutschland in den Jahren 1977 - 1995:

Der Trend dieser Zeitreihe soll mit der Methode der gleitenden Durchschnitte geschätzt werden. Hierzu verwendet man die Formel

Da ausgehend von einem Zeitpunkt Vergangenheits- und Zukunftswerte gleichgewichtet in die Trendschätzung eingehen sollen, wird gewählt.

Zur Glättung von Jahresdaten verwendet man einen einfachen gleitenden Durchschnitt, bei dem die Gewichte für alle identisch sind.

Die Gewichte müssen sich über den gesamten Stützbereich zu 1 aufaddieren. Also gilt:

für alle

In der folgenden Tabelle wurde der gleitende Durchschnitt jeweils für und berechnet.


Jahr Leistungsbilanz
1977 1 9478
1978 2 18003 5483,3
1979 3 -11031 -7169,3 -4754,2
1980 4 -28480 -17084,0 -4676,6 -476,0
1981 5 -11741 -10118,3 -6162,6 2161,4
1982 6 9866 2899,3 1631,6 6493,4
1983 7 10573 16126,3 16993,0 20325,4
1984 8 27940 28946,7 36499,8 36122,1
1985 9 48327 54020,0 50946,0 50418,9
1986 10 85793 72072,3 66498,6 63874,7
1987 11 82097 85408,7 81722,0 64551,3
1988 12 88336 91496,7 75118,4 56000,4
1989 13 104057 69234,0 51576,6 44779,3
1990 14 15309 29150,0 29113,0 29186,0
1991 15 -31916 -15609,3 6774,4 12573,9
1992 16 -30221 -28498,0 -20875,2 -4876,7
1993 17 -23357 -29256,3 -30700,6
1994 18 -34191 -30455,3
1995 19 -33818


Wenn ist, kann man für die Periode keinen Trend schätzen, weil der Wert der Zeitreihe in unbekannt ist.

Für ist der geschätzte Trend dann

In der folgenden Grafik werden die drei Schätzungen und die Originalreihe miteinander verglichen:

Man erkennt zwei wichtige Eigenschaften des Verfahrens: