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===Phosphatgehalt der Waschmittel===

Seit geraumer Zeit beklagen Umweltschützer die Verschmutzung der Seen durch die Abwässer der Haushalte – insbesondere durch den Phosphatgehalt der Waschmittel. So greifen sie auch eine bestimmte Firma an, da sie glauben, dass der zulässige Durchschnittswert von höchstens 18g pro Packung in deren Produkt überschritten wird. Die Firma bestreitet energisch und verspricht den Umweltschützern, das Produkt vom Markt zu nehmen, falls sich statistisch zeigen lä<span>ß</span>t, dass der mittlere Phosphatgehalt ihres Produkts tatsächlich zu hoch ist.

Die Firma will nun diesen Test durchführen und schlägt den Umweltschützern eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,001 vor, da man dann mit hoher Sicherheit ein richtiges Testergebnis bekommen würde. Die Umweltschützer akzeptieren dies, da ihnen die Argumentation völlig einleuchtet. Die Varianz des Phosphatgehalts pro Packung wird mit 36g<math>^{2}</math> als bekannt vorausgesetzt.

Bei einer gezogenen Zufallsstichprobe von 36 Packungen ergab sich ein durchschnittlicher Phosphatgehalt von 20g.

* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!
* Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion formal und verbal an. Wie ist sie unter <math>H_{0}</math> verteilt?
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter <math>H_{0}</math> verteilt?
* Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für diesen Test.
* Wie lautet die Testentscheidung?

Die Firma gibt folgende Pressemitteilung heraus:

<blockquote>“Mit Hilfe eines Tests konnte unsere Firma statistisch belegen, dass der mittlere Phosphatgehalt in unseren Waschmittelpaketen den Richtwert von 18g nicht überschreitet. Für diesen Test wurden unter den Augen der Umweltschützer 36 Waschmittelpakete zufällig ausgewählt und untersucht. Um eine Fehlentscheidung bei diesem Test fast vollständig auszuschlie<span>ß</span>en, haben wir nach Absprache mit den Umweltschützern den Test so durchgeführt, dass eine Fehlentscheidung nur mit 0,1%-iger Wahrscheinlichkeit vorkommen kann. Damit hat unsere Firma wieder einmal bewiesen, dass sie zu den umweltbewu<span>ß</span>ten Herstellern von... usw. ... usw.”
</blockquote>
* Nehmen Sie ausführlich Stellung zu dieser Pressemitteilung!
* Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Fehlentscheidung, falls der mittlere Phosphatgehalt pro Paket den wahren Wert 21,09g hat.


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===Skirennen===

In einem bekannten Wintersportort wird alljährlich ein gro<span>ß</span>es Skirennen für Gäste veranstaltet, bei dem alle Gäste teilnehmen können. Diesmal soll der Slalom an einem erst kürzlich erschlossenen Hang stattfinden. Eine Gruppe von Skilehrern bekommt den Auftrag, einen Slalom abzustecken, der f&quot;ur alle Gäste befahrbar ist. Es ist beabsichtigt, dass im Mittel mehr als 90% der Gäste heil durchs Ziel kommen sollen. Die bisherigen Erfahrungen haben gezeigt, dass man den Schwierigkeitsgrad des Hanges noch überprüfen muss. Es soll ein Test auf einem Signifikanzniveau von 10% durchgeführt werden auf der Basis der Ergebnisse von 22 zufällig ausgewählten Gastskiläufern, die den abgesteckten Slalom zu durchfahren haben.

* Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test.
* Welche Verteilung besitzt die Testfunktion unter <math>H_{0}</math>?
* Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich für diesen Test.
* Wie gro<span>ß</span> ist die exakte Wahrscheinlichkeit, sich bei diesem Test fälschlicherweise für <math>H_{A}</math> zu entscheiden?
* Von den 22 Testläufern schied ein Läufer aus. Wie lautet die Testentscheidung?
* Rechtfertigen Sie diese Entscheidung.


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===Wetterlage und Geschäftslage===

Ein Taxiunternehmen will überprüfen, ob sich eine Abhängigkeit zwischen der Wetterlage und der Geschäftslage nachweisen lässt. Dazu werden einige Tage des vergangenen Jahres zufällig ausgewählt. Folgende Angaben stehen zur Verfügung:

* Von insgesamt 20 Regentagen gab es ebensoviele mit guter wie mit schlechter Geschäftslage.
* 5 Sonnentage brachten ein normales Geschäft.
* 15 Tage brachten ein schlechtes Geschäft.
* Ein gutes Geschäft konnte an 15 Sonnentagen beobachtet werden.
* Das Geschäft lief an 15 Tagen normal.

* Stellen Sie das Ergebnis in einer Kontingenztabelle dar!
* Formulieren Sie verbal die Hypothesen!
* Ist eine Anwendung der <math>\chi^{2}</math>-Verteilung hier gerechtfertigt?
* Fällen Sie die Entscheidung bei (i) <math>\alpha</math> = 1% bzw. (ii) <math>\alpha</math> = 5%.
* Welcher Fehler kann Ihnen im Fall (i) bzw.(ii) jeweils unterlaufen sein?


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===Zigarettenpreis===
Der Zigarettenkonzern TAB will den Zigarettenpreis erhöhen, obwohl dieser vor einem Jahr schon einmal angehoben wurde. Prokurist L. liegt das Wohl des Konzerns am Herzen und weil er meint, dass der Zigarettenkonsum pro Tag bei neuerlichen Preiserhöhungen abnehmen werde, will er einen Test durchführen. Er wei<span>ß</span>, dass der tägliche Zigarettenkonsum pro Raucher vor der letzten Preiserhöhung einem erwarteten Wert von 16 Stück entsprach.

Mit Hilfe einer zufälligen Befragung unter <math>n=100</math> Rauchern will er statistisch zeigen, dass sich der durchschnittliche Konsum verringert hat (<math>\alpha = 0,01</math>).

* Formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese.
* Geben Sie die zugrundeliegende Stichprobenfunktion verbal an.
* Geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter dieser Stichprobenfunktion unter der Annahme an, dass <math>H_{0}</math> richtig ist.
* Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese verteilt?
* Angenommen, die 100 Versuchspersonen rauchen durchschnittlich 15 Zigaretten pro Tag bei einer Standardabweichung von 5 Stück.<br />
Wie entscheidet sich der Prokurist?
* Welchen Fehler kann der Prokurist bei seiner Entscheidung gemacht haben?
* Formulieren Sie in einer Pressemitteilung kurz, aber statistisch exakt das Testergebnis.


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