Theorem von Bayes: Unterschied zwischen den Versionen

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===Theorem von Bayes===
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Sei <math> A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} </math> eine [[Zerlegung des Ereignisraums|Zerlegung von <math>\, S </math>]].
 
Sei <math> A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} </math> eine [[Zerlegung des Ereignisraums|Zerlegung von <math>\, S </math>]].
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Man bezeichnet dann  <math>\, P( A_{j} )</math> ''a-priori-Wahrscheinlichkeit'' und <math>\, P( A_{j} | B )</math> als ''a-posteriori-Wahrscheinlichkeit''.
 
Man bezeichnet dann  <math>\, P( A_{j} )</math> ''a-priori-Wahrscheinlichkeit'' und <math>\, P( A_{j} | B )</math> als ''a-posteriori-Wahrscheinlichkeit''.
  
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===Virus===
 
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0.5% der Bevölkerung seien mit einem Virus infiziert, der erst nach langer Zeit zu einer Erkrankung führt. Ein Diagnosetest reagiere bei 99% der Infizierten positiv, aber auch bei 2% der Gesunden.
 
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Wie groß ist die [[Wahrscheinlichkeit]], dass eine Person, deren Testergebnis positiv ausfällt, auch tatsächlich mit dem Virus infiziert ist?
 
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Man betrachte die beiden Ereignisse <math>I</math> und <math>R</math>:
 
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{|
 
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|<math>I=1</math>,wenn eine Person infiziert ist
 
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|-
 
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|<math>I = 0</math>, wenn eine Person nicht infiziert ist
 
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|-
 
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|<math> R = 1 </math>, wenn der Test positiv ausfällt
 
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|-
 
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|<math>R = 0</math>, wenn Test negativ ausfällt.
 
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|}
 
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Gegebene [[Wahrscheinlichkeit]] sind: <math>P(I=1)=0.005;\; P(R=1|I=1)=0.99</math> und <math>P(R=1|I=0)=0.02</math>.
 
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Gesucht ist <math>P(I=1|R=1)</math>.
 
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Eine Anwendung der Definition der [[bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]]
 
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<math>P(I=1|R=1)=\frac{P[(I=1)\cap(R=1)]}{P(R=1)},\; P(R=1)>0 </math>
 
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ist wegen der unbekannten [[Wahrscheinlichkeit]]en nicht möglich.
 
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Man erhält jedoch aus
 
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<math>P(R=1|I=1)=\frac{P[(I=1)\cap(R=1)]}{P(I=1)},\; P(I=1)>0</math>
 
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für den Zähler <math>P[(I=1)\cap(R=1)]=P(R=1|I=1)P(I=1)</math>.
 
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Um <math>P(R=1)</math> im Nenner zu erhalten, ist der [[Satz der totalen Wahrscheinlichkeit]] anzuwenden.
 
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Im Ergebnis resultiert somit das Theorem von Bayes, das allgemein lautet:
 
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<math> P(A_{j}|B)=\frac{P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum_{i}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}, \quad \forall j=1,\cdots,n</math>
 
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Für das aktuelle Beispiel lautet der Zähler:
 
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<math> P\left(R=1|I=1\right)\cdot P(I=1)=0.99 \cdot0.005=0.00495</math>.
 
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Der Nenner ist die Summe:
 
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<math> P(R=1|I=1)\cdot P(I=1)+ P(R=1|I=0)\cdot P(I=0)=0.99 \cdot 0.005 + 0.02 \cdot 0.995 = 0.00495 +0.0199 = 0.02485</math>
 
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Man erhält <math>\,P(I=1|R=1)=\frac{0.00495}{0.02485}=0.199</math>.
 
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Die [[Wahrscheinlichkeit]], mit dem Virus infiziert zu sein, wenn der Test positiv war, ist nur etwa 20%!
 
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Bei der Interpretation des Ergebnisses ist folgendes zu bedenken:
 
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Hier wurde angenommen, dass der Anteil der Infizierten unter den Testpersonen dem Anteil der Infizierten in der Gesamtbevölkerung entspricht.
 
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Normalerweise ist dieser Anteil unter den Testpersonen wesentlich größer, z.B. weil diese Menschen glauben, besonderen Risiken ausgesetzt zu sein.
 
  
 
[[Kategorie:Statistik I&II]]
 
[[Kategorie:Statistik I&II]]

Aktuelle Version vom 5. Juli 2020, 04:50 Uhr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung • Mengenlehre • Wahrscheinlichkeit • Additionssatz • Bedingte Wahrscheinlichkeit • Multiplikationssatz • Unabhängige Ereignisse • Vierfeldertafel • Satz der totalen Wahrscheinlichkeit • Theorem von Bayes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit • A-priori-Wahrscheinlichkeit • Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Differenz von Ereignissen • Disjunkte Ereignisse • Durchschnitt von Ereignissen • Element • Elementarereignis • Ereignis • Ereignisraum • Gruppe (Mengenlehre) • Klasse (Mengenlehre) • Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Komplementärereignis • Leere Menge • Logische Differenz von Ereignissen • Logische Summe von Ereignissen • Menge • Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit • Operationen von Ereignissen • Randhäufigkeit • Randwahrscheinlichkeit • Relationen von Ereignissen • Sicheres Ereignis • Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff • Teilmenge • Totale Wahrscheinlichkeit • Unmögliches Ereignis • Venn-Diagramm • Vereinigung von Ereignissen • Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorov • Wahrscheinlichkeit nach Laplace • Wahrscheinlichkeit nach von Mises • Wahrscheinlichkeitstabelle • Zerlegung des Ereignisraums • Vollständige Zerlegung des Ereignisraums • Zufallsexperiment

Theorem von Bayes

Sei A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} eine Zerlegung von \, S .

Ferner sei ein zufälliges Ereignis B mit \, P(B)>0 und die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A_{1}), P(B|A_{2}),\ldots, P(B|A_{n}) gegeben.

Dann gilt:

P(A_{j}|B)= \frac{P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum_{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}\quad\forall j=1,\ldots, n

Das Theorem von Bayes hat grundlegende Bedeutung für Bayes'sche Verfahren.

a-priori- bzw. a-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Gegeben sei das Theorem von Bayes:

P(A_{j}|B)= \frac{P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}{\sum_{i=1}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}\quad\forall j=1,\ldots, n

Man bezeichnet dann \, P( A_{j} ) a-priori-Wahrscheinlichkeit und \, P( A_{j} | B ) als a-posteriori-Wahrscheinlichkeit.

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