Theorem von Bayes

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Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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A-posteriori-Wahrscheinlichkeit • A-priori-Wahrscheinlichkeit • Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Differenz von Ereignissen • Disjunkte Ereignisse • Durchschnitt von Ereignissen • Element • Elementarereignis • Ereignis • Ereignisraum • Gruppe (Mengenlehre) • Klasse (Mengenlehre) • Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Komplementärereignis • Leere Menge • Logische Differenz von Ereignissen • Logische Summe von Ereignissen • Menge • Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit • Operationen von Ereignissen • Randhäufigkeit • Randwahrscheinlichkeit • Relationen von Ereignissen • Sicheres Ereignis • Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Teilmenge • Totale Wahrscheinlichkeit • Unmögliches Ereignis • Venn-Diagramm • Vereinigung von Ereignissen • Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov • Wahrscheinlichkeit nach Laplace • Wahrscheinlichkeit nach von Mises • Wahrscheinlichkeitstabelle • Zerlegung des Ereignisraums • Vollständige Zerlegung des Ereignisraums • Zufallsexperiment

Theorem von Bayes

Sei  A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} eine Zerlegung von \, S .

Ferner sei ein zufälliges Ereignis B mit \, P(B)>0 und die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A_{1}), P(B|A_{2}),\ldots, P(B|A_{n}) gegeben.

Dann gilt:

 P(A_{j}|B)= \frac{P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum_{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}\quad\forall j=1,\ldots, n

Das Theorem von Bayes hat grundlegende Bedeutung für Bayes'sche Verfahren.

a-priori- bzw. a-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Gegeben sei das Theorem von Bayes:

 P(A_{j}|B)= \frac{P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum_{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}\quad\forall j=1,\ldots, n

Man bezeichnet dann \, P( A_{j} ) a-priori-Wahrscheinlichkeit und \, P( A_{j} | B ) als a-posteriori-Wahrscheinlichkeit.